Artikli sisu
koonuselõiked, tasapinnalised kõverad, mis saadakse parempoolse ringkoonuse ristamisel tasapinnaga, mis ei läbi selle tippu (joonis 1). Analüütilise geomeetria seisukohalt on koonuslõige punktide asukoht, mis rahuldavad teist järku võrrandit. Kui välja arvata viimases jaotises käsitletud degenereerunud juhtumid, on koonilised lõigud ellipsid, hüperboolid või paraboolid.
Looduses ja tehnoloogias leidub sageli koonuslõikeid. Näiteks ümber Päikese tiirlevate planeetide orbiidid on ellipsid. Ring on ellipsi erijuhtum, mille suurtelg on võrdne kõrvalteljega. Paraboolpeeglil on omadus, et kõik tema teljega paralleelsed langevad kiired koonduvad ühte punkti (fookusesse). Seda kasutatakse enamikus paraboolpeegleid kasutavates peegelteleskoopides, samuti radariantennides ja spetsiaalsetes paraboolreflektoritega mikrofonides. Paraboolse reflektori fookusesse asetatud valgusallikast lähtub paralleelsete kiirte kiir. Seetõttu kasutatakse paraboolpeegleid võimsates prožektorites ja autode esituledes. Hüperbool on paljude oluliste füüsikaliste seoste graafik, nagu Boyle'i seadus (mis seostab ideaalse gaasi rõhku ja ruumala) ja Ohmi seadus, mis annab elektrit takistuse funktsioonina konstantsel pingel.
VARANE AJALUGU
Kooniliste lõigete avastaja on oletatavasti Menechmus (4. sajand eKr), Platoni õpilane ja Aleksander Suure õpetaja. Menechmus kasutas kuubi kahekordistamise probleemi lahendamiseks parabooli ja võrdhaarset hüperbooli.
Aristaeuse ja Eukleidese 4. sajandi lõpul kirjutatud traktaadid koonuslõigete kohta. eKr, läksid kaduma, kuid nende materjalid lisati kuulsasse Koonilised lõigud Apollonius Pergast (umbes 260-170 eKr), mis on säilinud meie ajani. Apollonius loobus nõudest, et koonuse generatriksi lõiketasapind oleks risti ja sai selle kaldenurka muutes kõik koonuslõiked ühest ringkoonusest, olgu siis sirged või kaldu. Samuti võlgneme Apolloniusele kõverate tänapäevased nimed – ellips, parabool ja hüperbool.
Apollonius kasutas oma konstruktsioonides kahelehelist ringikujulist koonust (nagu joonisel 1), mistõttu sai esimest korda selgeks, et hüperbool on kahe haruga kõver. Alates Apolloniuse ajast on koonuslõiked jagatud kolme tüüpi, olenevalt lõiketasandi kaldest koonuse generaatori suhtes. Ellips (joonis 1, A) tekib siis, kui lõiketasand lõikub selle ühe õõnsuse punktides kõik koonuse generatriksid; parabool (joonis 1, b) - kui lõiketasand on paralleelne ühe koonuse puutujatasandiga; hüperbool (joonis 1, V) - kui lõiketasand lõikub koonuse mõlema õõnsusega.
KOONUSOSADE KONSTRUKTSIOON
Vana-Kreeka matemaatikud pidasid koonuselõike kui tasapindade ja koonuste lõikepunkte uurides neid ka tasapinna punktide trajektoorideks. Leiti, et ellipsi saab defineerida kui punktide asukohta, mille kauguste summa kahe antud punktini on konstantne; parabool – antud punktist ja antud sirgest võrdsel kaugusel olevate punktide asukohana; hüperbool - punktide lookusena on kauguste erinevus, millest kahe etteantud punktini on konstantne.
Need koonuslõigete kui tasapinnaliste kõverate määratlused viitavad ka sellele, kuidas neid venitatud keerme abil konstrueerida.
Ellips.
Kui etteantud pikkusega keerme otsad on punktides fikseeritud F 1 ja F 2 (joonis 2), siis piki tihedalt venitatud niiti libiseva pliiatsi otsaga kirjeldatud kõver on ellipsi kuju. punktid F 1 ja F 2 nimetatakse ellipsi fookusteks ja segmentideks V 1 V 2 ja v 1 v 2 ellipsi ja koordinaattelgede lõikepunktide vahel - suur- ja kõrvaltelg. Kui punktid F 1 ja F 2 langevad kokku, siis muutub ellips ringiks.
Hüperbool.
Hüperbooli konstrueerimisel punkt P, pliiatsi ots, on kinnitatud niidile, mis libiseb vabalt mööda punktidesse paigaldatud naelu F 1 ja F 2 nagu on näidatud joonisel fig. 3, A. Vahemaad valitakse nii, et segment PF 2 on segmendist pikem PF 1 fikseeritud summa võrra väiksem kui vahemaa F 1 F 2. Sel juhul läheb niidi üks ots naela alt läbi F 1 ja niidi mõlemad otsad lähevad üle naela F 2. (Pliiatsi ots ei tohiks mööda niiti libiseda, seega peate selle kinnitama, tehes niidile väikese aasa ja keerates selle otsa.) Hüperbooli üks haru ( PV 1 K) joonistame, veendudes, et niit jääb kogu aeg pingul, ja tõmbame niidi mõlemad otsad punktist mööda alla F 2 ja kui punkt P jääb joone alla F 1 F 2, hoides niiti mõlemast otsast kinni ja kergelt lahti keerates (st vabastades). Hüperbooli teine haru ( Pў V 2 Kў) joonistame, olles eelnevalt muutnud pulkade rolle F 1 ja F 2 .
Hüperbooli oksad lähenevad kahele sirgele, mis lõikuvad harude vahel. Need jooned, mida nimetatakse hüperbooli asümptootideks, on konstrueeritud nii, nagu on näidatud joonisel fig. 3, b. Nende joonte kalded on ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), kus v 1 v 2 - asümptootide vahelise nurga poolitaja segment, mis on segmendiga risti F 1 F 2; joonelõik v 1 v 2 nimetatakse hüperbooli ja segmendi konjugeeritud teljeks V 1 V 2 - selle risttelg. Seega on asümptoodid ristküliku diagonaalid, mille küljed läbivad nelja punkti v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralleelselt telgedega. Selle ristküliku ehitamiseks peate määrama punktide asukoha v 1 ja v 2. Need on samal kaugusel, võrdsed
telgede lõikepunktist O. See valem hõlmab ehitust täisnurkne kolmnurk jalgadega Ov 1 ja V 2 O ja hüpotenuus F 2 O.
Kui hüperbooli asümptoodid on üksteisega risti, siis nimetatakse hüperbooli võrdhaarseks. Kaht hüperbooli, millel on ühised asümptoodid, kuid ümber paigutatud põik- ja konjugeeritud teljed, nimetatakse vastastikku konjugeeritud.
Parabool.
Ellipsi ja hüperbooli fookused olid Apolloniosele teada, kuid parabooli fookuse määras ilmselt esmakordselt Pappus (3. sajandi 2. pool), kes määratles selle kõvera antud punktist võrdsel kaugusel olevate punktide asukohana ( fookus) ja etteantud sirgjoon, mida nimetatakse režissööriks. Pappuse määratluse põhjal venitatud niidi abil parabooli konstrueerimise pakkus välja Isidore Mileetosest (6. sajand). Paigutage joonlaud nii, et selle serv langeb kokku suunaga LLў (joonis 4) ja kinnitage jalg selle serva külge AC joonistus kolmnurk ABC. Kinnitame niidi ühe otsa pikkusega AB tipus B kolmnurk ja teine parabooli fookuses F. Tõmmates niiti pliiatsi otsaga, suruge otsa muutuvas kohas P tasuta rulale AB joonistus kolmnurk. Kui kolmnurk liigub mööda joonlauda, siis punkt P kirjeldab fookusega parabooli kaare F ja direktorina LLў, kuna niidi kogupikkus on võrdne AB, keerme segment külgneb kolmnurga vaba jalaga ja seega ka keerme ülejäänud segment PF peab olema võrdne ülejäänud jalaga AB, st. PA. Ristumispunkt V teljega parabooli nimetatakse läbiva sirge parabooli tipuks F Ja V, on parabooli telg. Kui läbi fookuse tõmmatakse teljega risti asetsev sirgjoon, siis nimetatakse selle sirge parabooliga ära lõigatud lõiku fookusparameetriks. Ellipsi ja hüperbooli puhul on fookusparameeter defineeritud sarnaselt.
KOONUSLÕIGETE OMADUSED
Pappuse määratlused.
Parabooli fookuse kindlaksmääramine viis Pappuse ideeni anda koonuselõike üldiselt alternatiivne määratlus. Lase F on etteantud punkt (fookus) ja L on etteantud sirge (directrix), mis ei läbi F, Ja D F Ja D L– kaugus liikumispunktist P keskenduda F ja direktorid L vastavalt. Seejärel, nagu Papp näitas, määratletakse koonilised lõigud punktide asukohana P, mille puhul suhe D F/D L on mittenegatiivne konstant. Seda suhet nimetatakse ekstsentrilisuseks e kooniline osa. Kell e e > 1 on hüperbool; juures e= 1 on parabool. Kui F lebab L, siis on lookusel joonte kuju (tegelik või kujuteldav), mis on degenereerunud koonilised lõigud.
Ellipsi ja hüperbooli silmatorkav sümmeetria viitab sellele, et igal neist kõveratest on kaks suunda ja kaks fookust ning see asjaolu viis Kepleri 1604. aastal mõttele, et paraboolil on ka teine fookus ja teine suund – punkt lõpmatuses ja sirge. Samamoodi võib ringi pidada ellipsiks, mille fookused langevad kokku keskpunktiga ja suunajooned on lõpmatuses. Ekstsentrilisus e sel juhul on null.
Dandelini disain.
Koonuselõike fookused ja suunad on selgelt demonstreeritavad, kasutades koonusesse kirjutatud kerasid, mida kutsuti Belgia matemaatiku ja inseneri J. Dandelini (1794–1847) auks Dandelini sfäärideks (pallideks), kes pakkus välja järgmise konstruktsiooni. Olgu koonuslõige moodustatud mõne tasandi lõikepunktist lk kahe õõnsusega parempoolse ringkoonusega, mille tipp on punktis O. Kirjutame sellesse koonusesse kaks sfääri S 1 ja S 2, mis puudutavad lennukit lk punktides F 1 ja F 2 vastavalt. Kui koonuslõik on ellips (joonis 5, A), siis on mõlemad sfäärid samas õõnsuses: üks kera asub tasapinna kohal lk ja teine selle all. Iga koonuse generaator puudutab mõlemat sfääri ja kokkupuutepunktide asukoht on kahe ringi kujuline C 1 ja C 2 paiknevad paralleelsetes tasandites lk 1 ja lk 2. Lase P on suvaline punkt koonilisel lõigul. Joonistame otse PF 1 , PF 2 ja pikendage joont PO. Need jooned puutuvad punktides sfääridega F 1 , F 2 ja R 1 , R 2. Kuna kõik ühest punktist sfäärile tõmmatud puutujad on võrdsed, siis PF 1 = PR 1 ja PF 2 = PR 2. Seega PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Alates lennukitest lk 1 ja lk 2 paralleelne, segment R 1 R 2 on püsiva pikkusega. Seega väärtus PR 1 + PR 2 on kõigi punktide positsioonide jaoks sama P, ja punkt P kuulub punktide asukohta, mille kauguste summa P enne F 1 ja F 2 on konstantne. Seetõttu punktid F 1 ja F 2 - elliptilise lõigu fookused. Lisaks saab näidata, et jooned, mida mööda lennuk lkületab lennuki lk 1 ja lk 2 on konstrueeritud ellipsi suunarid. Kui lkületab koonuse mõlemad õõnsused (joon. 5, b), siis asuvad kaks Dandelini sfääri samal pool tasapinda lk, üks kera igas koonuse õõnsuses. Sel juhul vahe PF 1 ja PF 2 on konstantne ja punktide asukoht P on koldega hüperbooli kujul F 1 ja F 2 ja sirgjooned - ristumisjooned lk Koos lk 1 ja lk 2 - direktoritena. Kui kooniline osa on parabool, nagu on näidatud joonisel fig. 5, V, siis saab koonusesse kirjutada ainult ühe Dandelini kera.
Muud omadused.
Kooniliste sektsioonide omadused on tõeliselt ammendamatud ja ükskõik millist neist võib pidada määravaks. oluline koht Matemaatiline kohtumine Pappa (umbes 300), geomeetriad Descartes (1637) ja Algused Newton (1687) tegeleb punktide asukoha probleemiga nelja joone suhtes. Kui tasapinnal on antud neli sirget L 1 , L 2 , L 3 ja L 4 (millest kaks sobivad) ja punkt P on selline, et kauguste korrutis P enne L 1 ja L 2 on võrdeline kauguste korrutisega P enne L 3 ja L 4, siis punktide asukoht P on kooniline osa. Arvestades ekslikult, et Apollonios ja Pappus ei suutnud lahendada punktide asukoha probleemi nelja sirge suhtes, lõi Descartes lahenduse saamiseks ja selle üldistamiseks analüütilise geomeetria.
ANALÜÜTILINE LÄHENEMISVIIS
Algebraline klassifikatsioon.
Algebraliselt võib koonuselõike defineerida kui tasapinnakõveraid, mille ristkoordinaadid vastavad teise astme võrrandile. Teisisõnu võib kõigi koonuselõike võrrandi kirjutada üldkujul kui
kus mitte kõik koefitsiendid A, B Ja C on võrdsed nulliga. Paralleelse tõlke ja telgede pööramise abil saab võrrandi (1) taandada kujule
kirves 2 + kõrval 2 + c = 0
px 2 + qy = 0.
Esimene võrrand saadakse võrrandist (1) koos B 2 № AC, teine - kl B 2 = AC. Koonilisi lõike, mille võrrandid on taandatud esimesele kujule, nimetatakse tsentraalseteks. Koonuselõiked, mis on antud teist tüüpi võrranditega q 0, nimetatakse mittekeskseteks. Nendes kahes kategoorias on üheksa erinevat tüüpi koonilised lõigud sõltuvalt koefitsientide märkidest.
2831) i a, b Ja c on sama märgiga, siis pole reaalseid punkte, mille koordinaadid rahuldaksid võrrandit. Sellist koonuselõike nimetatakse kujuteldavaks ellipsiks (või kujuteldavaks ringiks, kui a = b).
2) Kui a Ja b on üks märk ja c- vastupidine, siis on koonuselõik ellips (joon. 1, A); juures a = b- ring (joon. 6, b).
3) Kui a Ja b on erinevad märgid, siis on koonuselõik hüperbool (joonis 1, V).
4) Kui a Ja b on erinevad märgid ja c= 0, siis koosneb koonuslõik kahest ristuvast sirgest (joon. 6, A).
5) Kui a Ja b on üks märk ja c= 0, siis on kõveral ainult üks reaalne punkt, mis rahuldab võrrandit ja koonuselõik on kaks kujutletavat ristuvat sirget. Sel juhul räägitakse ka ellipsist, mis on kokkutõmbunud punktiks või kui a = b, tõmmatud ringi punktini (joonis 6, b).
6) Kui kumbki a, või b on võrdne nulliga ja ülejäänud koefitsientidel on erinevad märgid, siis koosneb koonuslõik kahest paralleelsest sirgest.
7) Kui kumbki a, või b on võrdne nulliga ja ülejäänud koefitsientidel on sama märk, siis pole võrrandit rahuldavat reaalset punkti. Sel juhul öeldakse, et koonuslõige koosneb kahest mõttelisest paralleelsest sirgest.
8) Kui c= 0 ja kas a, või b on samuti võrdne nulliga, siis koosneb koonuslõik kahest reaalsest kokkulangevast sirgest. (Võrrand ei määratle ühtegi koonuselõike juures a = b= 0, kuna sel juhul ei ole esialgne võrrand (1) teise astme võrrand.)
9) Teist tüüpi võrrandid defineerivad paraboolid, kui lk Ja q erinevad nullist. Kui lk nr 0 ja q= 0, saame kõvera punktist 8. Kui seevastu lk= 0, siis võrrand ei defineeri ühtegi koonuslõiget, kuna algne võrrand (1) ei ole teise astme võrrand.
Koonuslõigete võrrandite tuletamine.
Mistahes koonuselõike võib defineerida ka kui kõverat, mida mööda tasapind lõikub ruutpinnaga, s.t. teise astme võrrandiga antud pinnaga f (x, y, z) = 0. Ilmselt tunti sellisel kujul esmakordselt ära koonilised lõigud ja nende nimed ( vaata allpool) on seotud sellega, et need saadi koonusega tasapinna ületamisel z 2 = x 2 + y 2. Lase ABCD- õige ümmarguse koonuse alus (joonis 7), mille ülaosas on täisnurk V. Lase lennuk FDC lõikub generatrix VB punktis F, alus on sirgjooneline CD ja koonuse pind - piki kõverat DFPC, Kus P on suvaline punkt kõveral. Joonistage läbi segmendi keskosa CD- punkt E- otsene EF ja läbimõõt AB. Läbi punkti P joonistage koonuse põhjaga paralleelne tasapind, mis ristub koonusega ringis RPS ja otsene EF punktis K. Siis QF Ja QP võib võtta vastavalt abstsissi jaoks x ja ordinaat y punktid P. Saadud kõver on parabool.
Joonisel fig. 7, saab kasutada väljundiks üldvõrrandid koonilised lõigud. Perpendikulaarse lõigu pikkuse ruut, mis on taastatud läbimõõdu mis tahes punktist kuni ringiga ristumiskohani, on alati võrdne läbimõõdu segmentide pikkuste korrutisega. Sellepärast
y 2 = RQ H QS.
Parabooli puhul segment RQ on konstantse pikkusega (kuna punkti mis tahes asukoha jaoks P see on võrdne segmendiga AE) ja segmendi pikkus QS proportsionaalne x(suhtest QS/EB = QF/F.E.). Sellest järeldub
Kus a on konstantne koefitsient. Number a väljendab parabooli fookusparameetri pikkust.
Kui nurk koonuse tipus on terav, siis segment RQ ei ole võrdne lõikamisega AE; aga suhe y 2 = RQ H QS on samaväärne vormi võrrandiga
Kus a Ja b on konstandid või pärast telgede nihutamist võrrandisse
mis on ellipsi võrrand. Ellipsi ja telje lõikepunktid x (x = a Ja x = –a) ja ellipsi lõikepunktid teljega y (y = b Ja y = –b) määratleda vastavalt suur- ja kõrvaltelg. Kui nurk koonuse tipus on nüri, on koonuse ja tasandi lõikumiskõver hüperbooli kuju ja võrrand on järgmine:
või pärast telgede liigutamist
Sel juhul lõikepunktid teljega x, mille annab seos x 2 = a 2 , määratlege põiktelg ja lõikepunktid teljega y, mille annab seos y 2 = –b 2 määrake paaritustelg. Kui konstantne a Ja b võrrandis (4a) on võrdsed, siis nimetatakse hüperbooli võrdhaarseteks. Telgede pööramisel taandatakse selle võrrand vormile
xy = k.
Nüüd saame võrranditest (3), (2) ja (4) aru Apolloniuse poolt kolmele põhikoonuslõikele antud nimede tähendusest. Mõisted "ellips", "parabool" ja "hüperbool" pärinevad kreeka sõnadest, mis tähendavad "puudus", "võrdne" ja "ülemus". Võrranditest (3), (2) ja (4) on selge, et ellipsi puhul y 2 b 2 / a) x, parabooli jaoks y 2 = (a) x ja hüperbooli jaoks y 2 > (2b 2 /a) x. Igal juhul on sulgudes olev väärtus võrdne kõvera fookusparameetriga.
Apollonius ise käsitles ainult kolme üldist koonuslõigete tüüpi (eespool loetletud tüübid 2, 3 ja 9), kuid tema lähenemine tunnistab üldistust, mis võimaldab arvestada kõiki tegelikke teist järku kõveraid. Kui lõiketasand valitakse paralleelselt koonuse ümmarguse põhjaga, on lõik ringikujuline. Kui lõiketasandil on koonusega ainult üks ühine punkt, selle tipp, siis saadakse 5. tüüpi lõik; kui see sisaldab tippu ja koonuse puutujat, siis saame 8. tüüpi lõigu (joon. 6, b); kui lõiketasapinnas on kaks koonuse generaatorit, siis saadakse lõikes 4. tüüpi kõver (joon. 6, A); tipu viimisel lõpmatusesse muutub koonus silindriks ja kui tasapinnal on kaks generaatorit, siis saadakse 6. tüüpi lõik.
Kaldnurga alt vaadates näeb ring välja nagu ellips. Archimedesele tuntud ringi ja ellipsi vaheline suhe saab ilmseks, kui ringjoon X 2 + Y 2 = a 2 kasutades asendust X = x, Y = (a/b) y teisendada võrrandiga (3a) antud ellipsiks. muutumine X = x, Y = (ai/b) y, Kus i 2 = –1, võimaldab meil kirjutada ringjoone võrrandi kujul (4a). See näitab, et hüperbooli võib vaadelda kujuteldava kõrvalteljega ellipsina või vastupidi, ellipsi võib vaadelda kui kujuteldava konjugeeritud teljega hüperbooli.
Ringjoone ordinaatide vaheline seos x 2 + y 2 = a 2 ja ellips ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 viib otse Archimedese valemini A = p ab ellipsi pindala jaoks. Kepler teadis ligikaudset valemit lk(a + b) ringilähedase ellipsi perimeetri kohta, kuid täpne avaldis saadi alles 18. sajandil. pärast elliptiliste integraalide kasutuselevõttu. Nagu Archimedes näitas, on paraboolse lõigu pindala neli kolmandikku sisse kirjutatud kolmnurga pindalast, kuid parabooli kaare pikkust sai arvutada alles pärast 17. sajandit. leiutati diferentsiaalarvutus.
PROJEKTIIVNE LÄHENEMISVIIS
Projektiivne geomeetria on tihedalt seotud perspektiivi konstrueerimisega. Kui joonistate läbipaistvale paberilehele ringi ja asetate selle valgusallika alla, projitseeritakse see ring allpool olevale tasapinnale. Sel juhul, kui valgusallikas asub otse ringi keskpunkti kohal ning tasapind ja läbipaistev leht on paralleelsed, on projektsioon samuti ring (joonis 8). Valgusallika asukohta nimetatakse kadumispunktiks. See on tähistatud tähega V. Kui V ei asu ringi keskpunkti kohal või kui tasapind ei ole paberilehega paralleelne, siis on ringi projektsioon ellipsi kujuline. Tasapinna veelgi suurema kalde korral pikeneb ellipsi peatelg (ringjoone projektsioon) ja ellips muutub järk-järgult parabooliks; sirgjoonega paralleelsel tasapinnal VP, projektsioon näeb välja nagu parabool; veelgi suurema kaldega võtab projektsioon hüperbooli ühe haru kuju.
Iga punkt algsel ringil vastab mõnele projektsiooni punktile. Kui projektsioonil on parabooli või hüperbooli kuju, siis öeldakse, et punktile vastav punkt P, on lõpmatus või lõpmatus.
Nagu nägime, saab sobiva kadumispunktide valiku korral ringjoone projitseerida erineva suuruse ja erineva ekstsentrilisusega ellipsideks ning suuremate telgede pikkused ei ole otseselt seotud projekteeritava ringi läbimõõduga. Seetõttu projektiivne geomeetria ei tegele kauguste ega pikkustega iseenesest, selle ülesandeks on uurida pikkuste suhet, mis projektsioonis säilib. Selle seose saab leida järgmise konstruktsiooni abil. läbi mis tahes punkti P tasapinnal tõmbame suvalisele ringile kaks puutujat ja ühendame puutepunktid sirgjoonega lk. Laske punkti läbida veel üks sirge P, lõikab ringi punktides C 1 ja C 2, vaid sirgjoon lk- punktis K(joonis 9). Planimeetria tõestab seda PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Miinusmärk ilmneb segmendi suuna tõttu QC 1 vastupidine teiste lõikude suundadele.) Teisisõnu punktid P Ja K segmenti jagada C 1 C 2 väliselt ja sisemiselt samas osas; nad ütlevad ka, et nelja segmendi harmooniline suhe on - 1. Kui ring projitseeritakse koonuslõikesse ja vastavate punktide jaoks on samad tähised, siis harmooniline suhe ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) jääb võrdseks - 1. Punkt P nimetatakse liini pooluseks lk koonuselõike ja sirge suhtes lk- polaarpunkt P koonuseosa suhtes.
Kui punkt P läheneb koonilisele lõigule, polaar kipub võtma puutuja positsiooni; kui punkt P asub koonuslõikel, siis selle polaar langeb kokku koonuselõike puutujaga punktis P. Kui punkt P asub koonilise lõigu sees, siis saab selle polaarset konstrueerida järgmiselt. Lähme punktist läbi P mis tahes sirge, mis lõikab koonuselõike kahes punktis; joonestada koonuselõike ristumiskohtades puutujad; oletame, et need puutujad ristuvad punktis P 1 . Lähme punktist läbi P teine sirge, mis lõikab koonuselõike kahes teises punktis; oletame, et koonuselõike puutujad nendes uutes punktides ristuvad punktis P 2 (joonis 10). Punkte läbiv sirge P 1 ja P 2 ja seal on soovitud polaar lk. Kui punkt P keskusele lähenedes O keskne kooniline osa, seejärel polaarne lk eemaldub O. Kui punkt P langeb kokku O, siis muutub selle polaar lõpmatuseni ehk ideaalseks tasapinnal sirgeks.
ERIHOONED
Astronoomidele pakub erilist huvi järgmine lihtne ellipsi punktide konstrueerimine, kasutades kompassi ja sirgjoont. Olgu punkti läbiv suvaline sirge O(Joonis 11, A), lõikub punktides K Ja R kaks kontsentrilist ringi, mille keskpunkt on punkt O ja raadiused b Ja a, Kus b a. Lähme punktist läbi K horisontaaljoon ja R- vertikaalne joon ja tähistavad nende ristumispunkti P P otse pöörlemisel OQR täpi ümber O tuleb ellips. Nurk f rea vahele OQR ja peatelge nimetatakse ekstsentriliseks nurgaks ja konstrueeritud ellips on mugavalt määratletud parameetriliste võrranditega x = a cos f, y = b patt f. Välja arvatud parameeter f, saame võrrandi (3a).
Hüperbooli puhul on konstruktsioon suures osas sarnane. Punkti läbiv meelevaldne sirge O, lõikab punktis ühte kahest ringist R(Joonis 11, b). Täiendavalt Rüks ring ja lõpp-punkti S teise ringi horisontaalne läbimõõt, joonistame puutujad ristuvad OS punktis T Ja VÕI- punktis K. Laske punkti läbival vertikaalsel joonel T ja punkti läbiv horisontaaljoon K, ristuvad punktis P. Siis punktide asukoht P segmendi pööramisel VÕIümber O seal on parameetriliste võrranditega antud hüperbool x = a sek f, y = b tg f, Kus f- ekstsentriline nurk. Need võrrandid sai prantsuse matemaatik A. Legendre (1752–1833). Parameetri väljajätmisega f, saame võrrandi (4a).
Nagu märkis N. Kopernik (1473-1543), saab ellipsi ehitada epitsüklilise liikumise abil. Kui ring veereb mööda libisemata sees teine ring, mille läbimõõt on kaks korda suurem, seejärel iga punkt P, mis ei asu väiksemal ringil, vaid on selle suhtes fikseeritud, kirjeldab ellipsi. Kui punkt P on väiksemal ringil, siis on selle punkti trajektoor ellipsi degenereerunud juhtum – suurema ringi läbimõõt. Veelgi lihtsama ellipsi konstruktsiooni pakkus välja Proclus 5. sajandil. Kui lõpeb A Ja B sirgjooneline segment AB etteantud pikkusega libistage mööda kahte fikseeritud ristuvat sirget (näiteks piki koordinaattelge), seejärel iga sisepunkti P segment kirjeldab ellipsi; Hollandi matemaatik F. van Schoten (1615–1660) näitas, et libiseva segmendi suhtes fikseeritud lõikejoonte tasapinna mis tahes punkt kirjeldab ka ellipsi.
B. Pascal (1623–1662) sõnastas 16-aastaselt nüüdseks kuulsa Pascali teoreemi, mis ütleb: kolm kuusnurga mistahes koonuslõikesse kirjutatud vastaskülgede lõikepunkti asuvad ühel sirgel. Pascal tuletas sellest teoreemist enam kui 400 järeldust.
Kooniline pind on pind, mis on moodustatud sirgjoontest - moodustades koonuse - läbides antud punkti - koonuse tipu - ja lõikuvad antud joonega - koonuse juhikuga. Laske koonuse juhikul olla võrrandid
ja koonuse tipul on koordinaadid.Koonuse generaatorite kanoonilised võrrandid, mis läbivad punkti ) ja juhi punkti läbivad sirged on;
Eemaldades x, y ja z neljast võrrandist (3) ja (4), saame soovitud võrrandi koonilise pinna jaoks. Sellel võrrandil on väga lihtne omadus: see on erinevuste suhtes homogeenne (st kõik selle liikmed on sama mõõtmega). Tõepoolest, oletame esmalt, et koonuse tipp asub algpunktis. Olgu X, Y ja Z koonuse mis tahes punkti koordinaadid; seetõttu rahuldavad nad koonuse võrrandit. Pärast koonuste X, Y ja Z asendamist võrrandis vastavalt XX, XY, XZ kaudu, kus X on suvaline tegur, peab võrrand olema täidetud, kuna XX, XY ja XZ on sirge punkti koordinaadid. joon, mis läbib alguspunkti punkti, st koonuse generatriks. Seetõttu ei muutu koonuse võrrand, kui korrutame kõik praegused koordinaadid sama arvuga X. Sellest järeldub, et see võrrand peab olema praeguste koordinaatide suhtes homogeenne.
Kui koonuse tipp asub punktis, kanname koordinaatide alguspunkti tippu ja vastavalt tõestatule on koonuse teisendatud võrrand teiste koordinaatide suhtes homogeenne, st.
Näide. Koostage võrrand koonuse jaoks, mille tipp on alguspunktis ja juhis
Koonuse tippu (0, 0, C) ja juhiku punkti läbivate generaatorite kanoonilised võrrandid on järgmised:
Likvideerige x, y ja neljast antud võrrandist. Asendades c, määrame y kahe viimase võrrandi põhjal.
Teise järgu pinnad on pinnad, mis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratud teise astme algebraliste võrranditega.
1. Ellipsoid.
Ellipsoid on pind, mis mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratletud võrrandiga:Nimetatakse võrrandit (1). ellipsoidi kanooniline võrrand.
Määrake ellipsoidi geomeetriline vaade. Selleks vaadeldakse antud ellipsoidi lõike tasapinnaga paralleelsete tasandite kaupa Oxy. Kõik need tasapinnad on määratletud vormi võrrandiga z=h, Kus h- suvaline arv ja jaotises saadud rida määratakse kahe võrrandiga
(2)Uurime võrrandeid (2) erinevate väärtuste jaoks h .
> c(c>0), siis võrrandid (2) defineerivad ka imaginaarse ellipsi, st tasapinna lõikepunktid z=h antud ellipsoidiga ei eksisteeri. , See ja sirge (2) degenereerub punktideks (0; 0; +). c) ja (0; 0; - c) (tasapinnad puudutavad ellipsoidi). , siis võrrandeid (2) saab esitada kujulmillest järeldub, et lennuk z=h lõikub ellipsoidiga piki ellipsi pooltelgedega
Ja . Vähenemisel suurenevad ja väärtused ning jõuavad omani kõrgeimad väärtused juures , st ellipsoidi lõigus koordinaattasandil Oxy selgub suurim pooltelgedega ellips ja .Sarnane pilt saadakse siis, kui antud pinda lõikuvad koordinaattasanditega paralleelsed tasapinnad Oxz Ja Oyz.
Seega võimaldavad vaadeldavad lõiked kujutada ellipsoidi suletud ovaalse pinnana (joonis 156). Kogused a, b, c helistas telje võllid ellipsoid. Millal a=b=c ellipsoid on kerath.
2. Üheribaline hüperboloid.
Üheribaline hüperboloid on pind, mis mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on defineeritud võrrandiga (3)Võrrandit (3) nimetatakse üheribalise hüperboloidi kanooniliseks võrrandiks.
Määrake pinna tüüp (3). Selleks kaaluge lõiku selle koordinaattasandite järgi Oxy (y=0)JaOx(x=0). Saame vastavalt võrrandid
JaVaatleme nüüd antud hüperboloidi lõike koordinaattasandiga paralleelsete tasapindade kaupa z=h Oxy. Lõikes saadud sirge määratakse võrranditega
või (4)millest järeldub, et tasand z=h lõikab hüperboloidi piki pooltelgedega ellipsi
ja ,saavutades oma madalaimad väärtused h = 0, st. selle hüperboloidi lõigus tekitab koordinaattelg Oxy väikseima ellipsi pooltelgedega a*=a ja b*=b. Lõpmatu kasvuga
suurused a* ja b* suurenevad lõpmatult.Seega võimaldavad vaadeldavad lõigud kujutada üheribalist hüperboloidi lõpmatu toruna, mis Oxy tasapinnast (mõlemal küljel) eemaldudes lõpmatult laieneb.
Suurusi a, b, c nimetatakse üheribalise hüperboloidi pooltelgedeks.
3. Kaheleheline hüperboloid.
Kaheleheline hüperboloid on pind, mis mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on defineeritud võrrandiga
Võrrandit (5) nimetatakse kahelehelise hüperboloidi kanooniliseks võrrandiks.
Teeme kindlaks pinna geomeetrilise kuju (5). Selleks kaaluge selle lõike koordinaattasandite Oxy ja Oyz järgi. Saame vastavalt võrrandid
Jamillest järeldub, et lõikudes saadakse hüperboolid.
Vaatleme nüüd antud hüperboloidi lõike koordinaattasandiga Oxy paralleelsete tasanditega z=h. Lõikes saadud sirge määratakse võrranditega
või (6)millest järeldub, et
>c (c>0) tasapind z=h lõikab hüperboloidi piki ellipsi pooltelgedega ja . Väärtuse kasvades suurenevad ka a* ja b*. Võrrandid (6) on täidetud ainult kahe punkti koordinaatidega: (0; 0; + c) ja (0; 0; - c) (tasandid puudutavad antud pinda). võrrandid (6) defineerivad kujuteldava ellipsi, st. z=h tasandi ristumispunkte antud hüperboloidiga ei ole.Suurusi a, b ja c nimetatakse kahelehelise hüperboloidi pooltelgedeks.
4. Elliptiline paraboloid.
Elliptiline paraboloid on pind, mis mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratletud võrrandiga
(7)kus p>0 ja q>0.
Võrrandit (7) nimetatakse elliptilise paraboloidi kanooniliseks võrrandiks.
Vaatleme antud pinna lõikeid koordinaattasandite Oxy ja Oyz järgi. Saame vastavalt võrrandid
Jamillest järeldub, et lõikudes saadakse Oz-telje suhtes sümmeetrilised paraboolid, mille tipud on algpunktis. (8)
millest järeldub, et . Kui h suureneb, suurenevad ka a ja b; h=0 korral degenereerub ellips punktiks (tasand z=0 puudutab antud hüperboloidi). Sest h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Seega võimaldavad vaadeldavad lõigud kujutada elliptilist paraboloidi lõpmatult kumera kausi kujul.
Punkti (0;0;0) nimetatakse paraboloidi tipuks; arvud p ja q on selle parameetrid.
Kui p=q, võrrand (8) defineerib ringi, mille keskpunkt on Oz-teljel, st. Elliptilist paraboloidi võib vaadelda pinnana, mis moodustub parabooli pöörlemisel ümber oma telje (pöördeparaboloid).
5. Hüperboolne paraboloid.
Hüperboolne paraboloid on pind, mis mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratletud võrrandiga
(9)2. järku pindadega kohtub üliõpilane kõige sagedamini esimesel kursusel. Esialgu võivad selleteemalised ülesanded tunduda lihtsad, kuid kõrgemat matemaatikat õppides ja teaduslikku külge süvenedes võid lõpuks lõpetada toimuvas orienteerumise. Et seda ei juhtuks, on vaja mitte ainult meelde jätta, vaid mõista, kuidas see või teine pind saadakse, kuidas koefitsientide muutmine mõjutab seda ja selle asukohta algse koordinaatsüsteemi suhtes ning kuidas leida uus süsteem (selline, mille keskpunkt ühtib lähtekoordinaatidega, kuid paralleelne ühe koordinaatide teljega). Alustame päris algusest.
Definitsioon
Teist järku pind on GMT, mille koordinaadid vastavad järgmise vormi üldvõrrandile:
On selge, et igal pinnale kuuluval punktil peab olema kolm koordinaati mingil kindlal alusel. Kuigi mõnel juhul võib punktide lokus degenereeruda näiteks tasapinnaks. See tähendab ainult seda, et üks koordinaatidest on konstantne ja võrdub nulliga kogu lubatud väärtuste vahemikus.
Ülalmainitud võrdsuse täielik maalitud vorm näeb välja järgmine:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - mingid konstandid, x, y, z - muutujad, mis vastavad mingi punkti afiinsetele koordinaatidele. Samal ajal ei tohi vähemalt üks konstantsetest teguritest olla võrdne nulliga, see tähendab, et võrrandile ei vasta ükski punkt.
Valdav enamiku näidete puhul on paljud arvulised tegurid endiselt võrdsed nulliga ja võrrand on oluliselt lihtsustatud. Praktikas ei ole punkti pinda kuuluvuse kindlakstegemine keeruline (piisab, kui asendada võrrandisse selle koordinaadid ja kontrollida, kas identsust täheldatakse). Sellise töö võtmepunkt on viimase taandamine kanoonilisele vormile.
Ülalkirjeldatud võrrand määratleb mis tahes (kõik allpool loetletud) teist järku pinnad. Vaatleme allpool näiteid.
II järgu pindade tüübid
Teist järku pindade võrrandid erinevad ainult koefitsientide A nm väärtuste poolest. Üldiselt võib konstantide teatud väärtuste jaoks saada erinevaid pindu, mis on klassifitseeritud järgmiselt:
- Silindrid.
- Elliptiline tüüp.
- hüperboolne tüüp.
- Kooniline tüüp.
- paraboolne tüüp.
- Lennukid.
Igal loetletud tüübil on loomulik ja kujuteldav vorm: kujuteldavas vormis reaalsete punktide asukoht kas taandub lihtsamaks kujundiks või puudub üldse.
silindrid
See on kõige lihtsam tüüp, kuna suhteliselt keeruline kõver asub ainult põhjas, toimides juhisena. Generaatorid on sirgjooned, mis on risti tasapinnaga, milles alus asub.
Graafik näitab ringikujulist silindrit, elliptilise silindri erijuhtu. XY tasapinnal on selle projektsioon ellips (meie puhul ring) - juhik ja XZ - ristkülik - kuna generaatorid on paralleelsed Z-teljega. Selle saamiseks üldvõrrandist on vaja anda koefitsientidele järgmised väärtused:
Tavaliste tähiste asemel kasutatakse seerianumbriga x, y, z, x - sellel pole tähtsust.
Tegelikult on 1/a 2 ja teised siin näidatud konstandid samad koefitsiendid, mis on näidatud üldvõrrandis, kuid tavaks on need kirjutada sellisel kujul - see on kanooniline esitus. Järgnevalt kasutatakse ainult sellist tähistust.
Nii defineeritakse hüperboolsilindrit. Skeem on sama – juhiks saab hüperbool.
Paraboolsilindrit defineeritakse veidi teistmoodi: selle kanooniline vorm sisaldab koefitsienti p, mida nimetatakse parameetriks. Tegelikult on koefitsient võrdne q=2p, kuid tavaks on see jagada kaheks esitatud teguriks.
On ka teist tüüpi silindrid: kujuteldavad. Sellisele silindrile ei kuulu päris punkt. Seda kirjeldab elliptilise silindri võrrand, kuid ühtsuse asemel on see -1.
Elliptiline tüüp
Ellipsoidi saab venitada piki ühte telgedest (mida mööda see sõltub ülaltoodud konstantide a, b, c väärtustest; on ilmne, et suuremale teljele vastab suurem koefitsient).
Samuti on olemas kujuteldav ellipsoid - eeldusel, et koordinaatide summa, mis on korrutatud koefitsientidega, on -1:
Hüperboloidid
Kui ühes konstandis ilmub miinus, muutub ellipsoidi võrrand ühelehelise hüperboloidi võrrandiks. Tuleb aru saada, et see miinus ei pea asuma x 3 koordinaadi ees! See määrab ainult, milline telgedest on hüperboloidi pöörlemistelg (või sellega paralleelne, sest kui ruudule ilmuvad täiendavad terminid (näiteks (x-2) 2), nihkub joonise keskpunkt, nagu selle tulemusena liigub pind paralleelselt koordinaattelgedega). See kehtib kõikide 2. järku pindade kohta.
Lisaks tuleb mõista, et võrrandid esitatakse kanoonilisel kujul ja neid saab muuta konstante muutes (märk säilinud!); samas kui nende vorm (hüperboloid, koonus ja nii edasi) jääb samaks.
Sellise võrrandi annab juba kaheleheline hüperboloid.
kooniline pind
Koonuse võrrandis pole ühikut – võrdsus nulliga.
Ainult piiratud koonusekujulist pinda nimetatakse koonuseks. Alloleval pildil on näha, et tegelikult jääb graafikule kaks nn koonust.
Oluline märkus: kõigis vaadeldavates kanoonilistes võrrandites eeldatakse, et konstandid on vaikimisi positiivsed. Vastasel juhul võib märk lõplikku diagrammi mõjutada.
Koordinaattasanditest saavad koonuse sümmeetriatasandid, sümmeetriakese asub algpunktis.
Imaginaarses koonuse võrrandis on ainult plussid; sellel on üksainus tõeline punkt.
Paraboloidid
2. järku pinnad ruumis võivad isegi sarnaste võrrandite korral võtta erineva kuju. Näiteks on kahte tüüpi paraboloide.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z
Elliptiline paraboloid, kui Z-telg on joonisega risti, projitseeritakse ellipsiks.
x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z
Hüperboolne paraboloid: lõigud, mille tasapinnad on paralleelsed ZY-ga, tekitavad paraboolid ja lõigud, mille tasandid on paralleelsed XY-ga, tekitavad hüperboole.
Lõikuvad lennukid
On juhtumeid, kus 2. järku pinnad degenereeruvad tasapinnaks. Neid tasapindu saab paigutada mitmel viisil.
Kõigepealt mõelge ristuvatele tasapindadele:
x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0
See kanoonilise võrrandi modifikatsioon annab tulemuseks vaid kaks lõikuvat tasapinda (kujuteldav!); kõik reaalpunktid asuvad selle koordinaadi teljel, mida võrrandis ei ole (kanoonilises - Z-teljel).
Paralleelsed tasapinnad
Ainult ühe koordinaadi olemasolul manduvad 2. järku pinnad paralleelsete tasandite paariks. Pidage meeles, et mis tahes muu muutuja võib asendada Y; siis saadakse teiste telgedega paralleelsed tasapinnad.
Sel juhul muutuvad need kujuteldavaks.
Kokkulangevad lennukid
Sellise lihtsa võrrandiga taandub tasapindade paar üheks – need langevad kokku.
Ärge unustage, et kolmemõõtmelise aluse korral ei määratle ülaltoodud võrrand sirget y=0! Sellel ei ole kahte muud muutujat, kuid see tähendab lihtsalt, et nende väärtus on konstantne ja võrdne nulliga.
Hoone
Üks keerulisemaid ülesandeid õpilase jaoks on II järku pindade ehitamine. Veelgi keerulisem on liikuda ühest koordinaatsüsteemist teise, arvestades kõvera nurki telgede suhtes ja keskpunkti nihet. Kordame üle, kuidas joonise tulevast vaadet analüütiliselt järjestikku määrata.
Teise järgu pinna ehitamiseks vajate:
- viia võrrand kanoonilisele kujule;
- määrata uuritava pinna tüüp;
- konstrueerida koefitsientide väärtuste põhjal.
Kõik vaadeldavad tüübid on loetletud allpool:
Konsolideerimiseks kirjeldame üksikasjalikult ühte seda tüüpi ülesannete näidet.
Näited
Oletame, et meil on võrrand:
3 (x 2 - 2x + 1) + 6 a 2 + 2 z 2 + 60 a + 144 = 0
Toome selle kanoonilisele kujule. Toome eraldi välja täisruudud, st järjestame olemasolevad terminid nii, et need on summa või vahe ruudu laiendus. Näiteks: kui (a+1) 2 =a 2 +2a+1, siis a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Teeme teise operatsiooni. Sel juhul ei ole vaja sulgusid avada, kuna see muudab arvutused ainult keerulisemaks, kuid on vaja välja võtta ühine tegur 6 (sulgudes Y täisruuduga):
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Muutuja z esineb sel juhul vaid üks kord – selle võib esialgu puutumata jätta.
Selles etapis analüüsime võrrandit: kõigile tundmatutele eelneb plussmärk; kuuega jagades jääb üks. Seetõttu on meil võrrand, mis määratleb ellipsoidi.
Pange tähele, et 144 on arvestatud 150-6-ks, mille järel on -6 nihutatud paremale. Miks tuli seda nii teha? On ilmne, et selle näite suurim jagaja on -6, seega selleks, et üksus jääks pärast sellega jagamist paremale, on vaja 144-st täpselt 6 "edasida" (vaba liikme olemasolu, konstant, mida ei korruta tundmatuga).
Jagage kõik kuuega ja saage ellipsoidi kanooniline võrrand:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2/3=1
Varem kasutatud 2. järku pindade klassifikatsioonis käsitletakse konkreetset juhtumit, kui kujundi keskpunkt on algpunktis. Selles näites on see nihutatud.
Eeldame, et iga sulg tundmatutega on uus muutuja. See tähendab: a=x-1, b=y+5, c=z. Uutes koordinaatides langeb ellipsoidi keskpunkt kokku punktiga (0,0,0), seega a=b=c=0, kust: x=1, y=-5, z=0. Algkoordinaatides asub joonise keskpunkt punktis (1,-5,0).
Ellipsoid saadakse kahest ellipsist: esimene XY tasapinnal ja teine XZ tasapinnal (või YZ – vahet pole). Koefitsiendid, millega muutujad jagunevad, on kanoonilises võrrandis ruudus. Seetõttu oleks ülaltoodud näites õigem jagada kahe, ühe ja kolme juurega.
Esimese ellipsi väiketelg, mis on paralleelne Y-teljega, on kaks. X-teljega paralleelne peatelg on kahe kaks juurt. Teise ellipsi väiketelg, mis on paralleelne Y-teljega, jääb samaks - see on võrdne kahega. Ja suurtelg, mis on paralleelne Z-teljega, on võrdne kahe juurega kolmest.
Kasutades algsest võrrandist kanoonilisele vormile teisendamise teel saadud andmeid, saame joonistada ellipsoidi.
Summeerida
Selles artiklis käsitletav teema on üsna ulatuslik, kuid tegelikult, nagu nüüd näete, mitte eriti keeruline. Selle areng lõppeb tegelikult hetkel, kui pindade nimed ja võrrandid (ja muidugi ka nende välimus) pähe õpid. Ülaltoodud näites käsitlesime iga sammu üksikasjalikult, kuid võrrandi viimine kanoonilisele kujule nõuab minimaalseid teadmisi kõrgemast matemaatikast ega tohiks õpilasele raskusi tekitada.
Tulevase ajakava analüüs olemasoleva võrdsuse järgi on juba keerulisem ülesanne. Kuid selle edukaks lahendamiseks piisab, kui mõista, kuidas on üles ehitatud vastavad teist järku kõverad - ellipsid, paraboolid ja muud.
Degeneratsioonijuhtumid on veelgi lihtsam osa. Mõnede muutujate puudumise tõttu ei ole lihtsustatud mitte ainult arvutused, nagu varem mainitud, vaid ka konstruktsioon ise.
Niipea, kui suudate julgelt nimetada igat tüüpi pindu, varieerida konstante, muutes graafiku üheks või teiseks kujundiks, saab teema selgeks.
Edu õppimisel!
