Ecuaciones trigonométricas de la primera. Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. Propiedades y gráfica de la función y = sen x

Ejemplos:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas:

Cualquier ecuación trigonométrica debe reducirse a uno de los siguientes tipos:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

donde \(t\) es una expresión con una x, \(a\) es un número. Semejante ecuaciones trigonométricas son llamados lo más simple. Se pueden resolver fácilmente usando () o fórmulas especiales:

Vea infografías sobre cómo resolver ecuaciones trigonométricas simples aquí: y.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Solución:

Respuesta: \(\left[ \begin(reunidos)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(reunidos)\right.\) \(k,n∈Z\)

Qué significa cada símbolo en la fórmula de las raíces de ecuaciones trigonométricas, ver.

¡Atención! Las ecuaciones \(\sin⁡x=a\) y \(\cos⁡x=a\) no tienen soluciones si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Porque el seno y el coseno de cualquier x son mayores o iguales que \(-1\) y menores que o iguales a \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(\cos⁡x=-1,1\).
Solución: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Respuesta : sin soluciones.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica tg\(⁡x=1\).
Solución:

Resolvamos la ecuación usando el círculo numérico. Para esto: 1) Construye un círculo) 2) Construya los ejes \(x\) y \(y\) y el eje tangente (pasa por el punto \((0;1)\) paralelo al eje \(y\)). 3) En el eje tangente, marque el punto \(1\). 4) Conecte este punto y el origen de coordenadas: una línea recta. 5) Marque los puntos de intersección de esta línea y el círculo numérico. 6) Firmemos los valores de estos puntos: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Anotemos todos los valores de estos puntos. Dado que están ubicados a una distancia exacta de \(π\) entre sí, todos los valores se pueden escribir en una fórmula:

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solución:

Usemos el círculo numérico nuevamente. 1) Construye un círculo, con ejes \(x\) y \(y\). 2) En el eje coseno (eje \(x\)), marque \(0\). 3) Traza una perpendicular al eje coseno que pasa por este punto. 4) Marcar los puntos de intersección de la perpendicular y el círculo. 5) Firmemos los valores de estos puntos: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Anotamos el valor total de estos puntos y los equiparamos al coseno (a lo que hay dentro del coseno). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Como es habitual, expresaremos \(x\) en ecuaciones. No olvides tratar los números con \(π\), así como \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Estos son los mismos números que todos los demás. ¡Sin discriminación numérica! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reducir las ecuaciones trigonométricas a lo más simple es una tarea creativa; aquí es necesario utilizar métodos especiales para resolver ecuaciones:
- Método (el más popular en el Examen Estatal Unificado).
- Método.
- Método de argumentos auxiliares.

Consideremos un ejemplo de resolución de la ecuación trigonométrica cuadrática.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Solución:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Hagamos el reemplazo \(t=\cos⁡x\).
	Nuestra ecuación se ha vuelto típica. Puedes resolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Hacemos un reemplazo inverso.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Resolvemos la primera ecuación usando el círculo numérico. La segunda ecuación no tiene soluciones porque \(\cos⁡x∈[-1;1]\) y no puede ser igual a dos para cualquier x.
	Anotemos todos los números que se encuentran en estos puntos.

Respuesta: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un ejemplo de resolución de una ecuación trigonométrica con el estudio de ODZ:

Ejemplo (USO) . Resuelve la ecuación trigonométrica \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Hay una fracción y hay una cotangente, eso significa que debemos escribirla. Permítanme recordarles que una cotangente es en realidad una fracción: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Por lo tanto, la ODZ para ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\pecado⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Marquemos las “no soluciones” en el círculo numérico.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminemos el denominador de la ecuación multiplicándolo por ctg\(x\). Podemos hacer esto, ya que escribimos arriba que ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Apliquemos la fórmula del doble ángulo para el seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Si tus manos se extienden para dividir por el coseno, ¡retíralas! Puedes dividir por una expresión con una variable si definitivamente no es igual a cero (por ejemplo, estos: \(x^2+1.5^x\)). En lugar de ello, saquemos \(\cos⁡x\) de los corchetes.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividamos" la ecuación en dos.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Resolvamos la primera ecuación usando el círculo numérico. Dividamos la segunda ecuación por \(2\) y muevamos \(\sin⁡x\) al lado derecho.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sen⁡x\)	Las raíces resultantes no están incluidas en la ODZ. Por lo tanto, no los escribiremos en respuesta. La segunda ecuación es típica. Dividámoslo entre \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) no puede ser una solución a la ecuación porque en este caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usamos un círculo nuevamente.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ODZ no excluye estas raíces, por lo que puede escribirlas en la respuesta.

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Lección y presentación sobre el tema: "Resolución de ecuaciones trigonométricas simples"

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Qué estudiaremos:
1. ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

3. Dos métodos principales para resolver ecuaciones trigonométricas.
4. Ecuaciones trigonométricas homogéneas.
5. Ejemplos.

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Chicos, ya hemos estudiado arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. Ahora veamos las ecuaciones trigonométricas en general.

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que una variable está contenida bajo el signo de una función trigonométrica.

Repitamos la forma de resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

1)Si |a|≤ 1, entonces la ecuación cos(x) = a tiene solución:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Si |a|≤ 1, entonces la ecuación sin(x) = a tiene solución:

3) Si |a| > 1, entonces la ecuación sin(x) = a y cos(x) = a no tienen soluciones 4) La ecuación tg(x)=a tiene solución: x=arctg(a)+ πk

5) La ecuación ctg(x)=a tiene solución: x=arcctg(a)+ πk

Para todas las fórmulas k es un número entero

Las ecuaciones trigonométricas más simples tienen la forma: T(kx+m)=a, T es alguna función trigonométrica.

Ejemplo.

Resuelve las ecuaciones: a) sin(3x)= √3/2

Solución:

A) Denotemos 3x=t, luego reescribiremos nuestra ecuación en la forma:

La solución a esta ecuación será: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

De la tabla de valores obtenemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Volvamos a nuestra variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Entonces x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Respuesta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, donde n es un número entero. (-1)^n – menos uno elevado a n.

Más ejemplos de ecuaciones trigonométricas.

Resuelve las ecuaciones: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solución:

A) Esta vez pasemos directamente al cálculo de las raíces de la ecuación:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Entonces x/5= πk => x=5πk

Respuesta: x=5πk, donde k es un número entero.

B) Lo escribimos de la forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Respuesta: x=2π/9 + πk/3, donde k es un número entero.

Resuelve las ecuaciones: cos(4x)= √2/2. Y encuentra todas las raíces en el segmento.

Solución:

Resolvamos nuestra ecuación en forma general: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ahora veamos qué raíces caen en nuestro segmento. En k En k=0, x= π/16, estamos en el segmento dado.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, acertamos de nuevo.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, pero aquí no acertamos, lo que significa que para k grande obviamente tampoco acertaremos.

Respuesta: x= π/16, x= 9π/16

Dos métodos de solución principales.

Analizamos las ecuaciones trigonométricas más simples, pero también las hay más complejas. Para resolverlos se utiliza el método de introducción de una nueva variable y el método de factorización. Veamos ejemplos.

Resolvamos la ecuación:

Solución:
Para resolver nuestra ecuación, usaremos el método de introducir una nueva variable, que denota: t=tg(x).

Como resultado del reemplazo obtenemos: t 2 + 2t -1 = 0

Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-1 y t=1/3

Entonces tg(x)=-1 y tg(x)=1/3, obtenemos la ecuación trigonométrica más simple, encontremos sus raíces.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Respuesta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un ejemplo de resolución de una ecuación.

Resolver ecuaciones: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solución:

Usemos la identidad: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nuestra ecuación tomará la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 porque 2 (x) - 3 porque(x) -2 = 0

Introduzcamos el reemplazo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La solución a nuestra ecuación cuadrática son las raíces: t=2 y t=-1/2

Entonces cos(x)=2 y cos(x)=-1/2.

Porque el coseno no puede tomar valores mayores que uno, entonces cos(x)=2 no tiene raíces.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Respuesta: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Definición: Las ecuaciones de la forma a sin(x)+b cos(x) se denominan ecuaciones trigonométricas homogéneas de primer grado.

Ecuaciones de la forma

ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado.

Para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado, divídela por cos(x): No se puede dividir por el coseno si es igual a cero, asegurémonos de que no sea así:
Sea cos(x)=0, entonces asin(x)+0=0 => sin(x)=0, pero el seno y el coseno no son iguales a cero al mismo tiempo, obtenemos una contradicción, por lo que podemos dividir con seguridad por cero.

Resuelve la ecuación:
Ejemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solución:

Saquemos el factor común: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Entonces necesitamos resolver dos ecuaciones:

Cos(x)=0 y cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 en x= π/2 + πk;

Considere la ecuación cos(x)+sin(x)=0 Divida nuestra ecuación por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Respuesta: x= π/2 + πk y x= -π/4+πk

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado?
¡Chicos, sigan siempre estas reglas!

1. Vea a qué es igual el coeficiente a, si a=0 entonces nuestra ecuación tomará la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), cuyo ejemplo de solución se encuentra en la diapositiva anterior.

2. Si a≠0, entonces necesitas dividir ambos lados de la ecuación por el coseno al cuadrado, obtenemos:

Cambiamos la variable t=tg(x) y obtenemos la ecuación:

Resolver ejemplo No.:3

Resuelve la ecuación:
Solución:

Dividamos ambos lados de la ecuación por el coseno cuadrado:

Cambiamos la variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-3 y t=1

Entonces: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Respuesta: x=-arctg(3) + πk y x= π/4+ πk

Resolver ejemplo No.:4

Resuelve la ecuación:

Solución:
Transformemos nuestra expresión:

Podemos resolver tales ecuaciones: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk

Respuesta: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk

Resolver ejemplo nº:5

Resuelve la ecuación:

Solución:
Transformemos nuestra expresión:

Introduzcamos el reemplazo tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La solución de nuestra ecuación cuadrática serán las raíces: t=-2 y t=1/2

Entonces obtenemos: tg(2x)=-2 y tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Respuesta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 y x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemas para solución independiente.

1) Resuelve la ecuación

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Resuelve las ecuaciones: sin(3x)= √3/2. Y encuentre todas las raíces en el segmento [π/2; π].

3) Resuelve la ecuación: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Resuelve la ecuación: 3 sen 2 (x) + √3sen (x) cos(x) = 0

5) Resuelve la ecuación: 3sen 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Resuelve la ecuación: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)

Concepto de resolución de ecuaciones trigonométricas.

• Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. En última instancia, resolver una ecuación trigonométrica se reduce a resolver las cuatro ecuaciones trigonométricas básicas.

Resolver ecuaciones trigonométricas básicas.

• Hay 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:
• pecado x = a; porque x = a
• tanx = a; ctg x = a
• Resolver ecuaciones trigonométricas básicas implica observar diferentes posiciones de x en el círculo unitario, así como usar una tabla de conversión (o calculadora).
• Ejemplo 1. sen x = 0,866. Usando una tabla de conversión (o calculadora) obtendrás la respuesta: x = π/3. El círculo unitario da otra respuesta: 2π/3. Recuerde: todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten. Por ejemplo, la periodicidad de sen x y cos x es 2πn, y la periodicidad de tg x y ctg x es πn. Por lo tanto la respuesta se escribe de la siguiente manera:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Ejemplo 2. cos x = -1/2. Usando una tabla de conversión (o calculadora) obtendrás la respuesta: x = 2π/3. El círculo unitario da otra respuesta: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Ejemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
• Respuesta: x = π/4 + πn.
• Ejemplo 4. ctg 2x = 1,732.
• Respuesta: x = π/12 + πn.

Transformaciones utilizadas en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

• Para transformar ecuaciones trigonométricas, use transformaciones algebraicas(factorización, reducción miembros homogéneos etc.) e identidades trigonométricas.
• Ejemplo 5: Usando identidades trigonométricas, la ecuación sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se convierte en la ecuación 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Por lo tanto, las siguientes ecuaciones trigonométricas básicas necesita ser resuelto: cos x = 0; pecado(3x/2) = 0; porque(x/2) = 0.

• Encontrar ángulos por valores conocidos funciones.

  • Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debes aprender a encontrar ángulos utilizando valores de funciones conocidas. Esto se puede hacer usando una tabla de conversión o una calculadora.
  • Ejemplo: cos x = 0,732. La calculadora dará la respuesta x = 42,95 grados. El círculo unitario dará ángulos adicionales, cuyo coseno también es 0,732.

• Reserva la solución en el círculo unitario.

  • Puedes trazar soluciones a una ecuación trigonométrica en el círculo unitario. Las soluciones de una ecuación trigonométrica en el círculo unitario son los vértices de un polígono regular.
  • Ejemplo: Las soluciones x = π/3 + πn/2 en el círculo unitario representan los vértices del cuadrado.
  • Ejemplo: Las soluciones x = π/4 + πn/3 en el círculo unitario representan los vértices de un hexágono regular.

• Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

  • Si una ecuación trigonométrica determinada contiene solo una función trigonométrica, resuelva esa ecuación como una ecuación trigonométrica básica. Si una ecuación dada incluye dos o más funciones trigonométricas, entonces existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (dependiendo de la posibilidad de su transformación).
    • Método 1.
  • Transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, donde f(x), g(x), h(x) son las ecuaciones trigonométricas básicas.
  • Ejemplo 6. 2cos x + sen 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Solución. Usando la fórmula del doble ángulo sin 2x = 2*sin x*cos x, reemplaza sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sen x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sen x + 1) = 0.
  • Ejemplo 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
  • Ejemplo 8. sen x - sen 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sin x + 1) = 0 .
    • Método 2.
  • Convierta la ecuación trigonométrica dada en una ecuación que contenga solo una función trigonométrica. Luego reemplace esta función trigonométrica con alguna desconocida, por ejemplo, t (sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Ejemplo 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Solución. En esta ecuación, reemplace (cos^2 x) con (1 - sin^2 x) (según la identidad). La ecuación transformada es:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Reemplaza sen x con t. Ahora la ecuación se ve así: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación cuadrática que tiene dos raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. La segunda raíz t2 no satisface el rango de función (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Ejemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Solución. Reemplace tg x con t. Reescribe la ecuación original de la siguiente manera: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ahora encuentra t y luego encuentra x para t = tan x.

• Ecuaciones trigonométricas especiales.

  • Hay varias ecuaciones trigonométricas especiales que requieren transformaciones específicas. Ejemplos:
  • a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Periodicidad de funciones trigonométricas.

  • Como se mencionó anteriormente, todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten después de un cierto período. Ejemplos:
    • El período de la función f(x) = sen x es 2π.
    • El período de la función f(x) = tan x es igual a π.
    • El período de la función f(x) = sen 2x es igual a π.
    • El período de la función f(x) = cos (x/2) es 4π.
  • Si se especifica un período en el problema, calcule el valor de "x" dentro de ese período.
  • Nota: Resolver ecuaciones trigonométricas no es una tarea fácil y, a menudo, genera errores. Por lo tanto, revisa tus respuestas cuidadosamente. Para hacer esto, puedes usar una calculadora gráfica para representar gráficamente la ecuación dada R(x) = 0. En tales casos, las soluciones se presentarán como decimales(es decir, π se reemplaza por 3.14).

Clase: 10

"Las ecuaciones durarán para siempre".

A. Einstein

Objetivos de la lección:

• Educativo:
  • profundizar la comprensión de los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas;
  • Desarrollar las habilidades para distinguir y seleccionar correctamente métodos de resolución de ecuaciones trigonométricas.
• Educativo:
  • fomentar el interés cognitivo en el proceso educativo;
  • desarrollar la capacidad de analizar una tarea determinada;
  • Contribuir a mejorar el clima psicológico en el aula.
• De desarrollo:
  • promover el desarrollo de la habilidad de adquirir conocimientos de forma independiente;
  • promover la capacidad de los estudiantes para argumentar su punto de vista;

Equipo: cartel con fórmulas trigonométricas básicas, computadora, proyector, pantalla.

1 lección

I. Actualización de conocimientos de referencia

Resuelve las ecuaciones oralmente:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) pecado2x = 0;
5) senx = –;
6) senx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sen 2 x = 0

1)x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = +k;
8) x = + k; a Z.

II. Aprendiendo nuevo material

– Hoy veremos ecuaciones trigonométricas más complejas. Veamos 10 formas de resolverlos. A continuación habrá dos lecciones para la consolidación y para la siguiente lección habrá una prueba. En el stand "Para la lección" hay tareas publicadas que son similares a las que estarán en el examen, debes resolverlas antes del examen; (El día antes de la prueba, publicar en el stand las soluciones a estas tareas).

Entonces, pasemos a considerar formas de resolver ecuaciones trigonométricas. Algunos de estos métodos probablemente te parecerán difíciles, mientras que otros te parecerán fáciles, porque... Ya conoces algunas técnicas para resolver ecuaciones.

Cuatro estudiantes de la clase recibieron una tarea individual: comprender y mostrarte 4 formas de resolver ecuaciones trigonométricas.

(Los estudiantes que hablan han preparado diapositivas con anticipación. El resto de la clase escribe los pasos principales para resolver ecuaciones en un cuaderno).

1 estudiante: 1 vía. Resolver ecuaciones factorizando

pecado 4x = 3 porque 2x

Para resolver la ecuación, usamos la fórmula del seno del ángulo doble sin 2 = 2 sin cos
2 sen 2x porque 2x – 3 porque 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. El producto de estos factores es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero.

2x = + k, k Z o sen 2x = 1,5 – no hay soluciones, porque | pecado| 1
x = +k; a Z.
Respuesta: x = + k, k Z.

2 estudiante. Método 2. Resolver ecuaciones convirtiendo la suma o diferencia de funciones trigonométricas en un producto

cos 3x + sen 2x – sen 4x = 0.

Para resolver la ecuación usamos la fórmula sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sen cos = 0,

cos 3x – 2 sen x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. La ecuación resultante es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones:

El conjunto de soluciones de la segunda ecuación está completamente incluido en el conjunto de soluciones de la primera ecuación. Medio

Respuesta:

3 estudiante. 3 vías. Resolver ecuaciones convirtiendo el producto de funciones trigonométricas en una suma.

sen 5x cos 3x = sen 6x cos2x.

Para resolver la ecuación usamos la fórmula

Respuesta:

4 estudiante. 4 maneras. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas.

3 pecado x – 2 porque 2 x = 0,
3 pecado x – 2 (1 – pecado 2 x) = 0,
2 pecado 2 x + 3 pecado x – 2 = 0,

Sea sen x = t, donde | t|. Obtenemos la ecuación cuadrática 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

De este modo . no cumple la condición | t|.

Entonces sen x = . Es por eso .

Respuesta:

III. Consolidación de lo aprendido en el libro de texto de A. N. Kolmogorov

1. N° 164 (a), 167 (a) (ecuación cuadrática)
2. N° 168 (a) (factorización)
3. No. 174 (a) (conversión de una suma en un producto)
4. (convertir producto en suma)

(Al final de la lección, muestre la solución de estas ecuaciones en la pantalla para su verificación)

№ 164 (A)

2 pecado 2 x + pecado x – 1 = 0.
Sea sen x = t, | t | 1. Entonces
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Dónde

Respuesta: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Sea tg x = 1, entonces obtenemos la ecuación 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Respuesta:

№ 168 (A)

Respuesta:

№ 174 (A)

Resuelve la ecuación:

Respuesta:

Lección 2 (lección-conferencia)

IV. Aprendiendo nuevo material(continuación)

– Entonces, sigamos estudiando formas de resolver ecuaciones trigonométricas.

5 vías. Resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Ecuaciones de la forma a sen x + b porque x = 0, donde a y b son algunos números, se denominan ecuaciones homogéneas de primer grado con respecto a sen x o cos x.

Considere la ecuación

pecado x – porque x = 0. Dividamos ambos lados de la ecuación por cos x. Esto se puede hacer; no se producirá la pérdida de raíces, porque , Si porque x = 0, Eso pecado x = 0. Pero esto contradice la identidad trigonométrica básica. pecado 2 x+cos 2 x = 1.

Obtenemos tan x – 1 = 0.

bronceado x = 1,

Ecuaciones de la forma como en 2 x + b cos 2 x + c sen x porque x = 0 , Dónde a B C - algunos números se llaman ecuaciones homogéneas de segundo grado con respecto a sen x o cos x.

Considere la ecuación

sen 2 x – 3 sen x cos x + 2 cos 2 = 0. Dividamos ambos lados de la ecuación por cos x, y la raíz no se perderá, porque porque x = 0 no es la raíz de esta ecuación.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Sea tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Entonces, por lo tanto, tg x = 2 o tg x = 1.

Como resultado, x = arctan 2 + , x =

Respuesta: arctg 2 +,

Considere otra ecuación: 3 sen 2 x – 3 sen x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Transformemos el lado derecho de la ecuación en la forma 2 = 2 · 1 = 2 · (sen 2 x + cos 2 x). Entonces obtenemos:
3pecado 2 x – 3pecado x cos x + 4cos 2 x = 2 (pecado 2 x + cos 2 x),
3sen 2 x – 3sen x porque x + 4cos 2 x – 2sen 2 x – 2 porque 2 x = 0,
sen 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Obtuvimos la segunda ecuación, que ya hemos analizado).

Respuesta: arctan 2 + k,

6 vías. Resolver ecuaciones trigonométricas lineales

Una ecuación trigonométrica lineal es una ecuación de la forma a pecado x + b porque x = c, donde a, b, c son algunos números.

Considere la ecuación pecado x + porque x= – 1.
Reescribamos la ecuación como:

Considerando eso y, obtenemos:

Respuesta:

7 vías. Introduciendo un argumento adicional

Expresión a cos x + b sen x se puede convertir:

(ya hemos usado esta transformación al simplificar expresiones trigonométricas)

Introduzcamos un argumento adicional: el ángulo es tal que

Entonces

Considere la ecuación: 3 senx + 4 cosx = 1. =

Tarea: N° 164-170 (c, d).

En esta lección veremos Funciones trigonométricas básicas, sus propiedades y gráficas., y también enumerar tipos básicos de ecuaciones y sistemas trigonométricos. Además, indicamos soluciones generales de las ecuaciones trigonométricas más simples y sus casos especiales.

Esta lección le ayudará a prepararse para uno de los tipos de tareas. B5 y C1.

Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.

Experimento

Lección 10. Funciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas y sus sistemas.

Teoría

Resumen de la lección

Ya hemos utilizado muchas veces el término “función trigonométrica”. En la primera lección de este tema, los identificamos usando triángulo rectángulo y el círculo trigonométrico unitario. Usando estos métodos para especificar funciones trigonométricas, ya podemos concluir que para ellos un valor del argumento (o ángulo) corresponde exactamente a un valor de la función, es decir tenemos derecho a llamar funciones seno, coseno, tangente y cotangente.

En esta lección, es hora de intentar abstraerse de los métodos discutidos anteriormente para calcular los valores de funciones trigonométricas. Hoy pasaremos al enfoque algebraico habitual para trabajar con funciones, veremos sus propiedades y representaremos gráficas.

En cuanto a las propiedades de las funciones trigonométricas, se debe prestar especial atención a:

El dominio de la definición y el rango de valores, porque para seno y coseno existen restricciones en el rango de valores, y para tangente y cotangente hay restricciones en el rango de definición;

La periodicidad de todas las funciones trigonométricas, porque Ya hemos notado la presencia del argumento más pequeño distinto de cero, cuya suma no cambia el valor de la función. Este argumento se llama período de la función y se denota con la letra. Para seno/coseno y tangente/cotangente estos períodos son diferentes.

Considere la función:

1) Alcance de la definición;

2) rango de valores ;

3) La función es impar ;

Construyamos una gráfica de la función. En este caso, es conveniente comenzar la construcción con una imagen del área que limita la gráfica desde arriba con el número 1 y desde abajo con el número , el cual está asociado al rango de valores de la función. Además, para la construcción es útil recordar los valores de los senos de varios ángulos principales de la tabla, por ejemplo, que esto le permitirá construir la primera "onda" completa del gráfico y luego volver a dibujarla hacia la derecha y izquierda, aprovechando que la imagen se repetirá con un desplazamiento de un punto, es decir en .

Ahora veamos la función:

Las principales propiedades de esta función:

1) Alcance de la definición;

2) rango de valores ;

3) Función uniforme Esto implica que la gráfica de la función es simétrica con respecto a la ordenada;

4) La función no es monótona en todo su dominio de definición;

Construyamos una gráfica de la función. Al igual que cuando se construye un seno, es conveniente comenzar con una imagen del área que limita la gráfica en la parte superior con el número 1 y en la parte inferior con el número , que está asociado al rango de valores de la función. También trazaremos las coordenadas de varios puntos en el gráfico, para lo cual debemos recordar los valores de los cosenos de varios ángulos principales de la tabla, por ejemplo, que con la ayuda de estos puntos podemos construir la primera "onda" completa. ” del gráfico y luego volver a dibujarlo hacia la derecha y hacia la izquierda, aprovechando que la imagen se repetirá con un cambio de período, es decir. en .

Pasemos a la función:

Las principales propiedades de esta función:

1) Dominio excepto , donde . Ya hemos indicado en lecciones anteriores que no existe. Esta afirmación se puede generalizar considerando el período tangente;

2) Rango de valores, es decir los valores tangentes no están limitados;

3) La función es impar ;

4) La función aumenta monótonamente dentro de sus denominadas ramas tangentes, que ahora veremos en la figura;

5) La función es periódica con un punto.

Construyamos una gráfica de la función. En este caso, es conveniente comenzar la construcción representando las asíntotas verticales del gráfico en puntos que no están incluidos en el dominio de definición, es decir, etc. A continuación, representamos las ramas de la tangente dentro de cada una de las franjas formadas por las asíntotas, presionándolas hacia la asíntota izquierda y hacia la derecha. Al mismo tiempo, no olvides que cada rama aumenta de forma monótona. Representamos todas las ramas de la misma manera, porque la función tiene un periodo igual a . Esto se puede ver en el hecho de que cada rama se obtiene desplazando la vecina a lo largo del eje de abscisas.

Y terminamos con un vistazo a la función:

Las principales propiedades de esta función:

1) Dominio excepto , donde . Por la tabla de valores de funciones trigonométricas ya sabemos que no existe. Esta afirmación se puede generalizar considerando el período cotangente;

2) Rango de valores, es decir los valores cotangentes no están limitados;

3) La función es impar ;

4) La función decrece monótonamente dentro de sus ramas, que son similares a las ramas tangentes;

5) La función es periódica con un punto.

Construyamos una gráfica de la función. En este caso, en cuanto a la tangente, es conveniente comenzar la construcción representando las asíntotas verticales del gráfico en puntos que no están incluidos en el área de definición, es decir, etc. A continuación, representamos las ramas de la cotangente dentro de cada una de las franjas formadas por las asíntotas, presionándolas hacia la asíntota izquierda y hacia la derecha. En este caso, tenemos en cuenta que cada rama disminuye monótonamente. Representamos todas las ramas de manera similar a la tangente de la misma manera, porque la función tiene un periodo igual a .

Por otra parte, cabe señalar que las funciones trigonométricas con argumentos complejos pueden tener un período no estándar. Estamos hablando de funciones de la forma:

Su período es igual. Y sobre las funciones:

Su período es igual.

Como puede ver, para calcular un nuevo período, el período estándar simplemente se divide por el factor del argumento. No depende de otras modificaciones de la función.

Puede comprender con más detalle y comprender de dónde provienen estas fórmulas en la lección sobre cómo construir y transformar gráficas de funciones.

Hemos llegado a una de las partes más importantes del tema “Trigonometría”, que dedicaremos a la resolución de ecuaciones trigonométricas. La capacidad de resolver este tipo de ecuaciones es importante, por ejemplo, a la hora de describir procesos oscilatorios en física. Imaginemos que has dado algunas vueltas en un kart de un coche deportivo; resolver una ecuación trigonométrica te ayudará a determinar cuánto tiempo llevas en carrera dependiendo de la posición del coche en la pista.

Escribamos la ecuación trigonométrica más simple:

La solución a tal ecuación son los argumentos cuyo seno es igual a . Pero ya sabemos que debido a la periodicidad del seno, existe un número infinito de tales argumentos. Por tanto, la solución a esta ecuación será, etc. Lo mismo se aplica a la resolución de cualquier otra ecuación trigonométrica simple; habrá un número infinito de ellas.

Las ecuaciones trigonométricas se dividen en varios tipos principales. Por separado, deberíamos detenernos en los más simples, porque todo lo demás depende de ellos. Hay cuatro ecuaciones de este tipo (según el número de funciones trigonométricas básicas). Se conocen soluciones generales para ellos; hay que recordarlas.

Las ecuaciones trigonométricas más simples y sus soluciones generales. se parece a esto:

Tenga en cuenta que los valores de seno y coseno deben tener en cuenta las limitaciones que conocemos. Si, por ejemplo, la ecuación no tiene soluciones y no se debe aplicar la fórmula especificada.

Además, las fórmulas raíz especificadas contienen un parámetro en forma de un número entero arbitrario. EN currículum escolar Este es el único caso en el que la solución de una ecuación sin parámetro contiene un parámetro. Este número entero arbitrario muestra que es posible escribir un número infinito de raíces de cualquiera de las ecuaciones anteriores simplemente sustituyendo todos los números enteros por turno.

Puede familiarizarse con la derivación detallada de estas fórmulas repitiendo el capítulo "Ecuaciones trigonométricas" en el programa de álgebra de décimo grado.

Por otra parte, es necesario prestar atención a la resolución de casos especiales de las ecuaciones más simples con seno y coseno. Estas ecuaciones se ven así:

No se les deben aplicar fórmulas para encontrar soluciones generales. La forma más conveniente de resolver estas ecuaciones es utilizando el círculo trigonométrico, que da un resultado más sencillo que las fórmulas de solución generales.

Por ejemplo, la solución de la ecuación es . Intenta obtener esta respuesta tú mismo y resuelve las ecuaciones restantes indicadas.

Además del tipo más común de ecuaciones trigonométricas indicadas, existen varias más estándar. Te los enumeramos teniendo en cuenta los que ya te hemos indicado:

1) Protozoos, Por ejemplo, ;

2) Casos especiales de las ecuaciones más simples., Por ejemplo, ;

3) Ecuaciones con argumento complejo, Por ejemplo, ;

4) Ecuaciones reducidas a su forma más simple quitando un factor común, Por ejemplo, ;

5) Ecuaciones reducidas a su forma más simple transformando funciones trigonométricas., Por ejemplo, ;

6) Ecuaciones reducidas a su forma más simple por sustitución, Por ejemplo, ;

7) Ecuaciones homogéneas, Por ejemplo, ;

8) Ecuaciones que se pueden resolver usando las propiedades de las funciones., Por ejemplo, . No se alarme por el hecho de que hay dos variables en esta ecuación; se resuelve sola;

Así como ecuaciones que se resuelven mediante diversos métodos.

Además de resolver ecuaciones trigonométricas, debes poder resolver sus sistemas.

Los tipos de sistemas más comunes son:

1) ¿En cuál de las ecuaciones es potencia?, Por ejemplo, ;

2) Sistemas de ecuaciones trigonométricas simples., Por ejemplo, .

En la lección de hoy analizamos las funciones trigonométricas básicas, sus propiedades y gráficas. También nos conocimos fórmulas generales Las soluciones de las ecuaciones trigonométricas más simples indicaron los principales tipos de tales ecuaciones y sus sistemas.

En la parte práctica de la lección, examinaremos métodos para resolver ecuaciones trigonométricas y sus sistemas.

Cuadro 1.Resolver casos especiales de las ecuaciones trigonométricas más simples..

Como ya dijimos en la parte principal de la lección, casos especiales de ecuaciones trigonométricas con seno y coseno de la forma:

tienen soluciones más simples que las dadas por las fórmulas de solución generales.

Para ello se utiliza un círculo trigonométrico. Analicemos el método para resolverlos usando el ejemplo de la ecuación.

Representaremos en el círculo trigonométrico el punto en el que el valor del coseno es cero, que también es la coordenada a lo largo del eje de abscisas. Como puede ver, hay dos de esos puntos. Nuestra tarea es indicar a qué es igual el ángulo que corresponde a estos puntos del círculo.

Comenzamos a contar desde la dirección positiva del eje de abscisas (eje coseno) y al establecer el ángulo llegamos al primer punto representado, es decir. una solución sería este valor de ángulo. Pero todavía estamos satisfechos con el ángulo que corresponde al segundo punto. ¿Cómo entrar en ello?