Solver Kuznetsov.
III Cartas

Tarea 7. Realizar un estudio completo de la función y construir su gráfica.

        Antes de comenzar a descargar sus opciones, intente resolver el problema de acuerdo con el ejemplo que se proporciona a continuación para la opción 3. Algunas de las opciones están archivadas en formato .rar

        7.3 Realizar un estudio completo de la función y trazarla.

Solución.

        1) Ámbito de definición:         o        , es decir        .
.
Así:        .

        2) No hay puntos de intersección con el eje Ox. De hecho, la ecuación no tiene soluciones.
No existen puntos de intersección con el eje Oy, ya que        .

        3) La función no es par ni impar. No hay simetría con respecto al eje de ordenadas. Tampoco hay simetría sobre el origen. Porque
.
Vemos que         y        .

        4) La función es continua en el dominio de definición
.

; .

; .
En consecuencia, el punto es un punto de discontinuidad del segundo tipo (discontinuidad infinita).

5) Asíntotas verticales:       

Encontremos la asíntota oblicua. Aquí

;
.
En consecuencia, tenemos una asíntota horizontal: y=0. No hay asíntotas oblicuas.

        6) Encontremos la primera derivada. Primera derivada:
.
Y es por eso
.
Encontremos puntos estacionarios donde la derivada sea igual a cero, es decir
.

        7) Hallemos la segunda derivada. Segunda derivada:
.
Y esto es fácil de comprobar, ya que

Si el problema requiere un estudio completo de la función f (x) = x 2 4 x 2 - 1 con la construcción de su gráfica, entonces consideraremos este principio en detalle.

Para resolver un problema de este tipo, se deben utilizar las propiedades y gráficas de funciones elementales básicas. El algoritmo de investigación incluye los siguientes pasos:

Encontrar el dominio de definición

Dado que la investigación se realiza en el dominio de definición de la función, es necesario comenzar con este paso.

Ejemplo 1

Detrás este ejemplo Implica encontrar los ceros del denominador para excluirlos de la ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, puedes obtener raíces, logaritmos, etc. Entonces se puede buscar en ODZ una raíz de grado par de tipo g (x) 4 mediante la desigualdad g (x) ≥ 0, y el logaritmo log a g (x) mediante la desigualdad g (x) > 0.

Estudiar los límites de la ODZ y encontrar asíntotas verticales.

Hay asíntotas verticales en los límites de la función, cuando los límites unilaterales en tales puntos son infinitos.

Ejemplo 2

Por ejemplo, considere los puntos fronterizos iguales a x = ± 1 2.

Entonces es necesario estudiar la función para encontrar el límite unilateral. Entonces obtenemos que: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Esto muestra que los límites unilaterales son infinitos, lo que significa que las rectas x = ± 1 2 son las asíntotas verticales de la gráfica.

Estudio de una función y si es par o impar

Cuando se cumple la condición y (- x) = y (x), la función se considera par. Esto sugiere que el gráfico está ubicado simétricamente con respecto a Oy. Cuando se cumple la condición y (- x) = - y (x), la función se considera impar. Esto significa que la simetría es relativa al origen de coordenadas. Si no se satisface al menos una desigualdad, obtenemos una función de forma general.

La igualdad y (- x) = y (x) indica que la función es par. Al construir, es necesario tener en cuenta que habrá simetría con respecto a Oy.

Para resolver la desigualdad se utilizan intervalos crecientes y decrecientes con las condiciones f " (x) ≥ 0 y f " (x) ≤ 0, respectivamente.

Definición 1

Puntos estacionarios- estos son los puntos que hacen que la derivada sea cero.

Puntos críticos- estos son puntos internos del dominio de definición donde la derivada de la función es igual a cero o no existe.

A la hora de tomar una decisión se deben tener en cuenta las siguientes notas:

• para intervalos existentes de desigualdades crecientes y decrecientes de la forma f " (x) > 0, los puntos críticos no están incluidos en la solución;
• Los puntos en los que se define la función sin una derivada finita deben incluirse en los intervalos crecientes y decrecientes (por ejemplo, y = x 3, donde el punto x = 0 define la función, la derivada tiene el valor de infinito en este punto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 se incluye en el intervalo creciente);
• Para evitar desacuerdos, se recomienda utilizar literatura matemática recomendada por el Ministerio de Educación.

Inclusión de puntos críticos en intervalos crecientes y decrecientes si satisfacen el dominio de definición de la función.

Definición 2

Para Para determinar los intervalos de aumento y disminución de una función, es necesario encontrar:

• derivado;
• puntos críticos;
• dividir el dominio de definición en intervalos utilizando puntos críticos;
• determine el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, donde + es un aumento y - es una disminución.

Ejemplo 3

Encuentre la derivada en el dominio de definición f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solución

Para resolver necesitas:

• encontrar puntos estacionarios, este ejemplo tiene x = 0;
• encuentre los ceros del denominador, el ejemplo toma el valor cero en x = ± 1 2.

Colocamos puntos en el eje numérico para determinar la derivada en cada intervalo. Para ello, basta con tomar cualquier punto del intervalo y realizar un cálculo. Si el resultado es positivo, representamos + en el gráfico, lo que significa que la función está aumentando y - significa que está disminuyendo.

Por ejemplo, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, lo que significa que el primer intervalo de la izquierda tiene un signo +. Considérelo en la recta numérica.

Respuesta:

• la función aumenta en el intervalo - ∞; - 1 2 y (- 1 2 ; 0 ] ;
• hay una disminución en el intervalo [ 0 ; 1 2) y 1 2 ; + ∞ .

En el diagrama, usando + y -, se representan la positividad y la negatividad de la función, y las flechas indican disminución y aumento.

Los puntos extremos de una función son puntos donde se define la función y a través de los cuales la derivada cambia de signo.

Ejemplo 4

Si consideramos un ejemplo donde x = 0, entonces el valor de la función en él es igual a f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Cuando el signo de la derivada cambia de + a - y pasa por el punto x = 0, entonces el punto con coordenadas (0; 0) se considera el punto máximo. Cuando el signo cambia de - a +, obtenemos un punto mínimo.

La convexidad y la concavidad se determinan resolviendo desigualdades de la forma f "" (x) ≥ 0 y f "" (x) ≤ 0. Se usa con menos frecuencia el nombre convexidad hacia abajo en lugar de concavidad y convexidad hacia arriba en lugar de convexidad.

Definición 3

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad necesario:

• encontrar la segunda derivada;
• encontrar los ceros de la función segunda derivada;
• divida el área de definición en intervalos con los puntos que aparecen;
• determine el signo del intervalo.

Ejemplo 5

Encuentra la segunda derivada del dominio de definición.

Solución

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos los ceros del numerador y denominador, donde en nuestro ejemplo tenemos que los ceros del denominador x = ± 1 2

Ahora necesitas trazar los puntos en la recta numérica y determinar el signo de la segunda derivada de cada intervalo. lo entendemos

Respuesta:

• la función es convexa desde el intervalo - 1 2 ; 12;
• la función es cóncava a partir de los intervalos - ∞ ; - 1 2 y 1 2; + ∞ .

Definición 4

Punto de inflexión– este es un punto de la forma x 0 ; f(x0) . Cuando es tangente a la gráfica de la función, entonces cuando pasa por x 0 la función cambia de signo al contrario.

En otras palabras, este es un punto por el cual pasa la segunda derivada y cambia de signo, y en los propios puntos es igual a cero o no existe. Todos los puntos se consideran dominio de la función.

En el ejemplo, quedó claro que no hay puntos de inflexión, ya que la segunda derivada cambia de signo al pasar por los puntos x = ± 1 2. Estos, a su vez, no están incluidos en el ámbito de la definición.

Encontrar asíntotas horizontales y oblicuas

Al definir una función en el infinito, es necesario buscar asíntotas horizontales y oblicuas.

Definición 5

Asíntotas oblicuas se representan usando líneas rectas dadas por la ecuación y = k x + b, donde k = lim x → ∞ f (x) x y b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Para k = 0 y b no es igual al infinito, encontramos que la asíntota oblicua se convierte en horizontal.

En otras palabras, se considera que las asíntotas son rectas a las que la gráfica de una función se aproxima al infinito. Esto facilita la construcción rápida de un gráfico de funciones.

Si no hay asíntotas, pero la función está definida en ambos infinitos, es necesario calcular el límite de la función en estos infinitos para entender cómo se comportará la gráfica de la función.

Ejemplo 6

Consideremos como ejemplo que

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

es una asíntota horizontal. Después de examinar la función, puedes comenzar a construirla.

Calcular el valor de una función en puntos intermedios.

Para que el gráfico sea más preciso, se recomienda encontrar varios valores de función en puntos intermedios.

Ejemplo 7

A partir del ejemplo que consideramos, es necesario encontrar los valores de la función en los puntos x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Como la función es par, obtenemos que los valores coinciden con los valores en estos puntos, es decir, obtenemos x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Escribamos y resolvamos:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar los máximos y mínimos de la función, los puntos de inflexión y los puntos intermedios, es necesario construir asíntotas. Para una designación conveniente, se registran intervalos de aumento, disminución, convexidad y concavidad. Miremos la imagen de abajo.

Es necesario dibujar líneas gráficas a través de los puntos marcados, lo que le permitirá acercarse a las asíntotas siguiendo las flechas.

Con esto concluye la exploración completa de la función. Hay casos de construcción de algunas funciones elementales para las que se utilizan transformaciones geométricas.

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¿Cómo estudiar una función y construir su gráfica?

Parece que estoy empezando a comprender el rostro espiritualmente perspicaz del líder del proletariado mundial, autor de obras completas en 55 volúmenes... El largo viaje comenzó con información básica sobre funciones y gráficas, y ahora el trabajo en un tema que requiere mucha mano de obra termina con un resultado lógico: un artículo sobre un estudio completo de la función. La tarea tan esperada se formula de la siguiente manera:

Estudiar una función utilizando métodos de cálculo diferencial y construir su gráfica basándose en los resultados del estudio.

O en resumen: examina la función y construye una gráfica.

¿Por qué explorar? En casos simples, no nos resultará difícil comprender las funciones elementales y dibujar una gráfica obtenida usando transformaciones geométricas elementales etcétera. Sin embargo, las propiedades y representaciones gráficas de funciones más complejas están lejos de ser obvias, por lo que se necesita un estudio completo.

Los principales pasos de la solución se resumen en el material de referencia. Esquema de estudio de funciones, esta es tu guía de la sección. Los principiantes necesitan una explicación paso a paso de un tema, algunos lectores no saben por dónde empezar o cómo organizar su investigación, y es posible que los estudiantes avanzados solo estén interesados ​​en unos pocos puntos. Pero sea quien sea usted, querido visitante, el resumen propuesto con indicaciones para varias lecciones lo orientará y guiará rápidamente en la dirección de su interés. Los robots derramaron lágrimas =) El manual se presentó como un archivo pdf y ocupó el lugar que le corresponde en la página. Fórmulas y tablas matemáticas..

Estoy acostumbrado a dividir la investigación de una función en 5 o 6 puntos:

6) Puntos adicionales y gráfico basado en los resultados de la investigación.

En cuanto a la acción final, creo que todo está claro para todos: será muy decepcionante si en cuestión de segundos la tachan y la tarea se devuelve para su revisión. ¡UN DIBUJO CORRECTO Y EXACTO es el principal resultado de la solución! Es probable que “encubra” errores analíticos, mientras que un cronograma incorrecto y/o descuidado causará problemas incluso con un estudio perfectamente realizado.

Cabe señalar que en otras fuentes el número de puntos de investigación, el orden de su implementación y el estilo de diseño pueden diferir significativamente del esquema que propuse, pero en la mayoría de los casos es suficiente. La versión más simple del problema consta de solo 2 o 3 etapas y se formula así: "investiga la función usando la derivada y construye una gráfica" o "investiga la función usando la primera y segunda derivada, construye una gráfica".

Naturalmente, si su manual describe en detalle otro algoritmo o su profesor exige estrictamente que usted siga sus lecciones, entonces tendrá que hacer algunos ajustes a la solución. No es más difícil que reemplazar el tenedor de una motosierra por una cuchara.

Comprobemos la función par/impar:

A esto le sigue una plantilla de respuesta:
, lo que significa que esta función no es par ni impar.

Como la función es continua en , no hay asíntotas verticales.

Tampoco hay asíntotas oblicuas.

Nota : Te recuerdo que cuanto más alto orden de crecimiento, que , por lo tanto el límite final es exactamente “ más infinidad."

Averigüemos cómo se comporta la función en el infinito:

En otras palabras, si vamos a la derecha, entonces la gráfica sube infinitamente, si vamos a la izquierda, desciende infinitamente. Sí, también existen dos límites en una misma entrada. Si tiene dificultades para descifrar las señales, visite la lección sobre funciones infinitesimales.

Entonces la función no limitado desde arriba Y no limitado desde abajo. Teniendo en cuenta que no tenemos puntos de interrupción, queda claro rango de funciones: – también cualquier número real.

TÉCNICA TÉCNICA ÚTIL

Cada etapa de la tarea aporta nueva información sobre la gráfica de la función., por lo tanto, durante la solución conviene utilizar una especie de DISEÑO. Dibujemos un sistema de coordenadas cartesiano en un borrador. ¿Qué ya se sabe con seguridad? En primer lugar, la gráfica no tiene asíntotas, por lo que no es necesario trazar líneas rectas. En segundo lugar, sabemos cómo se comporta la función en el infinito. Según el análisis, sacamos una primera aproximación:

Tenga en cuenta que debido a continuidad función y el hecho de que el gráfico debe cruzar el eje al menos una vez. ¿O tal vez hay varios puntos de intersección?

3) Ceros de la función e intervalos de signo constante.

Primero, encontremos el punto de intersección de la gráfica con el eje de ordenadas. Es sencillo. Es necesario calcular el valor de la función en:

A una altura y media sobre el nivel del mar.

Para encontrar los puntos de intersección con el eje (ceros de la función), necesitamos resolver la ecuación, y aquí nos espera. una sorpresa desagradable:

Hay un miembro gratuito al final, lo que hace que la tarea sea mucho más difícil.

Una ecuación de este tipo tiene al menos una raíz real y, en la mayoría de los casos, esta raíz es irracional. En el peor cuento de hadas nos esperan los tres cerditos. La ecuación se puede resolver usando el llamado Fórmulas cardano, pero el daño al papel es comparable al de casi todo el estudio. En este sentido, es más prudente intentar seleccionar al menos uno, ya sea verbalmente o en un borrador. entero raíz. Comprobemos si estos números son:
- no adecuado;
- ¡Hay!

Suerte aquí. En caso de falla, también puedes probar, y si estos números no coinciden, me temo que hay muy pocas posibilidades de encontrar una solución rentable a la ecuación. Entonces es mejor omitir el punto de investigación por completo; tal vez algo quede más claro en el paso final, cuando se desglosen puntos adicionales. Y si la(s) raíz(es) son claramente “malas”, entonces es mejor guardar un modesto silencio sobre los intervalos de constancia de los signos y dibujar con más cuidado.

Sin embargo, tenemos una raíz hermosa, así que dividimos el polinomio sin resto:

El algoritmo para dividir un polinomio por un polinomio se analiza en detalle en el primer ejemplo de la lección. Límites complejos.

Como resultado, el lado izquierdo de la ecuación original se descompone en el producto:

Y ahora un poco sobre saludable vida. Yo, por supuesto, entiendo que ecuaciones cuadráticas debe resolverse todos los días, pero hoy haremos una excepción: la ecuación tiene dos raíces reales.

Trazamos los valores encontrados en la recta numérica. Y método de intervalo Definamos los signos de la función:


og Así, en los intervalos el horario se encuentra
debajo del eje x y en los intervalos – por encima de este eje.

Los hallazgos nos permiten refinar nuestro diseño y la segunda aproximación del gráfico se ve así:

Tenga en cuenta que una función debe tener al menos un máximo en un intervalo y al menos un mínimo en un intervalo. Pero aún no sabemos cuántas veces, dónde y cuándo se repetirá el programa. Por cierto, una función puede tener infinitos extremos.

4) Creciente, decreciente y extremos de la función.

Encontremos puntos críticos:

Esta ecuación tiene dos raíces reales. Pongámoslos en la recta numérica y determinemos los signos de la derivada:


Por lo tanto, la función aumenta en y disminuye en .
En el momento en que la función alcanza su máximo: .
En el punto en que la función alcanza un mínimo: .

Los hechos establecidos llevan nuestra plantilla a un marco bastante rígido:

No hace falta decir que el cálculo diferencial es algo poderoso. Finalmente entendamos la forma del gráfico:

5) Convexidad, concavidad y puntos de inflexión.

Encontremos los puntos críticos de la segunda derivada:

Definamos los signos:


La gráfica de la función es convexa y cóncava. Calculemos la ordenada del punto de inflexión: .

Casi todo ha quedado claro.

6) Queda por encontrar puntos adicionales que le ayudarán a construir un gráfico con mayor precisión y realizar una autoprueba. En este caso son pocos, pero no los descuidaremos:

Hagamos el dibujo:

Verde Se marca el punto de inflexión y los puntos adicionales se marcan con cruces. La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión, que siempre se encuentra estrictamente en el medio entre el máximo y el mínimo.

A medida que avanzaba la tarea, proporcioné tres dibujos provisionales hipotéticos. En la práctica, basta con dibujar un sistema de coordenadas, marcar los puntos encontrados y, después de cada punto de investigación, estimar mentalmente cómo se vería la gráfica de la función. No será difícil para estudiantes con un buen nivel de preparación realizar dicho análisis únicamente en su cabeza, sin involucrar un borrador.

Para resolverlo usted mismo:

Ejemplo 2

Explora la función y construye una gráfica.

Aquí todo es más rápido y divertido, un ejemplo aproximado del diseño final al final de la lección.

El estudio de funciones racionales fraccionarias revela muchos secretos:

Ejemplo 3

Utilice métodos de cálculo diferencial para estudiar una función y, con base en los resultados del estudio, construir su gráfica.

Solución: la primera etapa del estudio no se distingue por nada destacable, a excepción de un agujero en la zona de definición:

1) La función está definida y es continua en toda la recta numérica excepto el punto, dominio: .

, lo que significa que esta función no es par ni impar.

Es obvio que la función no es periódica.

La gráfica de la función representa dos ramas continuas ubicadas en el semiplano izquierdo y derecho; esta es quizás la conclusión más importante del punto 1.

2) Asíntotas, el comportamiento de una función en el infinito.

a) Utilizando límites unilaterales, examinamos el comportamiento de la función cerca de un punto sospechoso, donde claramente debería haber una asíntota vertical:

De hecho, las funciones perduran. brecha sin fin en el punto
y la recta (eje) es asíntota vertical Artes graficas .

b) Comprobemos si existen asíntotas oblicuas:

Si, es recto asíntota oblicua gráficos, si.

No tiene sentido analizar los límites, puesto que ya está claro que la función abraza su asíntota oblicua no limitado desde arriba Y no limitado desde abajo.

El segundo punto de investigación arrojó mucha información importante sobre la función. Hagamos un boceto aproximado:

La conclusión número 1 se refiere a intervalos de signo constante. En "menos infinito", la gráfica de la función está claramente ubicada debajo del eje x, y en "más infinito", está por encima de este eje. Además, los límites unilaterales nos dijeron que tanto a la izquierda como a la derecha del punto la función también es mayor que cero. Tenga en cuenta que en el semiplano izquierdo la gráfica debe cruzar el eje x al menos una vez. Puede que no haya ceros de la función en el semiplano derecho.

La conclusión número 2 es que la función aumenta a la izquierda del punto (va “de abajo hacia arriba”). A la derecha de este punto, la función disminuye (va “de arriba a abajo”). La rama derecha del gráfico debe tener al menos un mínimo. En la izquierda, los extremos no están garantizados.

La conclusión número 3 proporciona información confiable sobre la concavidad del gráfico en las proximidades del punto. Todavía no podemos decir nada sobre la convexidad/concavidad en los infinitos, ya que una línea puede ser presionada hacia su asíntota tanto desde arriba como desde abajo. En términos generales, existe una forma analítica de resolver esto en este momento, pero la forma del gráfico quedará más clara en una etapa posterior.

¿Por qué tantas palabras? ¡Para controlar los puntos de investigación posteriores y evitar errores! Otros cálculos no deberían contradecir las conclusiones extraídas.

3) Puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas, intervalos de signo constante de la función.

La gráfica de la función no corta el eje.

Usando el método del intervalo determinamos los signos:

, Si ;
, Si .

Los resultados de este punto son plenamente consistentes con la Conclusión No. 1. Después de cada etapa, mira el borrador, revisa mentalmente la investigación y completa la gráfica de la función.

En el ejemplo considerado, el numerador se divide término a término por el denominador, lo que resulta muy beneficioso para la diferenciación:

En realidad, esto ya se ha hecho al encontrar asíntotas.

- punto crítico.

Definamos los signos:

aumenta en y disminuye en

En el punto en que la función alcanza un mínimo: .

Tampoco hubo discrepancias con la conclusión número 2 y, muy probablemente, vamos por el camino correcto.

Esto significa que la gráfica de la función es cóncava en todo el dominio de definición.

Genial, y no necesitas dibujar nada.

No hay puntos de inflexión.

La concavidad es consistente con la Conclusión No. 3, además, indica que en el infinito (tanto allí como allí) se ubica la gráfica de la función. más alto su asíntota oblicua.

6) Concienzudamente fijaremos la tarea con puntos adicionales. Aquí es donde tendremos que trabajar duro, ya que sólo conocemos dos puntos de la investigación.

Y una imagen que probablemente muchos imaginaron hace mucho tiempo:

Durante la ejecución de la tarea, es necesario asegurarse cuidadosamente de que no haya contradicciones entre las etapas de la investigación, pero a veces la situación es urgente o incluso desesperadamente sin salida. Los análisis "no cuadran", eso es todo. En este caso recomiendo una técnica de emergencia: buscamos tantos puntos como sea posible que pertenezcan al gráfico (con tanta paciencia como tengamos) y los marcamos en el plano de coordenadas. En la mayoría de los casos, un análisis gráfico de los valores encontrados le dirá dónde está la verdad y dónde es falsa. Además, el gráfico se puede crear previamente utilizando algún programa, por ejemplo, en Excel (por supuesto, esto requiere habilidades).

Ejemplo 4

Usar métodos de cálculo diferencial para estudiar una función y construir su gráfica.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. En él, el autocontrol se ve reforzado por la paridad de la función: la gráfica es simétrica con respecto al eje, y si hay algo en su investigación que contradice este hecho, busque un error.

incluso o Función impar solo se puede investigar en y luego usar la simetría de la gráfica. Esta solución es óptima, pero, en mi opinión, parece muy inusual. Personalmente, miro la recta numérica completa, pero todavía encuentro puntos adicionales solo a la derecha:

Ejemplo 5

Realizar un estudio completo de la función y construir su gráfica.

Solución: las cosas se pusieron difíciles:

1) La función está definida y es continua en toda la recta numérica: .

Esto significa que esta función es impar, su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Es obvio que la función no es periódica.

2) Asíntotas, el comportamiento de una función en el infinito.

Como la función es continua en , no hay asíntotas verticales

Para una función que contiene un exponente, es típico separado estudio de "más" y "menos del infinito", sin embargo, nuestra vida se vuelve más fácil gracias a la simetría de la gráfica: o hay una asíntota tanto a la izquierda como a la derecha, o no la hay. Por tanto, ambos límites infinitos se pueden escribir en una sola entrada. Durante la solución utilizamos La regla de L'Hopital:

La línea recta (eje) es la asíntota horizontal de la gráfica en .

Tenga en cuenta cómo evité astutamente el algoritmo completo para encontrar la asíntota oblicua: el límite es completamente legal y aclara el comportamiento de la función en el infinito, y la asíntota horizontal fue descubierta "como al mismo tiempo".

De la continuidad y de la existencia de una asíntota horizontal se deduce que la función acotado superiormente Y delimitado por debajo.

3) Puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas, intervalos de signo constante.

Aquí también acortamos la solución:
La gráfica pasa por el origen.

No hay otros puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Además, los intervalos de constancia de signo son obvios y no es necesario trazar el eje: , lo que significa que el signo de la función depende únicamente de “x”:
, Si ;
, Si .

4) Extremos crecientes y decrecientes de la función.


- puntos críticos.

Los puntos son simétricos con respecto al cero, como debería ser.

Determinemos los signos de la derivada:


La función aumenta en un intervalo y disminuye en intervalos.

En el momento en que la función alcanza su máximo: .

debido a la propiedad (la rareza de la función) no es necesario calcular el mínimo:

Dado que la función disminuye a lo largo del intervalo, entonces, obviamente, la gráfica se ubica en “menos infinito” bajo su asíntota. A lo largo del intervalo, la función también disminuye, pero aquí ocurre lo contrario: después de pasar por el punto máximo, la línea se acerca al eje desde arriba.

De lo anterior también se deduce que la gráfica de la función es convexa en “menos infinito” y cóncava en “más infinito”.

Luego de este punto de estudio, se trazó el rango de valores de la función:

Si tienes algún malentendido sobre algún punto, te insto una vez más a que dibujes ejes de coordenadas en tu cuaderno y, con un lápiz en la mano, vuelvas a analizar cada conclusión de la tarea.

5) Convexidad, concavidad, torceduras del gráfico.

- puntos críticos.

La simetría de los puntos se conserva y, muy probablemente, no nos equivocamos.

Definamos los signos:


La gráfica de la función es convexa en y cóncavo en .

Se confirmó la convexidad/concavidad en los intervalos extremos.

En todos los puntos críticos hay problemas en el gráfico. Encontremos las ordenadas de los puntos de inflexión y nuevamente reduzcamos el número de cálculos usando la imparidad de la función: