Expresión algebraica una expresión formada por letras y números conectados por los signos de suma, resta, multiplicación, división, elevando a una potencia entera y extrayendo la raíz (los exponentes y la raíz deben ser números constantes). AV. se llama racional con respecto a algunas letras incluidas en él si no las contiene bajo el signo de extracción de raíz, por ejemplo racional con respecto a a, b y c. AV. se llama número entero con respecto a algunas letras si no contiene división en expresiones que contengan estas letras, por ejemplo 3a/c + bc 2 - 3ac/4
es un número entero con respecto a a y b. Si algunas de las letras (o todas) se consideran variables, entonces A.c. es una función algebraica.
Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética. 1969-1978 .
Vea qué es una “expresión algebraica” en otros diccionarios:
Una expresión formada por letras y números conectados por signos de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíces... Gran diccionario enciclopédico
expresión algebraica- - Temas industria del petróleo y el gas EN expresión algebraica ... Guía del traductor técnico
Una expresión algebraica es una o más cantidades algebraicas (números y letras) conectadas por signos de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación y división, además de echar raíces y elevar a números enteros... ... Wikipedia
Expresión formada por letras y números conectados por signos de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíces. * * * EXPRESIÓN ALGEBRAICA EXPRESIÓN ALGEBRAICA, expresión,... ... diccionario enciclopédico
expresión algebraica- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. expresión algebraica vok. algebraischer Ausdruck, m rus. expresión algebraica, n pranc. expresión algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Expresión formada por letras y números conectados por signos algebraicos. operaciones: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíces... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
Una expresión algebraica para una variable dada, a diferencia de una trascendental, es una expresión que no contiene otras funciones de una cantidad dada, excepto sumas, productos o potencias de esta cantidad, y los términos... Diccionario enciclopédico F.A. Brockhaus y I.A. Efrón
EXPRESIÓN, expresiones, cf. 1. Acción bajo el Cap. expreso expreso. No encuentro palabras para expresar mi agradecimiento. 2. más a menudo unidades. La encarnación de una idea en forma de algún tipo de arte (filosofía). Sólo un gran artista puede crear tal expresión... ... Diccionario Ushakova
Una ecuación resultante de igualar dos expresiones algebraicas (Ver Expresión algebraica). A.u. con una incógnita se llama fraccionario si la incógnita está incluida en el denominador, e irracional si la incógnita está incluida en ... ... Gran enciclopedia soviética
EXPRESIÓN- un concepto matemático primario, que significa un registro de letras y números conectados por signos de operaciones aritméticas, en el que se pueden utilizar paréntesis, notaciones de funciones, etc.; Por lo general, la fórmula está en millones de partes. Hay B (1)…… Gran Enciclopedia Politécnica
Artículos sobre ciencias y matemáticas.
¿Qué es una expresión numérica y algebraica?
expresión numérica- es cualquier registro formado por números y signos de operaciones aritméticas y escrito según reglas conocidas, por lo que tiene un determinado significado. Por ejemplo, las siguientes entradas son expresiones numéricas: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. Por otro lado, la notación × 16 - × 0,5 no es numérica, ya que, aunque consta de números y signos de operaciones aritméticas, no está escrita según las reglas de composición de expresiones numéricas.
Si en una expresión numérica hay letras en lugar de números (todos o solo algunos), entonces esta expresión ya está algebraico.
El significado de usar letras es aproximadamente el siguiente. Se pueden sustituir letras por diferentes números, lo que significa que la expresión puede tener diferentes significados. El álgebra como ciencia estudia los principios de simplificar expresiones, buscar y utilizar diversas reglas, leyes y fórmulas. El álgebra estudia las formas más racionales de realizar cálculos, y para eso precisamente sirven las generalizaciones, es decir, el uso de variables (letras) en lugar de números específicos.
Los hechos algebraicos incluyen las leyes de la suma y la multiplicación, los conceptos de números negativos, fracciones ordinarias y decimales y las reglas de las operaciones aritméticas con ellos, y las propiedades de las fracciones ordinarias. El álgebra está diseñada para comprender toda esta variedad de hechos, enseñarles a usarlos y ver la aplicabilidad de las leyes en expresiones numéricas y algebraicas específicas.
Cuando se evalúa una expresión numérica, el resultado es su valor. El valor de una expresión algebraica sólo se puede calcular si se sustituyen las letras por ciertos valores numéricos. Por ejemplo, la expresión a ÷ b con a = 3 y b = 5 tiene el valor 3 ÷ 5 o 0,6. Sin embargo, una expresión algebraica puede ser tal que, para algunos valores de las variables (letras), puede no tener significado alguno. Para el mismo ejemplo (a ÷ b), la expresión no tiene sentido cuando b = 0, ya que no se puede dividir por cero.
Por tanto, hablan de valores aceptables e inaceptables de variables para una expresión algebraica particular.
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Expresiones algebraicas
- Definición del concepto
- Valor de expresión
- Expresiones de identidad
- resolución de problemas
- ¿Qué hemos aprendido?
Definición del concepto
¿Qué expresiones se llaman algebraicas? Se trata de una notación matemática formada por números, letras y símbolos aritméticos. La presencia de letras es la principal diferencia entre expresiones numéricas y algebraicas. Ejemplos:
Una letra en expresiones algebraicas denota un número. Por eso se llama variable: en el primer ejemplo es la letra a, en el segundo es b y en el tercero es c. La expresión algebraica en sí también se llama expresión con variable.
Valor de expresión
Significado de la expresión algebraica es el número obtenido como resultado de realizar todas las operaciones aritméticas indicadas en esta expresión. Pero para conseguirlo, hay que sustituir las letras por números. Por eso, en los ejemplos siempre indican qué número corresponde a la letra. Veamos cómo encontrar el valor de la expresión 8a-14*(5-a) si a=3.
Sustituyamos el número 3 por la letra a. Obtenemos la siguiente entrada: 8*3-14*(5-3).
Como ocurre con las expresiones numéricas, la solución de una expresión algebraica se realiza según las reglas para realizar operaciones aritméticas. Resolvamos todo en orden.
Por tanto, el valor de la expresión 8a-14*(5-a) en a=3 es igual a -4.
El valor de una variable se llama válido si la expresión tiene sentido con él, es decir, es posible encontrar su solución.
Un ejemplo de una variable válida para la expresión 5:2a es el número 1. Sustituyéndolo en la expresión, obtenemos 5:2*1=2.5. La variable no válida para esta expresión es 0. Si sustituimos cero en la expresión, obtenemos 5:2*0, es decir, 5:0. No puedes dividir por cero, lo que significa que la expresión no tiene sentido.
Expresiones de identidad
Si dos expresiones son iguales para cualquier valor de sus variables constituyentes, se llaman idéntico.
Ejemplo de expresiones idénticas
:
4(a+c) y 4a+4c.
Cualesquiera que sean los valores que tomen las letras a y c, las expresiones siempre serán iguales. Cualquier expresión puede ser reemplazada por otra que sea idéntica a ella. Este proceso se llama transformación de identidad.
Ejemplo de transformación de identidad
.
4*(5a+14c) – esta expresión se puede reemplazar por una idéntica aplicando la ley matemática de la multiplicación. Para multiplicar un número por la suma de dos números, debes multiplicar este número por cada término y sumar los resultados.
Por tanto, la expresión 4*(5a+14c) es idéntica a 20a+64c.
El número que aparece antes de una variable letra en una expresión algebraica se llama coeficiente. El coeficiente y la variable son multiplicadores.
resolución de problemas
Las expresiones algebraicas se utilizan para resolver problemas y ecuaciones.
Consideremos el problema. A Petya se le ocurrió un número. Para que su compañero Sasha lo adivinara, Petya le dijo: primero le sumé 7 al número, luego le resté 5 y lo multipliqué por 2. Como resultado, obtuve el número 28. ¿Qué número adiviné?
Para resolver el problema, debe designar el número oculto con la letra a y luego realizar todas las acciones indicadas con él.
Ahora resolvamos la ecuación resultante.
Petya deseaba el número 12.
¿Qué hemos aprendido?
Una expresión algebraica es un registro formado por letras, números y símbolos aritméticos. Cada expresión tiene un valor, que se encuentra realizando todas las operaciones aritméticas en la expresión. La letra en una expresión algebraica se llama variable y el número delante de ella se llama coeficiente. Las expresiones algebraicas se utilizan para resolver problemas.
6.4.1. Expresión algebraica
I. Las expresiones en las que se pueden utilizar números, símbolos aritméticos y paréntesis junto con letras se denominan expresiones algebraicas.
Ejemplos de expresiones algebraicas:
2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a+2b); a 2 – 2ab;
Dado que una letra en una expresión algebraica puede ser reemplazada por algunos números diferentes, la letra se llama variable y la expresión algebraica en sí se llama expresión con variable.
II. Si en una expresión algebraica las letras (variables) se reemplazan por sus valores y se realizan las acciones especificadas, entonces el número resultante se denomina valor de la expresión algebraica.
Ejemplos. Encuentra el significado de la expresión:
1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y = -5; z = 6.
1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5. En lugar de variables, sustituyamos sus valores. Obtenemos:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y = -5; z = 6. Sustituya los valores indicados. Recordamos que el módulo de un número negativo es igual a su número opuesto, y el módulo de un número positivo es igual a este número mismo. Obtenemos:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Los valores de la letra (variable) para los cuales tiene sentido la expresión algebraica se denominan valores permisibles de la letra (variable).
Ejemplos. ¿Para qué valores de la variable no tiene sentido la expresión?
Solución. Sabemos que no se puede dividir por cero, por lo tanto, cada una de estas expresiones no tendrá sentido dado el valor de la letra (variable) que convierte el denominador de la fracción en cero.
En el ejemplo 1), este valor es a = 0. De hecho, si sustituye 0 en lugar de a, deberá dividir el número 6 entre 0, pero esto no se puede hacer. Respuesta: la expresión 1) no tiene sentido cuando a = 0.
En el ejemplo 2) el denominador x - 4 = 0 en x = 4, por lo tanto, este valor x = 4 no se puede tomar. Respuesta: la expresión 2) no tiene sentido cuando x = 4.
En el ejemplo 3) el denominador es x + 2 = 0 cuando x = -2. Respuesta: la expresión 3) no tiene sentido cuando x = -2.
En el ejemplo 4) el denominador es 5 -|x| = 0 para |x| = 5. Y desde |5| = 5 y |-5| = 5, entonces no puedes tomar x = 5 y x = -5. Respuesta: la expresión 4) no tiene sentido en x = -5 y en x = 5.
IV. Se dice que dos expresiones son idénticamente iguales si, para cualquier valor admisible de las variables, los valores correspondientes de estas expresiones son iguales.
Ejemplo: 5 (a – b) y 5a – 5b también son iguales, ya que la igualdad 5 (a – b) = 5a – 5b será cierta para cualquier valor de a y b. La igualdad 5 (a – b) = 5a – 5b es una identidad.
Identidad es una igualdad que es válida para todos los valores permitidos de las variables incluidas en ella. Ejemplos de identidades que ya conoces son, por ejemplo, las propiedades de la suma y la multiplicación, y la propiedad distributiva.
Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación de identidad o simplemente transformación de una expresión. Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.
a) convierta la expresión a idénticamente igual usando la propiedad distributiva de la multiplicación:
1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Solución. Recordemos la propiedad distributiva (ley) de la multiplicación:
(a+b)c=ac+bc(ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma: para multiplicar la suma de dos números por un tercer número, puedes multiplicar cada término por este número y sumar los resultados resultantes).
(a-b) c=a c-b c(ley distributiva de la multiplicación relativa a la resta: para multiplicar la diferencia de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el minuendo y restar por este número por separado y restar el segundo del primer resultado).
1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
b) transforme la expresión en idénticamente igual, utilizando las propiedades (leyes) conmutativas y asociativas de la suma:
4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.
Solución. Apliquemos las leyes (propiedades) de la suma:
a+b=b+a(conmutativo: reordenar los términos no cambia la suma).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinativo: para sumar un tercer número a la suma de dos términos, puedes sumar la suma del segundo y el tercero al primer número).
4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.
6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.
V) Convierta la expresión a idénticamente igual usando las propiedades (leyes) conmutativas y asociativas de la multiplicación:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 chelines.
Solución. Apliquemos las leyes (propiedades) de la multiplicación:
a·b=b·a(conmutativo: reordenar los factores no cambia el producto).
(a b) c=a (b c)(combinativo: para multiplicar el producto de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el primer número por el producto del segundo y el tercero).
7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.
8) -3,5 · 2u · (-1) = 7у.
9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.
Si una expresión algebraica se da en forma de fracción reducible, entonces, utilizando la regla para reducir una fracción, se puede simplificar, es decir, reemplácelo con una expresión más simple idénticamente igual.
Ejemplos. Simplifique usando la reducción de fracciones. 
Solución. Reducir una fracción significa dividir su numerador y denominador por el mismo número (expresión), distinto de cero. La fracción 10) se reducirá en 3b; fracción 11) se reducirá en A y fracción 12) se reducirá en 7n. Obtenemos:
Las expresiones algebraicas se utilizan para crear fórmulas.
Una fórmula es una expresión algebraica escrita como una igualdad y que expresa la relación entre dos o más variables. Ejemplo: fórmula de ruta que conoces s=vt(s - distancia recorrida, v - velocidad, t - tiempo). Recuerda qué otras fórmulas conoces.
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Significado de la regla de la expresión algebraica
Expresiones numéricas y algebraicas.
En la escuela primaria aprendiste a hacer cálculos con numeros enteros y fraccionarios, resolvió ecuaciones, se familiarizó con las figuras geométricas y el plano de coordenadas. Todo esto constituyó el contenido de una materia escolar "Matemáticas". De hecho, un campo de la ciencia tan importante como las matemáticas se divide en una gran cantidad de disciplinas independientes: álgebra, geometría, teoría de la probabilidad, análisis matemático, lógica matemática, estadística matemática, teoría de juegos, etc. Cada disciplina tiene sus propios objetos de estudio, sus propios métodos de comprensión de la realidad.
El álgebra que vamos a estudiar le brinda a la persona la oportunidad no solo de realizar varios cálculos, pero también le enseña a hacerlo de la forma más rápida y racional posible. Una persona que domina los métodos algebraicos tiene una ventaja sobre aquellos que no los dominan: calcula más rápido, navega con mayor éxito en situaciones de la vida, toma decisiones con mayor claridad y piensa mejor. Nuestra tarea es ayudarte a dominar los métodos algebraicos, tu tarea no es resistirte al aprendizaje, estar dispuesto a seguirnos, superando las dificultades.
De hecho, en la escuela primaria ya se ha abierto una ventana a tu vida. mundo magicoálgebra, porque el álgebra estudia principalmente expresiones numéricas y algebraicas.
Recordemos que una expresión numérica es cualquier registro formado por números y signos de operaciones aritméticas (compuestos, por supuesto, con significado: por ejemplo, 3 + 57 es una expresión numérica, mientras que 3 + : no es una expresión numérica, sino un conjunto de símbolos sin significado). Por algunas razones (de ellas hablaremos más adelante), a menudo se utilizan letras (principalmente del alfabeto latino) en lugar de números específicos; entonces se obtiene una expresión algebraica. Estas expresiones pueden resultar muy engorrosas. El álgebra te enseña a simplificarlos usando diferentes reglas, leyes, propiedades, algoritmos, fórmulas, teoremas.
Ejemplo 1. Simplifica una expresión numérica:
Solución. Ahora recordaremos algo juntos y verás cuántas operaciones algebraicas ya conoces. En primer lugar, es necesario desarrollar un plan para realizar los cálculos. Para ello, tendrás que utilizar las convenciones aceptadas en matemáticas sobre el orden de las operaciones. Procedimiento en en este ejemplo será así:
1) encuentre el valor A de la expresión entre los primeros paréntesis:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;
2) encuentre el valor B de la expresión en el segundo paréntesis:
3) divida A entre B; entonces sabremos qué número C está contenido en el numerador (es decir, encima de la línea horizontal);
4) encuentre el valor D del denominador (es decir, la expresión contenida debajo de la línea horizontal):
D = 25 - 37 - 0,4;
5) divida C por D; este será el resultado deseado. Entonces, hay un plan de cálculo (y tener un plan es la mitad
¡éxito!), comencemos a implementarlo.
1) Encontremos A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Por supuesto, puedes contar en fila o, como dicen, “cara a cara”: 2,73 + 4,81, luego sumar a este número
3,27, luego resta 2,81. Pero una persona culta no calculará de esta manera. Recordará las leyes conmutativas y asociativas de la suma (sin embargo, no necesita recordarlas, siempre están en su cabeza) y calculará así:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
Ahora analicemos juntos una vez más qué hechos matemáticos tuvimos que recordar en el proceso de resolución del ejemplo (y no solo recordar, sino también usar).
1. El orden de las operaciones aritméticas.
2. Ley conmutativa de la suma: a + b = b + a.
4. Ley combinada de la suma:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Ley de combinación de la multiplicación: abc = (ab)c = a(bc).
6. Conceptos comunes de fracciones. decimal , un número negativo.
7. Operaciones aritméticas con fracciones decimales.
8. Operaciones aritméticas con fracciones ordinarias.
10. Reglas para acciones positivas y negativas. números. Ya sabes todo esto, pero todos estos son hechos algebraicos. Por lo tanto, ya ha tenido cierta exposición al álgebra en la escuela primaria. La principal dificultad, como se puede ver en el ejemplo 1, es que existen bastantes hechos de este tipo, y no sólo es necesario conocerlos, sino también poder utilizarlos, como dicen, “en tiempo correcto y en el lugar correcto." Esto es lo que aprenderemos.
Dado que a las letras que componen una expresión algebraica se les pueden dar diferentes valores numéricos (es decir, se pueden cambiar los significados de las letras), estas letras se denominan variables.
b) De igual forma, siguiendo el orden de las actuaciones, consistentemente encontramos:
¡Pero no puedes dividir por cero! ¿Qué significa esto en este caso (y en otros casos similares)? Esto significa que cuando: la expresión algebraica dada no tiene sentido.
Se utiliza la siguiente terminología: si, para valores específicos de letras (variables), una expresión algebraica tiene un valor numérico, entonces los valores especificados de las variables se denominan admisibles; Si, para valores específicos de letras (variables), la expresión algebraica no tiene sentido, entonces los valores indicados de las variables se consideran inválidos.
Entonces, en el ejemplo 2, los valores a = 1 y b = 2, a = 3,7 y b = -1,7 son aceptables, mientras que los valores
no válido (más precisamente: los dos primeros pares de valores son válidos y el tercer par de valores no es válido).
En general, en el ejemplo 2, los valores de las variables a, b serán inaceptables para los cuales a + b = 0 o a - b = 0. Por ejemplo, a = 7, b = - 7 o a = 28,3, b = 28,3 - pares de valores no válidos; en el primer caso, a + b = 0, y en el segundo caso, a - b = 0. En ambos casos, el denominador de la expresión dada en este ejemplo se vuelve cero y, repetimos nuevamente, no se puede dividir por cero. . Ahora, probablemente, usted mismo podrá encontrar pares de valores válidos para las variables a, by pares de valores no válidos para estas variables en el ejemplo 2. ¡Pruébelo!
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A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas
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Expresión algebraica- es cualquier registro de letras, números, signos aritméticos y paréntesis, compuestos con significado. Básicamente, una expresión algebraica es una expresión numérica en la que, además de números, también se utilizan letras. Por lo tanto, las expresiones algebraicas también se llaman expresiones literales.
En las expresiones alfabéticas se utilizan principalmente letras del alfabeto latino. ¿Para qué sirven estas cartas? En su lugar, podemos sustituir varios números. Por eso estas letras se llaman variables. Es decir, pueden cambiar su significado.
Ejemplos de expresiones algebraicas.
$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(alinear)$
Si por ejemplo en la expresión x + 5 sustituimos algún número en lugar de la variable x, obtendremos una expresión numérica. En este caso, el valor de esta expresión numérica será el valor de la expresión algebraica x + 5 para un valor dado de la variable. Es decir, para x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. Y para x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.
Hay valores de una variable en los que la expresión algebraica pierde su significado. Esto sucederá, por ejemplo, si en la expresión 1:x sustituimos el valor 0 en lugar de x.
Porque no se puede dividir por cero.
El dominio de definición de una expresión algebraica.
El conjunto de valores de una variable para los cuales la expresión no pierde significado se llama dominio de definición esta expresión. También podemos decir que el dominio de una expresión es el conjunto de todos los valores válidos de una variable.
Veamos ejemplos:
- y+5 – el dominio de definición será cualquier valor de y.
- 1:x: la expresión tendrá sentido para todos los valores de x excepto 0. Por lo tanto, el dominio de definición será cualquier valor de x excepto cero.
- (x+y):(x-y) – dominio de definición – cualquier valor de xey para el cual x ≠ y.
Expresiones algebraicas racionales son expresiones algebraicas enteras y fraccionarias.
- Expresión algebraica completa: no contiene exponenciación con exponente fraccionario, ni toma la raíz de una variable ni divide por una variable. En expresiones algebraicas enteras, todos los valores de las variables son válidos. Por ejemplo, ax + bx + c es una expresión algebraica entera.
- Fraccional: contiene división por una variable. $\frac(1)(a)+bx+c$ es una expresión algebraica fraccionaria. En expresiones algebraicas fraccionarias, todos los valores de variables que no se dividen por cero son válidos.
$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- expresiones algebraicas irracionales. En expresiones algebraicas irracionales, son válidos todos los valores de variables para las cuales la expresión bajo el signo de raíz par no es negativa.
Podemos escribir algunas expresiones matemáticas. diferentes caminos. Dependiendo de nuestros objetivos, si tenemos suficientes datos, etc. Expresiones numéricas y algebraicas. Se diferencian en que escribimos los primeros solo como números combinados usando signos aritméticos (suma, resta, multiplicación, división) y paréntesis.
Si en lugar de números introduces letras latinas (variables) en la expresión, se volverá algebraica. Las expresiones algebraicas utilizan letras, números, signos de suma y resta, multiplicación y división. También se puede utilizar el signo de la raíz, el grado y los paréntesis.
En cualquier caso, ya sea que la expresión sea numérica o algebraica, no puede ser simplemente un conjunto aleatorio de signos, números y letras; debe tener significado. Esto significa que las letras, los números y los signos deben estar conectados por algún tipo de relación. Ejemplo correcto: 7x + 2: (y + 1). Mal ejemplo): + 7x - * 1.
La palabra "variable" se mencionó anteriormente: ¿qué significa? Esta es una letra latina, en lugar de la cual puedes sustituirla por un número. Y si hablamos de variables, en este caso las expresiones algebraicas se pueden llamar función algebraica.
La variable puede tomar diferentes valores. Y sustituyendo algún número en su lugar, podemos encontrar el valor de la expresión algebraica para este valor particular de la variable. Cuando el valor de una variable es diferente, el valor de la expresión será diferente.
¿Cómo resolver expresiones algebraicas?
Para calcular los valores que necesitas hacer. convertir expresiones algebraicas. Y para ello aún es necesario tener en cuenta algunas reglas.
Primero, el alcance de las expresiones algebraicas son todos los valores posibles de una variable para los cuales la expresión puede tener sentido. ¿Qué se quiere decir? Por ejemplo, no puede sustituir un valor por una variable que requeriría dividirla por cero. En la expresión 1/(x – 2), 2 debe excluirse del dominio de definición.
En segundo lugar, recuerde cómo simplificar expresiones: factorizarlas, poner variables idénticas entre paréntesis, etc. Por ejemplo: si intercambias los términos, la suma no cambiará (y + x = x + y). Asimismo, el producto no cambiará si se intercambian los factores (x*y = y*x).
En general, son excelentes para simplificar expresiones algebraicas. fórmulas de multiplicación abreviadas. Aquellos que aún no los hayan aprendido deberían hacerlo; todavía les resultarán útiles más de una vez:
encontramos la diferencia entre las variables al cuadrado: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);
encontramos la suma al cuadrado: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;
calculamos la diferencia al cuadrado: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;
cubo la suma: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 o (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
la diferencia al cubo: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 o (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);
encontramos la suma de las variables al cubo: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);
calculamos la diferencia entre las variables al cubo: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);
usamos las raíces: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), y 1 y a 2 son las raíces de la expresión xa 2 + ua + z.
También debe comprender los tipos de expresiones algebraicas. Ellos son:
racionales, y éstos a su vez se dividen en:
números enteros (no hay división en variables, no se extraen raíces de las variables ni se elevan a potencias fraccionarias): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b). ;
fraccionario (a excepción de otras operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación, en estas expresiones se dividen por una variable y se elevan a una potencia (con exponente natural): (2/b - 3/a + c/4) 2. Dominio de definición: todos los valores de las variables para las cuales la expresión no es igual a cero;
irracional - para que una expresión algebraica sea considerada como tal, debe implicar elevar las variables a una potencia con un exponente fraccionario y/o extraer raíces de las variables: √a + b 3/4. El dominio de definición son todos los valores de las variables, excluidos aquellos para los cuales la expresión bajo la raíz de una potencia par o bajo una potencia fraccionaria se convierte en un número negativo.
Transformaciones idénticas de expresiones algebraicas. es otra técnica útil para resolverlos. Una identidad es una expresión que será verdadera para cualquier variable incluida en el dominio de definición que se sustituya en ella.
Una expresión que depende de algunas variables puede ser idénticamente igual a otra expresión si depende de las mismas variables y si los valores de ambas expresiones son iguales, sin importar qué valores de las variables se elijan. En otras palabras, si una expresión se puede expresar de dos maneras diferentes (expresiones) cuyos significados son iguales, esas expresiones son idénticamente iguales. Por ejemplo: y + y = 2y, o x 7 = x 4 * x 3, o x + y + z = z + x + y.
Al realizar tareas con expresiones algebraicas, la transformación de identidad sirve para que una expresión pueda ser sustituida por otra idéntica a ella. Por ejemplo, reemplaza x 9 con el producto x 5 * x 4.
Ejemplos de soluciones
Para que quede más claro, veamos algunos ejemplos. transformaciones de expresiones algebraicas. Las tareas de este nivel se pueden encontrar en los KIM para el Examen Estatal Unificado.
Tarea 1: Encuentra el valor de la expresión ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).
Solución: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.
Tarea 2: Encuentra el valor de la expresión (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).
Solución: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3 )(2x + 3) = 6.
Conclusión
Al prepararse para los exámenes escolares, Exámenes estatales unificados y GIA siempre puedes utilizar este material como pista. Ten en cuenta que una expresión algebraica es una combinación de números y variables expresadas en letras latinas. Y también signos de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división), paréntesis, potencias, raíces.
Utilizar fórmulas de multiplicación abreviadas y conocimientos de identidades para transformar expresiones algebraicas.
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Una expresión algebraica es una notación significativa en la que los números se pueden representar tanto con letras como con números. También puede contener símbolos aritméticos y paréntesis.
Cualquier letra que denota un número y cualquier número representado mediante números generalmente se considera en álgebra una expresión algebraica.
Las expresiones algebraicas incluidas en las fórmulas se pueden aplicar para resolver problemas aritméticos particulares si las letras que contienen se reemplazan con números dados y se realizan las acciones especificadas. El número que se obtendrá si tomas unos números en lugar de letras y realizas las acciones indicadas sobre ellos se llama valor numérico expresión algebraica. De esto es fácil concluir que la misma expresión algebraica, con diferentes significados de las letras incluidas en ella, puede tener diferentes valores numéricos. Así, por ejemplo, la expresión
ametro+bnorte
en a=2, metro=5, b=1, norte=4 se calcula: 2 5 + 1 4 = 14, y cuando a=3, metro=4, b=5, norte=1 se calcula: 3 · 4 + 5 · 1 = 17, etc.; expresión
abCon
en a=1, b=2, C=3, es igual a 6, y a=2, b=3, C=4, es igual a 24, etc.
Coeficiente
Producto de varios factores a, b, C, d, escrito a B C D. Si, además de los factores alfabéticos, también hay un factor numérico (no importa si es entero o fraccionario), generalmente se coloca delante y se llama coeficiente. De este modo,
producto de cantidades a, b, C, d, 4 escribe así: 4 a B C D
producto de cantidades metro, norte, pag escriben así: .
Los números 4 y son los coeficientes. Obviamente 4 a B C D = a B C D + a B C D + a B C D + a B C D y exactamente lo mismo. Entonces, el coeficiente muestra cuántas veces se toma como término una expresión algebraica completa o una parte conocida de ella.
Si no hay coeficiente en una expresión algebraica, entonces se supone que es igual a uno, ya que a= 1 · a; antes de Cristo= 1 · antes de Cristo etcétera.
Tipos de expresiones
Una expresión algebraica que no incluye divisores de letras se llama entero, de lo contrario fraccionario o fracción algebraica.
