บางคนปฏิบัติต่อคำว่า "ความก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากเป็นคำที่ซับซ้อนมากจากสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูง และยังง่ายที่สุด ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- งานมิเตอร์แท็กซี่ (ที่ยังเหลืออยู่) และการทำความเข้าใจสาระสำคัญ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การรับสาระสำคัญ") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องยากโดยวิเคราะห์แนวคิดเบื้องต้นบางประการ
ลำดับตัวเลขทางคณิตศาสตร์
ลำดับตัวเลขมักเรียกว่าชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง
1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ
และ 2 คือเทอมที่สองของลำดับ
และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ
และ n เป็นสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ
อย่างไรก็ตามไม่มีชุดตัวเลขและตัวเลขใด ๆ ที่น่าสนใจสำหรับเรา เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของเทอมที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับด้วยความสัมพันธ์ที่สามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของตัวเลขที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n
a คือค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข
n คือหมายเลขประจำเครื่อง
f(n) คือฟังก์ชัน โดยที่เลขลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์
คำนิยาม
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งแต่ละเทอมต่อมาจะมากกว่า (น้อยกว่า) กว่าเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนเดียวกัน สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:
n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป
d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)
เป็นเรื่องง่ายที่จะตัดสินว่าหากผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกลำดับต่อมาของซีรีส์ที่กำลังพิจารณาจะมีค่ามากกว่าชุดก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น
ในกราฟด้านล่าง จะเห็นได้ง่ายว่าทำไมลำดับตัวเลขจึงเรียกว่า "การเพิ่มขึ้น"
ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (ง<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
ค่าสมาชิกที่ระบุ
บางครั้งมีความจำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์ใดก็ได้ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับโดยเริ่มจากค่าแรกไปจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาค่าของเทอมห้าพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถศึกษาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของเทอมใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าด้วยผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวนเทอมที่ต้องการลดลงด้วย หนึ่ง.
สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า
ตัวอย่างการคำนวณค่าของคำที่กำหนด
ให้เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการค้นหาค่าของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:
เทอมแรกของลำดับคือ 3;
ผลต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2
ภารกิจ: คุณต้องค้นหาค่าของคำศัพท์ 214 คำ
วิธีแก้ไข: เพื่อระบุค่าของคำที่กำหนด เราใช้สูตร:
ก(n) = a1 + ง(n-1)
แทนที่ข้อมูลจากคำชี้แจงปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:
ก(214) = ก1 + ง(n-1)
ก(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
คำตอบ: เทอมที่ 214 ของลำดับมีค่าเท่ากับ 258.6
ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด
ผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่กำหนด
บ่อยครั้งในชุดเลขคณิตที่กำหนดมีความจำเป็นต้องกำหนดค่ารวมของค่าของบางเซ็กเมนต์ ในการทำเช่นนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วบวกเข้าด้วยกัน วิธีการนี้ใช้ได้หากจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการหาผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นๆ จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตรต่อไปนี้
ผลรวมของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของเทอมที่หนึ่งและที่ n คูณด้วยจำนวนของเทอม n แล้วหารด้วยสอง หากในสูตรค่าของเทอมที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความเราจะได้รับ:
ตัวอย่างการคำนวณ
ตัวอย่างเช่น เรามาแก้ปัญหาโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้:
พจน์แรกของลำดับคือศูนย์
ความแตกต่างคือ 0.5
ปัญหานี้จำเป็นต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมตั้งแต่ 56 ถึง 101
สารละลาย. ลองใช้สูตรเพื่อกำหนดจำนวนความก้าวหน้า:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
ขั้นแรกเรากำหนดค่าผลรวมของเงื่อนไข 101 ของความก้าวหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:
วินาที 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าตั้งแต่วันที่ 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 ออกจาก S 101
วินาที 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
ดังนั้น ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:
ส 101 - ส 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ
ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างลำดับเลขคณิตที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท็กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างนี้
การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมการเดินทาง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรถัดไปจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล/กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง
1. ทิ้ง 3 กม. แรก ซึ่งราคาดังกล่าวรวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว
30 - 3 = 27 กม.
2. การคำนวณเพิ่มเติมนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต
หมายเลขสมาชิก - จำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)
มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม
เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล
ความแตกต่างความก้าวหน้า d = 22 r.
จำนวนที่เราสนใจคือค่าของเทอมที่ (27+1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านค่ามิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 เท่ากับ 27.999... = 28 กม.
ก 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานโดยพลการจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะห่างของวัตถุท้องฟ้าถึงดาวฤกษ์ในเชิงเรขาคณิต นอกจากนี้ ชุดตัวเลขต่างๆ ยังสามารถนำมาใช้ในสถิติและสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ ได้สำเร็จอีกด้วย
ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีลักษณะเฉพาะด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สูงกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการเมือง สังคมวิทยา และการแพทย์ เพื่อที่จะแสดงให้เห็นความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคในระหว่างการแพร่ระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เทอมที่ N ของชุดตัวเลขเรขาคณิตแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าตรงที่คูณด้วยจำนวนคงที่บางตัว - ตัวส่วนเช่นเทอมแรกคือ 1 ตัวส่วนจะเท่ากับ 2 ตามลำดับดังนั้น:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
bn - ค่าของเทอมปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
b n+1 - สูตรของเทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)
หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:
เช่นเดียวกับในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของคำใดๆ ก็ตาม เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวส่วนของความก้าวหน้ากำลังของ n ลดลง 1:
ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 มาหาความก้าวหน้าระยะที่ 5 กัน
ข 5 = ข 1 ∙ คิว (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
ผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษด้วย ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและตัวส่วนกับเทอมแรกของความก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:
หากแทนที่ bn โดยใช้สูตรที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าของผลรวมของเทอม n แรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:
ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกกำหนดให้เป็น 3 ลองหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
สาระสำคัญของสูตรคืออะไร?
สูตรนี้ให้คุณค้นหา ใดๆ ตามหมายเลขของเขา " เอ็น" .
แน่นอนว่าคุณต้องรู้เทอมแรกด้วย 1และความแตกต่างความก้าวหน้า งหากไม่มีพารามิเตอร์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้
การท่องจำ (หรือการเปล) สูตรนี้ไม่เพียงพอ คุณต้องเข้าใจสาระสำคัญและนำสูตรไปใช้ในปัญหาต่างๆ และอย่าลืมในช่วงเวลาที่เหมาะสมด้วย ใช่...) อย่างไร ไม่ลืม- ฉันไม่รู้. และที่นี่ วิธีการจำหากจำเป็นฉันจะแนะนำให้คุณอย่างแน่นอน สำหรับผู้ที่เรียนจบบทเรียนแล้ว)
มาดูสูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันดีกว่า
โดยทั่วไปสูตรคืออะไร? ยังไงซะลองดูถ้าคุณยังไม่ได้อ่าน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น มันยังคงคิดออกว่ามันคืออะไร เทอมที่ n
ความก้าวหน้าโดยทั่วไปสามารถเขียนเป็นชุดตัวเลขได้:
1, 2, 3, 4, 5, .....
1- หมายถึงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3- สมาชิกคนที่สาม 4- ที่สี่และอื่น ๆ หากเราสนใจเทอมที่ 5 สมมติว่าเรากำลังดำเนินการอยู่ 5ถ้าหนึ่งร้อยยี่สิบ - ส 120.
เราจะนิยามมันในแง่ทั่วไปได้อย่างไร? ใดๆเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย ใดๆตัวเลข? ง่ายมาก! แบบนี้:
หนึ่ง
นั่นคือสิ่งที่มันเป็น ระยะที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตัวอักษร n ซ่อนหมายเลขสมาชิกทั้งหมดในคราวเดียว: 1, 2, 3, 4 และอื่นๆ
และบันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? ลองคิดดู แทนที่จะเขียนตัวเลข พวกเขาเขียนจดหมาย...
สัญกรณ์นี้ทำให้เรามีเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการทำงานกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การใช้สัญกรณ์ หนึ่งเราก็สามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็ว ใดๆสมาชิก ใดๆความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และแก้ไขปัญหาความก้าวหน้าอื่นๆ อีกมากมาย คุณจะเห็นเองต่อไป
ในสูตรระยะที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
| n = 1 + (n-1)d |
1- เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
n- หมายเลขสมาชิก
สูตรนี้เชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักของความก้าวหน้าใดๆ: หนึ่ง ; 1 ; งและ n. ปัญหาความก้าวหน้าทั้งหมดเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์เหล่านี้
สูตรระยะที่ n ยังสามารถใช้เพื่อเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้ ตัวอย่างเช่น ปัญหาอาจบอกว่าความก้าวหน้าถูกระบุตามเงื่อนไข:
n = 5 + (n-1) 2.
ปัญหาดังกล่าวอาจเป็นทางตันได้... ไม่มีทั้งอนุกรมหรือความแตกต่าง... แต่เมื่อเปรียบเทียบเงื่อนไขกับสูตรก็เข้าใจได้ง่ายว่าในความก้าวหน้านี้ ก 1 =5 และ d=2
และอาจแย่ยิ่งกว่านั้นอีก!) หากเราใช้เงื่อนไขเดียวกัน: n = 5 + (n-1) 2,ใช่ เปิดวงเล็บแล้วนำอันที่คล้ายกันมาใช่ไหม เราได้รับสูตรใหม่:
n = 3 + 2n
นี้ ไม่ใช่เพียงเรื่องทั่วไป แต่เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ นี่คือจุดที่หลุมพรางซ่อนตัวอยู่ บางคนคิดว่าเทอมแรกคือสาม แม้ว่าในความเป็นจริงเทอมแรกคือห้า... ต่ำกว่านี้อีกเล็กน้อยเราจะใช้กับสูตรที่ดัดแปลงดังกล่าว
ในปัญหาความก้าวหน้า มีสัญลักษณ์อื่น - n+1. ตามที่คุณเดา นี่คือคำว่า "n บวกก่อน" ของความก้าวหน้า ความหมายเรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย) นี่คือสมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งมีจำนวนมากกว่าจำนวน n คูณหนึ่ง ตัวอย่างเช่นหากเราประสบปัญหาบางอย่าง หนึ่งเทอมที่ห้าแล้ว n+1จะเป็นสมาชิกคนที่หก ฯลฯ
ส่วนใหญ่มักเป็นการกำหนด n+1พบได้ในสูตรการเกิดซ้ำ อย่ากลัวคำที่น่ากลัวนี้!) นี่เป็นเพียงวิธีหนึ่งในการแสดงสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผ่านอันที่แล้วสมมติว่าเราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบนี้ โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:
n+1 = n +3
ก 2 = ก 1 + 3 = 5+3 = 8
3 = 2 + 3 = 8+3 = 11
ครั้งที่สี่ - ถึงครั้งที่สาม, ครั้งที่ห้า - ถึงครั้งที่สี่และอื่น ๆ เราจะนับเทอมที่ยี่สิบได้ทันทีได้อย่างไร? 20? แต่ไม่มีทาง!) กว่าจะรู้งวดที่ 19 เราก็นับงวดที่ 20 ไม่ได้ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสูตรที่เกิดซ้ำและสูตรของเทอมที่ n เกิดขึ้นซ้ำทำงานผ่านเท่านั้น ก่อนหน้าและสูตรของเทอมที่ n ก็คือผ่าน อันดับแรกและอนุญาต ทันทีค้นหาสมาชิกคนใดคนหนึ่งตามหมายเลขของมัน โดยไม่ต้องคำนวณเลขทั้งชุดตามลำดับ
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องง่ายที่จะเปลี่ยนสูตรที่เกิดซ้ำให้เป็นสูตรปกติ นับคู่เงื่อนไขติดต่อกัน คำนวณผลต่าง ง,ค้นหาเทอมแรกหากจำเป็น 1เขียนสูตรในรูปแบบปกติแล้วดำเนินการตามสูตรนั้น งานดังกล่าวมักพบใน State Academy of Sciences
การใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
อันดับแรก มาดูการประยุกต์ใช้สูตรโดยตรงกันก่อน ในตอนท้ายของบทเรียนที่แล้วมีปัญหา:
มีการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ค้นหา 121 ถ้า 1 =3 และ d=1/6
ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใดๆ เพียงแค่ยึดตามความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เพิ่มและเพิ่ม... หนึ่งหรือสองชั่วโมง)
และตามสูตรการแก้ปัญหาจะใช้เวลาไม่ถึงนาที จับเวลาได้นะครับ) มาตัดสินใจกัน
เงื่อนไขให้ข้อมูลทั้งหมดสำหรับการใช้สูตร: ก 1 =3, ง=1/6ยังคงต้องหาว่าอะไรจะเท่ากัน n.ไม่มีปัญหา! เราจำเป็นต้องค้นหา 121. ดังนั้นเราจึงเขียน:
กรุณาให้ความสนใจ! แทนที่จะเป็นดัชนี nมีตัวเลขเฉพาะปรากฏขึ้น: 121 ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) เราสนใจสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขหนึ่งร้อยยี่สิบเอ็ดนี่จะเป็นของเรา n.นี่คือความหมาย n= 121 เราจะแทนที่เพิ่มเติมในสูตรในวงเล็บ เราแทนที่ตัวเลขทั้งหมดลงในสูตรแล้วคำนวณ:
121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
แค่นั้นแหละ. อย่างรวดเร็วพอๆ กับที่เราสามารถหาเทอมห้าร้อยสิบ และพันสาม ได้อย่างใดอย่างหนึ่ง เราใส่แทน nหมายเลขที่ต้องการในดัชนีตัวอักษร " ก"และในวงเล็บแล้วเราก็นับ
ฉันขอเตือนคุณถึงประเด็น: สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาได้ ใดๆระยะความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตามหมายเลขของเขา " เอ็น" .
มาแก้ไขปัญหาอย่างมีไหวพริบมากขึ้น ให้เราเจอปัญหาต่อไปนี้:
ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า 17 =-2; ง=-0.5.
หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันจะบอกคุณขั้นตอนแรก เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!ใช่ ๆ. จดด้วยมือของคุณลงในสมุดบันทึกของคุณ:
| n = 1 + (n-1)d |
และตอนนี้เมื่อดูตัวอักษรของสูตรเราก็เข้าใจแล้วว่าเรามีข้อมูลอะไรบ้างและขาดอะไรไป? มีอยู่ ง=-0.5,มีสมาชิกคนที่สิบเจ็ด...นั่นเหรอ? ถ้าคิดอย่างนั้นก็แก้ปัญหาไม่ได้ ใช่...
เรายังมีเบอร์อยู่ n! อยู่ในสภาพ 17 =-2ที่ซ่อนอยู่ สองพารามิเตอร์นี่คือทั้งค่าของเทอมที่สิบเจ็ด (-2) และจำนวน (17) เหล่านั้น. n=17."เรื่องเล็ก" นี้มักจะหลุดผ่านหัวและหากไม่มีมัน (หากไม่มี "เรื่องเล็ก" ไม่ใช่หัว!) ปัญหาก็ไม่สามารถแก้ไขได้ แม้ว่า...และไม่มีหัวด้วยก็ตาม)
ตอนนี้เราสามารถแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรอย่างโง่เขลาได้:
17 = 1 + (17-1)·(-0.5)
โอ้ใช่, 17เรารู้ว่ามันคือ -2 เอาล่ะ มาแทนที่กัน:
-2 = เอ 1 + (17-1)·(-0.5)
นั่นคือทั้งหมดโดยพื้นฐาน ยังคงแสดงระยะแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากสูตรและคำนวณ คำตอบจะเป็น: ก 1 = 6
เทคนิคนี้ - การเขียนสูตรและเพียงแทนที่ข้อมูลที่ทราบ - สามารถช่วยได้มากในงานง่ายๆ แน่นอนว่าคุณต้องสามารถแสดงตัวแปรจากสูตรได้ แต่จะทำยังไง!? หากไม่มีทักษะนี้ คณิตศาสตร์อาจไม่สามารถเรียนได้เลย...
อีกหนึ่งปริศนายอดนิยม:
ค้นหาผลต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า 1 =2; 15 = 12.
เรากำลังทำอะไรอยู่? คุณจะแปลกใจเรากำลังเขียนสูตร!)
| n = 1 + (n-1)d |
ลองพิจารณาสิ่งที่เรารู้: ก 1 =2; ก 15 =12; และ (ฉันจะเน้นเป็นพิเศษ!) n=15. อย่าลังเลที่จะแทนที่สิ่งนี้ลงในสูตร:
12=2 + (15-1)ง
เราทำคณิตศาสตร์)
12=2 + 14ง
ง=10/14 = 5/7
นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง
ดังนั้นงานสำหรับ เอ็น 1และ งตัดสินใจแล้ว. สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีค้นหาหมายเลข:
หมายเลข 99 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 =12; ง=3. ค้นหาหมายเลขของสมาชิกท่านนี้
เราแทนที่ปริมาณที่เรารู้จักเป็นสูตรของเทอมที่ n:
n = 12 + (n-1) 3
เมื่อมองแวบแรก มีปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนสองปริมาณที่นี่: n และ nแต่ หนึ่ง- นี่คือสมาชิกบางส่วนของความก้าวหน้าที่มีตัวเลข n...และเรารู้จักสมาชิกแห่งความก้าวหน้าคนนี้แล้ว! 99 ครับ เราไม่รู้เลขครับ เอ็น,ดังนั้นตัวเลขนี้คือสิ่งที่คุณต้องค้นหา เราแทนที่เงื่อนไขของความก้าวหน้า 99 ลงในสูตร:
99 = 12 + (n-1) 3
เราแสดงออกจากสูตร n, พวกเราคิดว่า. เราได้รับคำตอบ: n=30.
และตอนนี้ปัญหาในหัวข้อเดียวกัน แต่สร้างสรรค์มากขึ้น):
ตรวจสอบว่าหมายเลข 117 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
ลองเขียนสูตรอีกครั้ง อะไรไม่มีพารามิเตอร์? หืม... ทำไมเราถึงได้รับตา?) เราเห็นความก้าวหน้าในระยะแรกหรือไม่? ที่เราเห็น. นี่คือ -3.6 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย: ก 1 = -3.6ความแตกต่าง งเล่าจากซีรีย์ได้ไหม? เป็นเรื่องง่ายหากคุณรู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แตกต่างกันอย่างไร:
ง = -2.4 - (-3.6) = 1.2
ดังนั้นเราจึงทำสิ่งที่ง่ายที่สุด มันยังคงต้องจัดการกับหมายเลขที่ไม่รู้จัก nและหมายเลข 117 ที่ไม่อาจเข้าใจได้ ในปัญหาก่อนหน้านี้ อย่างน้อยก็รู้ว่าเป็นเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ได้รับ แต่ที่นี่เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า... จะทำอย่างไร!? เป็นยังไงบ้าง เป็นยังไงบ้าง... เปิดความสามารถในการสร้างสรรค์ของคุณ!)
เรา สมมติท้ายที่สุดแล้ว 117 ก็เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา ด้วยหมายเลขที่ไม่รู้จัก n. และเช่นเดียวกับปัญหาที่แล้ว ลองหาเลขนี้กัน เหล่านั้น. เราเขียนสูตร (ใช่ ใช่!)) และแทนที่ตัวเลขของเรา:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
เราแสดงจากสูตรอีกครั้งnเรานับและรับ:
อ๊ะ! เลขที่ปรากฎ เศษส่วน!หนึ่งร้อยครึ่ง. และเลขเศษส่วนแบบก้าวหน้า ไม่สามารถ.เราจะได้ข้อสรุปอะไร? ใช่! หมายเลข 117 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้าของเรา มันอยู่ระหว่างเทอมหนึ่งร้อยหนึ่งกับหนึ่งร้อยสอง หากตัวเลขออกมาเป็นธรรมชาตินั่นคือ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจำนวนนั้นก็จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้ากับจำนวนที่พบ และในกรณีของเรา คำตอบของปัญหาคือ: เลขที่
งานที่ใช้ GIA เวอร์ชันจริง:
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:
n = -4 + 6.8n
ค้นหาเงื่อนไขที่หนึ่งและสิบของความก้าวหน้า
ที่นี่ความก้าวหน้าถูกกำหนดไว้ในลักษณะที่ไม่ธรรมดา สูตรบางอย่าง...มันเกิดขึ้น) อย่างไรก็ตามสูตรนี้(ตามที่ผมเขียนไว้ข้างต้น)- ยังเป็นสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย!เธอยังอนุญาต ค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าตามหมายเลข
เรากำลังมองหาสมาชิกคนแรก ผู้ที่คิด. ว่าเทอมแรกเป็นลบสี่ถือว่าผิดมหันต์!) เพราะสูตรในโจทย์ได้รับการแก้ไขแล้ว เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในนั้น ที่ซ่อนอยู่.ไม่เป็นไร เราจะหามันให้เจอแล้ว)
เช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้ เราทดแทน n=1ลงในสูตรนี้:
ก 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ที่นี่! เทอมแรกคือ 2.8 ไม่ใช่ -4!
เรามองหาเทอมที่สิบในลักษณะเดียวกัน:
ก 10 = -4 + 6.8 10 = 64
แค่นั้นแหละ.
และตอนนี้สำหรับผู้ที่ได้อ่านบรรทัดเหล่านี้แล้ว โบนัสที่สัญญาไว้)
สมมติว่าในสถานการณ์การต่อสู้ที่ยากลำบากในการสอบของรัฐหรือการสอบแบบรวมรัฐคุณลืมสูตรที่มีประโยชน์สำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ฉันจำอะไรบางอย่างได้ แต่ก็ไม่แน่ใจ... nที่นั่นหรือ n+1 หรือ น-1...เป็นยังไงบ้าง!?
เงียบสงบ! สูตรนี้ได้มาง่าย มันไม่เข้มงวดมาก แต่ก็เพียงพอสำหรับความมั่นใจและการตัดสินใจที่ถูกต้อง!) ในการสรุปก็เพียงพอแล้วที่จะจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และมีเวลาสองสามนาที คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพ เพื่อความชัดเจน
วาดเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายเส้นแรกไว้ ที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก. และเราสังเกตความแตกต่าง งระหว่างสมาชิก แบบนี้:
เราดูภาพแล้วคิดว่าเทอมที่สองเท่ากับอะไร? ที่สอง หนึ่ง ง:
ก 2 =ก1+ 1 ง
ระยะที่สามคืออะไร? ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สอง ง.
ก 3 =ก1+ 2 ง
คุณเข้าใจไหม? ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันเน้นคำบางคำด้วยตัวหนา เอาล่ะ อีกก้าวหนึ่ง)
ระยะที่สี่คืออะไร? ที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สาม ง.
ก 4 =ก1+ 3 ง
ถึงเวลาที่ต้องตระหนักว่าจำนวนช่องว่างเช่น ง, เสมอ น้อยกว่าจำนวนสมาชิกที่คุณกำลังมองหา n. นั่นคือเป็นจำนวน n จำนวนช่องว่างจะ n-1.ดังนั้นสูตรจะเป็น (ไม่มีรูปแบบ!):
| n = 1 + (n-1)d |
โดยทั่วไป รูปภาพมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย อย่าละเลยภาพ แต่ถ้าวาดภาพยากก็... แค่สูตร!) นอกจากนี้สูตรของเทอมที่ n ยังช่วยให้คุณเชื่อมโยงคลังแสงทางคณิตศาสตร์อันทรงพลังทั้งหมดเข้ากับวิธีแก้ปัญหา - สมการ อสมการ ระบบ ฯลฯ คุณไม่สามารถแทรกรูปภาพลงในสมการได้...
งานสำหรับโซลูชันอิสระ
วิธีอุ่นเครื่อง:
1. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) a 2 =3; ก 5 = 5.1 หา 3.
คำแนะนำ: ตามภาพ ปัญหาจะแก้ได้ภายใน 20 วินาที... ตามสูตรจะยิ่งยากขึ้น แต่การเชี่ยวชาญสูตรจะมีประโยชน์มากกว่า) ในมาตรา 555 ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้ทั้งรูปภาพและสูตร รู้สึกถึงความแตกต่าง!)
และนี่ไม่ใช่การอุ่นเครื่องอีกต่อไป)
2. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. หา 3
ไม่อยากวาดรูปเหรอ?) แน่นอน! ดีกว่าตามสูตรใช่ครับ...
3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดตามเงื่อนไข:ก 1 = -5.5; n+1 = n +0.5 จงหาระยะที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้าของความก้าวหน้านี้
ในงานนี้ ความก้าวหน้าจะถูกระบุในลักษณะที่เกิดซ้ำ แต่นับถึงเทอมที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้า... ไม่ใช่ทุกคนที่สามารถทำผลงานได้ขนาดนี้) แต่สูตรของเทอมที่ n นั้นอยู่ในอำนาจของทุกคน!
4. เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
จงหาจำนวนพจน์ที่เป็นบวกน้อยที่สุดของความก้าวหน้า
5. ตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4 ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเชิงบวกที่น้อยที่สุดและเชิงลบที่ใหญ่ที่สุดของความก้าวหน้า
6. ผลคูณของเทอมที่ห้าและสิบสองของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้นมีค่าเท่ากับ -2.5 และผลรวมของเทอมที่สามและสิบเอ็ดมีค่าเท่ากับศูนย์ หา 14 .
ไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุด ใช่แล้ว...) วิธี "ปลายนิ้ว" ใช้ไม่ได้ผลที่นี่ คุณจะต้องเขียนสูตรและแก้สมการ
คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
เกิดขึ้น? มันดีนะ!)
ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม มีจุดละเอียดอ่อนจุดหนึ่งในงานสุดท้าย จะต้องได้รับการดูแลเมื่ออ่านปัญหา และตรรกะ
วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้มีการอภิปรายโดยละเอียดในมาตรา 555 และองค์ประกอบของจินตนาการสำหรับข้อที่สี่และประเด็นย่อยสำหรับข้อที่หกและแนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสูตรของเทอมที่ n - ทุกอย่างอธิบายไว้ ฉันแนะนำ.
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
คณิตศาสตร์มีความสวยงามในตัวเอง เช่นเดียวกับการวาดภาพและบทกวี
นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย ช่างเครื่อง N.E. จูคอฟสกี้
ปัญหาที่พบบ่อยมากในการสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์คือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จ คุณต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และมีทักษะบางอย่างในการนำไปประยุกต์ใช้
ก่อนอื่นให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และนำเสนอสูตรที่สำคัญที่สุด, ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้
คำนิยาม. ลำดับหมายเลข, โดยแต่ละเทอมต่อๆ มามีความแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน, เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้คือหมายเลขเรียกว่าความต่างความก้าวหน้า
สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:
, (1)
ที่ไหน . สูตร (1) เรียกว่าสูตรของเทอมทั่วไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และสูตร (2) แสดงถึงคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: แต่ละเทอมของความก้าวหน้าเกิดขึ้นพร้อมกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมข้างเคียง และ
โปรดทราบว่าเป็นเพราะคุณสมบัตินี้เองที่ความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณาเรียกว่า "เลขคณิต"
สูตรข้างต้น (1) และ (2) มีรูปแบบทั่วไปดังนี้:
(3)
เพื่อคำนวณจำนวนเงินอันดับแรก เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ปกติจะใช้สูตรนี้
(5) ที่ไหน และ .
ถ้าเราคำนึงถึงสูตร (1), จากสูตร (5) เป็นไปตามนั้น
ถ้าเราแสดงว่า แล้ว
ที่ไหน . เนื่องจาก สูตร (7) และ (8) เป็นลักษณะทั่วไปของสูตรที่สอดคล้องกัน (5) และ (6)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง , จากสูตร (5) เป็นไปตามนี้, อะไร
นักเรียนส่วนใหญ่ไม่ค่อยมีใครรู้จักคือคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งกำหนดขึ้นตามทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท.ถ้าอย่างนั้น
การพิสูจน์.ถ้าอย่างนั้น
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างเช่น , โดยใช้ทฤษฎีบทก็สามารถแสดงได้ว่า
มาดูตัวอย่างทั่วไปของการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์" กันดีกว่า
ตัวอย่างที่ 1ช่างมัน. หา .
สารละลาย.การใช้สูตร (6) เราได้รับ ตั้งแต่ และ แล้ว หรือ .
ตัวอย่างที่ 2ปล่อยให้มันมากกว่า 3 เท่า และเมื่อหารด้วยผลหาร ผลลัพธ์คือ 2 และเศษคือ 8 หาค่า และ .
สารละลาย.จากเงื่อนไขตัวอย่างจะได้ระบบสมการดังนี้
ตั้งแต่ , , และ จากนั้นจากระบบสมการ (10) ที่เราได้รับ
ผลเฉลยของระบบสมการนี้คือ และ
ตัวอย่างที่ 3หาว่า และ .
สารละลาย.ตามสูตร (5) เรามี หรือ . อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้คุณสมบัติ (9) เราจะได้
ตั้งแต่ และ แล้วจากความเท่าเทียมกัน สมการดังต่อไปนี้หรือ .
ตัวอย่างที่ 4หาว่า.
สารละลาย.ตามสูตร (5) ที่เรามี
อย่างไรก็ตาม เราสามารถเขียนทฤษฎีบทได้
จากที่นี่และจากสูตร (11) เราได้รับ
ตัวอย่างที่ 5. ที่ให้ไว้: . หา .
สารละลาย.ตั้งแต่นั้นมา. อย่างไรก็ตาม ดังนั้น.
ตัวอย่างที่ 6ให้ และ . หา .
สารละลาย.โดยใช้สูตร (9) เราจะได้ ดังนั้น ถ้า แล้ว หรือ
ตั้งแต่และ ตรงนี้เรามีระบบสมการ
การแก้ปัญหาที่เราได้รับ และ .
รากธรรมชาติของสมการเป็น .
ตัวอย่างที่ 7หาว่า และ .
สารละลาย.เนื่องจากตามสูตร (3) เรามีสิ่งนั้น ดังนั้นระบบสมการจึงเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา
ถ้าเราแทนพจน์เข้าไปในสมการที่สองของระบบแล้วเราจะได้ หรือ .
รากของสมการกำลังสองคือและ .
ลองพิจารณาสองกรณี
1. ให้แล้ว. ตั้งแต่ และ จากนั้น .
ในกรณีนี้ตามสูตร (6) เราได้
2. ถ้า แล้ว และ
คำตอบ: และ.
ตัวอย่างที่ 8เป็นที่รู้กันว่าและ. หา .
สารละลาย.โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (5) และเงื่อนไขของตัวอย่าง เราเขียน และ .
นี่หมายถึงระบบสมการ
ถ้าเราคูณสมการแรกของระบบด้วย 2 แล้วบวกเข้ากับสมการที่สอง เราก็จะได้
ตามสูตร (9) ที่เรามี. ทั้งนี้ เป็นไปตาม (12)หรือ .
ตั้งแต่ และ จากนั้น .
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 9หาว่า และ .
สารละลาย.เนื่องจาก และตามเงื่อนไข แล้ว หรือ
จากสูตร (5) ทราบแล้วว่า, อะไร . ตั้งแต่นั้นมา.
เพราะฉะนั้น , ตรงนี้เรามีระบบสมการเชิงเส้น
จากที่นี่เราได้รับ และ . โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (8) เราเขียน .
ตัวอย่างที่ 10แก้สมการ
สารละลาย.จากสมการที่กำหนดให้จะได้ว่า ให้เราสมมุติว่า , , และ . ในกรณีนี้ .
ตามสูตร (1) เราสามารถเขียนได้ หรือ .
เนื่องจาก สมการ (13) มีเพียงรากที่เหมาะสมเท่านั้น
ตัวอย่างที่ 11จงหาค่าสูงสุดที่มีให้ และ
สารละลาย.เนื่องจาก ดังนั้นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำลังพิจารณาจึงลดลง ในเรื่องนี้ นิพจน์จะใช้ค่าสูงสุดเมื่อเป็นจำนวนเทอมบวกขั้นต่ำของความก้าวหน้า
ให้เราใช้สูตร (1) และข้อเท็จจริง, นั่น และ . แล้วเราจะได้สิ่งนั้นหรือ.
ตั้งแต่ แล้ว หรือ . อย่างไรก็ตามในความไม่เท่าเทียมกันนี้จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดเพราะเหตุนั้น.
หากค่าของ และ แทนที่เป็นสูตร (6) เราจะได้
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 12หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติสองหลักทั้งหมดที่เมื่อหารด้วยเลข 6 จะเหลือเศษเป็น 5
สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยเซตของตัวเลขธรรมชาติสองหลักทั้งหมด เช่น . ต่อไป เราจะสร้างเซตย่อยที่ประกอบด้วยสมาชิก (ตัวเลข) ของเซตที่เมื่อหารด้วยเลข 6 จะได้เศษเหลือ 5
ติดตั้งง่าย, อะไร . อย่างชัดเจน , ว่าองค์ประกอบของเซตสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่ง และ .
ในการสร้างจำนวนสมาชิก (จำนวนองค์ประกอบ) ของเซต เราจะถือว่า เนื่องจาก และ ตามมาจากสูตร (1) หรือ โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (5) ที่เราได้รับ
ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้างต้นไม่สามารถอ้างได้ครบถ้วนสมบูรณ์ บทความนี้เขียนขึ้นจากการวิเคราะห์วิธีการสมัยใหม่ในการแก้ปัญหาทั่วไปในหัวข้อที่กำหนด สำหรับการศึกษาเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ขอแนะนำให้ดูรายการวรรณกรรมที่แนะนำ
1. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าศึกษาในวิทยาลัย / อ. มิ.ย. สแกนวิ – อ.: สันติภาพและการศึกษา, 2013. – 608 น.
2. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติมของหลักสูตรของโรงเรียน – ม.: เลนันด์ / URSS, 2014. – 216 น.
3. เมดินสกี้ เอ็ม.เอ็ม. หลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาที่สมบูรณ์ในด้านปัญหาและแบบฝึกหัด เล่มที่ 2: ลำดับตัวเลขและความก้าวหน้า – ม.: บรรณาธิการ, 2558 – 208 น.
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ใช่ ใช่: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ของเล่นสำหรับคุณ :) เพื่อน ๆ หากคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานแคปภายในบอกฉันว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่คุณจริงๆ (ไม่ แบบนั้น: SOOOOO!) อยากรู้จริงๆ ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวและจะตรงประเด็น
ขั้นแรก ยกตัวอย่างบางส่วน ลองดูตัวเลขหลายชุด:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
ชุดนี้มีอะไรเหมือนกันบ้าง? เมื่อมองแวบแรกไม่มีอะไร แต่จริงๆ แล้วมีอะไรบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.
ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละชุดถัดไปจะมากกว่าชุดก่อนหน้าหนึ่งตัว ในกรณีที่สอง ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันคือ 5 อยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงเป็นค่าคงที่ ในกรณีที่สาม มีรากทั้งหมด อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ และ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปก็จะเพิ่มขึ้นเพียง $\sqrt(2)$ (และอย่ากลัวว่าจำนวนนี้จะไม่มีเหตุผล)
ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:
คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขที่แต่ละตัวถัดไปแตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการ เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนที่ตัวเลขแตกต่างกันมากเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า และส่วนใหญ่มักแสดงด้วยตัวอักษร $d$
สัญลักษณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของมันเอง $d$ คือความแตกต่าง
และบันทึกสำคัญสองสามข้อ ประการแรกจะพิจารณาเฉพาะความก้าวหน้าเท่านั้น สั่งลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านอย่างเคร่งครัดตามลำดับที่เขียน - และไม่มีอะไรอื่นอีก ไม่สามารถจัดเรียงหรือสลับหมายเลขได้
ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรืออนันต์ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนอะไรบางอย่างด้วยจิตวิญญาณ (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดอยู่แล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่ายังมีตัวเลขอีกสองสามตัวที่จะตามมา มากมายนับไม่ถ้วน เป็นต้น :)
ฉันอยากจะทราบด้วยว่าความก้าวหน้าสามารถเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้ เราได้เห็นอันที่เพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) นี่คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
โอเค โอเค ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือผมคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:
คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:
- เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า
- ลดลง ในทางกลับกัน หากแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า
นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่าลำดับ "คงที่" ซึ่งประกอบด้วยหมายเลขซ้ำเดียวกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)
เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากความก้าวหน้าที่ลดลงได้อย่างไร? โชคดีที่ทุกอย่างที่นี่ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเลข $d$ เท่านั้น เช่น ความแตกต่างของความก้าวหน้า:
- ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้น
- ถ้า $d \lt 0$ แสดงว่าความก้าวหน้าลดลงอย่างเห็นได้ชัด
- ท้ายที่สุด มีกรณี $d=0$ - ในกรณีนี้ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเหลือลำดับที่คงที่ซึ่งมีตัวเลขเหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) เป็นต้น
ลองคำนวณส่วนต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงสามรายการข้างต้น ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำองค์ประกอบสองรายการที่อยู่ติดกัน (เช่นองค์ประกอบที่หนึ่งและที่สอง) แล้วลบตัวเลขทางด้านซ้ายจากตัวเลขทางด้านขวา มันจะมีลักษณะเช่นนี้:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
ดังที่เราเห็นในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เมื่อเราเข้าใจคำจำกัดความไม่มากก็น้อยแล้ว ก็ถึงเวลาที่จะพิจารณาว่ามีการอธิบายความก้าวหน้าอย่างไรและมีคุณสมบัติใดบ้าง
เงื่อนไขความก้าวหน้าและสูตรการเกิดซ้ำ
เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถสลับได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา\)\]
องค์ประกอบแต่ละส่วนของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า โดยระบุด้วยตัวเลข: สมาชิกตัวแรก สมาชิกคนที่สอง ฯลฯ
นอกจากนี้ดังที่เราทราบแล้วว่าเงื่อนไขใกล้เคียงของความก้าวหน้านั้นสัมพันธ์กันโดยสูตร:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ลูกศรขวา ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
กล่าวโดยสรุป หากต้องการค้นหาระยะ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้ระยะ $n-1$th และส่วนต่าง $d$ สูตรนี้เรียกว่าเกิดซ้ำ เนื่องจากด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถค้นหาตัวเลขใดๆ ก็ได้โดยการรู้ตัวเลขก่อนหน้าเท่านั้น (และอันที่จริงคือตัวเลขก่อนหน้าทั้งหมด) สิ่งนี้ไม่สะดวกมากดังนั้นจึงมีสูตรที่ฉลาดกว่าซึ่งจะลดการคำนวณใด ๆ ลงเหลือเพียงเทอมแรกและความแตกต่าง:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
คุณคงเคยเจอสูตรนี้มาแล้ว พวกเขาชอบใส่ไว้ในหนังสืออ้างอิงและหนังสือแก้ปัญหาทุกประเภท และในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเล่มใดเล่มหนึ่งก็เป็นหนึ่งในหนังสือเรียนเล่มแรกๆ
อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณฝึกฝนสักหน่อย
ภารกิจที่ 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$
สารละลาย. ดังนั้นเราจึงรู้เทอมแรก $((a)_(1))=8$ และผลต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่เพิ่งให้มาและแทนที่ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดแนว)\]
คำตอบ: (8; 3; −2)
นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบ: ความก้าวหน้าของเราลดลง
แน่นอนว่า $n=1$ ไม่สามารถทดแทนได้ - เรารู้จักเทอมแรกอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่ความสามัคคี เรามั่นใจว่าแม้ในระยะแรกสูตรของเราก็ยังใช้ได้ ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างล้วนเป็นเรื่องเลขคณิตซ้ำซาก
ภารกิจที่ 2 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลงไป ถ้าเทอมที่เจ็ดเท่ากับ −40 และเทอมที่สิบเจ็ดเท่ากับ −50
สารละลาย. ลองเขียนเงื่อนไขของปัญหาด้วยเงื่อนไขที่คุ้นเคย:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ขวา.\]
ฉันใส่เครื่องหมายระบบเพราะจะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน ตอนนี้ โปรดทราบว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ที่จะทำเช่นนี้ เนื่องจากเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((ก)_(1))+16d-((ก)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&ง=-1. \\ \end(จัดแนว)\]
นั่นเป็นวิธีที่ง่ายในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า! สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ตัวเลขที่พบลงในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่น ในตอนแรก:
\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ก)_(1))=-40+6=-34 \\ \end(เมทริกซ์)\]
ตอนนี้เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่างแล้ว ยังคงต้องค้นหาเทอมที่สองและสาม:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ก)_(3))=((ก)_(1))+2d=-34-2=-36 \\ \end(จัดแนว)\]
พร้อม! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว
คำตอบ: (−34; −35; −36)
สังเกตคุณสมบัติที่น่าสนใจของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเรานำเทอม $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยตัวเลข $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
คุณสมบัติที่เรียบง่าย แต่มีประโยชน์มากที่คุณต้องรู้อย่างแน่นอน - ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาความก้าวหน้าหลายอย่างได้อย่างมาก นี่คือตัวอย่างที่ชัดเจนของสิ่งนี้:
ภารกิจที่ 3 เทอมที่ห้าของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบคือ 14.4 ค้นหาระยะที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้
สารละลาย. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราจำเป็นต้องค้นหา $((a)_(15))$ เราจึงสังเกตสิ่งต่อไปนี้:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ก)_(10))-((ก)_(5))=5d \\ \end(จัดแนว)\]
แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ ซึ่งเรามี:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(จัดแนว)\]
คำตอบ: 20.4
นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกและผลต่าง - ทุกอย่างแก้ไขได้ภายในสองสามบรรทัด
ตอนนี้เรามาดูปัญหาอีกประเภทหนึ่ง - การค้นหาเงื่อนไขเชิงลบและเชิงบวกของความก้าวหน้า ไม่มีความลับว่าหากความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นและเทอมแรกเป็นลบ ไม่ช้าก็เร็วเงื่อนไขเชิงบวกจะปรากฏขึ้น และในทางกลับกัน: เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงจะกลายเป็นเชิงลบไม่ช้าก็เร็ว
ในเวลาเดียวกัน เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะค้นหาช่วงเวลานี้แบบ "เผชิญหน้า" โดยการดูองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาถูกเขียนในลักษณะที่ไม่รู้สูตร การคำนวณต้องใช้กระดาษหลายแผ่น เราจะหลับไปในขณะที่เราพบคำตอบ ดังนั้นเรามาลองแก้ไขปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้นกันดีกว่า
ภารกิจที่ 4 มีพจน์ที่เป็นลบจำนวนเท่าใดในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ −38.5; −35.8; ...?
สารละลาย. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ จากจุดที่เราพบความแตกต่างทันที:
โปรดทราบว่าความแตกต่างนั้นเป็นค่าบวก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นลบ ดังนั้นเมื่อถึงจุดหนึ่ง เราก็จะสะดุดกับจำนวนบวก คำถามเดียวคือเมื่อสิ่งนี้จะเกิดขึ้น
ลองหาดูว่าเงื่อนไขเชิงลบจะคงอยู่นานเท่าใด (เช่น ขึ้นอยู่กับจำนวนธรรมชาติ $n$):
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\ลูกศรขวา ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ลูกศรขวา ((n)_(\สูงสุด ))=15 \\ \end(จัดแนว)\]
บรรทัดสุดท้ายต้องมีคำอธิบายบางอย่าง เรารู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$ ในทางกลับกัน เราพอใจกับค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้น (ยิ่งกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่อนุญาตมากที่สุดคือ $n=15$ อย่างแม่นยำ และไม่ว่าในกรณีใด 16 .
ภารกิจที่ 5 ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ จงหาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้
นี่จะเป็นปัญหาเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้าทุกประการ แต่เราไม่ทราบ $((a)_(1))$ แต่ทราบคำศัพท์ใกล้เคียง: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:
นอกจากนี้ เรามาลองแสดงพจน์ที่ห้าผ่านพจน์แรกและความแตกต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((ก)_(5))=((ก)_(1))+4d; \\ & -150=((ก)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ก)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดแนว)\]
ตอนนี้เราดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับงานก่อนหน้า มาดูกันว่าตัวเลขบวกลำดับใดจะปรากฏขึ้นที่จุดใด:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\min ))=56 \\ \end(จัดแนว)\]
วิธีแก้จำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือเลข 56
โปรดทราบ: ในงานสุดท้าย ทุกอย่างเกิดจากความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา
ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาง่ายๆ แล้ว เรามาดูปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นกันดีกว่า แต่ก่อนอื่น เรามาศึกษาคุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันดีกว่า ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาและเซลล์ที่ไม่เท่ากันได้มากในอนาคต :)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากัน
ลองพิจารณาพจน์ที่ต่อเนื่องกันหลายพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน:
เงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บนเส้นจำนวนฉันทำเครื่องหมายเงื่อนไขที่กำหนดเองโดยเฉพาะ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ และไม่ใช่บางส่วน $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ฯลฯ เพราะกฎที่ฉันจะบอกคุณตอนนี้ใช้ได้ผลเหมือนกันกับ "กลุ่ม" ใดๆ
และกฎก็ง่ายมาก จำสูตรที่เกิดซ้ำแล้วจดไว้สำหรับคำที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((ก)_(n-1))=((ก)_(n-2))+d; \\ & ((ก)_(n))=((ก)_(n-1))+d; \\ & ((ก)_(n+1))=((ก)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n+1))+d; \\ \end(จัดแนว)\]
อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ให้แตกต่างออกไปได้:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((ก)_(n-2))=((ก)_(n))-2d; \\ & ((ก)_(n-3))=((ก)_(n))-3d; \\ & ((ก)_(n+1))=((ก)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n))+2d; \\ & ((ก)_(n+3))=((ก)_(n))+3d; \\ \end(จัดแนว)\]
แล้วไงล่ะ? และความจริงที่ว่าเงื่อนไข $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะห่างเท่ากันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ เช่นเดียวกันกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกมันก็ถูกลบออกจาก $((a)_(n) เช่นกัน )$ ที่ระยะเท่ากันเท่ากับ $2d$ เราสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่จำกัด แต่ภาพก็อธิบายความหมายได้ดี
เงื่อนไขของความก้าวหน้าอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน สิ่งนี้มีความหมายสำหรับเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า $((a)_(n))$ สามารถพบได้หากทราบตัวเลขใกล้เคียง:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
เราได้รับข้อความที่ยอดเยี่ยม: ทุกพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง! ยิ่งกว่านั้น: เราสามารถถอยจาก $((a)_(n))$ ของเราไปทางซ้ายและทางขวาได้ ไม่ใช่ทีละก้าว แต่เป็นก้าว $k$ - และสูตรจะยังคงถูกต้อง:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ บางส่วนได้อย่างง่ายดายถ้าเรารู้ $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เพราะ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงข้อนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรแก่เราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ปัญหาหลายอย่างได้รับการออกแบบเป็นพิเศษเพื่อใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดูสิ:
ภารกิจที่ 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ โดยที่ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นเทอมที่ต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับที่ระบุ)
สารละลาย. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจสำหรับตัวเลขเหล่านี้: องค์ประกอบส่วนกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบข้างเคียงได้:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0 \\ \end(จัดแนว)\]
ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองแบบคลาสสิก รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ
คำตอบ: −3; 2.
ภารกิจที่ 7 ค้นหาค่าของ $$ ซึ่งตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับนั้น)
สารละลาย. ให้เราแสดงระยะกลางอีกครั้งผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0 \\ \end(จัดแนว)\]
สมการกำลังสองอีกครั้ง และอีกครั้งมีสองราก: $x=6$ และ $x=1$
คำตอบ: 1; 6.
หากในกระบวนการแก้ไขปัญหาคุณเกิดตัวเลขที่โหดร้ายหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบทั้งหมดมีเทคนิคที่ยอดเยี่ยมที่ให้คุณตรวจสอบได้: เราแก้ไขปัญหาถูกต้องหรือไม่?
สมมติว่าในปัญหาข้อ 6 เราได้รับคำตอบ −3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้ากับสภาพเดิมแล้วดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งจะต้องก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แทน $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดแนว)\]
เราได้ตัวเลข −54; −2; 50 ที่แตกต่างกันด้วย 52 ถือเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดแนว)\]
ก้าวหน้าอีกครั้งแต่มีผลต่าง 27 ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการสามารถตรวจสอบปัญหาที่สองได้ด้วยตนเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างถูกต้องเช่นกัน
โดยทั่วไป ขณะแก้ไขปัญหาสุดท้าย เราพบข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งที่ต้องจำไว้ด้วย:
หากตัวเลขสามตัวทำให้ตัวเลขที่สองเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเลขตัวแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้ก็จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เรา "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามเงื่อนไขของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะ "ก่อสร้าง" ดังกล่าว เราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งตามมาโดยตรงจากสิ่งที่ได้พูดคุยกันไปแล้ว
การจัดกลุ่มและการรวมองค์ประกอบ
ลองกลับไปสู่แกนจำนวนอีกครั้ง ให้เราสังเกตว่ามีสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้าซึ่งอาจเกิดขึ้นระหว่างนั้น มีค่าต่อสมาชิกคนอื่นๆ มากมาย:
มีองค์ประกอบ 6 ประการที่ทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวนลองแสดง "หางซ้าย" ถึง $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ถึง $((a)_(k))$ และ $d$ มันง่ายมาก:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดแนว)\]
โปรดทราบว่าจำนวนเงินต่อไปนี้จะเท่ากัน:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= เอส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ส. \end(จัดแนว)\]
พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราพิจารณาว่าเป็นการเริ่มต้นสององค์ประกอบของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วเท่ากับตัวเลข $S$ จากนั้นจึงเริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อเคลื่อนตัวออกไป) แล้ว ผลรวมขององค์ประกอบที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากันด้วย$เอส$. สิ่งนี้สามารถแสดงได้ชัดเจนที่สุดในรูปแบบกราฟิก:
การเยื้องที่เท่ากันจะให้ปริมาณที่เท่ากัน การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราแก้ไขปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนที่สูงกว่าโดยพื้นฐานมากกว่าที่เราพิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:
ภารกิจที่ 8 หาผลต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเทอมแรกคือ 66 และผลิตภัณฑ์ของเทอมที่สองและสิบสองมีค่าน้อยที่สุด
สารละลาย. มาเขียนทุกสิ่งที่เรารู้:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดแนว)\]
ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ จริงๆ แล้ว วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((ก)_(12))=((ก)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดแนว)\]
สำหรับผู้ที่อยู่ในรถถัง: ฉันเอาตัวคูณทั้งหมด 11 จากวงเล็บที่สอง ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือฟังก์ชันกำลังสองเทียบกับตัวแปร $d$ ดังนั้น ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านหงาย เนื่องจาก ถ้าเราขยายวงเล็บเราจะได้:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(จัดแนว)\]
อย่างที่คุณเห็น ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมสูงสุดคือ 11 ซึ่งเป็นจำนวนบวก ดังนั้นเราจึงกำลังเผชิญกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านสูงขึ้น:
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - พาราโบลา
โปรดทราบ: พาราโบลานี้รับค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณค่า Abscissa นี้โดยใช้รูปแบบมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่จะสมเหตุสมผลกว่ามากหากสังเกต จุดยอดที่ต้องการนั้นอยู่บนสมมาตรของแกนของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงอยู่ห่างจากรากของสมการเท่ากัน $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดแนว)\]
นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมรากนั้นหาง่ายมาก ดังนั้น Abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
ตัวเลขที่ค้นพบให้อะไรแก่เรา? ด้วยเหตุนี้ ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการจะใช้ค่าที่น้อยที่สุด (อย่างไรก็ตาม เราไม่เคยคำนวณ $((y)_(\min ))$ ซึ่งเราไม่ต้องการ) ในขณะเดียวกันตัวเลขนี้ก็เป็นส่วนต่างจากความก้าวหน้าเดิมนั่นคือ เราพบคำตอบแล้ว :)
คำตอบ: −36
ภารกิจที่ 9 ระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ ให้ใส่ตัวเลขสามตัวเข้าด้วยกัน เพื่อที่เมื่อรวมกับตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะกลายเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สารละลาย. โดยพื้นฐานแล้ว เราต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยที่ทราบตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายแล้ว เรามาแสดงตัวเลขที่หายไปด้วยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - มันมีระยะห่างเท่ากันจากตัวเลข $x$ และ $z$ และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และหากเราไม่สามารถรับ $y$ จากตัวเลข $x$ และ $z$ ได้ แสดงว่าสถานการณ์จะแตกต่างออกไปเมื่อสิ้นสุดความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:
ตอนนี้เมื่อรู้ $y$ เราก็จะพบตัวเลขที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ ที่เราเพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผล
โดยใช้เหตุผลเดียวกัน เราจะพบจำนวนที่เหลือ:
พร้อม! เราพบตัวเลขทั้งสามตัว ลองเขียนคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขเดิม
คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
ภารกิจที่ 10 ระหว่างตัวเลข 2 ถึง 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวที่เมื่อรวมกับตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากคุณรู้ว่าผลรวมของตัวเลขตัวแรก ตัวที่สอง และตัวสุดท้ายคือ 56
สารละลาย. ปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นซึ่งได้รับการแก้ไขตามรูปแบบเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้ว่าต้องใส่ตัวเลขจำนวนเท่าใด ดังนั้น ขอให้เราสันนิษฐานเพื่อความแน่ชัดว่าหลังจากใส่ทุกอย่างแล้ว จะมีตัวเลข $n$ พอดี และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงได้ในรูปแบบ:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \ขวา\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ที่ขอบโดยหันเข้าหากันหนึ่งก้าว เช่น. . ไปที่ศูนย์กลางของลำดับ และนี่หมายความว่า
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
แต่นิพจน์ที่เขียนข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ก)_(3))=56; \\ & ((ก)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดแนว)\]
เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราจะสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5 \\ \end(จัดแนว)\]
สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาเงื่อนไขที่เหลือ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ก)_(2))=2+5=7; \\ & ((ก)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดแนว)\]
ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาถึงทางด้านซ้ายสุดของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องใส่ตัวเลขเพียง 7 ตัวเท่านั้น: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
ปัญหาคำกับความก้าวหน้า
โดยสรุป ฉันต้องการพิจารณาปัญหาง่ายๆ สองสามข้อ ง่ายๆ อย่างนั้น: สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น ปัญหาเหล่านี้อาจดูยาก อย่างไรก็ตาม นี่คือปัญหาประเภทต่างๆ ที่ปรากฏใน OGE และการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับปัญหาเหล่านี้
ภารกิจที่ 11 ทีมงานผลิตชิ้นส่วนได้ 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมาพวกเขาผลิตได้เพิ่มขึ้น 14 ชิ้นจากเดือนก่อน เดือนพฤศจิกายนทีมงานผลิตได้กี่ชิ้น?
สารละลาย. แน่นอนว่าจำนวนส่วนที่แสดงตามเดือนจะแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น นอกจากนี้:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราจึงต้องหา $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
ดังนั้นจะมีการผลิต 202 ชิ้นในเดือนพฤศจิกายน
ภารกิจที่ 12 เวิร์คช็อปเย็บเล่มหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนถัดไปจะผูกหนังสือได้มากกว่าเดือนก่อน 4 เล่ม การประชุมเชิงปฏิบัติการผูกหนังสือกี่เล่มในเดือนธันวาคม
สารละลาย. เหมือนกันทั้งหมด:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
ธันวาคมเป็นเดือนที่ 12 สุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม
ถ้าคุณอ่านมาได้ไกลขนาดนี้ ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณทันที คุณสำเร็จ "หลักสูตรนักสู้รุ่นเยาว์" ในด้านความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณสามารถไปยังบทเรียนถัดไปได้อย่างปลอดภัยซึ่งเราจะศึกษาสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าตลอดจนผลที่ตามมาที่สำคัญและมีประโยชน์มาก
