Keegi suhtub sõnasse "edenemine" ettevaatlikult kui väga keerukasse terminisse kõrgema matemaatika osadest. Vahepeal kõige lihtsam aritmeetiline progressioon- taksoleti töö (kuhu need veel alles jäävad). Ja aritmeetilise jada olemuse mõistmine (ja matemaatikas pole midagi tähtsamat kui "olemuse mõistmine") pole mõne elementaarse mõiste analüüsimisel nii keeruline.
Matemaatiline numbrijada
Numbrijada on tavaks nimetada numbrite jadaks, millest igaühel on oma number.
ja 1 on jada esimene liige;
ja 2 on jada teine liige;
ja 7 on jada seitsmes liige;
ja n on jada n-s liige;
Kuid mitte ükski suvaline arvude ja numbrite kogum ei huvita meid. Keskendume oma tähelepanu arvulisele jadale, milles n-nda liikme väärtus on seotud tema järgarvuga matemaatiliselt selgelt formuleeritava sõltuvuse kaudu. Teisisõnu: n-nda arvu arvväärtus on mingi n-i funktsioon.
a - arvjada liikme väärtus;
n on selle seerianumber;
f(n) on funktsioon, mille argumendiks on arvjada järgarv.
Definitsioon
Aritmeetiliseks progressiooniks nimetatakse tavaliselt arvjada, milles iga järgnev liige on sama arvu võrra suurem (väiksem) kui eelmine liige. Aritmeetilise jada n-nda liikme valem on järgmine:
a n - aritmeetilise progressiooni praeguse liikme väärtus;
a n+1 - järgmise arvu valem;
d - erinevus (teatud arv).
Lihtne on kindlaks teha, et kui erinevus on positiivne (d>0), on iga järgmine vaadeldava jada liige suurem kui eelmine ja selline aritmeetiline progressioon on kasvav.
Alloleval graafikul on lihtne mõista, miks numbrijada nimetatakse "kasvavaks".
Juhtudel, kui erinevus on negatiivne (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Määratud liikme väärtus
Mõnikord on vaja määrata aritmeetilise progressiooni mõne suvalise liikme a n väärtus. Seda saate teha, arvutades järjestikku kõigi aritmeetilise progressiooni liikmete väärtused, alates esimesest kuni soovitud. See viis ei ole aga alati vastuvõetav, kui on vaja leida näiteks viietuhandik või kaheksamiljondik liikme väärtus. Traditsiooniline arvutus võtab kaua aega. Kuid konkreetset aritmeetilist progressiooni saab uurida teatud valemite abil. Samuti on olemas valem n-nda liikme jaoks: aritmeetilise progressiooni mis tahes liikme väärtuse saab määrata progressiooni esimese liikme summana progressiooni erinevusega, korrutatuna soovitud liikme arvuga, millest lahutatakse üks.
Valem on universaalne progresseerumise suurendamiseks ja vähendamiseks.
Näide antud liikme väärtuse arvutamisest
Lahendame järgmise aritmeetilise progressiooni n-nda liikme väärtuse leidmise ülesande.
Tingimus: on olemas aritmeetiline progressioon parameetritega:
Jada esimene liige on 3;
Arvuridade erinevus on 1,2.
Ülesanne: on vaja leida 214 termini väärtus
Lahendus: antud liikme väärtuse määramiseks kasutame valemit:
a(n) = a1 + d(n-1)
Asendades probleemiavalduse andmed avaldisesse, saame:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Vastus: jada 214. liige on võrdne 258,6-ga.
Selle arvutusmeetodi eelised on ilmsed - kogu lahendus ei võta rohkem kui 2 rida.
Teatud arvu terminite summa
Väga sageli on antud aritmeetilises seerias vaja kindlaks määrata mõne selle segmendi väärtuste summa. Samuti pole vaja arvutada iga termini väärtusi ja seejärel neid kokku võtta. See meetod on rakendatav, kui terminite arv, mille summa tuleb leida, on väike. Muudel juhtudel on mugavam kasutada järgmist valemit.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa 1-st n-ni võrdub esimese ja n-nda liikme summaga, mis on korrutatud liikme arvuga n ja jagatud kahega. Kui valemis asendada n-nda liikme väärtus artikli eelmise lõigu avaldisega, saame:
Arvutamise näide
Näiteks lahendame probleemi järgmiste tingimustega:
Jada esimene liige on null;
Vahe on 0,5.
Ülesandes on vaja määrata seeria tingimuste summa vahemikus 56 kuni 101.
Lahendus. Kasutame progresseerumise summa määramiseks valemit:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Esiteks määrame progressiooni 101 liikme väärtuste summa, asendades meie probleemi antud tingimused valemiga:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Ilmselt tuleb 56.-st 101.-ni progresseerumise liikmete summa väljaselgitamiseks lahutada S 101-st S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Seega on selle näite aritmeetilise progressiooni summa:
s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5
Näide aritmeetilise progressiooni praktilisest rakendamisest
Artikli lõpus pöördume tagasi esimeses lõigus toodud aritmeetilise jada näite juurde - taksomeeter (taksoauto arvesti). Vaatleme sellist näidet.
Takso (sisaldab 3 km) istumine maksab 50 rubla. Iga järgmine kilomeeter makstakse 22 rubla / km. Sõidukaugus 30 km. Arvutage reisi maksumus.
1. Loobume esimesed 3 km, mille hind sisaldub maandumiskulus.
30 - 3 = 27 km.
2. Edasine arvutamine ei ole midagi muud kui aritmeetilise numbrirea sõelumine.
Liikme number on läbitud kilomeetrite arv (miinus kolm esimest).
Liikme väärtus on summa.
Selle ülesande esimene liige on 1 = 50 rubla.
Progressi vahe d = 22 p.
meile huvipakkuv arv - aritmeetilise progressiooni (27 + 1) liikme väärtus - meetri näit 27. kilomeetri lõpus - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Suvaliselt pika perioodi kalendriandmete arvutused põhinevad teatud arvjadasid kirjeldavatel valemitel. Astronoomias on orbiidi pikkus geomeetriliselt sõltuv taevakeha kaugusest valgustist. Lisaks kasutatakse erinevaid arvridu edukalt statistikas ja teistes rakenduslikes matemaatikaharudes.
Teist tüüpi numbrijada on geomeetriline
Geomeetrilist progressiooni iseloomustab aritmeetilisega võrreldes suur muutuste kiirus. Pole juhus, et poliitikas, sotsioloogias, meditsiinis öeldakse sageli, et näidata konkreetse nähtuse, näiteks epideemia ajal haiguse, leviku suurt kiirust, et protsess areneb eksponentsiaalselt.
Geomeetrilise arvu jada N-s liige erineb eelmisest selle poolest, et see on korrutatud mingi konstantse arvuga - nimetaja, näiteks esimene liige on vastavalt 1, nimetaja on vastavalt 2, siis:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - geomeetrilise progressiooni praeguse liikme väärtus;
b n+1 - geomeetrilise progressiooni järgmise liikme valem;
q on geomeetrilise progressiooni nimetaja (konstantne arv).
Kui aritmeetilise progressiooni graafik on sirgjoon, siis geomeetriline joonistab veidi teistsuguse pildi:
Nagu aritmeetika puhul, on geomeetrilisel progressioonil suvalise liikme väärtuse valem. Geomeetrilise progressiooni mis tahes n-s liige on võrdne esimese liikme ja progressi nimetaja korrutisega n astmeni, mida on vähendatud ühega:
Näide. Meil on geomeetriline progressioon, mille esimene liige on 3 ja progressiooni nimetaja on 1,5. Leidke progressiooni 5. liige
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Spetsiaalse valemi abil arvutatakse ka teatud arvu liikmete summa. Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa on võrdne progressiooni n-nda liikme ja selle nimetaja korrutise ning progressiooni esimese liikme korrutise vahega, mis on jagatud nimetajaga, mida on vähendatud ühega:
Kui b n asendatakse ülalkirjeldatud valemiga, saab vaadeldava arvurea esimese n liikme summa väärtus järgmiselt:
Näide. Geomeetriline progressioon algab esimese liikmega, mis on võrdne 1-ga. Nimetajaks määratakse 3. Leiame esimese kaheksa liikme summa.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Mis on valemi olemus?
See valem võimaldab teil leida ükskõik milline TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .
Loomulikult peate teadma esimest terminit a 1 ja progresseerumise erinevus d, ilma nende parameetriteta ei saa te konkreetset edenemist üles kirjutada.
Selle valemi meeldejätmisest (või petmisest) ei piisa. On vaja omastada selle olemust ja rakendada valemit erinevates ülesannetes. Jah, ja ärge unustage õigel ajal, jah ...) Kuidas mitte unustada- Ma ei tea. Ja siin kuidas meeles pidada Vajadusel annan vihje. Neile, kes saavad õppetunni lõpuni.)
Niisiis, käsitleme aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemit.
Mis on valem üldiselt – kujutame ette.) Mis on aritmeetiline progressioon, liikmearv, progressioonivahe – on eelmises õppetükis selgelt öeldud. Vaadake, kui te pole seda lugenud. Seal on kõik lihtne. Jääb üle välja mõelda, mida n-s liige.
Progressiooni üldiselt saab kirjutada numbrite jadana:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- tähistab aritmeetilise progressiooni esimest liiget, a 3- kolmas liige a 4- neljas ja nii edasi. Kui meid huvitab viies ametiaeg, siis oletame, et me töötame sellega a 5, kui saja kahekümnendal - alates a 120.
Kuidas üldiselt määratleda ükskõik milline aritmeetilise progressiooni liige, s ükskõik milline number? Väga lihtne! Nagu nii:
a n
Seda see on aritmeetilise progressiooni n-s liige. n-tähe all on korraga peidetud kõik liikmete arvud: 1, 2, 3, 4 jne.
Ja mida selline rekord meile annab? Mõelge vaid, numbri asemel kirjutasid nad üles tähe ...
See tähistus annab meile võimsa tööriista aritmeetilise progressiooniga töötamiseks. Märke kasutamine a n, leiame kiiresti ükskõik milline liige ükskõik milline aritmeetiline progressioon. Ja hunnik ülesandeid, mida tuleb lahendada. Edasi näete.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemis:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmeetilise progressiooni esimene liige;
n- liikme number.
Valem seob mis tahes edenemise peamised parameetrid: a n; a 1; d Ja n. Nende parameetrite ümber keerlevad kõik mõistatused käigupealt.
N-nda termini valemit saab kasutada ka konkreetse progressi kirjutamiseks. Näiteks ülesandes võib öelda, et progressi annab tingimus:
a n = 5 + (n-1) 2.
Selline probleem võib isegi segadusse ajada ... Pole seeriat, pole vahet ... Kuid tingimust valemiga võrreldes on lihtne aru saada, et selles edenemises a 1 \u003d 5 ja d = 2.
Ja see võib olla veelgi vihasem!) Kui võtame sama tingimuse: a n = 5 + (n-1) 2, jah, avage sulud ja andke sarnased? Saame uue valemi:
an = 3 + 2n.
See Ainult mitte üldiseks, vaid konkreetseks progressiks. Siin peitubki lõks. Mõned inimesed arvavad, et esimene termin on kolm. Kuigi tegelikkuses on esimene liige viis ... Natuke madalamal töötame sellise modifitseeritud valemiga.
Edasiliikumise ülesannetes on veel üks märge - a n+1. Arvasite ära, et see on edenemise "n pluss esimene" liige. Selle tähendus on lihtne ja kahjutu.) See on progressiooni liige, mille arv on arvust n ühe võrra suurem. Näiteks kui mõnes probleemis me võtame a n siis viies ametiaeg a n+1 saab kuuendaks liikmeks. Jne.
Enamasti tähistus a n+1 esineb rekursiivsetes valemites. Ärge kartke seda kohutavat sõna!) See on lihtsalt viis aritmeetilise progressiooni termini väljendamiseks eelmise kaudu. Oletame, et meile antakse sellisel kujul aritmeetiline progressioon, kasutades korduvat valemit:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Neljas – läbi kolmanda, viies – läbi neljanda jne. Ja kuidas kohe lugeda, öelge kahekümnes tähtaeg, a 20? Aga mitte mingil juhul!) Kuigi 19. tähtaeg pole teada, ei saa 20. tähtaega kokku lugeda. See on põhimõtteline erinevus rekursiivse valemi ja n-nda liikme valemi vahel. Rekursiivne töötab ainult läbi eelmine termin ja n-nda liikme valem - läbi esiteks ja lubab kohe leida mõni liige tema numbri järgi. Arvestades tervet numbrite rida järjekorras.
Aritmeetilises progressioonis saab rekursiivse valemi kergesti muuta tavaliseks. Loendage järjestikuste terminite paar, arvutage erinevus d, leida vajadusel esimene termin a 1, kirjutage valem tavalisel kujul ja töötage sellega. GIA-s leidub selliseid ülesandeid sageli.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi rakendamine.
Kõigepealt vaatame valemi otsest rakendamist. Eelmise tunni lõpus tekkis probleem:
Antud aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.
Seda ülesannet saab lahendada ilma valemiteta, lihtsalt aritmeetilise progressiooni tähenduse põhjal. Lisa, jah lisa... Tund või kaks.)
Ja valemi järgi võtab lahendus vähem kui minuti. Saate seda ajastada.) Meie otsustame.
Tingimustes on kõik andmed valemi kasutamiseks: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Jääb näha, mis n. Pole probleemi! Me peame leidma a 121. Siin me kirjutame:
Palun pane tähele! Indeksi asemel n ilmus konkreetne arv: 121. Mis on üsna loogiline.) Meid huvitab aritmeetilise progressiooni liige number sada kakskümmend üks. See saab olema meie n. See on see tähendus n= 121 asendame sulgudes oleva valemiga. Asendage valemis kõik numbrid ja arvutage:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23
See on kõik. Sama kiiresti võis leida viiesaja kümnenda liikme ja tuhande kolmanda liikme. Panime selle asemele n soovitud number tähe indeksis " a" ja sulgudes ning me kaalume.
Lubage mul teile meelde tuletada olemust: see valem võimaldab teil leida ükskõik milline aritmeetilise progressiooni termin TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .
Lahendame probleemi targemalt. Oletame, et meil on järgmine probleem:
Leidke aritmeetilise progressiooni esimene liige (a n), kui a 17 =-2; d = -0,5.
Kui teil on raskusi, soovitan esimest sammu. Pane kirja aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Jah Jah. Kirjutage käsitsi otse oma märkmikusse:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ja nüüd, vaadates valemi tähti, saame aru, millised andmed meil on ja mis puuduvad? Saadaval d = -0,5, on seitsmeteistkümnes liige ... Kõik? Kui arvate, et see on kõik, siis ei saa te probleemi lahendada, jah ...
Meil on ka number n! Seisundis a 17 =-2 peidetud kaks võimalust. See on nii seitsmeteistkümnenda liikme väärtus (-2) kui ka selle arv (17). Need. n = 17. See "pisiasi" libiseb sageli peast mööda ja ilma selleta (ilma "pisikese asjata", mitte peata!) probleemi ei saa lahendada. Kuigi ... ja ka ilma peata.)
Nüüd saame lihtsalt rumalalt oma andmed valemiga asendada:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Oh jah, a 17 me teame, et see on -2. Olgu, paneme selle sisse:
-2 = 1 + (17-1) (-0,5)
See on sisuliselt kõik. Jääb üle valemist väljendada aritmeetilise progressiooni esimene liige ja arvutada. Saate vastuse: a 1 = 6.
Selline tehnika – valemi kirjutamine ja lihtsalt teadaolevate andmete asendamine – aitab palju lihtsate ülesannete puhul. Noh, muutujat peab muidugi oskama valemist väljendada, aga mis teha!? Ilma selle oskuseta ei saa matemaatikat üldse õppida ...
Teine populaarne probleem:
Leia aritmeetilise progressiooni erinevus (a n), kui a 1 =2; a 15 = 12.
Mida me teeme? Sa oled üllatunud, me kirjutame valemi!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Mõelge sellele, mida me teame: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (eriline esiletõst!) n = 15. Asendage julgelt valemis:
12=2 + (15-1)d
Teeme aritmeetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
See on õige vastus.
Niisiis, ülesanded a n, a 1 Ja d otsustanud. Jääb veel õppida, kuidas numbrit leida:
Arv 99 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 =12; d=3. Leidke selle liikme number.
Asendame teadaolevad kogused n-nda liikme valemiga:
a n = 12 + (n-1) 3
Esmapilgul on siin kaks tundmatut kogust: a n ja n. Aga a n on mingi arvuga progressi liige n... Ja see progressiooni liige, mida me teame! See on 99. Me ei tea tema numbrit. n, nii et see number tuleb ka üles leida. Asendage progressiooniliige 99 valemiga:
99 = 12 + (n-1) 3
Väljendame valemist n, arvame. Saame vastuse: n = 30.
Ja nüüd probleem samal teemal, kuid loomingulisem):
Määrake, kas arv 117 on aritmeetilise progressiooni liige (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Kirjutame valemi uuesti. Mis, parameetreid pole? Hm... Miks me vajame silmi?) Kas me näeme progressi esimest liiget? Me näeme. See on -3,6. Võite julgelt kirjutada: a 1 \u003d -3,6. Erinevus d saab määrata seeriast? See on lihtne, kui teate, mis vahe on aritmeetilisel progressioonil:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Jah, me tegime kõige lihtsamat asja. Jääb üle tegeleda tundmatu numbriga n ja arusaamatu arv 117. Eelmises ülesandes oli vähemalt teada, et see oli progressiooni täht. Aga siin me isegi ei tea, et ... Kuidas olla!? Noh, kuidas olla, kuidas olla... Lülitage oma loomingulised võimed sisse!)
Meie oletada et 117 on lõppude lõpuks meie progressi liige. Tundmatu numbriga n. Ja nagu eelmises ülesandes, proovime seda numbrit leida. Need. kirjutame valemi (jah-jah!)) ja asendame oma numbrid:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Jällegi väljendame valemistn, loeme ja saame:
Oih! Number selgus murdosa! Sada üks ja pool. Ja murdarvud progressioonides ei saa olla. Millise järelduse me teeme? Jah! Number 117 ei ole meie progressi liige. See on kuskil 101. ja 102. liikme vahel. Kui number osutus loomulikuks, s.t. positiivne täisarv, siis oleks arv leitud arvuga progressiooni liige. Ja meie puhul on vastus probleemile järgmine: Ei.
GIA pärisversioonil põhinev ülesanne:
Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:
a n \u003d -4 + 6,8n
Leidke progressiooni esimene ja kümnes liige.
Siin on edenemine seatud ebatavaliselt. Mingi valem ... Juhtub.) Kuid see valem (nagu ma eespool kirjutasin) - ka aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Ta lubab ka leidke progressiooni mõni liige selle numbri järgi.
Otsime esimest liiget. See, kes mõtleb. et esimene liige on miinus neli, on saatuslikult ekslik!) Kuna ülesande valemit on muudetud. Aritmeetilise progressiooni esimene liige selles peidetud. Ei midagi, me leiame selle kohe.)
Nii nagu eelmistes ülesannetes, asendame n = 1 sellesse valemisse:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 = 2,8
Siin! Esimene liige on 2,8, mitte -4!
Samamoodi otsime kümnendat terminit:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
See on kõik.
Ja nüüd neile, kes on neid ridu lugenud, lubatud boonus.)
Oletame, et GIA või ühtse riigieksami keerulises lahinguolukorras unustasite aritmeetilise progressiooni n-nda liikme kasuliku valemi. Midagi tuleb meelde, aga kuidagi ebakindlalt... Kas n seal või n+1 või n-1... Kuidas olla!?
Rahune! Seda valemit on lihtne tuletada. Mitte väga range, kuid kindlasti piisav enesekindluseks ja õigeks otsuseks!) Kokkuvõtteks piisab, kui meeles pidada aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja varuda paar minutit aega. Peate lihtsalt pildi joonistama. Selguse huvides.
Joonistame numbritelje ja märgime sellele esimese. teine, kolmas jne. liikmed. Ja pange tähele erinevust d liikmete vahel. Nagu nii:
Vaatame pilti ja mõtleme: millega võrdub teine liige? Teiseks üks d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mis on kolmas termin? Kolmandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kaks d.
a 3 =a 1 + 2 d
Kas saad aru? Ma ei pane mõnda sõna rasvasesse kirja asjata. Olgu, veel üks samm.)
Mis on neljas termin? Neljandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kolm d.
a 4 =a 1 + 3 d
On aeg mõista, et lünkade arv, s.o. d, Alati ühe võrra vähem kui otsitava liikme arv n. St kuni numbrini n, tühimike arv tahe n-1. Niisiis, valem on (pole valikuid!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Üldiselt on visuaalsetest piltidest palju abi paljude matemaatikaülesannete lahendamisel. Ärge jätke pilte tähelepanuta. Aga kui pilti on raske joonistada, siis ... ainult valem!) Lisaks võimaldab n-nda liikme valem ühendada lahendusega kogu võimsa matemaatika arsenali - võrrandid, võrratused, süsteemid jne. Sa ei saa võrrandisse pilti panna...
Ülesanded iseseisvaks otsustamiseks.
Soojenduseks:
1. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5,1. Leia 3.
Vihje: pildi järgi on probleem lahendatud 20 sekundiga ... Valemi järgi selgub keerulisem. Kuid valemi valdamiseks on see kasulikum.) Paragrahvis 555 on see probleem lahendatud nii pildi kui ka valemi abil. Tunneta erinevust!)
Ja see pole enam soojendus.)
2. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Leidke 3 .
Mis, vastumeelsus pilti teha?) Ikka! Parem valem, jah...
3. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle progressiooni saja kahekümne viies liige.
Selles ülesandes antakse progresseerumine korduval viisil. Kuid kuni saja kahekümne viienda ametikohani lugedes... Igaüks ei suuda sellist vägitegu teha.) Aga n-nda liikme valem on igaühe jõukohane!
4. Antud aritmeetiline progressioon (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Leidke progresseerumise väikseima positiivse liikme arv.
5. Leia ülesande 4 tingimuse järgi progressi väikseimate positiivsete ja suurimate negatiivsete liikmete summa.
6. Kasvava aritmeetilise progressiooni viienda ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on -2,5 ning kolmanda ja üheteistkümnenda liikme summa on null. Leidke 14.
Pole just kõige lihtsam ülesanne, jah...) Siin meetod "sõrmedel" ei tööta. Peate kirjutama valemeid ja lahendama võrrandeid.
Vastused (segaduses):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Juhtus? See on tore!)
Kas kõik ei õnnestu? Juhtub. Muide, viimases ülesandes on üks peen punkt. Probleemi lugemisel on vaja olla tähelepanelik. Ja loogika.
Kõigi nende probleemide lahendust käsitletakse üksikasjalikult jaotises 555. Ja fantaasiaelement neljanda ja peenmoment kuuenda jaoks ning üldised lähenemisviisid probleemide lahendamiseks n-nda liikme valemi jaoks - kõik on maalitud. Ma soovitan.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Matemaatikas on oma ilu, nagu ka maalil ja luulel.
Vene teadlane, mehaanik N.E. Žukovski
Matemaatika sisseastumiskatsetel on väga levinud ülesanded, mis on seotud aritmeetilise progressiooni mõistega. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks on vaja hästi tunda aritmeetilise progressiooni omadusi ja omada teatud oskusi nende rakendamisel.
Tuletame esmalt meelde aritmeetilise progressiooni põhiomadusi ja esitame olulisemad valemid, seotud selle kontseptsiooniga.
Definitsioon. Numbriline jada, milles iga järgnev termin erineb eelmisest sama numbri võrra, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Samal ajal numbernimetatakse progresseerumise erinevuseks.
Aritmeetilise progressiooni korral kehtivad valemid
, (1)
Kus. Valemit (1) nimetatakse aritmeetilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) on aritmeetilise progressiooni põhiomadus: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete aritmeetilise keskmise ja .
Pange tähele, et just selle omaduse tõttu nimetatakse vaadeldavat progressiooni "aritmeetiliseks".
Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on kokku võetud järgmiselt:
(3)
Summa arvutamiseks esiteks aritmeetilise progressiooni liikmedTavaliselt kasutatakse valemit
(5) kus ja .
Kui võtame arvesse valemit (1), siis valem (5) tähendab
Kui me määrame
Kus. Kuna , siis on valemid (7) ja (8) vastavate valemite (5) ja (6) üldistus.
Eriti , valemist (5) järeldub, Mida
Enamiku õpilaste jaoks on vähetuntud aritmeetilise progressiooni omadus, mis on sõnastatud järgmise teoreemi abil.
Teoreem. Kui siis
Tõestus. Kui siis
Teoreem on tõestatud.
Näiteks , teoreemi kasutades, seda saab näidata
Liigume edasi probleemide lahendamise tüüpiliste näidete käsitlemisele teemal "Aritmeetiline progressioon".
Näide 1 Lase ja . Leia .
Lahendus. Rakendades valemit (6), saame . Alates ja , siis või .
Näide 2 Laske kolm korda rohkem ja jagatisega jagades selgub 2 ja jääk on 8. Määrake ja.
Lahendus. Võrrandisüsteem tuleneb näite tingimusest
Kuna , , ja , siis võrrandisüsteemist (10) saame
Selle võrrandisüsteemi lahendused on ja .
Näide 3 Otsige, kas ja.
Lahendus. Vastavalt valemile (5) on meil või . Kuid kasutades omadust (9), saame .
Alates ja , siis võrdsusest võrrand järgneb või .
Näide 4 Leia, kui.
Lahendus.Valemi (5) järgi on meil
Teoreemi kasutades saab aga kirjutada
Siit ja valemist (11) saame .
Näide 5. Arvestades: . Leia .
Lahendus. Sellest ajast . Siiski .
Näide 6 Laske , ja . Leia .
Lahendus. Kasutades valemit (9), saame . Seega, kui , siis või .
Alates ja siis siin on võrrandisüsteem
Mille lahendamisel saame ja .
Võrrandi loomulik juur on .
Näide 7 Otsige, kas ja.
Lahendus. Kuna valemi (3) järgi on meil see , siis ülesande tingimusest tuleneb võrrandisüsteem
Kui asendame väljendisüsteemi teise võrrandisse, siis saame või .
Ruutvõrrandi juured on Ja .
Vaatleme kahte juhtumit.
1. Laske siis . Alates ja , siis .
Sel juhul on meil valemi (6) kohaselt
2. Kui , siis , ja
Vastus: ja.
Näide 8 On teada, et ja Leia .
Lahendus. Võttes arvesse valemit (5) ja näite tingimust, kirjutame ja .
See tähendab võrrandisüsteemi
Kui me korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga ja lisame selle seejärel teisele võrrandile, saame
Vastavalt valemile (9) on meil. Sellega seoses tuleneb (12) see või .
Alates ja , siis .
Vastus:.
Näide 9 Otsige, kas ja.
Lahendus. Alates , ja tingimuse järgi , siis või .
Valemist (5) on teada, Mida . Sellest ajast .
Seega, siin on lineaarvõrrandi süsteem
Siit saame ja . Võttes arvesse valemit (8), kirjutame .
Näide 10 Lahenda võrrand.
Lahendus. Antud võrrandist järeldub, et . Oletame, et , , ja . Sel juhul .
Valemi (1) järgi võime kirjutada või .
Kuna võrrandil (13) on ainulaadne sobiv juur .
Näide 11. Leidke maksimaalne väärtus tingimusel, et ja .
Lahendus. Alates , siis vaadeldav aritmeetiline progressioon väheneb. Sellega seoses saab avaldis maksimaalse väärtuse, kui see on progresseerumise minimaalse positiivse liikme arv.
Kasutame valemit (1) ja fakti, mis ja . Siis saame selle või .
Sest siis või . Küll aga selles ebavõrdsusessuurim naturaalarv, Sellepärast .
Kui väärtused ja asendatakse valemiga (6), siis saame .
Vastus:.
Näide 12. Leidke kõigi kahekohaliste naturaalarvude summa, mille 6-ga jagamisel jääb ülejääk 5.
Lahendus. Tähistage kõigi kaheväärtuslike naturaalarvude hulgaga, s.o. . Järgmisena konstrueerime alamhulga, mis koosneb nendest hulga elementidest (arvudest), mille jagamisel arvuga 6 saadakse jääk 5.
Lihtne paigaldada, Mida . Ilmselgelt, et hulga elemendidmoodustavad aritmeetilise progressiooni, milles ja .
Hulga kardinaalsuse (elementide arvu) määramiseks eeldame, et . Kuna ja , siis valem (1) tähendab või . Võttes arvesse valemit (5), saame .
Ülaltoodud näited probleemide lahendamisest ei saa mingil juhul väita, et need on ammendavad. See artikkel on kirjutatud antud teema tüüpiliste probleemide lahendamise kaasaegsete meetodite analüüsi põhjal. Aritmeetilise progressiooniga seotud ülesannete lahendamise meetodite põhjalikumaks uurimiseks on soovitatav tutvuda soovitatava kirjanduse loeteluga.
1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. - M .: Maailm ja haridus, 2013. - 608 lk.
2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: kooli õppekava lisalõigud. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 lk.
3. Medynsky M.M. Algmatemaatika tervikkursus ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. - 208 lk.
Kas teil on küsimusi?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
Jah, jah: aritmeetiline progressioon pole sinu jaoks mänguasi :) Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemised korgi tõendid ütlevad mulle, et te ei tea ikka veel, mis on aritmeetiline progressioon, kuid te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade tutvustustega ja asun kohe asja kallale.
Alustuseks paar näidet. Mõelge mitmele numbrikomplektile:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul mitte midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.
Otsustage ise. Esimene komplekt on lihtsalt järjestikused numbrid, millest igaüks on rohkem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvuti asetsevate arvude vahe juba võrdne viiega, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul on juured üldiselt olemas. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, samas kui $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).
Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse lihtsalt aritmeetiliseks progressiooniks. Anname range määratluse:
Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.
Tähistus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.
Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist korrastatud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Te ei saa numbreid ümber korraldada ega vahetada.
Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui kirjutate midagi sellist, nagu (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõpmatu edasiminek. Ellips pärast nelja viitab justkui sellele, et päris paljud numbrid lähevad kaugemale. Lõpmatult palju näiteks. :)
Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine suureneb ja väheneb. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:
Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:
- suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;
- väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.
Lisaks on olemas nn "statsionaarsed" jadad – need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).
Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:
- Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine kasvab;
- Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
- Lõpuks on juhtum $d=0$ — sel juhul taandatakse kogu progressioon identsete arvude statsionaarseks jadaks: (1; 1; 1; 1; ...) jne.
Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta mis tahes kaks kõrvutiasetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest ja vasakpoolsest numbrist. See näeb välja selline:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Nagu näete, osutus erinevus kõigil kolmel juhul tõesti negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme definitsioonid enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas progresseerumist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.
Progressiooni ja korduva valemi liikmed
Kuna meie jadade elemente ei saa omavahel vahetada, saab neid nummerdada:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3)),... \right\)\]
Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistatakse sel viisil numbri abil: esimene liige, teine liige jne.
Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberliikmed seotud valemiga:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d\]
Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Sellist valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu, teades ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi). See on väga ebamugav, seetõttu on olemas keerulisem valem, mis taandab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Tõenäoliselt olete selle valemiga varem kokku puutunud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja reshebnikutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.
Siiski soovitan teil veidi harjutada.
Ülesanne number 1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni $\left(((a)_(n)) \right)$ kolm esimest liiget, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.
Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progresseerumise erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasak(1-1 \parem)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5=3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasak(3-1 \parem)d=((a)_(1))+2d=8-10=-2. \\ \end(joonda)\]
Vastus: (8; 3; -2)
See on kõik! Pange tähele, et meie areng väheneb.
Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimest terminit me juba teame. Kuid ühikut asendades veendusime, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.
Ülesanne number 2. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on −40 ja seitsmeteistkümnes liige on −50.
Lahendus. Kirjutame probleemi seisukorra tavapärastes mõistetes:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(joonda) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a)_(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]
\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \right.\]
Panin süsteemi märgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Ja nüüd märgime, et kui lahutame teisest võrrandist esimese võrrandi (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:
\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]
Just nii leidsime edenemise erinevuse! Jääb leida leitud arv süsteemi mis tahes võrrandis asendada. Näiteks esimeses:
\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]
Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ja kolmas termin:
\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]
Valmis! Probleem lahendatud.
Vastus: (-34; -35; -36)
Pange tähele meie avastatud progressiooni kummalist omadust: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, saame progressiooni erinevuse korrutatuna arvuga $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Lihtne, kuid väga kasulik omadus, mida peaksite kindlasti teadma - selle abiga saate oluliselt kiirendada paljude progressiooniprobleemide lahendamist. Siin on selle suurepärane näide:
Ülesanne number 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.
Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:
\[\begin(joona) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]
Kuid tingimusel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, kust saame:
\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]
Vastus: 20.4
See on kõik! Meil ei olnud vaja koostada võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust – kõik otsustati vaid paari reaga.
Vaatleme nüüd teist tüüpi probleemi – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete liikmete otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb, kui selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.
Samal ajal pole kaugeltki alati võimalik seda hetke "otsmikul" leida, elemente järjestikku sorteerides. Tihti on ülesanded kujundatud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu lehte – jääksime lihtsalt magama, kuni vastuse leidsime. Seetõttu püüame need probleemid kiiremini lahendada.
Ülesanne number 4. Mitu negatiivset liiget aritmeetilises progressioonis -38,5; -35,8; …?
Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, millest leiame kohe vahe:
Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.
Proovime välja selgitada: kui kaua (st millise naturaalarvuni $n$) säilib terminite negatiivsus:
\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]
Viimane rida vajab täpsustamist. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest sobivad meile ainult arvu täisarvud (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), seega on suurim lubatud arv täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16.
Ülesanne number 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.
See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame hõlpsasti progresseerumise erinevuse:
Lisaks proovime standardvalemi abil väljendada viiendat liiget esimese ja erinevuse kaudu:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]
Nüüd jätkame analoogselt eelmise probleemiga. Saame teada, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]
Selle võrratuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.
Pange tähele, et viimases ülesandes oli kõik taandatud rangele ebavõrdsusele, seega valik $n=55$ meile ei sobi.
Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt tutvume veel ühe väga kasuliku aritmeetilise progressiooni omadusega, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid. :)
Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded
Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:
Aritmeetilise progressiooni liikmed arvteljelMärkasin konkreetselt suvalised liikmed $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)),\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma nüüd räägin, toimib samamoodi kõikide "segmentide" puhul.
Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde rekursiivse valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud liikmete jaoks üles:
\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]
Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:
\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]
No mis siis? Kuid asjaolu, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n))$-st samal kaugusel. Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta – need eemaldatakse ka $((a)_(n))$-st sama vahemaa võrra, mis võrdub $2d$. Jätkata võib lõputult, aga pilt illustreerib tähendust hästi
Progressiooni liikmed asuvad keskpunktist samal kaugusel Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et saate leida $((a)_(n))$, kui naabernumbrid on teada:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Oleme järeldanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Pealegi saame oma $((a)_(n))$-st kõrvale kalduda vasakule ja paremale mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra — ja ikkagi on valem õige:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Need. leiame hõlpsasti mingid $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $((a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Praktikas on aga paljud ülesanded spetsiaalselt "teritatud" aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Vaata:
Ülesanne number 6. Leidke kõik $x$ väärtused nii, et arvud $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ oleksid aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed (selles järjekorras).
Lahendus. Kuna need arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskelementi $x+1$ saab väljendada naaberelementidena:
\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]
Tulemuseks on klassikaline ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.
Vastus: -3; 2.
Ülesanne number 7. Leidke $$ väärtused nii, et arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).
Lahendus. Jällegi väljendame keskmist terminit naaberterminite aritmeetilise keskmisena:
\[\begin(joona) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]
Veel üks ruutvõrrand. Ja jälle kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.
Vastus: 1; 6.
Kui ülesande lahendamise käigus saate jõhkraid numbreid või te pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on suurepärane nipp, mis võimaldab teil kontrollida: kas lahendasime probleemi õigesti?
Oletame, et ülesandes 6 saime vastused -3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peaksid moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendus $x=-3$:
\[\begin(joonda) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]
Saime numbrid -54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:
\[\begin(joona) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]
Jällegi progressioon, kuid vahega 27. Seega on ülesanne õigesti lahendatud. Teise ülesandega saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.
Üldiselt komistasime viimaste ülesannete lahendamisel veel ühe huvitava fakti otsa, mida tuleb samuti meeles pidada:
Kui kolm arvu on sellised, et teine on esimese ja viimase keskmine, moodustavad need arvud aritmeetilise progressiooni.
Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine sõna otseses mõttes "konstrueerida" probleemi olukorrast lähtuvalt vajalikke arenguid. Kuid enne sellise "ehitusega" tegelemist peaksime tähelepanu pöörama veel ühele asjaolule, mis tuleneb otseselt juba käsitletust.
Elementide rühmitamine ja summa
Läheme uuesti numbrireale tagasi. Märgime seal mitmeid progressi liikmeid, mille vahel võib-olla. väärt palju teisi liikmeid:
6 numbrireale märgitud elementiProovime väljendada "vasakpoolset saba" väärtustega $((a)_(n))$ ja $d$ ning "parempoolset saba" väärtustega $((a)_(k))$ ja $d$. See on väga lihtne:
\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]
Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d=S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d=S. \end(joonda)\]
Lihtsamalt öeldes, kui võtta alguseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdne mingi arvuga $S$ ja siis hakkame nendest elementidest vastassuundades astuma (teise poole või vastupidi, et eemalduda), siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige paremini kujutada graafiliselt:
Samad taanded annavad võrdse summa Selle fakti mõistmine võimaldab meil lahendada põhimõtteliselt kõrgema keerukusega probleeme kui need, mida eespool käsitlesime. Näiteks need:
Ülesanne number 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.
Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:
\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]
Seega me ei tea progresseerumise $d$ erinevust. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]
Neile, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja ühise teguri 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui avame sulgud, saame:
\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot) 6]
Nagu näete, on kõrgeima liikmega koefitsient 11 - see on positiivne arv, nii et meil on tõesti tegemist parabooliga, mille harud on ülespoole:
ruutfunktsiooni graafik - parabool
Pange tähele: see parabool võtab minimaalse väärtuse oma tipus abstsissiga $((d)_(0))$. Muidugi saame selle abstsisase arvutada vastavalt standardskeemile (seal on valem $ ((d) _ (0)) = (-b)/(2a) \; $), kuid oleks palju mõistlikum märkida, et soovitud tipp asub sümmeetria teljel, mis on parabola $ (d) $), nii et $) $ $ (d) $) $ $) $ $ $ $ $ (d) $) $ $ $ $ (d) $) $ $ $ $ $ (d) $) $ $ $ (d) $) $ $ $ (d) $) $ $ $ (d) $) $ $ $ (d) $) $ $ $ (d) $) $ $ $ $ (d) $) $ $ $ (d) $) $ $ $ $ (d) $) $ $ (d) $) $. = 0 $:
\[\begin(joonda) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]
Seetõttu ei kiirustanud ma sulgude avamisega: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]
Mis annab meile avastatud numbri? Sellega võtab nõutav toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Ühtlasi on see arv esialgse progressiooni vahe, s.o. leidsime vastuse. :)
Vastus: -36
Ülesanne number 9. Sisesta kolm arvu numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise progressiooni.
Lahendus. Tegelikult peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistage puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\)\]
Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel arvudest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$. Ja kui hetkel ei saa me numbritest $x$ ja $z$ $y$, siis progressiooni otstega on olukord teine. Pidage meeles aritmeetiline keskmine:
Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast
Sarnaselt arutledes leiame ülejäänud arvu:
Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse üles selles järjekorras, millises järjekorras need originaalnumbrite vahele tuleks panna.
Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Ülesanne number 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu arvu, mis koos antud arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui on teada, et sisestatud esimese, teise ja viimase arvu summa on 56.
Lahendus. Veelgi raskem ülesanne, mis aga lahendatakse samamoodi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, mitu numbrit sisestada. Seetõttu eeldame täpsuse huvides, et pärast sisestamist on täpselt $n$ numbrid, millest esimene on 2 ja viimane on 42. Sel juhul saab soovitud aritmeetilist progressiooni esitada järgmiselt:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;((a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Pane aga tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ on saadud arvudest 2 ja 42, mis seisavad servadel ühe sammu võrra üksteise poole, s.o. jada keskele. Ja see tähendab seda
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Kuid siis saab ülaltoodud avaldise ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]
Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:
\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]
Jääb vaid leida ülejäänud liikmed:
\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]
Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - arv 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Tekstiülesanded edenemisega
Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nagu lihtsad: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need ülesanded tunduda žestina. Sellegipoolest kohtavad OGE-s ja matemaatikas USE-s just sellised ülesanded, seega soovitan teil nendega tutvuda.
Ülesanne number 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel. Mitu osa brigaad novembris tootis?
Lahendus. Ilmselgelt on osade arv, mis on maalitud kuude kaupa, aina suurem aritmeetiline progressioon. Ja:
\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]
November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Seega valmib novembris 202 detaili.
Ülesanne number 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja iga kuu köideti 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?
Lahendus. Kõik on sama:
$\begin(joona) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$
Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.
Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni “noorvõitleja kursuse”. Võime julgelt edasi liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime progresseerumise summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.
