Aritmeetiline progressioon leiab esimese viie summa. Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem. Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on sama palju suurem (või väiksem) kui eelmine.

See teema on sageli raske ja arusaamatu. täheindeksid, n-s tähtaeg progressioonid, progresseerumise erinevus - see kõik on kuidagi segane, jah ... Tegeleme tähendusega aritmeetiline progressioon ja kõik saab korda.)

Aritmeetilise progressiooni mõiste.

Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kahtlus? Asjata.) Vaadake ise.

Kirjutan lõpetamata numbrite jada:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kas saate seda rida pikendada? Millised numbrid lähevad pärast viit? Kõik ... uh ..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et numbrid 6, 7, 8, 9 jne lähevad kaugemale.

Teeme ülesande keerulisemaks. Annan lõpetamata numbrite jada:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Saate püüda mustrit, laiendada seeriat ja nimetada seitsmes rea number?

Kui saite aru, et see number on 20 - õnnitlen teid! Sa mitte ainult ei tundnud aritmeetilise progressiooni põhipunktid, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te ei saa aru, lugege edasi.

Tõlgime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)

Esimene võtmepunkt.

Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See tekitab alguses segadust. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid koostama ja kõike seda ... Ja siis laiendage seeriat, leidke seeria number ...

See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab arvude ja avaldiste seeriatega. Harju sellega.)

Teine põhipunkt.

Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama summa võrra.

Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga arv on kolm korda suurem kui eelmine. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrit tabada ja järgnevaid numbreid arvutada.

Kolmas põhipunkt.

See hetk ei ole silmatorkav, jah... Aga väga-väga oluline. Siin ta on: iga edenemisnumber on omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui ajad need juhuslikult segi, kaob muster. Kaob ka aritmeetiline progressioon. See on lihtsalt numbrite jada.

See on kogu asja mõte.

Muidugi sisse uus teema ilmuvad uued terminid ja märge. Nad peavad teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Kas see inspireerib?) Tähed, mõned indeksid... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma terminite ja tähiste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.

Tingimused ja nimetused.

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama summa võrra.

Seda väärtust nimetatakse . Käsitleme seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.

Aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.

Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et saadakse iga progressiooniarv lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest arvust.

Arvutamiseks ütleme teiseks rea numbrid, on vaja esiteks number lisama just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisama To neljas noh jne.

Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne siis osutub iga seeria number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Siin on iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.

Erinevus võib olla negatiivne siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.

Näiteks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, kuid juba negatiivsele arvule, -5.

Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuse tegemisel orienteeruda, avastada oma vead ja parandada need enne, kui on liiga hilja.

Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.

Kuidas leida d? Väga lihtne. On vaja lahutada seeria suvalisest arvust eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)

Defineerime näiteks d suureneva aritmeetilise progressiooni jaoks:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Võtame soovitud reast suvalise arvu, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:

See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.

Võite lihtsalt võtta suvaline arv arenguid, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Just sellepärast, et kõige esimene number eelnevat pole.)

Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Viiendale numbrile liidame 3 - saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale numbrile liidame kolm, saame seitsmenda numbri - kakskümmend.

Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja suvalisest numbrist võta eelmine ära. Valime suvalise arvu progressi, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, ükskõik milline.

Muud terminid ja nimetused.

Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.

Iga progressi liige on tema number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru ...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt mis tahes, tervik, murdosa, negatiivne, mis iganes, kuid nummerdamine- rangelt korras!

Kuidas kirjutada progressi üldkujul? Pole probleemi! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse reeglina tähte a. Liikmenumbrit näitab all paremal asuv indeks. Liikmed eraldatakse komadega (või semikooloniga) järgmiselt:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 on esimene number a 3- kolmas jne. Ei midagi keerulist. Saate selle seeria lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).

On progresseerumine lõplik ja lõpmatu.

Ülim progressioonil on piiratud arv liikmeid. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Kuid see on lõplik arv.

Lõputu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)

Saate kirjutada sellise seeria lõpliku edenemise, kõik liikmed ja punkt lõpus:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Või nii, kui liikmeid on palju:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:

(a n), n = 20

Lõpmatu edenemise tunneb ära rea lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.

Nüüd saate juba ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.

Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.

Vaatame ülaltoodud ülesannet lähemalt:

1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Tõlgime ülesande arusaadavasse keelde. Antud on lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine number on teada: a 2 = 5. Teadaolev progresseerumise erinevus: d = -2,5. Peame leidma selle progressi esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.

Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt probleemi seisukorrale. Esimesed kuus liiget, kus teine liige on viis:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...

a 3 = a 2 + d

Asendame väljendis a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Kolmas tähtaeg on väiksem kui teine. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, nii et number ise on väiksem kui eelmine. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Me käsitleme oma sarja neljandat liiget:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Seega on terminid kolmandast kuuendani välja arvutatud. Selle tulemuseks oli seeria:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Jääb üle leida esimene termin a 1 teada-tuntud teise järgi. See on samm teises suunas, vasakule.) Seega aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära viima:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

See on kõik. Ülesande vastus:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Möödaminnes märgin, et saime selle ülesande lahendatud korduv tee. See kohutav sõna tähendab ainult progressi liikme otsimist eelmise (külgneva) numbri järgi. Teisi viise progresseerumisega töötamiseks arutatakse hiljem.

Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.

Pidage meeles:

Kui teame vähemalt ühte aritmeetilise progressiooni liiget ja erinevust, leiame selle progressiooni iga liikme.

Mäletad? See lihtne tuletamine võimaldab meil lahendada enamiku probleemidest koolikursus sellel teemal. Kõik ülesanded on seotud kolme põhiparameetriga: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.

Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Edastamisele on lisatud võrratused, võrrandid ja muud asjad. Aga vastavalt progresseerumisele- kõik keerleb kolme parameetri ümber.

Mõelge näiteks mõnele populaarsele ülesandele sellel teemal.

2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d=0,4 ja a 1=3,6.

Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid arvutatakse, loendatakse ja üles kirjutatakse. Soovitatav on mitte vahele jätta ülesande tingimuses olevaid sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Jääb üle vastus kirja panna:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Teine ülesanne:

3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kui a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kes teab? Kuidas midagi defineerida?

Kuidas-kuidas ... Jah, kirjuta edasiminek seeria kujul üles ja vaata, kas tuleb seitse või mitte! Me usume:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei pääsenud meie numbrite seeriasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud jadasse.

Vastus: ei.

Ja siin on ülesanne, mis põhineb GIA pärisversioonil:

4. Aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust liiget kirjutatakse välja:

...; 15; X; 9; 6; ...

Siin on sari ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mida saame teadma sellelt realt? Millised on kolme peamise parameetrid?

Liikmete numbrid? Siin pole ühtegi numbrit.

Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjestikune" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Me lahutame kuuest eelmine number, st. üheksa:

Jäänud on tühjad kohad. Mis number on x jaoks eelmine? Viisteist. Nii et x on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. 15-le lisage aritmeetilise progressiooni erinevus:

See on kõik. Vastus: x=12

Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need mõistatused ei ole valemite jaoks. Puhtalt aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.) Kirjutame lihtsalt numbrite-tähtede jada, vaatame ja mõtleme.

5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.

6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.

7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Leia 3.

8. Aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust liiget kirjutatakse välja:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Leidke progressiooni liige, mida tähistatakse tähega x.

9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades järk-järgult kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.

10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.

Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Kõik õnnestus? Hämmastav! Lisateavet saate aritmeetilist progressiooni juhtida kõrge tase, järgmistes õppetundides.

Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need pusled tükkhaaval jaotatud.) Ja loomulikult kirjeldatakse lihtsat praktilist tehnikat, mis toob selliste ülesannete lahendamise kohe selgelt, selgelt, nagu peopesal esile!

Muide, rongiga seotud mõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks - puhtalt progresseerumise järgi ja teine - ühine kõikidele matemaatika ja ka füüsika ülesannetele. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.

Selles õppetükis uurisime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisama d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik otsustatakse.

Sõrmelahendus sobib hästi seeria väga lühikeste tükkide puhul, nagu selle õppetüki näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui küsimuse ülesandes 9, asendage "viis minutit" peal "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub palju hullemaks.)

Ja on ka ülesandeid, mis on olemuselt lihtsad, kuid arvutuslikult täiesti absurdsed, näiteks:

Antud aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.

Ja mis, me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas on võimalik ennast tappa!?

Saate.) Kui te ei tea lihtsat valemit, mille abil saate selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. Minuti pärast.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Mida Peaasi valemid?

See valem võimaldab teil leida ükskõik milline TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .

Loomulikult peate teadma esimest terminit a 1 ja progresseerumise erinevus d, ilma nende parameetriteta ei saa te konkreetset edenemist üles kirjutada.

Selle valemi meeldejätmisest (või petmisest) ei piisa. On vaja omastada selle olemust ja rakendada valemit erinevates probleemides. Jah, ja ärge unustage õigel ajal, jah ...) Kuidas mitte unustada- Ma ei tea. Ja siin kuidas meeles pidada Vajadusel annan vihje. Neile, kes saavad õppetunni lõpuni.)

Niisiis, käsitleme aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemit.

Mis on valem üldiselt – kujutame ette.) Mis on aritmeetiline progressioon, liikmearv, progressioonivahe – on eelmises õppetükis selgelt öeldud. Vaadake, kui te pole seda lugenud. Seal on kõik lihtne. Jääb üle välja mõelda, mida n liige.

Progressiooni üldiselt saab kirjutada numbrite jadana:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- tähistab aritmeetilise progressiooni esimest liiget, a 3- kolmas liige a 4- neljas ja nii edasi. Kui meid huvitab viies ametiaeg, siis oletame, et me töötame sellega a 5, kui saja kahekümnendal - alates a 120.

Kuidas üldiselt määratleda ükskõik milline aritmeetilise progressiooni liige, s ükskõik milline number? Väga lihtne! Nagu nii:

a n

Seda see on aritmeetilise progressiooni n-s liige. n-tähe all on korraga peidetud kõik liikmete arvud: 1, 2, 3, 4 jne.

Ja mida selline rekord meile annab? Mõelge vaid, numbri asemel kirjutasid nad üles tähe ...

See tähistus annab meile võimsa tööriista aritmeetilise progressiooniga töötamiseks. Märke kasutamine a n, leiame kiiresti ükskõik milline liige ükskõik milline aritmeetiline progressioon. Ja hunnik ülesandeid, mida tuleb lahendada. Edasi näete.

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemis:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- aritmeetilise progressiooni esimene liige;

n- liikme number.

Valem seob mis tahes edenemise peamised parameetrid: a n; a 1; d Ja n. Nende parameetrite ümber keerlevad kõik mõistatused käigupealt.

N-nda termini valemit saab kasutada ka konkreetse progressi kirjutamiseks. Näiteks ülesandes võib öelda, et progressi annab tingimus:

a n = 5 + (n-1) 2.

Selline probleem võib isegi segadusse ajada ... Pole seeriat, pole vahet ... Kuid kui võrrelda tingimust valemiga, on lihtne aru saada, et selles progressis a 1 \u003d 5 ja d = 2.

Ja see võib olla veelgi vihasem!) Kui võtame sama tingimuse: a n = 5 + (n-1) 2, jah, avage sulud ja andke sarnased? Saame uue valemi:

an = 3 + 2n.

See Ainult mitte üldiseks, vaid konkreetseks progressiks. Siin peitubki lõks. Mõned inimesed arvavad, et esimene termin on kolm. Kuigi tegelikkuses on esimene liige viis ... Natuke madalamal töötame sellise modifitseeritud valemiga.

Edasiliikumise ülesannetes on veel üks märge - a n+1. Arvasite ära, et see on edenemise "n pluss esimene" liige. Selle tähendus on lihtne ja kahjutu.) See on progressiooni liige, mille arv on arvust n ühe võrra suurem. Näiteks kui mõnes probleemis me võtame a n siis viies ametiaeg a n+1 saab kuuendaks liikmeks. Jne.

Enamasti tähistus a n+1 esineb rekursiivsetes valemites. Ärge kartke seda kohutavat sõna!) See on lihtsalt viis aritmeetilise progressiooni termini väljendamiseks eelmise kaudu. Oletame, et meile antakse sellisel kujul aritmeetiline progressioon, kasutades korduvat valemit:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljas – läbi kolmanda, viies – läbi neljanda jne. Ja kuidas kohe lugeda, öelge kahekümnes tähtaeg, a 20? Aga mitte mingil juhul!) Kuigi 19. tähtaeg pole teada, ei saa 20. tähtaega kokku lugeda. See on põhimõtteline erinevus rekursiivse valemi ja n-nda liikme valemi vahel. Rekursiivne töötab ainult läbi eelmine termin ja n-nda liikme valem - läbi esiteks ja lubab kohe leida mõni liige tema numbri järgi. Arvestades tervet numbrite rida järjekorras.

Aritmeetilises progressioonis saab rekursiivse valemi kergesti muuta tavaliseks. Loendage järjestikuste terminite paar, arvutage erinevus d, leida vajadusel esimene termin a 1, kirjutage valem tavalisel kujul ja töötage sellega. GIA-s leidub selliseid ülesandeid sageli.

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi rakendamine.

Kõigepealt vaatame valemi otsest rakendamist. Eelmise tunni lõpus tekkis probleem:

Antud aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.

Seda ülesannet saab lahendada ilma valemiteta, lihtsalt aritmeetilise progressiooni tähenduse põhjal. Lisa, jah lisa... Tund või kaks.)

Ja valemi järgi võtab lahendus vähem kui minuti. Saate seda ajastada.) Meie otsustame.

Tingimustes on kõik andmed valemi kasutamiseks: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Jääb näha, mis n. Pole probleemi! Me peame leidma a 121. Siin me kirjutame:

Palun pane tähele! Indeksi asemel n ilmus konkreetne arv: 121. Mis on üsna loogiline.) Meid huvitab aritmeetilise progressiooni liige number sada kakskümmend üks. See saab olema meie n. See on see tähendus n= 121 asendame sulgudes oleva valemiga. Asendage valemis kõik numbrid ja arvutage:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

See on kõik. Sama kiiresti võis leida viiesaja kümnenda liikme ja tuhande kolmanda liikme. Panime selle asemele n soovitud number tähe indeksis " a" ja sulgudes ning me kaalume.

Lubage mul teile meelde tuletada olemust: see valem võimaldab teil leida ükskõik milline aritmeetilise progressiooni termin TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .

Lahendame probleemi targemalt. Oletame, et meil on järgmine probleem:

Leidke aritmeetilise progressiooni esimene liige (a n), kui a 17 =-2; d = -0,5.

Kui teil on raskusi, soovitan esimest sammu. Pane kirja aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Jah Jah. Kirjutage käsitsi otse oma märkmikusse:

a n = a 1 + (n-1)d

Ja nüüd, vaadates valemi tähti, saame aru, millised andmed meil on ja mis puuduvad? Saadaval d = -0,5, on seitsmeteistkümnes liige ... Kõik? Kui arvate, et see on kõik, siis ei saa te probleemi lahendada, jah ...

Meil on ka number n! Seisundis a 17 =-2 peidetud kaks võimalust. See on nii seitsmeteistkümnenda liikme väärtus (-2) kui ka selle arv (17). Need. n = 17. See "pisiasi" libiseb sageli peast mööda ja ilma selleta (ilma "pisikese asjata", mitte peata!) probleemi ei saa lahendada. Kuigi ... ja ka ilma peata.)

Nüüd saame lihtsalt rumalalt oma andmed valemiga asendada:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh jah, a 17 me teame, et see on -2. Olgu, paneme selle sisse:

-2 = 1 + (17-1) (-0,5)

See on sisuliselt kõik. Jääb üle valemist väljendada aritmeetilise progressiooni esimene liige ja arvutada. Saate vastuse: a 1 = 6.

Selline tehnika – valemi kirjutamine ja lihtsalt teadaolevate andmete asendamine – aitab palju lihtsate ülesannete puhul. Noh, muutujat peab muidugi oskama valemist väljendada, aga mis teha!? Ilma selle oskuseta ei saa matemaatikat üldse õppida ...

Teine populaarne probleem:

Leia aritmeetilise progressiooni erinevus (a n), kui a 1 =2; a 15 = 12.

Mida me teeme? Sa oled üllatunud, me kirjutame valemi!)

a n = a 1 + (n-1)d

Mõelge sellele, mida me teame: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (eriline esiletõst!) n = 15. Asendage julgelt valemis:

12=2 + (15-1)d

Teeme aritmeetika.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

See on õige vastus.

Niisiis, ülesanded a n, a 1 Ja d otsustanud. Jääb veel õppida, kuidas numbrit leida:

Arv 99 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 =12; d=3. Leidke selle liikme number.

Asendame teadaolevad kogused n-nda liikme valemiga:

a n = 12 + (n-1) 3

Esmapilgul on siin kaks tundmatut kogust: a n ja n. Aga a n on mingi arvuga progressi liige n... Ja see progressiooni liige, mida me teame! See on 99. Me ei tea tema numbrit. n, nii et see number tuleb ka üles leida. Asendage progressiooniliige 99 valemiga:

99 = 12 + (n-1) 3

Väljendame valemist n, arvame. Saame vastuse: n = 30.

Ja nüüd probleem samal teemal, kuid loomingulisem):

Määrake, kas arv 117 on aritmeetilise progressiooni liige (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjutame valemi uuesti. Mis, valikuvõimalusi pole? Hm... Miks me vajame silmi?) Kas me näeme progressi esimest liiget? Me näeme. See on -3,6. Võite julgelt kirjutada: a 1 \u003d -3,6. Erinevus d saab määrata seeriast? See on lihtne, kui teate, mis vahe on aritmeetilisel progressioonil:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Jah, me tegime kõige lihtsamat asja. Jääb üle tegeleda tundmatu numbriga n ja arusaamatu arv 117. Eelmises ülesandes oli vähemalt teada, et see oli progressiooni täht. Aga siin me isegi ei tea, et ... Kuidas olla!? Noh, kuidas olla, kuidas olla... Lülitage sisse Loomingulised oskused!)

Meie oletada et 117 on lõppude lõpuks meie progressi liige. Tundmatu numbriga n. Ja nagu eelmises ülesandes, proovime seda numbrit leida. Need. kirjutame valemi (jah-jah!)) ja asendame oma numbrid:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jällegi väljendame valemistn, loeme ja saame:

Oih! Number selgus murdosa! Sada üks ja pool. Ja murdarvud progressioonides ei saa olla. Millise järelduse me teeme? Jah! Number 117 ei ole meie progressi liige. See on kuskil 101. ja 102. liikme vahel. Kui number osutus loomulikuks, s.t. positiivne täisarv, siis oleks arv leitud arvuga progressiooni liige. Ja meie puhul on vastus probleemile järgmine: Ei.

GIA pärisversioonil põhinev ülesanne:

Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:

a n \u003d -4 + 6,8n

Leidke progressiooni esimene ja kümnes liige.

Siin on edenemine seatud ebatavaliselt. Mingi valem ... Juhtub.) Kuid see valem (nagu ma eespool kirjutasin) - ka aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Ta lubab ka leidke progressiooni mõni liige selle numbri järgi.

Otsime esimest liiget. See, kes mõtleb. et esimene liige on miinus neli, on saatuslikult ekslik!) Kuna ülesande valemit on muudetud. Aritmeetilise progressiooni esimene liige selles peidetud. Ei midagi, me leiame selle kohe.)

Nii nagu eelmistes ülesannetes, asendame n = 1 sellesse valemisse:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 = 2,8

Siin! Esimene liige on 2,8, mitte -4!

Samamoodi otsime kümnendat terminit:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

See on kõik.

Ja nüüd neile, kes on neid ridu lugenud, lubatud boonus.)

Oletame, et GIA või ühtse riigieksami keerulises lahinguolukorras unustasite aritmeetilise progressiooni n-nda liikme kasuliku valemi. Midagi tuleb meelde, aga kuidagi ebakindlalt... Kas n seal või n+1 või n-1... Kuidas olla!?

Rahune! Seda valemit on lihtne tuletada. Mitte väga range, kuid kindlasti piisav enesekindluseks ja õigeks otsuseks!) Kokkuvõtteks piisab, kui meeles pidada aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja varuda paar minutit aega. Peate lihtsalt pildi joonistama. Selguse huvides.

Joonistame numbritelje ja märgime sellele esimese. teine, kolmas jne. liikmed. Ja pange tähele erinevust d liikmete vahel. Nagu nii:

Vaatame pilti ja mõtleme: millega võrdub teine liige? Teiseks üks d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mis on kolmas termin? Kolmandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kaks d.

a 3 =a 1 + 2 d

Kas saad aru? Ma ei pane mõnda sõna rasvasesse kirja asjata. Olgu, veel üks samm.)

Mis on neljas termin? Neljandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kolm d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aeg mõista, et lünkade arv, s.o. d, Alati ühe võrra vähem kui otsitava liikme arv n. St kuni numbrini n, tühimike arv tahe n-1. Niisiis, valem on (pole valikuid!):

a n = a 1 + (n-1)d

Üldiselt on visuaalsetest piltidest palju abi paljude matemaatikaülesannete lahendamisel. Ärge jätke pilte tähelepanuta. Aga kui pilti on raske joonistada, siis ... ainult valem!) Lisaks võimaldab n-nda liikme valem ühendada lahendusega kogu võimsa matemaatika arsenali - võrrandid, võrratused, süsteemid jne. Sa ei saa võrrandisse pilti panna...

Ülesanded iseseisvaks otsustamiseks.

Soojenduseks:

1. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5,1. Leia 3.

Vihje: pildi järgi on probleem lahendatud 20 sekundiga ... Valemi järgi selgub keerulisem. Kuid valemi valdamiseks on see kasulikum.) Paragrahvis 555 on see probleem lahendatud nii pildi kui ka valemi abil. Tunneta erinevust!)

Ja see pole enam soojendus.)

2. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Leidke 3 .

Mis, vastumeelsus pilti teha?) Ikka! Parem valem, jah...

3. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle progressiooni saja kahekümne viies liige.

Selles ülesandes antakse progresseerumine korduval viisil. Kuid kuni saja kahekümne viienda ametikohani lugedes... Igaüks ei suuda sellist vägitegu teha.) Aga n-nda liikme valem on igaühe jõukohane!

4. Antud aritmeetiline progressioon (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Leidke progresseerumise väikseima positiivse liikme arv.

5. Leia ülesande 4 tingimuse järgi progressi väikseimate positiivsete ja suurimate negatiivsete liikmete summa.

6. Kasvava aritmeetilise progressiooni viienda ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on -2,5 ning kolmanda ja üheteistkümnenda liikme summa on null. Leidke 14.

Pole just kõige lihtsam ülesanne, jah...) Siin meetod "sõrmedel" ei tööta. Peate kirjutama valemeid ja lahendama võrrandeid.

Vastused (segaduses):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Juhtus? See on tore!)

Kas kõik ei õnnestu? Juhtub. Muide, viimases ülesandes on üks peen punkt. Probleemi lugemisel on vaja olla tähelepanelik. Ja loogika.

Kõigi nende probleemide lahendust käsitletakse üksikasjalikult jaotises 555. Ja fantaasiaelement neljanda ja peenmoment kuuenda jaoks ning üldised lähenemisviisid probleemide lahendamiseks n-nda liikme valemi jaoks - kõik on maalitud. Ma soovitan.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbriline jada
Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele järjekorranumbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Oletame, et meil on arvuline jada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Sellist arvulist jada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti rohkem lai tähendus, lõpmatu arvujadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, millega tegelesid vanad kreeklased.

See on arvuline jada, mille iga liige on võrdne eelmisega, millele on lisatud sama number. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja seda tähistatakse.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sain aru? Võrrelge meie vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada progressiooninumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni -s liige võrdne.

2. Meetod

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine oleks võtnud meilt üle ühe tunni ja pole tõsiasi, et me poleks arvude liitmisel vigu teinud.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust pole vaja eelmisele väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti tähelepanelikult ... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, mis moodustab selle aritmeetilise progressiooni -nda liikme väärtuse:

Teisisõnu:

Proovige sel viisil iseseisvalt leida selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Arvutatud? Võrrelge oma sissekandeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku aritmeetilise progressiooni liikmed eelmisele väärtusele.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - viime selle üldisesse vormi ja saame:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetilised progressioonid kas suurenevad või vähenevad.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:

Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest numbritest:

Sellest ajast:

Seega olime veendunud, et valem töötab nii kahanevas kui ka suurendavas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni -ndat ja -ndat liiget.

Võrdleme tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
See on lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Olgu siis a:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on vigu võimalik teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi, jah, ja me proovime selle nüüd välja tuua.

Tähistame aritmeetilise progressiooni soovitud liiget nii, et me teame selle leidmise valemit - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:

edenemise eelmine liige on:
edenemise järgmine tähtaeg on:

Summeerime edenemise eelmised ja järgmised liikmed:

Selgub, et progressiooni eelmiste ja järgnevate liikmete summa on kaks korda suurem kui nende vahel paikneva progressiooni liikme väärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks on vaja need liita ja jagada.

Täpselt nii, meil on sama number. Parandame materjali. Arvutage progresseerumise väärtus ise, sest see pole üldse keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi on üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss - enda jaoks hõlpsasti tuletatud ...

Kui Carl Gauss oli 9-aastane, esitas õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: "Arvutage kõigi naturaalarvude summa vahemikus kuni (teistel andmetel kuni) kaasa arvatud. " Mis oli õpetaja üllatus, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minuti pärast ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik hulljulge klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse ...

Noor Carl Gauss märkas mustrit, mida on lihtne märgata.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ti liikmetest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni antud liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui meil on vaja leida ülesandest selle liikmete summa, nagu Gauss otsis?

Kujutame meile antud progressi. Vaadake tähelepanelikult esiletõstetud numbreid ja proovige nendega teha erinevaid matemaatilisi tehteid.

Proovis? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed

Nüüd vastake, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased võrdsed paarid, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõne ülesande puhul me ei tea th liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige summa valemis asendada th liikme valemiga.
Mis sa said?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile antud ülesande juurde: arvutage ise, milline on -ndast algavate arvude summa ja -ndast algavate arvude summa.

Kui palju sa said?
Gauss selgus, et liikmete summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed aritmeetilise progressiooni omadusi jõuliselt ja põhiliselt.
Näiteks kujutage ette Iidne Egiptus ja selle aja suurim ehitusplats - püramiidi ehitamine ... Joonisel on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster.

Miks mitte aritmeetiline progressioon? Loendage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusesse asetada klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, kas mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

Sel juhul näeb edenemine välja järgmine:
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (loendame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate ka monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Kas see nõustus? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni liikmete summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Koolitus

Ülesanded:

Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda kükib Maša nädalate jooksul, kui ta tegi kükke esimeses treeningus.
Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
Palkide ladustamisel laovad metsamehed need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmises. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise alus on palgid.

Vastused:

Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
(nädalad = päevad).
Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha kükitama kord päevas.
Esimene paaritu number, viimane number.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Paaritute arvude arv pooles, kontrollige seda fakti aritmeetilise progressiooni -nda liikme leidmise valemi abil:
Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
Asendame saadaolevad andmed valemiga:
Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.
Tuletage meelde püramiididega seotud probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht on vähendatud ühe palgi võrra, on ainult hunnik kihte, see tähendab.
Asendage andmed valemis:
Vastus: Müüritises on palgid.

Summeerida

- numbriline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See suureneb ja väheneb.
Valemi leidmine aritmeetilise progressiooni liige kirjutatakse valemiga - , kus on progressioonis olevate arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus - progressi arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:

, kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbriline jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Kuid alati saab öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada teatud naturaalarvuga ja ainult ühega. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Väga mugav on, kui jada -nda liige saab esitada mingi valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus). Või (, erinevus).

n-nda termini valem

Korduvaks nimetame valemit, milles -nda liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelnevat:

Et leida sellise valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Noh, nüüd on selge, mis valem on?

Igal real liidame, korrutatuna mõne arvuga. Milleks? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene täht on võrdne. Ja mis vahet sellel on? Ja siin on see, mis:

(lõppude lõpuks nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Seega valem on järgmine:

Siis on sajas liige:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss, olles 9-aastane poiss, selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja 3. summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:

Näide:
Leidke kõigi kahekohaliste kordajate summa.

Lahendus:

Esimene selline number on see. Iga järgmine saadakse, lisades eelmisele numbri. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle progresseerumise kolmanda liikme valem on:

Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Otsustage nüüd ise:

Iga päev jookseb sportlane 1m rohkem kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit ta nädalatega jookseb, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
Jalgrattur sõidab iga päev rohkem miile kui eelmine. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta sõitma, et kilomeeter läbida? Mitu kilomeetrit ta reisi viimasel päeval läbib?
Külmiku hinda poes langetatakse igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
.
Vastus:
Siin on antud:, on vaja leida.
Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
.
Asendage väärtused:
Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus.
Arvutame viimase päeva jooksul läbitud vahemaa, kasutades -nda liikme valemit:
(km).
Vastus:
Arvestades: . Leia:.
See ei lähe lihtsamaks:
(hõõruda).
Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on arvuline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon suureneb () ja väheneb ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatakse valemina, kus on arvude arv progresseerumisel.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See muudab progressi liikme leidmise lihtsaks, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Ülejäänud 2/3 ARTIKLID ON SAADAVAL AINULT YOUCLEVER TUDENGIDELE!

Hakka YouCleveri õpilaseks,

Valmistuge OGE-ks või KASUTAGE matemaatikas hinnaga "tass kohvi kuus",

Samuti saate piiramatu juurdepääsu õpikule "YouClever", koolitusprogrammile "100gia" (lahenduste raamat), piiramatule USE ja OGE prooviversioonile, 6000 ülesannet koos lahenduste analüüsiga ja teistele YouCleveri ja 100gia teenustele.

Matemaatikas on oma ilu, nagu ka maalil ja luulel.

Vene teadlane, mehaanik N.E. Žukovski

Väga levinud ülesanded sisseastumiseksamid matemaatikas on ülesanded, mis on seotud aritmeetilise progressiooni mõistega. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks on vaja hästi tunda aritmeetilise progressiooni omadusi ja omada teatud oskusi nende rakendamisel.

Tuletame esmalt meelde aritmeetilise progressiooni põhiomadusi ja esitame olulisemad valemid, seotud selle kontseptsiooniga.

Definitsioon. Numbriline jada, milles iga järgnev termin erineb eelmisest sama numbri võrra, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Samal ajal numbernimetatakse progresseerumise erinevuseks.

Aritmeetilise progressiooni korral kehtivad valemid

, (1)

Kus. Valemit (1) nimetatakse aritmeetilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) on aritmeetilise progressiooni põhiomadus: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete aritmeetilise keskmise ja .

Pange tähele, et just selle omaduse tõttu nimetatakse vaadeldavat progressiooni "aritmeetiliseks".

Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on kokku võetud järgmiselt:

(3)

Summa arvutamiseks esiteks aritmeetilise progressiooni liikmedTavaliselt kasutatakse valemit

(5) kus ja .

Kui võtame arvesse valemit (1), siis valem (5) eeldab

Kui me määrame

Kus. Kuna , siis on valemid (7) ja (8) vastavate valemite (5) ja (6) üldistus.

Eriti , valemist (5) järeldub, Mida

Enamikule õpilastele vähetuntud on aritmeetilise progressiooni omadus, mis on sõnastatud järgmise teoreemi abil.

Teoreem. Kui siis

Tõestus. Kui siis

Teoreem on tõestatud.

Näiteks , teoreemi kasutades, seda saab näidata

Liigume edasi probleemide lahendamise tüüpiliste näidete käsitlemisele teemal "Aritmeetiline progressioon".

Näide 1 Lase ja . Leia .

Lahendus. Rakendades valemit (6), saame . Alates ja , siis või .

Näide 2 Laske kolm korda rohkem ja jagatisega jagades selgub 2 ja jääk on 8. Määrake ja.

Lahendus. Võrrandisüsteem tuleneb näite tingimusest

Kuna , , ja , siis võrrandisüsteemist (10) saame

Selle võrrandisüsteemi lahendused on ja .

Näide 3 Otsige, kas ja.

Lahendus. Vastavalt valemile (5) on meil või . Kuid kasutades omadust (9), saame .

Alates ja , siis võrdsusest võrrand järgneb või .

Näide 4 Leia, kui.

Lahendus.Valemi (5) järgi on meil

Teoreemi kasutades saab aga kirjutada

Siit ja valemist (11) saame .

Näide 5. Arvestades: . Leia .

Lahendus. Sellest ajast . Siiski .

Näide 6 Laske , ja . Leia .

Lahendus. Kasutades valemit (9), saame . Seega, kui , siis või .

Alates ja siis siin on võrrandisüsteem

Mille lahendamisel saame ja .

Võrrandi loomulik juur on .

Näide 7 Otsige, kas ja.

Lahendus. Kuna valemi (3) järgi on meil see , siis ülesande tingimusest tuleneb võrrandisüsteem

Kui asendame väljendisüsteemi teise võrrandisse, siis saame või .

Ruutvõrrandi juured on Ja .

Vaatleme kahte juhtumit.

1. Laske siis . Alates ja , siis .

Sel juhul on meil valemi (6) kohaselt

2. Kui , siis , ja

Vastus: ja.

Näide 8 On teada, et ja Leia .

Lahendus. Võttes arvesse valemit (5) ja näite tingimust, kirjutame ja .

See tähendab võrrandisüsteemi

Kui me korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga ja lisame selle seejärel teisele võrrandile, saame

Vastavalt valemile (9) on meil. Sellega seoses tuleneb (12) see või .

Alates ja , siis .

Vastus:.

Näide 9 Otsige, kas ja.

Lahendus. Alates , ja tingimuse järgi , siis või .

Valemist (5) on teada, Mida . Sellest ajast .

Seega, siin on lineaarvõrrandi süsteem

Siit saame ja . Võttes arvesse valemit (8), kirjutame .

Näide 10 Lahenda võrrand.

Lahendus. Antud võrrandist järeldub, et . Oletame, et , , ja . Sel juhul .

Valemi (1) järgi võime kirjutada või .

Kuna võrrandil (13) on ainulaadne sobiv juur .

Näide 11. Leidke maksimaalne väärtus tingimusel, et ja .

Lahendus. Alates , siis vaadeldav aritmeetiline progressioon väheneb. Sellega seoses saab avaldis maksimaalse väärtuse, kui see on progresseerumise minimaalse positiivse liikme arv.

Kasutame valemit (1) ja fakti, mis ja . Siis saame selle või .

Sest siis või . Küll aga selles ebavõrdsusessuurim naturaalarv, Sellepärast .

Kui väärtused ja asendatakse valemiga (6), siis saame .

Vastus:.

Näide 12. Leidke kõigi kahekohaliste naturaalarvude summa, mille 6-ga jagamisel jääb ülejääk 5.

Lahendus. Tähistage kõigi kaheväärtuslike naturaalarvude hulgaga, s.o. . Järgmisena konstrueerime alamhulga, mis koosneb nendest hulga elementidest (arvudest), mille jagamisel arvuga 6 saadakse jääk 5.

Lihtne paigaldada, Mida . Ilmselgelt, et hulga elemendidmoodustavad aritmeetilise progressiooni, milles ja .

Hulga kardinaalsuse (elementide arvu) määramiseks eeldame, et . Kuna ja , siis valem (1) tähendab või . Võttes arvesse valemit (5), saame .

Ülaltoodud näited probleemide lahendamisest ei saa mingil juhul väita, et need on ammendavad. See artikkel põhineb analüüsil kaasaegsed meetodid tüüpiliste ülesannete lahendamine antud teemal. Aritmeetilise progressiooniga seotud ülesannete lahendamise meetodite põhjalikumaks uurimiseks on soovitatav tutvuda soovitatava kirjanduse loeteluga.

1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. - M .: Maailm ja haridus, 2013. - 608 lk.

2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: lisalõigud kooli õppekava. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 lk.

3. Medynsky M.M. Algmatemaatika tervikkursus ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. - 208 lk.

Kas teil on küsimusi?

Juhendaja abi saamiseks - registreeru.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Tunni eesmärgid:

õpilaste ettekujutuse laiendamine ja süvendamine aritmeetilise progressiooni abil lahendatavate ülesannete kohta; õpilaste otsingutegevuse korraldamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi tuletamisel;
oskuste arendamine iseseisvaks uute teadmiste omandamiseks, juba omandatud teadmiste kasutamiseks ülesande saavutamiseks;
saadud faktide üldistamise soovi ja vajaduse kujunemine, iseseisvuse kujunemine.

Ülesanded:

üldistada ja süstematiseerida olemasolevaid teadmisi teemal “Aritmeetiline progressioon”;
tuletada valemid aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutamiseks;
õpetada saadud valemeid rakendama erinevate ülesannete lahendamisel;
juhtida õpilaste tähelepanu arvavaldise väärtuse leidmise protseduurile.

Varustus:

kaardid ülesannetega tööks rühmades ja paarides;
hindamispaber;
esitlus"Aritmeetiline progressioon".

I. Põhiteadmiste aktualiseerimine.

1. Iseseisev töö paarides.

1. variant:

Määratlege aritmeetiline progressioon. Kirjutage üles rekursiivne valem, mis määratleb aritmeetilise progressiooni. Tooge näide aritmeetilisest progressioonist ja märkige selle erinevus.

2. variant:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem. Leidke aritmeetilise progressiooni 100. liige ( a n}: 2, 5, 8 …
Sel ajal valmistavad kaks õpilast tahvli tagaküljel samadele küsimustele vastuseid.
Õpilased hindavad partneri tööd, võrreldes seda tahvliga. (Antakse üle vastustega infolehed).

2. Mänguhetk.

1. harjutus.

Õpetaja. Ma mõtlesin välja aritmeetilise progressiooni. Esitage mulle ainult kaks küsimust, et pärast vastuseid saaksite kiiresti nimetada selle progressi 7. liikme. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Küsimused õpilastelt.

Mis on progresseerumise kuues liige ja mis vahe on?
Mis on edenemise kaheksas liige ja mis vahe on?

Kui küsimusi rohkem pole, saab õpetaja neid stimuleerida - d-le (erinevus) "keeld", see tähendab, et ei tohi küsida, mis vahe on. Saate esitada küsimusi: mis on progressiooni 6. liige ja mis on progressiooni 8. liige?

2. ülesanne.

Tahvlile on kirjutatud 20 numbrit: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Õpetaja seisab seljaga tahvli poole. Õpilased ütlevad numbri numbri ja õpetaja helistab kohe ise numbrile. Selgitage, kuidas ma saan seda teha?

Õpetaja mäletab n-nda termini valem a n \u003d 3n - 2 ja asendades antud n väärtused, leiab vastavad väärtused a n .

II. Õppeülesande avaldus.

Teen ettepaneku lahendada vana probleem, mis pärineb 2. aastatuhandest eKr ja mis leiti Egiptuse papüürustest.

Ülesanne:"Olgu teile öeldud: jagage 10 mõõtu otra 10 inimese vahel, vahe iga inimese ja tema naabri vahel on 1/8 mõõdust."

Kuidas on see probleem seotud aritmeetilise progressiooni teemaga? (Iga järgmine inimene saab 1/8 mõõtu rohkem, nii et vahe on d=1/8, 10 inimest, seega n=10.)
Mida number 10 teie arvates tähendab? (Kõigi progressi liikmete summa.)
Mida on veel vaja teada, et odra jaotamine vastavalt probleemi olukorrale oleks lihtne ja lihtne? (Progressiooni esimene tähtaeg.)

Tunni eesmärk- progressiooniliikmete summa sõltuvuse saamine nende arvust, esimesest liikmest ja erinevusest ning kontrollimine, kas probleem lahendati muinasajal õigesti.

Enne valemi tuletamist vaatame, kuidas muistsed egiptlased probleemi lahendasid.

Ja nad lahendasid selle järgmiselt:

1) 10 mõõdikut: 10 = 1 meede – keskmine osakaal;
2) 1 mõõt ∙ = 2 takti – kahekordistatud keskmine jagada.
kahekordistunud keskmine osa on 5. ja 6. isiku osade summa.
3) 2 mõõtu - 1/8 mõõt = 1 7/8 meedet - kahekordne viienda isiku osakaal.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - viienda osa; ja nii edasi, leiate iga eelmise ja järgmise inimese osakaalu.

Saame järjestuse:

III. Ülesande lahendus.

1. Töötage rühmades

1. rühm: Leidke 20 järjestikuse naturaalarvu summa: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Üldiselt

II rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Järeldus:

III rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 21.

Lahendus: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Järeldus:

IV grupp: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 101.

Järeldus:

Seda vaadeldavate probleemide lahendamise meetodit nimetatakse Gaussi meetodiks.

2. Iga rühm esitab ülesande lahenduse tahvlil.

3. Suvalise aritmeetilise progressiooni pakutud lahenduste üldistamine:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Leiame selle summa, väites sarnaselt:

4. Kas oleme ülesande lahendanud?(Jah.)

IV. Saadud valemite esmane mõistmine ja rakendamine ülesannete lahendamisel.

1. Vana ülesande lahenduse kontrollimine valemiga.

2. Valemi rakendamine erinevate ülesannete lahendamisel.

3. Harjutused valemi rakendamise oskuse kujundamiseks ülesannete lahendamisel.

A) nr 613

Antud :( ja n) - aritmeetiline progressioon;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Leia: S 1500

Lahendus: , ja 1 = 1 ja 1500 = 1500,

B) Arvestades: ( ja n) - aritmeetiline progressioon;
(ja n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Leia: n
Lahendus:

V. Iseseisev töö vastastikuse kontrolliga.

Denis läks kullerina tööle. Esimesel kuul oli tema palk 200 rubla, igal järgneval kuul tõusis see 30 rubla võrra. Kui palju ta aastaga teenis?

Antud :( ja n) - aritmeetiline progressioon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Leia: S 12
Lahendus:

Vastus: Denis sai aasta eest 4380 rubla.

VI. Kodutöö juhendamine.

lk 4.3 - õppige valemi tuletamist.
№№ 585, 623 .
Koostage ülesanne, mille lahendamiseks kasutatakse aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemit.

VII. Õppetunni kokkuvõte.

1. Tulemuste tabel

2. Jätkake lauseid