Ülesanded kogust Kuznetsova L. A. Graafi Y x 3 x 1 funktsiooni ja konstruktsiooni täielik uurimine, uurige funktsiooni

Lahendaja Kuznetsov.
III diagrammid

Ülesanne 7. Viige läbi funktsiooni täielik uuring ja koostage selle graafik.

Enne valikute allalaadimise alustamist proovige probleem lahendada allpool 3. valiku puhul toodud näite järgi. Mõned valikud on arhiveeritud .rar-vormingus

7.3 Viige läbi funktsiooni täielik uuring ja koostage see graafik

Lahendus.

1) Määratluse ulatus: või , see tähendab .
.
Seega: .

2) Härja teljega lõikepunkte pole. Tõepoolest, võrrandil pole lahendusi.
Oy teljega lõikepunkte pole, kuna .

3) Funktsioon ei ole paaris ega paaritu. Ordinaattelje suhtes sümmeetriat pole. Samuti puudub sümmeetria päritolu suhtes. Sest
.
Näeme, et ja .

4) Funktsioon on definitsioonipiirkonnas pidev
.

; .

; .
Järelikult on punkt teist tüüpi katkestuspunkt (lõpmatu katkestus).

5) Vertikaalsed asümptoodid:

Leiame kaldu asümptoodi . Siin

;
.
Järelikult on meil horisontaalne asümptoot: y=0. Kaldus asümptoote pole.

6) Leiame esimese tuletise. Esimene tuletis:
.
Ja sellepärast
.
Leiame statsionaarsed punktid, kus tuletis on võrdne nulliga, st
.

7) Leiame teise tuletise. Teine tuletis:
.
Ja seda on lihtne kontrollida, kuna

Kui ülesanne nõuab funktsiooni f (x) = x 2 4 x 2 - 1 täielikku uurimist selle graafiku koostamisel, siis käsitleme seda põhimõtet üksikasjalikult.

Seda tüüpi probleemi lahendamiseks peaksite kasutama põhiliste elementaarfunktsioonide omadusi ja graafikuid. Uurimisalgoritm sisaldab järgmisi samme:

Määratluspiirkonna leidmine

Kuna uurimistööd tehakse funktsiooni määratlemise valdkonnas, tuleb alustada sellest sammust.

Näide 1

Taga see näide hõlmab nimetaja nullide leidmist, et need ODZ-st välja jätta.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Selle tulemusena saate juured, logaritmid jne. Siis saab ODZ-st otsida paarisastmelise tüübi g (x) 4 juure võrratuse g (x) ≥ 0 abil, logaritmi logaritmi jaoks loga g (x) võrratuse g (x) > 0 abil.

ODZ piiride uurimine ja vertikaalsete asümptootide leidmine

Funktsiooni piiridel on vertikaalsed asümptoodid, kui ühepoolsed piirid sellistes punktides on lõpmatud.

Näide 2

Näiteks kaaluge piiripunkte, mis on võrdsed x = ± 1 2.

Siis on vaja uurida funktsiooni ühepoolse piiri leidmiseks. Siis saame, et: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = piir x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = piir x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ piir x → 1 2 - 0 f (x) = piir x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = piir x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

See näitab, et ühepoolsed piirid on lõpmatud, mis tähendab, et sirged x = ± 1 2 on graafiku vertikaalsed asümptoodid.

Funktsiooni uurimine ja selle, kas see on paaris või paaritu

Kui tingimus y (- x) = y (x) on täidetud, loetakse funktsioon paarituks. See viitab sellele, et graafik asub Oy suhtes sümmeetriliselt. Kui tingimus y (- x) = - y (x) on täidetud, loetakse funktsioon paarituks. See tähendab, et sümmeetria on koordinaatide alguspunkti suhtes. Kui vähemalt üks võrratus ei ole täidetud, saame üldvormi funktsiooni.

Võrdsus y (- x) = y (x) näitab, et funktsioon on paaris. Ehitamisel tuleb arvestada, et Oy suhtes tekib sümmeetria.

Ebavõrdsuse lahendamiseks kasutatakse suurenemise ja kahanemise intervalle vastavalt tingimustel f " (x) ≥ 0 ja f " (x) ≤ 0.

Definitsioon 1

Statsionaarsed punktid- need on punktid, mis muudavad tuletise nulliks.

Kriitilised punktid- need on sisemised punktid definitsioonipiirkonnast, kus funktsiooni tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

Otsuse tegemisel tuleb arvestada järgmiste märkustega:

olemasolevate suurenevate ja kahanevate võrratuste intervallide korral kujul f " (x) > 0 kriitilisi punkte lahendusse ei arvestata;
punktid, kus funktsioon on määratletud ilma lõpliku tuletiseta, peavad sisalduma suurenemise ja kahanemise intervallides (näiteks y = x 3, kus punkt x = 0 muudab funktsiooni defineeritud, tuletis on sellel kohal lõpmatuse väärtusega punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 on kaasatud suurenevasse intervalli);
Eriarvamuste vältimiseks on soovitatav kasutada haridusministeeriumi soovitatud matemaatilist kirjandust.

Kriitiliste punktide kaasamine suurenemise ja kahanemise intervallidesse, kui need vastavad funktsiooni määratlusvaldkonnale.

2. definitsioon

Sest funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallide määramisel on vaja leida:

tuletis;
kriitilised punktid;
jagada definitsioonipiirkond kriitiliste punktide abil intervallideks;
määrake tuletise märk igal intervallil, kus + on kasv ja - on vähenemine.

Näide 3

Leidke tuletis definitsioonipiirkonnast f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lahendus

Lahendamiseks vajate:

leidke statsionaarsed punktid, selles näites on x = 0;
leidke nimetaja nullid, näide võtab väärtuseks null x = ± 1 2.

Asetame punktid arvujoonele, et määrata iga intervalli tuletis. Selleks piisab, kui võtta intervallist suvaline punkt ja teha arvutus. Kui tulemus on positiivne, kujutame graafikul +, mis tähendab, et funktsioon suureneb ja - tähendab, et see väheneb.

Näiteks f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, mis tähendab, et vasakpoolsel esimesel intervallil on + märk. Vaatleme arvureal.

Vastus:

funktsioon suureneb intervallil - ∞; - 1 2 ja (- 1 2 ; 0 ] ;
esineb intervalli vähenemine [0; 1 2) ja 1 2; + ∞ .

Diagrammil on + ja - abil kujutatud funktsiooni positiivsus ja negatiivsus ning nooled näitavad vähenemist ja suurenemist.

Funktsiooni äärmuspunktid on punktid, kus funktsioon on defineeritud ja mille kaudu tuletis muudab märki.

Näide 4

Kui vaadelda näidet, kus x = 0, siis selles oleva funktsiooni väärtus on võrdne f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kui tuletise märk muutub + asemel - ja läbib punkti x = 0, siis loetakse punkti koordinaatidega (0; 0) maksimumpunktiks. Kui märk muutub väärtusest - +, saame miinimumpunkti.

Kumerus ja nõgusus määratakse, lahendades võrratused kujul f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0. Harvemini kasutatakse nimetust nõgususe asemel kumerus allapoole ja kumeruse asemel kumerus ülespoole.

3. määratlus

Sest nõgususe ja kumeruse intervallide määramine vajalik:

leida teine tuletis;
leida teise tuletisfunktsiooni nullid;
jaga definitsiooniala esinevate punktidega intervallideks;
määrake intervalli märk.

Näide 5

Leia definitsioonipiirkonnast teine tuletis.

Lahendus

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Leiame lugeja ja nimetaja nullid, kus meie näites on, et nimetaja nullid x = ± 1 2

Nüüd peate joonistama punktid arvujoonele ja määrama iga intervalli teise tuletise märgi. Me saame sellest aru

Vastus:

funktsioon on kumer vahemikust - 1 2 ; 12;
funktsioon on intervallidest - ∞ nõgus; - 1 2 ja 1 2; + ∞ .

4. määratlus

Pöördepunkt– see on punkt kujul x 0 ; f (x 0) . Kui tal on funktsiooni graafiku puutuja, siis kui see läbib x 0, muudab funktsioon märgi vastupidiseks.

Teisisõnu, see on punkt, mille teine tuletis läbib ja muudab märki ning punktides endis on see võrdne nulliga või seda pole olemas. Kõik punktid loetakse funktsiooni valdkonnaks.

Näites oli selge, et käändepunkte pole, kuna teine tuletis muudab märki punktide x = ± 1 2 läbimisel. Need omakorda ei kuulu määratluse alla.

Horisontaalsete ja kaldu asümptootide leidmine

Funktsiooni defineerimisel lõpmatuses peate otsima horisontaalseid ja kaldu asümptoote.

Definitsioon 5

Kaldus asümptoodid on kujutatud sirgjoonte abil, mis on antud võrrandiga y = k x + b, kus k = lim x → ∞ f (x) x ja b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Kui k = 0 ja b ei ole võrdne lõpmatusega, leiame, et kaldus asümptoot muutub horisontaalne.

Teisisõnu loetakse asümptootideks sirgeid, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatuses. See hõlbustab funktsioonigraafiku kiiret koostamist.

Kui asümptoote pole, kuid funktsioon on defineeritud mõlemas lõpmatuses, on vaja arvutada funktsiooni piir nendes lõpmatustes, et mõista, kuidas funktsiooni graafik käitub.

Näide 6

Vaatleme näitena seda

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

on horisontaalne asümptoot. Pärast funktsiooni uurimist võite alustada selle koostamist.

Funktsiooni väärtuse arvutamine vahepunktides

Graafiku täpsemaks muutmiseks on soovitatav vahepunktides leida mitu funktsiooni väärtust.

Näide 7

Vaadeldavast näitest on vaja leida funktsiooni väärtused punktides x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Kuna funktsioon on paaris, saame, et väärtused langevad kokku nende punktide väärtustega, see tähendab, et saame x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Kirjutame ja lahendame:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funktsiooni maksimumide ja miinimumide, käändepunktide ja vahepunktide määramiseks on vaja konstrueerida asümptoote. Mugavaks määramiseks registreeritakse suurenemise, kahanemise, kumeruse ja nõgususe intervallid. Vaatame allolevat pilti.

Läbi märgitud punktide on vaja tõmmata graafiku jooned, mis võimaldavad nooli järgides asümptootidele läheneda.

See lõpetab funktsiooni täieliku uurimise. Mõne elementaarfunktsiooni konstrueerimisel on juhtumeid, mille jaoks kasutatakse geomeetrilisi teisendusi.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kuidas uurida funktsiooni ja koostada selle graafik?

Tundub, et hakkan mõistma maailma proletariaadi juhi, 55 köites kogutud teoste autori vaimselt läbinägelikku palet... Pikk teekond algas põhiteabega funktsioonid ja graafikud, ja nüüd lõpeb töö töömahuka teemaga loogilise tulemusega - artikliga funktsiooni täieliku uurimise kohta. Kauaoodatud ülesanne on sõnastatud järgmiselt:

Uurige funktsiooni diferentsiaalarvutuse meetoditega ja koostage selle graafik uuringu tulemuste põhjal

Või lühidalt: uuri funktsiooni ja koosta graafik.

Miks uurida? Lihtsatel juhtudel ei ole meil keeruline elementaarfunktsioone mõista ja kasutades saadud graafikut joonistada elementaarsed geomeetrilised teisendused ja nii edasi. Keerulisemate funktsioonide omadused ja graafilised esitused pole aga kaugeltki ilmselged, mistõttu on vaja tervet uuringut.

Lahenduse põhietapid on kokku võetud võrdlusmaterjalis Funktsioonide uurimise skeem, see on teie jaotise juhend. Mannekeenid vajavad teema samm-sammult selgitamist, osa lugejaid ei tea, kust alustada või kuidas oma uurimistööd korraldada, ning edasijõudnutele võivad huvi pakkuda vaid mõned punktid. Kuid kes iganes sa oled, kallis külastaja, pakutud kokkuvõte koos viidetega erinevatele õppetundidele orienteerib sind kiiresti ja juhatab sind huvitavas suunas. Robotid valasid pisaraid =) Käsiraamat pandi pdf-failina ja võttis lehel õige koha Matemaatilised valemid ja tabelid.

Olen harjunud funktsiooni uuringud jagama 5–6 punktiks:

6) Uurimistulemuste põhjal lisapunktid ja graafik.

Mis puudutab viimast tegevust, siis arvan, et kõik on kõigile selge – on suur pettumus, kui see mõne sekundi pärast läbi kriipsutatakse ja ülesanne ülevaatamiseks tagastatakse. ÕIGE JA TÄPNE JOONIS on lahenduse põhitulemus! Tõenäoliselt "varjab" analüüsivead, samas kui vale ja/või hooletu ajakava tekitab probleeme isegi täiuslikult läbi viidud uuringuga.

Tuleb märkida, et teistes allikates võib uurimispunktide arv, nende teostamise järjekord ja kujundusstiil oluliselt erineda minu pakutud skeemist, kuid enamasti on see täiesti piisav. Ülesande lihtsaim versioon koosneb vaid 2-3 etapist ja on sõnastatud umbes nii: "uurige funktsiooni tuletise abil ja koostage graafik" või "uurige funktsiooni 1. ja 2. tuletise abil, koostage graafik".

Loomulikult, kui teie käsiraamat kirjeldab üksikasjalikult mõnda teist algoritmi või kui teie õpetaja nõuab rangelt, et te järgiksite tema loenguid, peate lahendust veidi kohandama. Pole keerulisem kui mootorsae kahvli asendamine lusikaga.

Kontrollime paaris/paaritu funktsiooni:

Sellele järgneb vastuse mall:
, mis tähendab, et see funktsioon ei ole paaris ega paaritu.

Kuna funktsioon on pidev sees , siis vertikaalseid asümptoote pole.

Pole ka kaldus asümptoote.

Märge : Tuletan teile meelde, et mida kõrgem kasvu järjekord, kui , seega on lõplik piirmäär täpselt " pluss lõpmatus."

Uurime välja, kuidas funktsioon lõpmatuses käitub:

Teisisõnu, kui me läheme paremale, siis graafik läheb lõpmatult palju üles, kui me läheme vasakule, siis läheb see lõpmatult alla. Jah, ühe kande all on ka kaks limiiti. Kui teil on raskusi märkide dešifreerimisega, külastage õppetundi teemal lõpmata väikesed funktsioonid.

Seega funktsioon pole ülalt piiratud Ja ei ole altpoolt piiratud. Arvestades, et meil pole murdepunkte, saab see selgeks funktsioonide vahemik: – ka mis tahes reaalarv.

KASULIK TEHNILINE TEHNIKA

Iga ülesande etapp toob uut teavet funktsiooni graafiku kohta, seetõttu on lahenduse käigus mugav kasutada omamoodi PAIGUTUST. Joonistame mustandile Descartes'i koordinaatsüsteemi. Mis on juba kindlalt teada? Esiteks pole graafikul asümptoote, mistõttu pole vaja sirgjooni tõmmata. Teiseks teame, kuidas funktsioon lõpmatuses käitub. Analüüsi kohaselt teeme esimese ligikaudse hinnangu:

Pange tähele, et tänu järjepidevus funktsioon sees ja asjaolu, et graafik peab vähemalt korra teljega ristuma. Või äkki on ristumispunkte mitu?

3) Konstantmärgi funktsiooni nullpunktid ja intervallid.

Kõigepealt leiame graafiku lõikepunkti ordinaatteljega. See on lihtne. Funktsiooni väärtus on vaja arvutada järgmiselt:

Poolteist üle merepinna.

Teljega lõikepunktide (funktsiooni nullpunktide) leidmiseks peame lahendama võrrandi ja see ootab meid ebameeldiv üllatus:

Lõpus varitseb vaba liige, mis teeb ülesande palju keerulisemaks.

Sellisel võrrandil on vähemalt üks reaalne juur ja enamasti on see juur irratsionaalne. Kõige hullemas muinasjutus ootavad meid kolm põrsakest. Võrrand on lahendatav kasutades nn Cardano valemid, kuid paberikahjustused on võrreldavad peaaegu kogu uuringuga. Sellega seoses on targem proovida vähemalt üks välja valida, kas suuliselt või mustandis. terve juur. Kontrollime, kas need numbrid on:
- ei sobi;
- Seal on!

Siin on õnne. Ebaõnnestumise korral saate ka testida ja kui need numbrid ei sobi, siis kardan, et võrrandi kasumliku lahenduse saamiseks on väga vähe võimalusi. Siis on parem uurimispunkt sootuks vahele jätta – ehk saab midagi selgemaks viimases etapis, kui lisapunktidest läbi murtakse. Ja kui juur(ed) on selgelt “halb”, siis on parem märkide püsivuse intervallidest tagasihoidlikult vaikida ja hoolikamalt joonistada.

Meil on aga ilus juur, seega jagame polünoomi ilma jäägita:

Polünoomi polünoomiga jagamise algoritmi käsitletakse üksikasjalikult tunni esimeses näites Komplekssed piirid.

Selle tulemusena algse võrrandi vasak pool laguneb tooteks:

Ja nüüd natuke sellest tervislik viis elu. Muidugi ma saan sellest aru ruutvõrrandid tuleb lahendada iga päev, kuid täna teeme erandi: võrrandi on kaks tõelist juurt.

Joonistame leitud väärtused arvujoonele Ja intervalli meetod Määrake funktsiooni märgid:

og Seega intervallidel ajakava asub
x-telje all ja intervallidega – selle telje kohal.

Leiud võimaldavad meil oma paigutust täpsustada ja graafiku teine lähendus näeb välja selline:

Pange tähele, et funktsioonil peab intervallil olema vähemalt üks maksimum ja intervallil vähemalt üks miinimum. Kuid me ei tea veel, mitu korda, kus ja millal ajakava tsüklit tehakse. Muide, funktsioonil võib olla lõpmatult palju äärmused.

4) funktsiooni suurendamine, vähenemine ja ekstreemsus.

Leiame kriitilised punktid:

Sellel võrrandil on kaks tegelikku juurt. Paneme need arvureale ja määrame tuletise märgid:

Seetõttu suureneb funktsioon võrra ja väheneb võrra.
Sel hetkel saavutab funktsioon maksimumi: .
Sel hetkel jõuab funktsioon miinimumini: .

Väljakujunenud faktid viivad meie malli üsna jäigasse raamistikku:

Ütlematagi selge, et diferentsiaalarvutus on võimas asi. Saame lõpuks aru graafiku kujust:

5) Kumerus-, nõgusus- ja käändepunktid.

Leiame teise tuletise kriitilised punktid:

Määratleme märgid:

Funktsiooni graafik on kumer ja nõgus. Arvutame käändepunkti ordinaate: .

Peaaegu kõik on selgeks saanud.

6) Jääb üle leida lisapunktid, mis aitavad teil täpsemalt graafikut koostada ja enesetesti teha. Sel juhul on neid vähe, kuid me ei jäta neid tähelepanuta:

Teeme joonise:

Roheline Käändepunkt on märgitud ja lisapunktid on tähistatud ristidega. Kuupfunktsiooni graafik on sümmeetriline selle käänupunkti suhtes, mis paikneb alati rangelt maksimumi ja miinimumi vahel.

Ülesande edenedes esitasin kolm hüpoteetilist vahejoonist. Praktikas piisab, kui joonistada koordinaatsüsteem, märkida leitud punktid ja iga uurimispunkti järel peast hinnata, milline võiks funktsiooni graafik välja näha. Hea ettevalmistusega õpilastel ei ole raske sellist analüüsi läbi viia ainult oma peas ilma mustandit kaasamata.

Selle ise lahendamiseks:

Näide 2

Uurige funktsiooni ja koostage graafik.

Siin on kõik kiirem ja lõbusam, lõpliku kujunduse ligikaudne näide tunni lõpus.

Fraktsionaalsete ratsionaalsete funktsioonide uurimine paljastab palju saladusi:

Näide 3

Kasutage funktsiooni uurimiseks diferentsiaalarvutuse meetodeid ja koostage uuringu tulemuste põhjal selle graafik.

Lahendus: uuringu esimene etapp ei erine millegi märkimisväärsega, välja arvatud auk määratlusalal:

1) Funktsioon on defineeritud ja pidev kogu arvureal, välja arvatud punkt , domeeni: .

, seega pole see funktsioon paaris ega paaritu.

Ilmselgelt on funktsioon mitteperioodiline.

Funktsiooni graafik kujutab kahte pidevat haru, mis asuvad vasakul ja paremal pooltasandil – see on võib-olla punkti 1 kõige olulisem järeldus.

2) Asümptoodid, funktsiooni käitumine lõpmatuses.

a) Ühepoolsete piiride abil uurime funktsiooni käitumist kahtlase punkti lähedal, kus peaks selgelt olema vertikaalne asümptoot:

Tõepoolest, funktsioonid püsivad lõputu vahe punktis
ja sirgjoon (telg) on vertikaalne asümptoot graafikakunst.

b) Kontrollige, kas on olemas kaldus asümptoote:

Jah, see on sirge kaldus asümptoot graafika, kui.

Piire pole mõtet analüüsida, kuna on juba selge, et funktsioon hõlmab oma kaldu asümptooti pole ülalt piiratud Ja ei ole altpoolt piiratud.

Teine uurimispunkt andis funktsiooni kohta palju olulist teavet. Teeme umbkaudse visandi:

Järeldus nr 1 puudutab konstantse märgi intervalle. "Miinus lõpmatuse" korral asub funktsiooni graafik selgelt x-telje all ja "pluss lõpmatuse" korral on see selle telje kohal. Lisaks ütlesid ühepoolsed piirid meile, et nii punktist vasakul kui ka paremal on funktsioon samuti suurem kui null. Pange tähele, et vasakpoolsel pooltasandil peab graafik vähemalt korra ristuma x-teljega. Funktsiooni paremal pooltasandil ei pruugi olla ühtegi nulli.

Järeldus nr 2 on, et funktsioon suureneb punktis ja sellest vasakule (läheb "alt üles"). Sellest punktist paremal funktsioon väheneb (läheb "ülevalt alla"). Graafi paremal harul peab kindlasti olema vähemalt üks miinimum. Vasakul pole äärmused garanteeritud.

Järeldus nr 3 annab usaldusväärset teavet graafiku nõgususe kohta punkti läheduses. Me ei saa veel midagi öelda kumeruse/nõgususe kohta lõpmatustes, kuna joont saab suruda oma asümptoodi poole nii ülalt kui ka alt. Üldiselt on selle väljaselgitamiseks praegu analüütiline viis, kuid graafiku kuju saab selgemaks hiljem.

Miks nii palju sõnu? Järgmiste uurimispunktide kontrollimiseks ja vigade vältimiseks! Edasised arvutused ei tohiks tehtud järeldustega vastuolus olla.

3) Graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, funktsiooni konstantmärgi intervallid.

Funktsiooni graafik ei ristu teljega.

Intervallmeetodi abil määrame märgid:

, Kui ;
, Kui .

Selle punkti tulemused on täielikult kooskõlas järeldusega nr 1. Pärast iga etappi vaadake mustandit, kontrollige vaimselt uurimistööd ja täitke funktsiooni graafik.

Vaadeldavas näites jagatakse lugeja termini kaupa nimetajaga, mis on eristamisel väga kasulik:

Tegelikult on seda asümptootide leidmisel juba tehtud.

- kriitiline punkt.

Määratleme märgid:

võrra suureneb ja väheneb kuni

Sel hetkel jõuab funktsioon miinimumini: .

Samuti ei olnud lahknevusi järeldusega nr 2 ja suure tõenäosusega oleme õigel teel.

See tähendab, et funktsiooni graafik on kogu definitsioonipiirkonna ulatuses nõgus.

Suurepärane – ja te ei pea midagi joonistama.

Käändepunkte pole.

Nõgusus on kooskõlas järeldusega nr 3, pealegi näitab see, et lõpmatuses (nii seal kui seal) asub funktsiooni graafik kõrgemale selle kaldus asümptoot.

6) Kinnitame ülesande kohusetundlikult lisapunktidega. Siin peame kõvasti tööd tegema, kuna teame uuringust vaid kahte punkti.

Ja pilt, mida paljud arvatavasti juba ammu ette kujutasid:

Ülesande täitmisel peate hoolikalt jälgima, et uurimistöö etappide vahel ei oleks vastuolusid, kuid mõnikord on olukord kiireloomuline või isegi meeleheitlikult ummiktee. Analüütika "ei sobi kokku" - see on kõik. Sel juhul soovitan avariitehnikat: leiame võimalikult palju graafikule kuuluvaid punkte (nii palju kannatust kui meil on) ja märgime need koordinaattasandile. Leitud väärtuste graafiline analüüs näitab enamikul juhtudel, kus on tõde ja kus vale. Lisaks saab graafiku mõne programmi abil valmis ehitada, näiteks Excelis (see eeldab muidugi oskusi).

Näide 4

Kasutage funktsiooni uurimiseks ja selle graafiku koostamiseks diferentsiaalarvutuse meetodeid.

See on näide, mille saate ise lahendada. Selles suurendab enesekontrolli funktsiooni paarsus - graafik on telje suhtes sümmeetriline ja kui teie uurimistöös on midagi selle tõsiasjaga vastuolus, otsige viga.

Isegi või paaritu funktsioon saab uurida ainult juures ja seejärel kasutada graafiku sümmeetriat. See lahendus on optimaalne, kuid minu arvates tundub see väga ebatavaline. Isiklikult vaatan kogu numbririda, kuid lisapunkte leian ikkagi ainult paremalt:

Näide 5

Viige läbi funktsiooni täielik uuring ja koostage selle graafik.

Lahendus: asjad läksid raskeks:

1) Funktsioon on defineeritud ja pidev kogu arvureal: .

See tähendab, et see funktsioon on paaritu, selle graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.

Ilmselgelt on funktsioon mitteperioodiline.

2) Asümptoodid, funktsiooni käitumine lõpmatuses.

Kuna funktsioon on pidev sees , siis vertikaalseid asümptoote pole

Eksponenti sisaldava funktsiooni puhul on see tüüpiline eraldi“pluss” ja “lõpmatuse miinus” uurimine, aga meie elu teeb lihtsamaks graafiku sümmeetria – kas on asümptoot nii vasakul kui paremal või pole seda. Seetõttu saab mõlemad lõpmatud piirid kirjutada ühe kirje alla. Lahenduse käigus kasutame L'Hopitali reegel:

Sirge (telg) on graafiku horisontaalne asümptoot .

Pange tähele, kuidas ma kavalalt vältisin täisalgoritmi kaldu asümptoodi leidmiseks: piirang on täiesti seaduslik ja selgitab funktsiooni käitumist lõpmatuses ning horisontaalne asümptoot avastati "justkui samal ajal".

Järjepidevusest ja horisontaalse asümptoodi olemasolust järeldub, et funktsioon ülalt piiratud Ja altpoolt piiratud.

3) Graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, konstantse märgi intervallid.

Siin lühendame ka lahendust:
Graafik läbib alguspunkti.

Muid koordinaattelgedega lõikepunkte pole. Veelgi enam, märgi püsivuse intervallid on ilmsed ja telge pole vaja joonistada: , mis tähendab, et funktsiooni märk sõltub ainult “x-st”:
, Kui ;
, Kui.

4) funktsiooni suurenemine, vähenemine, ekstreemsus.

- kriitilised punktid.

Punktid on nulli suhtes sümmeetrilised, nagu peakski olema.

Määrame tuletise märgid:

Funktsioon suureneb intervalliga ja väheneb intervallidega

Sel hetkel saavutab funktsioon maksimumi: .

Vara tõttu (funktsiooni veidrus) miinimumi ei pea arvutama:

Kuna funktsioon intervalli jooksul väheneb, siis ilmselt asub graafik "miinus lõpmatuses" all selle asümptoot. Üle intervalli funktsioon ka väheneb, kuid siin on vastupidi - pärast maksimumpunkti läbimist läheneb joon teljele ülalt.

Eelnevast järeldub ka, et funktsiooni graafik on “miinus lõpmatus” kumer ja “pluss lõpmatus” nõgus.

Pärast seda uurimispunkti koostati funktsiooni väärtuste vahemik:

Kui teil on mõnest punktist arusaamatus, kutsun teid veel kord üles joonistama vihikusse koordinaatteljed ja, pliiats käes, analüüsima uuesti iga ülesande järeldust.

5) Graafiku kumerus, nõgusus, kõverused.

- kriitilised punktid.