Kung ang problema ay nangangailangan ng kumpletong pag-aaral ng function f (x) = x 2 4 x 2 - 1 kasama ang pagbuo ng graph nito, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang prinsipyong ito nang detalyado.

Upang malutas ang isang problema ng ganitong uri, dapat mong gamitin ang mga katangian at mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Kasama sa algorithm ng pananaliksik ang mga sumusunod na hakbang:

Paghahanap ng domain ng kahulugan

Dahil ang pananaliksik ay isinasagawa sa domain ng kahulugan ng function, kinakailangan na magsimula sa hakbang na ito.

Halimbawa 1

Sa likod halimbawang ito nagsasangkot ng paghahanap ng mga zero ng denominator upang maibukod ang mga ito sa ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Bilang resulta, maaari kang makakuha ng mga ugat, logarithms, at iba pa. Pagkatapos ay maaaring hanapin ang ODZ para sa isang ugat ng pantay na antas ng uri g (x) 4 sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay na g (x) ≥ 0, para sa logarithm log a g (x) ng hindi pagkakapantay-pantay na g (x) > 0.

Pag-aaral sa mga hangganan ng ODZ at paghahanap ng mga vertical asymptotes

May mga vertical na asymptotes sa mga hangganan ng function, kapag ang mga one-sided na limitasyon sa naturang mga punto ay walang katapusan.

Halimbawa 2

Halimbawa, isaalang-alang ang mga border point na katumbas ng x = ± 1 2.

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang function upang mahanap ang isang panig na limitasyon. Pagkatapos ay makukuha natin iyon: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ipinapakita nito na ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, na nangangahulugang ang mga tuwid na linya x = ± 1 2 ay ang mga patayong asymptotes ng graph.

Pag-aaral ng isang function at kung ito ay even o odd

Kapag ang kundisyong y (- x) = y (x) ay nasiyahan, ang function ay itinuturing na pantay. Iminumungkahi nito na ang graph ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa Oy. Kapag ang kundisyon y (- x) = - y (x) ay nasiyahan, ang function ay itinuturing na kakaiba. Nangangahulugan ito na ang symmetry ay nauugnay sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang hindi bababa sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, makakakuha tayo ng isang function ng pangkalahatang anyo.

Ang pagkakapantay-pantay na y (- x) = y (x) ay nagpapahiwatig na ang function ay pantay. Kapag nagtatayo, kinakailangang isaalang-alang na magkakaroon ng simetrya na may paggalang kay Oy.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ay ginagamit sa mga kondisyong f " (x) ≥ 0 at f " (x) ≤ 0, ayon sa pagkakabanggit.

Kahulugan 1

Mga nakatigil na puntos- ito ang mga puntos na nagiging zero ang derivative.

Mga kritikal na puntos- ito ay mga panloob na punto mula sa domain ng kahulugan kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero o wala.

Kapag gumagawa ng desisyon, dapat isaalang-alang ang mga sumusunod na tala:

• para sa mga umiiral na pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f " (x) > 0, ang mga kritikal na punto ay hindi kasama sa solusyon;
• Ang mga punto kung saan ang function ay tinukoy nang walang isang may hangganang derivative ay dapat na kasama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba (halimbawa, y = x 3, kung saan ang puntong x = 0 ay ginagawang ang function ay tinukoy, ang derivative ay may halaga ng infinity dito. punto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ay kasama sa pagtaas ng pagitan);
• Upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo, inirerekumenda na gumamit ng literatura sa matematika na inirerekomenda ng Ministri ng Edukasyon.

Pagsasama ng mga kritikal na punto sa pagitan ng pagtaas at pagbaba kung natutugunan ng mga ito ang domain ng kahulugan ng function.

Kahulugan 2

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function, ito ay kinakailangan upang mahanap:

• derivative;
• kritikal na mga punto;
• hatiin ang domain ng kahulugan sa mga pagitan gamit ang mga kritikal na punto;
• tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan, kung saan ang + ay isang pagtaas at - ay isang pagbaba.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative sa domain ng kahulugan f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solusyon

Upang malutas kailangan mo:

• maghanap ng mga nakatigil na puntos, ang halimbawang ito ay may x = 0;
• hanapin ang mga zero ng denominator, ang halimbawa ay kumukuha ng halagang zero sa x = ± 1 2.

Naglalagay kami ng mga puntos sa linya ng numero upang matukoy ang derivative sa bawat pagitan. Upang gawin ito, sapat na upang kunin ang anumang punto mula sa pagitan at isagawa ang pagkalkula. Kung positibo ang resulta, inilalarawan namin ang + sa graph, na nangangahulugang tumataas ang function, at - nangangahulugang bumababa ito.

Halimbawa, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, na nangangahulugan na ang unang pagitan sa kaliwa ay may tanda na +. Isaalang-alang ang linya ng numero.

Sagot:

• tumataas ang function sa pagitan - ∞; - 1 2 at (- 1 2 ; 0 ] ;
• mayroong pagbaba sa pagitan [0; 1 2) at 1 2; + ∞ .

Sa diagram, gamit ang + at -, ang positivity at negatibiti ng function ay inilalarawan, at ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng pagbaba at pagtaas.

Ang mga extremum point ng isang function ay mga punto kung saan tinukoy ang function at kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign.

Halimbawa 4

Kung isasaalang-alang natin ang isang halimbawa kung saan ang x = 0, kung gayon ang halaga ng function sa loob nito ay katumbas ng f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kapag ang tanda ng derivative ay nagbago mula + hanggang - at dumaan sa puntong x = 0, kung gayon ang puntong may mga coordinate (0; 0) ay itinuturing na pinakamataas na punto. Kapag nagbago ang sign mula - hanggang +, nakakakuha tayo ng pinakamababang punto.

Natutukoy ang convexity at concavity sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0. Ang hindi gaanong ginagamit ay ang pangalang convexity pababa sa halip na concavity, at convexity paitaas sa halip na convexity.

Kahulugan 3

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng concavity at convexity kailangan:

• hanapin ang pangalawang derivative;
• hanapin ang mga zero ng pangalawang derivative function;
• hatiin ang lugar ng kahulugan sa mga pagitan na may mga lumalabas na punto;
• matukoy ang tanda ng pagitan.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangalawang derivative mula sa domain ng kahulugan.

Solusyon

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nahanap natin ang mga zero ng numerator at denominator, kung saan sa ating halimbawa mayroon tayong mga zero ng denominator x = ± 1 2

Ngayon ay kailangan mong i-plot ang mga punto sa linya ng numero at tukuyin ang tanda ng pangalawang derivative mula sa bawat pagitan. Nakukuha namin iyon

Sagot:

• ang function ay matambok mula sa pagitan - 1 2 ; 12 ;
• ang function ay malukong mula sa mga pagitan - ∞ ; - 1 2 at 1 2; + ∞ .

Kahulugan 4

Inflection point– ito ay isang punto ng anyong x 0 ; f (x 0) . Kapag ito ay may tangent sa graph ng function, at kapag ito ay dumaan sa x 0 ang function ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

Sa madaling salita, ito ay isang punto kung saan ang pangalawang derivative ay pumasa at nagbabago ng tanda, at sa mga punto mismo ito ay katumbas ng zero o wala. Ang lahat ng mga punto ay itinuturing na domain ng function.

Sa halimbawa, malinaw na walang mga inflection point, dahil ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign habang dumadaan sa mga puntos na x = ± 1 2. Sila naman ay hindi kasama sa saklaw ng kahulugan.

Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes

Kapag tinutukoy ang isang function sa infinity, kailangan mong maghanap ng mga pahalang at pahilig na asymptotes.

Kahulugan 5

Oblique asymptotes ay inilalarawan gamit ang mga tuwid na linya na ibinigay ng equation na y = k x + b, kung saan k = lim x → ∞ f (x) x at b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Para sa k = 0 at b hindi katumbas ng infinity, nalaman namin na ang oblique asymptote ay nagiging pahalang.

Sa madaling salita, ang mga asymptote ay itinuturing na mga linya kung saan lumalapit ang graph ng isang function sa infinity. Pinapadali nito ang mabilis na pagbuo ng isang function graph.

Kung walang mga asymptotes, ngunit ang function ay tinukoy sa parehong infinity, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng function sa mga infinity na ito upang maunawaan kung paano kikilos ang graph ng function.

Halimbawa 6

Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa iyon

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ay isang pahalang na asymptote. Pagkatapos suriin ang function, maaari mong simulan ang pagbuo nito.

Kinakalkula ang halaga ng isang function sa mga intermediate na punto

Upang gawing mas tumpak ang graph, inirerekumenda na makahanap ng ilang mga halaga ng function sa mga intermediate na punto.

Halimbawa 7

Mula sa halimbawa na aming isinasaalang-alang, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga puntos na x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Dahil ang pag-andar ay pantay, nakuha namin na ang mga halaga ay nag-tutugma sa mga halaga sa mga puntong ito, iyon ay, nakukuha namin ang x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Isulat at lutasin natin:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Upang matukoy ang maxima at minima ng function, inflection point, at intermediate point, kinakailangan na bumuo ng mga asymptotes. Para sa maginhawang pagtatalaga, ang mga agwat ng pagtaas, pagbaba, umbok, at kalungkutan ay naitala. Tingnan natin ang larawan sa ibaba.

Kinakailangang gumuhit ng mga linya ng graph sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, na magbibigay-daan sa iyong lapitan ang mga asymptotes sa pamamagitan ng pagsunod sa mga arrow.

Tinatapos nito ang buong paggalugad ng function. May mga kaso ng pagbuo ng ilang elementarya na pag-andar kung saan ginagamit ang mga geometric na pagbabago.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Solver Kuznetsov.
III Mga Tsart

Gawain 7. Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at buuin ang graph nito.

        Bago mo simulan ang pag-download ng iyong mga opsyon, subukang lutasin ang problema ayon sa halimbawang ibinigay sa ibaba para sa opsyon 3. Ang ilan sa mga opsyon ay naka-archive sa .rar na format

        7.3 Magsagawa ng buong pag-aaral ng function at i-plot ito

Solusyon.

        1) Saklaw ng kahulugan:         o        , iyon ay        .
.
Kaya:         .

        2) Walang mga punto ng intersection sa Ox axis. Sa katunayan, ang equation na         ay walang mga solusyon.
Walang mga punto ng intersection sa Oy axis, dahil        .

        3) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba. Walang simetrya tungkol sa ordinate axis. Wala ring simetrya tungkol sa pinagmulan. kasi
.
Nakikita namin na         at        .

        4) Ang function ay tuloy-tuloy sa domain ng kahulugan
.

; .

; .
Dahil dito, ang puntong         ay isang punto ng discontinuity ng pangalawang uri (walang katapusan na discontinuity).

5) Mga patayong asymptotes:       

Hanapin natin ang oblique asymptote        . Dito

;
.
Dahil dito, mayroon kaming pahalang na asymptote: y=0. Walang mga pahilig na asymptotes.

        6) Hanapin natin ang unang derivative. Unang derivative:
.
At dahil jan
.
Maghanap tayo ng mga nakatigil na punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, ibig sabihin
.

        7) Hanapin natin ang pangalawang derivative. Pangalawang derivative:
.
At ito ay madaling i-verify, dahil

Ang gawain ay magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at bumuo ng graph nito.

Ang bawat mag-aaral ay dumaan sa magkatulad na gawain.

Ipinagpapalagay ng karagdagang pagtatanghal ang mabuting kaalaman. Inirerekomenda namin na sumangguni ka sa seksyong ito kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Ang function research algorithm ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang.

Paghahanap ng domain ng kahulugan ng isang function.

Ito ay isang napakahalagang hakbang sa pag-aaral ng function, dahil ang lahat ng karagdagang aksyon ay isasagawa sa domain ng kahulugan.

Sa aming halimbawa, kailangan nating hanapin ang mga zero ng denominator at ibukod ang mga ito mula sa rehiyon ng mga tunay na numero.



(Sa iba pang mga halimbawa ay maaaring may mga ugat, logarithms, atbp. Alalahanin natin na sa mga kasong ito ang domain ng kahulugan ay hinahanap tulad ng sumusunod:
para sa isang ugat ng kahit na antas, halimbawa, ang domain ng kahulugan ay matatagpuan mula sa hindi pagkakapantay-pantay;
para sa logarithm - ang domain ng kahulugan ay matatagpuan mula sa hindi pagkakapantay-pantay ).

Pag-aaral ng pag-uugali ng isang function sa hangganan ng domain ng kahulugan, paghahanap ng mga vertical asymptotes.

Sa mga hangganan ng domain ng kahulugan, ang function ay may vertical asymptotes, kung sa mga hangganang ito ay walang katapusan.

Sa aming halimbawa, ang mga hangganan ng domain ng kahulugan ay .

Suriin natin ang pag-uugali ng pag-andar kapag papalapit sa mga puntong ito mula sa kaliwa at kanan, kung saan nakikita natin ang isang panig na mga limitasyon:


Dahil ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, ang mga tuwid na linya ay ang mga patayong asymptotes ng graph.

Pagsusuri ng isang function para sa evenness o oddness.

Ang function ay kahit, Kung . Ang parity ng function ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph tungkol sa ordinate.

Ang function ay kakaiba, Kung . Ang oddness ng function ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph na nauugnay sa pinagmulan.

Kung wala sa mga pagkakapantay-pantay ang nasiyahan, kung gayon mayroon tayong function ng isang pangkalahatang anyo.

Sa aming halimbawa, ang pagkakapantay-pantay ay humahawak, samakatuwid, ang aming function ay pantay. Isasaalang-alang namin ito kapag gumagawa ng graph - ito ay magiging simetriko tungkol sa oy axis.

Paghahanap ng mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga function, extremum point.

Ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ay mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga punto kung saan nawawala ang derivative ay tinatawag nakatigil.

Mga kritikal na punto ng pag-andar tawagan ang mga panloob na punto ng domain ng kahulugan kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero o wala.

COMMENT(kung isasama ang mga kritikal na punto sa pagitan ng pagtaas at pagbaba).

Isasama namin ang mga kritikal na punto sa pagtaas at pagbaba ng mga pagitan kung kabilang ang mga ito sa domain ng function.

kaya, upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function

• una, hinahanap natin ang derivative;
• pangalawa, nakakahanap tayo ng mga kritikal na punto;
• pangatlo, hinahati namin ang domain ng kahulugan sa pamamagitan ng mga kritikal na punto sa mga pagitan;
• pang-apat, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan. Ang plus sign ay tumutugma sa pagitan ng pagtaas, ang minus sign sa pagitan ng pagbaba.

Go!

Natagpuan namin ang derivative sa domain ng kahulugan (kung may mga kahirapan, tingnan ang seksyon).


Nakahanap kami ng mga kritikal na punto para dito:

Inilalagay namin ang mga puntong ito sa axis ng numero at tinutukoy ang tanda ng derivative sa loob ng bawat resultang pagitan. Bilang kahalili, maaari kang kumuha ng anumang punto sa pagitan at kalkulahin ang halaga ng derivative sa puntong iyon. Kung positibo ang value, maglalagay tayo ng plus sign sa gap na ito at magpatuloy sa susunod, kung negatibo ito, maglalagay tayo ng minus sign, atbp. Hal, , samakatuwid, naglalagay kami ng plus sa itaas ng unang pagitan sa kaliwa.


Nagtatapos kami:

Sa eskematiko, minarkahan ng mga plus/minus ang mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo/negatibo. Ang pagtaas/pababang mga arrow ay nagpapakita ng direksyon ng pagtaas/pagbaba.

Extremum na mga punto ng function ay ang mga punto kung saan ang function ay tinukoy at dumadaan kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign.

Sa aming halimbawa, ang extremum point ay x=0. Ang halaga ng function sa puntong ito ay . Dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus kapag dumadaan sa puntong x=0, kung gayon ang (0; 0) ay isang punto ng lokal na maximum. (Kung binago ng derivative ang sign mula minus hanggang plus, magkakaroon tayo ng lokal na minimum point).

Paghahanap ng mga pagitan ng convexity at concavity ng isang function at inflection point.

Ang mga pagitan ng concavity at convexity ng isang function ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit.

Minsan ang concavity ay tinatawag na convex down, at ang convex ay tinatawag na convex up.

Dito, may bisa rin ang mga pangungusap na katulad ng mula sa talata tungkol sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba.

kaya, upang matukoy ang mga pagitan ng concavity at convexity ng isang function:

• una, makikita natin ang pangalawang derivative;
• pangalawa, makikita natin ang mga zero ng numerator at denominator ng pangalawang derivative;
• pangatlo, hinahati namin ang domain ng kahulugan sa mga nakuhang puntos sa mga pagitan;
• pang-apat, tinutukoy namin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat isa sa mga pagitan. Ang plus sign ay tumutugma sa concavity interval, ang minus sign sa convex interval.

Go!

Natagpuan namin ang pangalawang derivative sa domain ng kahulugan.


Sa aming halimbawa, walang mga zero sa numerator, ngunit mga zero sa denominator.

Inilalagay namin ang mga puntong ito sa axis ng numero at tinutukoy ang tanda ng pangalawang derivative sa loob ng bawat resultang pagitan.



Nagtatapos kami:

Tinatawag ang punto inflection point, kung sa isang naibigay na punto ay may padaplis sa graph ng function at ang pangalawang derivative ng function ay nagbabago ng sign kapag dumadaan .

Sa madaling salita, ang mga inflection point ay maaaring mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign sa mga punto mismo ito ay alinman sa zero o wala, ngunit ang mga puntong ito ay kasama sa domain ng kahulugan ng function.

Sa aming halimbawa, walang mga inflection point, dahil ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign kapag dumadaan sa mga punto, at hindi sila kasama sa domain ng kahulugan ng function.

Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes.

Ang mga pahalang o pahilig na asymptotes ay dapat lamang hanapin kapag ang function ay tinukoy sa infinity.

Oblique asymptotes ay hinahanap sa anyo ng mga tuwid na linya, kung saan at .

Kung Ang k=0 at b ay hindi katumbas ng infinity, kung gayon ang pahilig na asymptote ay magiging pahalang.

Sino ang mga asymptotes na ito?

Ito ang mga linya na lumalapit ang graph ng isang function sa infinity. Kaya, sila ay lubos na nakakatulong sa pag-graph ng isang function.

Kung walang pahalang o pahilig na mga asymptotes, ngunit ang function ay tinukoy sa plus infinity at (o) minus infinity, dapat mong kalkulahin ang limitasyon ng function sa plus infinity at (o) minus infinity upang magkaroon ng ideya ng ​ang pag-uugali ng function graph.

Para sa ating halimbawa

- pahalang na asymptote.

Tinatapos nito ang pag-aaral ng function;

Kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar sa mga intermediate na punto.

Para sa mas tumpak na pag-plot, inirerekumenda namin ang paghahanap ng ilang mga halaga ng pag-andar sa mga intermediate na punto (iyon ay, sa anumang mga punto mula sa domain ng kahulugan ng function).

Para sa aming halimbawa, mahahanap namin ang mga halaga ng function sa mga puntos na x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Dahil sa parity ng function, ang mga halagang ito ay magkakasabay sa mga halaga sa mga puntos na x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Pagbuo ng isang graph.

Una, bumuo kami ng mga asymptotes, i-plot ang mga punto ng lokal na maxima at minima ng function, mga inflection point at intermediate na mga punto. Para sa kaginhawaan ng pagbuo ng isang graph, maaari mo ring italaga ang eskematiko ang mga agwat ng pagtaas, pagbaba, convexity at concavity, hindi para sa wala na pinag-aralan namin ang function =).


Ito ay nananatiling gumuhit ng mga linya ng graph sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, papalapit sa mga asymptotes at sumusunod sa mga arrow.


Gamit ang obra maestra ng pinong sining, ang gawain ng ganap na pag-aaral ng function at pagbuo ng isang graph ay nakumpleto.

Maaaring buuin ang mga graph ng ilang elementary function gamit ang mga graph ng basic elementary function.

Paano pag-aralan ang isang function at bumuo ng graph nito?

Tila nagsisimula na akong maunawaan ang espirituwal na pananaw ng pinuno ng pandaigdigang proletaryado, ang may-akda ng mga nakolektang akda sa 55 tomo... Nagsimula ang mahabang paglalakbay sa pangunahing impormasyon tungkol sa mga function at graph, at ngayon ay nagtatrabaho sa isang paksang masinsinang paggawa ay nagtatapos sa isang lohikal na resulta - isang artikulo tungkol sa isang kumpletong pag-aaral ng function. Ang pinakahihintay na gawain ay nabuo tulad ng sumusunod:

Pag-aralan ang isang function gamit ang differential calculus method at buuin ang graph nito batay sa mga resulta ng pag-aaral

O sa madaling salita: suriin ang function at bumuo ng isang graph.

Bakit mag-explore? Sa mga simpleng kaso, hindi magiging mahirap para sa amin na maunawaan ang mga elementary function at gumuhit ng graph na nakuha gamit elementarya na mga pagbabagong geometriko at iba pa. Gayunpaman, ang mga katangian at graphical na representasyon ng mas kumplikadong mga function ay malayo sa halata, kaya naman kailangan ang isang buong pag-aaral.

Ang mga pangunahing hakbang ng solusyon ay ibinubuod sa sangguniang materyal Scheme ng pag-aaral ng function, ito ang iyong gabay sa seksyon. Ang mga dummies ay nangangailangan ng sunud-sunod na paliwanag ng isang paksa, ang ilang mga mambabasa ay hindi alam kung saan magsisimula o kung paano ayusin ang kanilang pananaliksik, at ang mga advanced na mag-aaral ay maaaring interesado lamang sa ilang mga punto. Ngunit kung sino ka man, mahal na bisita, ang iminungkahing buod na may mga payo sa iba't ibang mga aralin ay mabilis na magtuturo at gagabay sa iyo sa direksyon ng interes. Ang mga robot ay lumuha =) Ang manwal ay inilatag bilang isang pdf file at kinuha ang nararapat na lugar nito sa pahina Mga formula at talahanayan ng matematika.

Nakasanayan ko nang hatiin ang pananaliksik ng isang function sa 5-6 na puntos:

6) Mga karagdagang puntos at graph batay sa mga resulta ng pananaliksik.

Tungkol sa pangwakas na aksyon, sa palagay ko ang lahat ay malinaw sa lahat - ito ay magiging lubhang nakakadismaya kung sa ilang segundo ay maitawid ito at ang gawain ay ibabalik para sa rebisyon. ISANG TAMA AT TUMPAK NA PAGguhit ang pangunahing resulta ng solusyon! Ito ay malamang na "pagtakpan" ng mga analytical error, habang ang isang hindi tama at/o pabaya na iskedyul ay magdudulot ng mga problema kahit na may perpektong isinasagawang pag-aaral.

Dapat pansinin na sa iba pang mga mapagkukunan ang bilang ng mga punto ng pananaliksik, ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad at ang estilo ng disenyo ay maaaring magkaiba nang malaki mula sa pamamaraan na iminungkahi ko, ngunit sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na. Ang pinakasimpleng bersyon ng problema ay binubuo lamang ng 2-3 yugto at nakabalangkas ng ganito: "siyasatin ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph" o "imbestigahan ang function gamit ang 1st at 2nd derivatives, bumuo ng graph."

Naturally, kung ang iyong manual ay naglalarawan ng isa pang algorithm nang detalyado o ang iyong guro ay mahigpit na hinihiling na sumunod ka sa kanyang mga lektura, pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng ilang mga pagsasaayos sa solusyon. Walang mas mahirap kaysa sa pagpapalit ng tinidor ng chainsaw ng isang kutsara.

Suriin natin ang function para sa even/odd:

Sinusundan ito ng isang template na tugon:
, na nangangahulugan na ang function na ito ay hindi pantay o kakaiba.

Dahil tuloy-tuloy ang function sa , walang vertical asymptotes.

Wala ring oblique asymptotes.

Tandaan : Ipinaaalala ko sa iyo na ang mas mataas kaayusan ng paglago, kaysa sa , samakatuwid ang huling limitasyon ay eksaktong " plus kawalang-hanggan."

Alamin natin kung paano kumikilos ang function sa infinity:

Sa madaling salita, kung pupunta tayo sa kanan, pagkatapos ay ang graph ay mapupunta nang walang katapusan na pataas, kung pupunta tayo sa kaliwa, ito ay pupunta nang walang hanggan pababa. Oo, mayroon ding dalawang limitasyon sa ilalim ng iisang entry. Kung nahihirapan kang tukuyin ang mga palatandaan, mangyaring bisitahin ang aralin tungkol sa infinitesimal function.

Kaya ang function hindi limitado mula sa itaas At hindi limitado mula sa ibaba. Isinasaalang-alang na wala kaming mga breakpoint, ito ay nagiging malinaw saklaw ng pag-andar: – kahit anong totoong numero.

MAHALAGANG TEKNIKAL NA TEKNIK

Ang bawat yugto ng gawain ay nagdadala ng bagong impormasyon tungkol sa graph ng function, samakatuwid, sa panahon ng solusyon ay maginhawang gumamit ng isang uri ng LAYOUT. Gumuhit tayo ng Cartesian coordinate system sa isang draft. Ano ang siguradong alam na? Una, ang graph ay walang asymptotes, samakatuwid, hindi na kailangang gumuhit ng mga tuwid na linya. Pangalawa, alam natin kung paano kumikilos ang function sa infinity. Ayon sa pagsusuri, gumuhit kami ng unang pagtatantya:

Mangyaring tandaan na dahil sa pagpapatuloy function at ang katotohanan na ang graph ay dapat tumawid sa axis kahit isang beses. O baka may ilang punto ng intersection?

3) Mga zero ng function at pagitan ng pare-parehong pag-sign.

Una, hanapin natin ang punto ng intersection ng graph na may ordinate axis. Simple lang. Kinakailangang kalkulahin ang halaga ng function sa:

Isa at kalahati sa ibabaw ng dagat.

Upang mahanap ang mga punto ng intersection sa axis (mga zero ng function), kailangan nating lutasin ang equation, at dito naghihintay sa amin isang hindi kasiya-siyang sorpresa:

Mayroong isang libreng miyembro na nakatago sa dulo, na ginagawang mas mahirap ang gawain.

Ang nasabing equation ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat, at kadalasan ang ugat na ito ay hindi makatwiran. Sa pinakamasamang fairy tale, naghihintay sa amin ang tatlong maliliit na baboy. Ang equation ay nalulusaw gamit ang tinatawag na Mga formula ng Cardano, ngunit ang pinsala sa papel ay maihahambing sa halos buong pag-aaral. Sa pagsasaalang-alang na ito, mas matalinong subukang pumili ng hindi bababa sa isa, alinman sa pasalita o sa isang draft. buo ugat. Tingnan natin kung ang mga numerong ito ay:
- hindi angkop;
- Meron!

Maswerte dito. Sa kaso ng pagkabigo, maaari mo ring subukan , at kung ang mga numerong ito ay hindi magkasya, pagkatapos ay natatakot ako na mayroong napakaliit na pagkakataon ng isang kumikitang solusyon sa equation. Kung gayon, mas mainam na laktawan nang buo ang punto ng pananaliksik - marahil ay may isang bagay na magiging mas malinaw sa huling hakbang, kapag ang mga karagdagang puntos ay malalampasan. At kung ang (mga) ugat ay malinaw na "masama", pagkatapos ay mas mahusay na manatiling katamtaman na tahimik tungkol sa mga agwat ng patuloy na mga palatandaan at upang gumuhit ng mas maingat.

Gayunpaman, mayroon kaming magandang ugat, kaya hinahati namin ang polynomial para sa walang natitira:

Ang algorithm para sa paghahati ng isang polynomial sa isang polynomial ay tinalakay nang detalyado sa unang halimbawa ng aralin Kumplikadong Limitasyon.

Bilang resulta, ang kaliwang bahagi ng orihinal na equation nabubulok sa produkto:

At ngayon ng kaunti tungkol sa malusog na paraan buhay. Naiintindihan ko naman siyempre quadratic equation kailangang lutasin araw-araw, ngunit ngayon ay gagawa tayo ng eksepsiyon: ang equation may dalawang tunay na ugat.

I-plot natin ang mga nahanap na halaga sa linya ng numero At paraan ng pagitan Tukuyin natin ang mga palatandaan ng pag-andar:


og Kaya, sa mga pagitan ang iskedyul ay matatagpuan
sa ibaba ng x-axis, at sa mga pagitan – sa itaas ng axis na ito.

Ang mga natuklasan ay nagpapahintulot sa amin na pinuhin ang aming layout, at ang pangalawang pagtataya ng graph ay ganito ang hitsura:

Pakitandaan na ang isang function ay dapat magkaroon ng hindi bababa sa isang maximum sa isang interval, at hindi bababa sa isang minimum sa isang interval. Ngunit hindi pa namin alam kung ilang beses, saan at kailan mag-loop ang iskedyul. Sa pamamagitan ng paraan, ang isang function ay maaaring magkaroon ng walang katapusan na marami sukdulan.

4) Pagtaas, pagbaba at labis na paggana.

Maghanap tayo ng mga kritikal na punto:

Ang equation na ito ay may dalawang tunay na ugat. Ilagay natin ang mga ito sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative:


Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas ng at bumababa ng .
Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito: .
Sa puntong ang function ay umabot sa isang minimum: .

Ang itinatag na mga katotohanan ay nagpipilit sa aming template sa isang medyo matibay na balangkas:

Hindi na kailangang sabihin, ang differential calculus ay isang makapangyarihang bagay. Sa wakas ay unawain natin ang hugis ng graph:

5) Convexity, concavity at inflection point.

Hanapin natin ang mga kritikal na punto ng pangalawang derivative:

Tukuyin natin ang mga palatandaan:


Ang graph ng function ay convex on at concave on . Kalkulahin natin ang ordinate ng inflection point: .

Halos lahat ay naging malinaw.

6) Ito ay nananatiling makahanap ng mga karagdagang puntos na makakatulong sa iyong mas tumpak na bumuo ng isang graph at magsagawa ng self-test. Sa kasong ito, kakaunti sila, ngunit hindi namin sila pababayaan:

Gawin natin ang pagguhit:

Berde Ang punto ng inflection ay minarkahan, at ang mga karagdagang puntos ay minarkahan ng mga krus. Ang graph ng isang cubic function ay simetriko tungkol sa inflection point nito, na palaging matatagpuan nang mahigpit sa gitna sa pagitan ng maximum at minimum.

Habang umuusad ang takdang-aralin, nagbigay ako ng tatlong hypothetical na pansamantalang mga guhit. Sa pagsasagawa, ito ay sapat na upang gumuhit ng isang sistema ng coordinate, markahan ang mga puntos na natagpuan, at pagkatapos ng bawat punto ng pananaliksik ay tinantya ng isip kung ano ang maaaring hitsura ng graph ng function. Hindi magiging mahirap para sa mga mag-aaral na may isang mahusay na antas ng paghahanda na isakatuparan ang naturang pagsusuri sa kanilang mga ulo lamang nang hindi nagsasangkot ng isang draft.

Upang malutas ito sa iyong sarili:

Halimbawa 2

Galugarin ang function at bumuo ng isang graph.

Ang lahat ay mas mabilis at mas masaya dito, isang tinatayang halimbawa ng huling disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Ang pag-aaral ng fractional rational function ay nagpapakita ng maraming mga lihim:

Halimbawa 3

Gumamit ng mga pamamaraan ng differential calculus upang pag-aralan ang isang function at, batay sa mga resulta ng pag-aaral, bumuo ng graph nito.

Solusyon: ang unang yugto ng pag-aaral ay hindi nakikilala sa pamamagitan ng anumang bagay na kapansin-pansin, maliban sa isang butas sa lugar ng kahulugan:

1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero maliban sa punto, domain: .

, na nangangahulugan na ang function na ito ay hindi pantay o kakaiba.

Ito ay malinaw na ang pag-andar ay hindi pana-panahon.

Ang graph ng function ay kumakatawan sa dalawang tuloy-tuloy na sangay na matatagpuan sa kaliwa at kanang kalahating eroplano - ito marahil ang pinakamahalagang konklusyon ng punto 1.

2) Asymptotes, ang pag-uugali ng isang function sa infinity.

a) Gamit ang mga one-sided na limitasyon, sinusuri namin ang pag-uugali ng function na malapit sa isang kahina-hinalang punto, kung saan dapat na malinaw na mayroong vertical asymptote:

Sa katunayan, ang mga pag-andar ay tumatagal walang katapusang agwat sa punto
at ang tuwid na linya (axis) ay patayong asymptote sining ng grapiko.

b) Suriin natin kung umiiral ang oblique asymptotes:

Oo, ito ay tuwid pahilig na asymptote graphics , kung .

Walang saysay na pag-aralan ang mga limitasyon, dahil malinaw na ang pag-andar ay sumasaklaw sa pahilig na asymptote nito hindi limitado mula sa itaas At hindi limitado mula sa ibaba.

Ang pangalawang punto ng pananaliksik ay nagbunga ng maraming mahalagang impormasyon tungkol sa function. Gumawa tayo ng isang magaspang na sketch:

Ang Konklusyon No. 1 ay may kinalaman sa mga pagitan ng pare-parehong pag-sign. Sa "minus infinity" ang graph ng function ay malinaw na matatagpuan sa ibaba ng x-axis, at sa "plus infinity" ito ay nasa itaas ng axis na ito. Bilang karagdagan, sinabi sa amin ng mga one-sided na limitasyon na pareho sa kaliwa at sa kanan ng punto ang function ay mas malaki rin sa zero. Pakitandaan na sa kaliwang kalahating eroplano ang graph ay dapat tumawid sa x-axis kahit isang beses. Maaaring walang anumang mga zero ng function sa kanang kalahating eroplano.

Konklusyon Blg. 2 ay ang pagpapaandar ay tumataas sa at sa kaliwa ng punto (pumupunta "mula sa ibaba hanggang sa itaas"). Sa kanan ng puntong ito, bumababa ang function (pumupunta "mula sa itaas hanggang sa ibaba"). Ang tamang sangay ng graph ay dapat na may hindi bababa sa isang minimum. Sa kaliwa, hindi garantisado ang mga sukdulan.

Ang Konklusyon Blg. 3 ay nagbibigay ng maaasahang impormasyon tungkol sa kabulukan ng graph sa paligid ng punto. Wala pa kaming masasabi tungkol sa convexity/concavity sa infinities, dahil ang isang linya ay maaaring pinindot patungo sa asymptote nito mula sa itaas at mula sa ibaba. Sa pangkalahatan, mayroong isang analytical na paraan upang malaman ito sa ngayon, ngunit ang hugis ng graph ay magiging mas malinaw sa susunod na yugto.

Bakit ang daming salita? Upang kontrolin ang kasunod na mga punto ng pananaliksik at maiwasan ang mga pagkakamali! Ang mga karagdagang kalkulasyon ay hindi dapat sumalungat sa mga konklusyon na ginawa.

3) Mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes, mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function.

Ang graph ng function ay hindi bumalandra sa axis.

Gamit ang paraan ng agwat, tinutukoy namin ang mga palatandaan:

, Kung ;
, Kung .

Ang mga resulta ng puntong ito ay ganap na naaayon sa Konklusyon Blg. 1. Pagkatapos ng bawat yugto, tingnan ang draft, suriin sa isip ang pananaliksik at kumpletuhin ang graph ng function.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, ang numerator ay hinati ng termino sa pamamagitan ng termino ng denominator, na lubhang kapaki-pakinabang para sa pagkita ng kaibhan:

Sa totoo lang, nagawa na ito kapag naghahanap ng mga asymptotes.

- kritikal na punto.

Tukuyin natin ang mga palatandaan:

tumataas ng at bumababa ng

Sa puntong ang function ay umabot sa isang minimum: .

Wala ring mga pagkakaiba sa Konklusyon Blg. 2, at, malamang, nasa tamang landas tayo.

Nangangahulugan ito na ang graph ng function ay malukong sa buong domain ng kahulugan.

Mahusay - at hindi mo kailangang gumuhit ng anuman.

Walang mga inflection point.

Ang concavity ay pare-pareho sa Konklusyon Blg. 3, bukod dito, ito ay nagpapahiwatig na sa infinity (kapwa doon at doon) ang graph ng function ay matatagpuan mas mataas pahilig na asymptote nito.

6) Maingat naming i-pin ang gawain na may mga karagdagang puntos. Dito tayo magsisikap, dahil dalawang puntos lang ang alam natin mula sa pananaliksik.

At isang larawan na malamang na naisip ng maraming tao matagal na ang nakalipas:

Sa panahon ng pagpapatupad ng gawain, kailangan mong maingat na matiyak na walang mga kontradiksyon sa pagitan ng mga yugto ng pananaliksik, ngunit kung minsan ang sitwasyon ay apurahan o kahit na desperadong dead-end. Ang analytics ay "hindi nagdaragdag" - iyon lang. Sa kasong ito, inirerekumenda ko ang isang diskarteng pang-emergency: nakakita kami ng maraming puntos hangga't maaari na kabilang sa graph (kasing dami ng pasensya na mayroon kami), at markahan ang mga ito sa coordinate plane. Ang isang graphical na pagsusuri ng mga halaga na natagpuan sa karamihan ng mga kaso ay magsasabi sa iyo kung saan ang katotohanan at kung saan ito ay mali. Bilang karagdagan, ang graph ay maaaring pre-built gamit ang ilang programa, halimbawa, sa Excel (siyempre, nangangailangan ito ng mga kasanayan).

Halimbawa 4

Gumamit ng mga pamamaraan ng differential calculus upang pag-aralan ang isang function at bumuo ng graph nito.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Sa loob nito, ang pagpipigil sa sarili ay pinahusay ng parity ng function - ang graph ay simetriko tungkol sa axis, at kung mayroong isang bagay sa iyong pananaliksik na sumasalungat sa katotohanang ito, maghanap ng isang error.

Kahit o kakaibang function maaaring siyasatin lamang sa , at pagkatapos ay gamitin ang simetrya ng graph. Ang solusyon na ito ay pinakamainam, ngunit, sa palagay ko, mukhang hindi karaniwan. Sa personal, tinitingnan ko ang buong linya ng numero, ngunit nakakahanap pa rin ako ng mga karagdagang puntos sa kanan lamang:

Halimbawa 5

Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at bumuo ng graph nito.

Solusyon: naging mahirap ang mga bagay:

1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero: .

Nangangahulugan ito na ang function na ito ay kakaiba, ang graph nito ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Ito ay malinaw na ang pag-andar ay hindi pana-panahon.

2) Asymptotes, ang pag-uugali ng isang function sa infinity.

Dahil tuloy-tuloy ang function sa , walang vertical asymptotes

Para sa isang function na naglalaman ng isang exponent, ito ay tipikal magkahiwalay pag-aaral ng "plus" at "minus ng infinity", gayunpaman, ang ating buhay ay ginagawang mas madali sa pamamagitan ng simetrya ng graph - maaaring mayroong isang asymptote sa kaliwa at kanan, o wala. Samakatuwid, ang parehong walang katapusang limitasyon ay maaaring isulat sa ilalim ng isang entry. Sa panahon ng solusyon na ginagamit namin Ang panuntunan ng L'Hopital:

Ang tuwid na linya (axis) ay ang pahalang na asymptote ng graph sa .

Pakitandaan kung paano ko tusong iniiwasan ang buong algorithm para sa paghahanap ng oblique asymptote: ang limitasyon ay ganap na legal at nililinaw ang pag-uugali ng function sa infinity, at ang pahalang na asymptote ay natuklasan "na parang kasabay."

Mula sa pagpapatuloy at pagkakaroon ng isang pahalang na asymptote ay sumusunod na ang function may hangganan sa itaas At may hangganan sa ibaba.

3) Mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes, mga pagitan ng pare-parehong pag-sign.

Dito rin natin paikliin ang solusyon:
Ang graph ay dumadaan sa pinagmulan.

Walang ibang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes. Bukod dito, ang mga pagitan ng constancy ng sign ay halata, at ang axis ay hindi kailangang iguhit: , na nangangahulugan na ang sign ng function ay nakasalalay lamang sa "x":
, Kung ;
, Kung .

4) Tumataas, bumababa, extrema ng function.


- mga kritikal na puntos.

Ang mga punto ay simetriko tungkol sa zero, gaya ng nararapat.

Alamin natin ang mga palatandaan ng derivative:


Ang function ay tumataas sa isang pagitan at bumababa sa mga pagitan

Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito: .

Dahil sa ari-arian (ang kakaiba ng function) ang minimum ay hindi kailangang kalkulahin:

Dahil ang function ay bumababa sa pagitan, kung gayon, malinaw naman, ang graph ay matatagpuan sa "minus infinity" sa ilalim asymptote nito. Sa paglipas ng agwat, ang pag-andar ay bumababa din, ngunit dito ang kabaligtaran ay totoo - pagkatapos na dumaan sa pinakamataas na punto, ang linya ay lumalapit sa axis mula sa itaas.

Mula sa itaas ay sumusunod din na ang graph ng function ay matambok sa "minus infinity" at malukong sa "plus infinity".

Pagkatapos ng puntong ito ng pag-aaral, ang hanay ng mga halaga ng function ay iginuhit:

Kung mayroon kang anumang hindi pagkakaunawaan sa anumang mga punto, muli kitang hinihimok na gumuhit ng mga coordinate axes sa iyong kuwaderno at, gamit ang isang lapis sa iyong mga kamay, muling suriin ang bawat pagtatapos ng gawain.

5) Convexity, concavity, kinks ng graph.

- mga kritikal na puntos.

Ang simetrya ng mga punto ay napanatili, at, malamang, hindi kami nagkakamali.

Tukuyin natin ang mga palatandaan:


Naka-on ang graph ng function at malukong sa .

Ang convexity/concavity sa matinding pagitan ay nakumpirma.

Sa lahat ng kritikal na punto ay may mga kink sa graph. Hanapin natin ang mga ordinate ng mga inflection point, at muli bawasan ang bilang ng mga kalkulasyon gamit ang kakaiba ng function: