पहले के त्रिकोणमितीय समीकरण. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ। फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ़ y = पाप x

उदाहरण:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें:

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाना चाहिए:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जहां \(t\) x के साथ एक अभिव्यक्ति है, \(a\) एक संख्या है। ऐसा त्रिकोणमितीय समीकरणकहा जाता है सबसे आसान. इन्हें () या विशेष सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है:

सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने पर इन्फोग्राफिक्स यहां देखें:, और।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) को हल करें।
समाधान:

उत्तर: \(\left[ \begin(इकट्ठा)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(इकट्ठा)\दाएं.\) \(k,n∈Z\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों के मूलों के सूत्र में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है, देखें।

ध्यान!समीकरण \(\sin⁡x=a\) और \(\cos⁡x=a\) का कोई समाधान नहीं है यदि \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). क्योंकि किसी भी x के लिए साइन और कोसाइन \(-1\) से अधिक या उसके बराबर और \(1\) से कम या उसके बराबर हैं:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण \(\cos⁡x=-1,1\) को हल करें।
समाधान: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर : कोई समाधान नहीं.

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण tg\(⁡x=1\) को हल करें।
समाधान:

आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके समीकरण को हल करें। इसके लिए: 1) एक वृत्त का निर्माण करें) 2) कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) और स्पर्शरेखा अक्ष की रचना करें (यह बिंदु \((0;1)\) से होकर गुजरती है जो अक्ष \(y\) के समानांतर है। 3) स्पर्शरेखा अक्ष पर, बिंदु \(1\) अंकित करें। 4) इस बिंदु और निर्देशांक की उत्पत्ति को एक सीधी रेखा से जोड़ें। 5) इस रेखा और संख्या वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। 6) आइए इन बिंदुओं के मानों पर हस्ताक्षर करें: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) आइए इन बिंदुओं के सभी मूल्यों को लिखें। चूँकि वे एक दूसरे से बिल्कुल \(π\) की दूरी पर स्थित हैं, सभी मान एक सूत्र में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) को हल करें।
समाधान:

आइए फिर से संख्या वृत्त का उपयोग करें। 1) एक वृत्त, अक्ष \(x\) और \(y\) का निर्माण करें। 2) कोसाइन अक्ष (\(x\) अक्ष) पर, \(0\) अंकित करें। 3) इस बिंदु से होकर कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचिए। 4) लम्ब और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। 5) आइए इन बिंदुओं के मान पर हस्ताक्षर करें: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) हम इन बिंदुओं का संपूर्ण मान लिखते हैं और उन्हें कोसाइन (कोसाइन के अंदर क्या है) के बराबर करते हैं। \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) हमेशा की तरह, हम \(x\) को समीकरणों में व्यक्त करेंगे। संख्याओं को \(π\), साथ ही \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), आदि से व्यवहार करना न भूलें। ये अन्य सभी संख्याओं के समान ही हैं। कोई संख्यात्मक भेदभाव नहीं! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरलतम बनाना एक रचनात्मक कार्य है, यहां आपको समीकरणों को हल करने के लिए दोनों और विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- विधि (एकीकृत राज्य परीक्षा में सबसे लोकप्रिय)।
- तरीका।
- सहायक तर्क की विधि.

आइए द्विघात त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) को हल करें
समाधान:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	आइए प्रतिस्थापन करें \(t=\cos⁡x\).
	हमारा समीकरण सामान्य हो गया है. आप इसका उपयोग करके इसे हल कर सकते हैं।
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं।
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	हम संख्या वृत्त का उपयोग करके पहला समीकरण हल करते हैं। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है क्योंकि \(\cos⁡x∈[-1;1]\) और किसी भी x के लिए दो के बराबर नहीं हो सकता।
	आइए इन बिंदुओं पर मौजूद सभी संख्याओं को लिखें।

उत्तर: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ के अध्ययन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण (USE) . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक भिन्न है और एक कोटैंजेंट है - इसका मतलब है कि हमें इसे लिखना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि कोटैंजेंट वास्तव में एक भिन्न है: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) इसलिए, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) के लिए ODZ।
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	आइए संख्या गोले पर "गैर-समाधान" को चिह्नित करें।
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	आइए समीकरण में हर को ctg\(x\) से गुणा करके छुटकारा पाएं। हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हमने ऊपर लिखा है कि ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	आइए ज्या के लिए द्विकोण सूत्र लागू करें: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	यदि आपके हाथ कोज्या से विभाजित करने के लिए आगे बढ़ते हैं, तो उन्हें पीछे खींचें! यदि यह निश्चित रूप से शून्य के बराबर नहीं है तो आप एक चर वाले अभिव्यक्ति से विभाजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, ये: \(x^2+1.5^x\))। इसके बजाय, आइए \(\cos⁡x\) को कोष्ठक से बाहर निकालें।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	आइए समीकरण को दो भागों में "विभाजित" करें।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके पहले समीकरण को हल करें। आइए दूसरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करें और \(\sin⁡x\) को दाईं ओर ले जाएं।
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	परिणामी जड़ें ODZ में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हम उन्हें प्रतिक्रिया में नहीं लिखेंगे। दूसरा समीकरण विशिष्ट है. आइए इसे \(\sin⁡x\) से विभाजित करें (\(\sin⁡x=0\) समीकरण का हल नहीं हो सकता क्योंकि इस मामले में \(\cos⁡x=1\) या \(\cos⁡ x=-1\)).
	हम फिर से एक वृत्त का उपयोग करते हैं।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	इन जड़ों को ODZ द्वारा बाहर नहीं रखा गया है, इसलिए आप उन्हें उत्तर में लिख सकते हैं।

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.
5. उदाहरण.

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत एक चर समाहित होता है।

आइए हम सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके को दोहराएँ:

1)यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक समाधान है:

एक्स= ± आर्ककोस(ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण पाप(x) = a का एक समाधान है:

3) यदि |ए| > 1, तो समीकरण पाप(x) = a और cos(x) = a का कोई समाधान नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का समाधान है: x=arctg(a)+ πk

5) समीकरण ctg(x)=a का एक समाधान है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: T(kx+m)=a, T कुछ त्रिकोणमितीय फलन है।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: ए) पाप(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए हम 3x=t को निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

मानों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

आइए अपने वेरिएबल पर वापस लौटें: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n की घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के और उदाहरण.

समीकरण हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

समाधान:

ए) इस बार आइए सीधे समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। फिर x/5= πk => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम इसे इस रूप में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= √2/2. और खंड पर सभी जड़ें ढूंढें।

समाधान:

आइए हम अपने समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

एक्स= ± π/16+ πk/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट पर क्या जड़ें पड़ती हैं। k पर k=0, x= π/16 पर, हम दिए गए खंड में हैं।
K=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, हमने फिर से प्रहार किया।
K=2 के लिए, x= π/16+ π=17π/16, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका मतलब है कि बड़े k के लिए हम भी स्पष्ट रूप से हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= π/16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियाँ.

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखा, लेकिन अधिक जटिल समीकरण भी हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणनखंडन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें.

आइए समीकरण हल करें:

समाधान:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करेंगे, जो दर्शाता है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: t 2 + 2t -1 = 0

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिलता है, आइए इसके मूल खोजें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

किसी समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: पाप 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण इस प्रकार होगा: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 का परिचय दें

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 और t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

क्योंकि कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.

परिभाषा: a syn(x)+b cos(x) रूप के समीकरणों को प्रथम डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है।

प्रपत्र के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे cos(x) से विभाजित करें: यदि कोसाइन शून्य के बराबर है तो आप कोज्या से विभाजित नहीं कर सकते, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
मान लीजिए cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => पाप(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिलता है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से.

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + syn(x) cos(x) = 0

समाधान:

आइए सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + syn (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरण हल करने होंगे:

Cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों, इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a=0 है तो हमारा समीकरण cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) का रूप लेगा, जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछली स्लाइड पर है

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग कोज्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, हमें मिलता है:

हम वेरिएबल t=tg(x) बदलते हैं और समीकरण प्राप्त करते हैं:

उदाहरण क्रमांक:3 को हल करें

प्रश्न हल करें:
समाधान:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम वेरिएबल t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0 बदलते हैं

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-3 और t=1

फिर: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

उत्तर: x=-arctg(3) + πk और x= π/4+ πk

उदाहरण क्रमांक:4 को हल करें

प्रश्न हल करें:

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम ऐसे समीकरण हल कर सकते हैं: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण क्रमांक:5 को हल करें

प्रश्न हल करें:

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होंगे: t=-2 और t=1/2

तब हमें मिलता है: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 और x=arctg(1/2)/2+ πk/2

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.

1) समीकरण हल करें

ए) पाप(7x)= 1/2 बी) कॉस(3x)= √3/2 सी) कॉस(-x) = -1 डी) टीजी(4x) = √3 डी) सीटीजी(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: पाप(3x)= √3/2. और खंड पर सभी मूल खोजें [π/2; π].

3) समीकरण हल करें: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) समीकरण हल करें: 3sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 syn(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की अवधारणा.

• त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या अधिक बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों में परिवर्तित करें। एक त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने से अंततः चार बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना पड़ता है।

बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।

• बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरण 4 प्रकार के होते हैं:
• पाप एक्स = ए; क्योंकि x = ए
• टैन एक्स = ए; सीटीजी एक्स = ए
• बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में यूनिट सर्कल पर विभिन्न x स्थितियों को देखना, साथ ही एक रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करना शामिल है।
• उदाहरण 1. पाप x = 0.866. रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके आपको उत्तर मिलेगा: x = π/3। यूनिट सर्कल एक और उत्तर देता है: 2π/3। याद रखें: सभी त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, अर्थात उनके मान दोहराते हैं। उदाहरण के लिए, पाप x और cos x की आवधिकता 2πn है, और tg x और ctg x की आवधिकता πn है। इसलिए उत्तर इस प्रकार लिखा गया है:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• उदाहरण 2. क्योंकि x = -1/2. रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके आपको उत्तर मिलेगा: x = 2π/3। यूनिट सर्कल एक और उत्तर देता है: -2π/3।
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• उदाहरण 3. tg (x - π/4) = 0.
• उत्तर: x = π/4 + πn.
• उदाहरण 4. सीटीजी 2x = 1.732.
• उत्तर: x = π/12 + πn.

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में उपयोग किए जाने वाले परिवर्तन।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को बदलने के लिए, उपयोग करें बीजगणितीय परिवर्तन(कारकीकरण, कमी सजातीय सदस्यआदि) और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ।
• उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, समीकरण पाप x + पाप 2x + पाप 3x = 0 को समीकरण 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 में परिवर्तित किया जाता है। इस प्रकार, निम्नलिखित मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने की आवश्यकता है: cos x = 0; पाप(3x/2) = 0; क्योंकि(x/2) = 0.

• द्वारा कोण ज्ञात करना ज्ञात मूल्यकार्य.

  • त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आपको यह सीखना होगा कि ज्ञात फ़ंक्शन मानों का उपयोग करके कोण कैसे खोजें। यह रूपांतरण तालिका या कैलकुलेटर का उपयोग करके किया जा सकता है।
  • उदाहरण: क्योंकि x = 0.732. कैलकुलेटर उत्तर देगा x = 42.95 डिग्री. इकाई वृत्त अतिरिक्त कोण देगा, जिसकी कोज्या भी 0.732 है।

• घोल को यूनिट सर्कल पर अलग रख दें।

  • आप इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय समीकरण का समाधान आलेखित कर सकते हैं। इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान एक नियमित बहुभुज के शीर्ष होते हैं।
  • उदाहरण: इकाई वृत्त पर समाधान x = π/3 + πn/2 वर्ग के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
  • उदाहरण: यूनिट सर्कल पर समाधान x = π/4 + πn/3 एक नियमित षट्भुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

  • यदि किसी दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में केवल एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है, तो उस समीकरण को मूल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि किसी दिए गए समीकरण में दो या दो से अधिक त्रिकोणमितीय फलन शामिल हैं, तो ऐसे समीकरण को हल करने की 2 विधियाँ हैं (इसके परिवर्तन की संभावना के आधार पर)।
    • विधि 1.
  • इस समीकरण को इस रूप के समीकरण में बदलें: f(x)*g(x)*h(x) = 0, जहां f(x), g(x), h(x) मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं।
  • उदाहरण 6. 2cos x + पाप 2x = 0. (0< x < 2π)
  • समाधान। द्विकोण सूत्र पाप 2x = 2*sin x*cos x का उपयोग करके, पाप 2x को प्रतिस्थापित करें।
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. अब दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos x = 0 और (sin x + 1) = 0.
  • उदाहरण 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • समाधान: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को इस रूप के समीकरण में बदलें: cos 2x(2cos x + 1) = 0. अब दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2cos x + 1) = 0.
  • उदाहरण 8. पाप x - पाप 3x = cos 2x। (0< x < 2π)
  • समाधान: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को इस रूप के समीकरण में बदलें: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2sin x + 1) = 0 .
    • विधि 2.
  • दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को केवल एक त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरण में बदलें। फिर इस त्रिकोणमितीय फलन को किसी अज्ञात फलन से बदलें, उदाहरण के लिए, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, आदि)।
  • उदाहरण 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • समाधान। इस समीकरण में, (cos^2 x) को (1 - syn^2 x) से बदलें (पहचान के अनुसार)। परिवर्तित समीकरण है:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. पाप x को t से बदलें। अब समीकरण इस तरह दिखता है: 5t^2 - 4t - 9 = 0. यह एक द्विघात समीकरण है जिसके दो मूल हैं: t1 = -1 और t2 = 9/5। दूसरा रूट t2 फ़ंक्शन रेंज (-1) को संतुष्ट नहीं करता है< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • उदाहरण 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • समाधान। tg x को t से बदलें। मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. अब t खोजें और फिर t = tan x के लिए x खोजें।

• विशेष त्रिकोणमितीय समीकरण.

  • ऐसे कई विशेष त्रिकोणमितीय समीकरण हैं जिनके लिए विशिष्ट परिवर्तनों की आवश्यकता होती है। उदाहरण:
  • a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता.

  • जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, सभी त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक हैं, जिसका अर्थ है कि उनके मान एक निश्चित अवधि के बाद दोहराए जाते हैं। उदाहरण:
    • फ़ंक्शन f(x) = syn x की अवधि 2π है।
    • फलन f(x) = tan x की अवधि π के बराबर है।
    • फलन f(x) = पाप 2x की अवधि π के बराबर है।
    • फलन f(x) = cos (x/2) की अवधि 4π है।
  • यदि समस्या में कोई अवधि निर्दिष्ट है, तो उस अवधि के भीतर "x" के मान की गणना करें।
  • नोट: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना कोई आसान काम नहीं है और अक्सर इसमें त्रुटियाँ हो जाती हैं। इसलिए अपने उत्तरों को ध्यान से जांचें. ऐसा करने के लिए, आप दिए गए समीकरण R(x) = 0 को ग्राफ़ करने के लिए ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। ऐसे मामलों में, समाधान इस प्रकार प्रस्तुत किए जाएंगे दशमलव(अर्थात्, π को 3.14 से प्रतिस्थापित कर दिया गया है)।

कक्षा: 10

"समीकरण हमेशा बने रहेंगे।"

ए आइंस्टीन

पाठ मकसद:

• शिक्षात्मक:
  • त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की गहरी समझ;
  • त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों में अंतर करने और सही तरीके से चयन करने का कौशल विकसित करना।
• शिक्षात्मक:
  • शैक्षिक प्रक्रिया में संज्ञानात्मक रुचि का पोषण करना;
  • किसी दिए गए कार्य का विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करना;
  • कक्षा में मनोवैज्ञानिक माहौल को बेहतर बनाने में योगदान दें।
• विकास संबंधी:
  • ज्ञान के स्वतंत्र अधिग्रहण के कौशल के विकास को बढ़ावा देना;
  • छात्रों की अपनी बात पर बहस करने की क्षमता को बढ़ावा देना;

उपकरण:बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों, कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन वाला पोस्टर।

1 पाठ

I. संदर्भ ज्ञान को अद्यतन करना

समीकरणों को मौखिक रूप से हल करें:

1)cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3)cosx = –;
4) पाप2x = 0;
5) सिनक्स = -;
6) सिनक्स = ;
7) टीजीएक्स = ;
8) क्योंकि 2 एक्स - पाप 2 एक्स = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) एक्स = के;
5) एक्स = (-1) + के;
6) x = (-1) + 2k;
7) एक्स = + के;
8) एक्स = + के; Z को.

द्वितीय. नई सामग्री सीखना

– आज हम अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखेंगे। आइए उन्हें हल करने के 10 तरीकों पर नजर डालें। आगे समेकन के लिए दो पाठ होंगे और अगले पाठ के लिए एक परीक्षा होगी। "पाठ के लिए" स्टैंड पर ऐसे कार्य पोस्ट किए गए हैं जो परीक्षण के समान हैं जिन्हें आपको परीक्षण से पहले हल करने की आवश्यकता है; (परीक्षण से एक दिन पहले, इन कार्यों के समाधान को स्टैंड पर पोस्ट करें)।

तो, आइए त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों पर विचार करें। इनमें से कुछ तरीके संभवतः आपको कठिन लगेंगे, जबकि अन्य आसान लगेंगे, क्योंकि... आप समीकरणों को हल करने की कुछ तकनीकें पहले से ही जानते हैं।

कक्षा में चार छात्रों को एक व्यक्तिगत कार्य मिला: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के 4 तरीके समझने और आपको दिखाने के लिए।

(बोलने वाले छात्रों ने पहले से ही स्लाइड तैयार कर ली है। कक्षा के बाकी सदस्य समीकरणों को हल करने के मुख्य चरणों को एक नोटबुक में लिखते हैं।)

1 छात्र: 1 रास्ता. गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करना

पाप 4x = 3 क्योंकि 2x

समीकरण को हल करने के लिए, हम दोहरे कोण ज्या सूत्र पाप 2 = 2 पाप कॉस का उपयोग करते हैं
2 पाप 2x क्योंकि 2x – 3 क्योंकि 2x = 0,
क्योंकि 2x (2 पाप 2x - 3) = 0. इन कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है।

2x = + k, k Z या पाप 2x = 1.5 - कोई समाधान नहीं है, क्योंकि | पाप| 1
एक्स = + के; Z को.
उत्तर: x = + k, k Z.

2 छात्र. विधि 2. त्रिकोणमितीय फलनों के योग या अंतर को उत्पाद में परिवर्तित करके समीकरणों को हल करना

क्योंकि 3x + पाप 2x – पाप 4x = 0.

समीकरण को हल करने के लिए, हम सूत्र पाप- पाप = 2 पाप сos का उपयोग करते हैं

क्योंकि 3x + 2 पाप क्योंकि = 0,

сcos 3x – 2 पाप x cos 3x = 0,

cos 3x (1 - 2 synx) = 0. परिणामी समीकरण दो समीकरणों के एक सेट के बराबर है:

दूसरे समीकरण के समाधानों का सेट पहले समीकरण के समाधानों के सेट में पूरी तरह से शामिल है। मतलब

उत्तर:

3 छात्र. 3 रास्ता. त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल को योग में परिवर्तित करके समीकरणों को हल करना

पाप 5x क्योंकि 3x = पाप 6x क्योंकि 2x.

समीकरण को हल करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं

उत्तर:

4 छात्र. 4 तरफा। ऐसे समीकरणों को हल करना जो द्विघात समीकरणों में बदल जाते हैं

3 पाप x – 2 cos 2 x = 0,
3 पाप x – 2 (1 – पाप 2 x) = 0,
2 पाप 2 x + 3 पाप x – 2 = 0,

माना पाप x = t, जहाँ | टी |. हमें द्विघात समीकरण 2t 2 + 3t – 2 = 0 प्राप्त होता है,

डी = 9 + 16 = 25.

इस प्रकार । शर्त पूरी नहीं करता | टी |.

अतः पाप x = . इसीलिए .

उत्तर:

तृतीय. ए. एन. कोलमोगोरोव की पाठ्यपुस्तक से जो सीखा गया है उसका समेकन

1. क्रमांक 164 (ए), 167 (ए) (द्विघात समीकरण)
2. क्रमांक 168 (ए) (कारकीकरण)
3. क्रमांक 174 (ए) (किसी राशि को उत्पाद में परिवर्तित करना)
4. (उत्पाद को योग में बदलें)

(पाठ के अंत में, सत्यापन के लिए स्क्रीन पर इन समीकरणों का हल दिखाएं)

№ 164 (ए)

2 पाप 2 x + पाप x – 1 = 0.
माना पाप x = t, | टी | 1. फिर
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . कहाँ

उत्तर: - .

№ 167 (ए)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

मान लीजिए tg x = 1, तो हमें समीकरण 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 प्राप्त होता है।

उत्तर:

№ 168 (ए)

उत्तर:

№ 174 (ए)

प्रश्न हल करें:

उत्तर:

पाठ 2 (पाठ-व्याख्यान)

चतुर्थ. नई सामग्री सीखना(निरंतरता)

– तो, आइए त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करना जारी रखें।

5 रास्ता. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

प्रपत्र के समीकरण a पाप x + b क्योंकि x = 0, जहां ए और बी कुछ संख्याएं हैं, पाप एक्स या कॉस एक्स के संबंध में पहली डिग्री के सजातीय समीकरण कहलाते हैं।

समीकरण पर विचार करें

पाप x – क्योंकि x = 0. आइए समीकरण के दोनों पक्षों को cos x से विभाजित करें। ऐसा किया जा सकता है; जड़ हानि नहीं होगी, क्योंकि , अगर क्योंकि x = 0,वह पाप x = 0. लेकिन यह मूल त्रिकोणमितीय पहचान का खंडन करता है पाप 2 x+cos 2 एक्स = 1.

हम पाते हैं तन x – 1 = 0.

तन x = 1,

प्रपत्र के समीकरण के रूप में 2 एक्स + बीसीओएस 2 एक्स + सी पाप एक्स कॉस एक्स = 0,कहाँ ए, बी, सी -कुछ संख्याओं को syn x या cos x के संबंध में दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरण कहा जाता है।

समीकरण पर विचार करें

पाप 2 x – 3 पाप x क्योंकि x + 2 cos 2 = 0. आइए समीकरण के दोनों पक्षों को cos x से विभाजित करें, और मूल नष्ट नहीं होगा, क्योंकि क्योंकि x = 0 इस समीकरण का मूल नहीं है.

टीजी 2 एक्स - 3टीजी एक्स + 2 = 0.

माना tg x = t. डी = 9 - 8 = 1.

तो फिर tg x = 2 या tg x = 1.

परिणामस्वरूप, x = आर्कटैन 2 + , x =

उत्तर: आर्कटजी 2 + ,

एक अन्य समीकरण पर विचार करें: 3 पाप 2 x - 3 पाप x cos x + 4 cos 2 x = 2।
आइए समीकरण के दाहिने पक्ष को 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) के रूप में रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
पाप 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (हमें दूसरा समीकरण मिला, जिसका हम पहले ही विश्लेषण कर चुके हैं)।

उत्तर: आर्कटैन 2 + के,

6 रास्ता. रैखिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

एक रैखिक त्रिकोणमितीय समीकरण रूप का एक समीकरण है ए पाप एक्स + बी क्योंकि एक्स = सी, जहाँ a, b, c कुछ संख्याएँ हैं।

समीकरण पर विचार करें पाप x + क्योंकि x= – 1.
आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

उस पर विचार करते हुए, हमें मिलता है:

उत्तर:

7 रास्ता. एक अतिरिक्त तर्क प्रस्तुत करना

अभिव्यक्ति ए कॉस एक्स + बी सिन एक्सपरिवर्तित किया जा सकता है:

(त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाते समय हम पहले ही इस परिवर्तन का उपयोग कर चुके हैं)

आइए एक अतिरिक्त तर्क पेश करें - कोण ऐसा है

तब

समीकरण पर विचार करें: 3 synx + 4 cosx = 1. =

गृहकार्य:क्रमांक 164 -170 (सी, डी)।

इस पाठ में हम देखेंगे बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ़, और सूची भी त्रिकोणमितीय समीकरणों और प्रणालियों के बुनियादी प्रकार. इसके अलावा, हम संकेत देते हैं सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य समाधान और उनके विशेष मामले.

यह पाठ आपको किसी एक प्रकार के कार्य के लिए तैयारी करने में मदद करेगा बी5 और सी1.

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी

प्रयोग

पाठ 10. त्रिकोणमितीय फलन। त्रिकोणमितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ।

लिखित

पाठ सारांश

हम पहले ही कई बार "त्रिकोणमितीय फलन" शब्द का प्रयोग कर चुके हैं। इस विषय के पहले पाठ में, हमने उनका उपयोग करके पहचान की सही त्रिकोणऔर इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त. त्रिकोणमितीय कार्यों को निर्दिष्ट करने के इन तरीकों का उपयोग करके, हम पहले से ही यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उनके लिए तर्क (या कोण) का एक मान फ़ंक्शन के बिल्कुल एक मान से मेल खाता है, यानी। हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट फ़ंक्शन को कॉल करने का अधिकार है।

इस पाठ में, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना के लिए पहले चर्चा की गई विधियों से सार निकालने का प्रयास करने का समय आ गया है। आज हम फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए सामान्य बीजगणितीय दृष्टिकोण पर आगे बढ़ेंगे, हम उनके गुणों को देखेंगे और ग्राफ़ चित्रित करेंगे।

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के संबंध में, विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए:

परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा, क्योंकि साइन और कोसाइन के लिए मानों की सीमा पर प्रतिबंध हैं, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषा की सीमा पर प्रतिबंध हैं;

सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता, क्योंकि हमने पहले ही सबसे छोटे गैर-शून्य तर्क की उपस्थिति नोट कर ली है, जिसके जुड़ने से फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है। इस तर्क को फ़ंक्शन की अवधि कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। साइन/कोसाइन और टेंगेंट/कोटैंजेंट के लिए ये अवधि अलग-अलग हैं।

फ़ंक्शन पर विचार करें:

1) परिभाषा का दायरा;

2) मूल्य सीमा ;

3) फ़ंक्शन विषम है ;

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उस क्षेत्र की छवि के साथ निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो ग्राफ़ को ऊपर से संख्या 1 और नीचे से संख्या तक सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। इसके अलावा, निर्माण के लिए कई मुख्य तालिका कोणों की ज्याओं के मानों को याद रखना उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यह आपको ग्राफ़ की पहली पूर्ण "तरंग" बनाने और फिर इसे दाईं ओर फिर से बनाने की अनुमति देगा और बाईं ओर, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र को एक अवधि के बदलाव के साथ दोहराया जाएगा, अर्थात। पर ।

अब आइए फ़ंक्शन को देखें:

इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1) परिभाषा का दायरा;

2) मूल्य सीमा ;

3) सम कार्य इसका तात्पर्य यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कोटि के बारे में सममित है;

4) फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में एकरस नहीं है;

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। साइन का निर्माण करते समय, उस क्षेत्र की एक छवि के साथ शुरू करना सुविधाजनक होता है जो ग्राफ़ को शीर्ष पर संख्या 1 के साथ और नीचे संख्या के साथ सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। हम ग्राफ़ पर कई बिंदुओं के निर्देशांक भी प्लॉट करेंगे, जिसके लिए हमें कई मुख्य तालिका कोणों के कोसाइन के मानों को याद रखना होगा, उदाहरण के लिए, इन बिंदुओं की सहायता से हम पहली पूर्ण "तरंग" बना सकते हैं ग्राफ़ का "और फिर इसे दाईं और बाईं ओर फिर से बनाएं, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र एक अवधि बदलाव के साथ दोहराएगा, यानी। पर ।

आइए फ़ंक्शन पर आगे बढ़ें:

इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1) डोमेन सिवाय , कहाँ . हम पिछले पाठों में पहले ही बता चुके हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। स्पर्शरेखा अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;

2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। स्पर्शरेखा मान सीमित नहीं हैं;

3) फ़ंक्शन विषम है ;

4) फ़ंक्शन अपनी तथाकथित स्पर्शरेखा शाखाओं के भीतर नीरस रूप से बढ़ता है, जिसे अब हम चित्र में देखेंगे;

5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उन बिंदुओं पर ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी को चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा डोमेन में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक पट्टी के अंदर स्पर्शरेखा की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। साथ ही, यह न भूलें कि प्रत्येक शाखा एकरस रूप से बढ़ती है। हम सभी शाखाओं को एक ही तरह से चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि प्रत्येक शाखा पड़ोसी को एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थानांतरित करके प्राप्त की जाती है।

और हम फ़ंक्शन पर एक नज़र डालकर समाप्त करते हैं:

इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1) डोमेन सिवाय , कहाँ . त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तालिका से, हम पहले से ही जानते हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। कोटैंजेंट अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;

2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। कोटैंजेंट मान सीमित नहीं हैं;

3) फ़ंक्शन विषम है ;

4) फ़ंक्शन अपनी शाखाओं के भीतर नीरस रूप से घटता है, जो स्पर्शरेखा शाखाओं के समान होते हैं;

5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, जहां तक ​​स्पर्शरेखा की बात है, तो ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों को उन बिंदुओं पर चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा क्षेत्र में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक धारियों के अंदर कोटैंजेंट की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। इस मामले में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रत्येक शाखा नीरस रूप से घटती है। हम सभी शाखाओं को समान रूप से स्पर्शरेखा के समान चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है।

अलग से, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जटिल तर्कों वाले त्रिकोणमितीय कार्यों में एक गैर-मानक अवधि हो सकती है। हम प्रपत्र के कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं:

उनकी अवधि बराबर है. और कार्यों के बारे में:

उनकी अवधि बराबर है.

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक नई अवधि की गणना करने के लिए, मानक अवधि को तर्क में कारक से विभाजित किया जाता है। यह फ़ंक्शन के अन्य संशोधनों पर निर्भर नहीं है।

आप अधिक विस्तार से समझ सकते हैं और समझ सकते हैं कि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने और बदलने के पाठ में ये सूत्र कहाँ से आते हैं।

हम "त्रिकोणमिति" विषय के सबसे महत्वपूर्ण भागों में से एक पर आ गए हैं, जिसे हम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित करेंगे। ऐसे समीकरणों को हल करने की क्षमता महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, भौतिकी में दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय। आइए कल्पना करें कि आपने एक स्पोर्ट्स कार में गो-कार्ट में कुछ चक्कर लगाए हैं; त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने से आपको यह निर्धारित करने में मदद मिलेगी कि आप ट्रैक पर कार की स्थिति के आधार पर कितनी देर तक दौड़ रहे हैं।

आइए सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण लिखें:

ऐसे समीकरण का हल वे तर्क हैं जिनकी ज्या के बराबर है। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि साइन की आवधिकता के कारण ऐसे तर्कों की संख्या अनंत है। इस प्रकार, इस समीकरण का हल होगा, आदि। यही बात किसी अन्य सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने पर भी लागू होती है, उनकी संख्या अनंत होगी;

त्रिकोणमितीय समीकरणों को कई मुख्य प्रकारों में विभाजित किया गया है। अलग से, हमें सबसे सरल बातों पर ध्यान देना चाहिए, क्योंकि बाकी सब कुछ उनके पास आता है। ऐसे चार समीकरण हैं (बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की संख्या के अनुसार)। उनके लिए सामान्य समाधान ज्ञात हैं, उन्हें याद रखा जाना चाहिए।

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण और उनके सामान्य समाधानऐसे दिखते हैं:

कृपया ध्यान दें कि साइन और कोसाइन के मूल्यों को हमें ज्ञात सीमाओं को ध्यान में रखना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण का कोई समाधान नहीं है और निर्दिष्ट सूत्र लागू नहीं किया जाना चाहिए।

इसके अलावा, निर्दिष्ट रूट सूत्रों में एक मनमाना पूर्णांक के रूप में एक पैरामीटर होता है। में स्कूल के पाठ्यक्रमयह एकमात्र मामला है जब किसी पैरामीटर के बिना समीकरण के समाधान में एक पैरामीटर होता है। यह मनमाना पूर्णांक दर्शाता है कि सभी पूर्णांकों को बारी-बारी से प्रतिस्थापित करके उपरोक्त किसी भी समीकरण के मूलों की अनंत संख्या को लिखना संभव है।

आप 10वीं कक्षा के बीजगणित कार्यक्रम में "त्रिकोणमितीय समीकरण" अध्याय को दोहराकर इन सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति से परिचित हो सकते हैं।

अलग से, साइन और कोसाइन के साथ सरलतम समीकरणों के विशेष मामलों को हल करने पर ध्यान देना आवश्यक है। ये समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:

सामान्य समाधान खोजने के सूत्र उन पर लागू नहीं होने चाहिए। ऐसे समीकरणों को त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके सबसे आसानी से हल किया जाता है, जो सामान्य समाधान सूत्रों की तुलना में सरल परिणाम देता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण का हल है . इस उत्तर को स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें और संकेतित शेष समीकरणों को हल करें।

संकेतित सबसे सामान्य प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों के अलावा, कई और मानक समीकरण भी हैं। हम उन्हें उन बातों को ध्यान में रखते हुए सूचीबद्ध करते हैं जिन्हें हम पहले ही इंगित कर चुके हैं:

1) प्रोटोज़ोआ, उदाहरण के लिए, ;

2) सरलतम समीकरणों के विशेष मामले, उदाहरण के लिए, ;

3) जटिल तर्क वाले समीकरण, उदाहरण के लिए, ;

4) एक सामान्य गुणनखंड को हटाकर समीकरणों को सरलतम बना दिया जाता है, उदाहरण के लिए, ;

5) त्रिकोणमितीय फलनों को रूपांतरित करके समीकरणों को सरलतम बनाया गया, उदाहरण के लिए, ;

6) प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों को उनके सरलतम में घटाया गया, उदाहरण के लिए, ;

7) सजातीय समीकरण, उदाहरण के लिए, ;

8) समीकरण जिन्हें फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, . इस तथ्य से चिंतित न हों कि इस समीकरण में दो चर हैं; यह स्वयं ही हल हो जाता है;

साथ ही ऐसे समीकरण जिन्हें विभिन्न विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के अलावा, आपको उनके सिस्टम को हल करने में भी सक्षम होना चाहिए।

सिस्टम के सबसे सामान्य प्रकार हैं:

1) जिसमें से एक समीकरण शक्ति है, उदाहरण के लिए, ;

2) सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों की प्रणाली, उदाहरण के लिए, .

आज के पाठ में हमने बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों, उनके गुणों और ग्राफ़ को देखा। हम भी मिले सामान्य सूत्रसरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान, ऐसे समीकरणों के मुख्य प्रकार और उनकी प्रणालियों को दर्शाते हैं।

पाठ के व्यावहारिक भाग में, हम त्रिकोणमितीय समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के तरीकों की जांच करेंगे।

बॉक्स 1.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामलों को हल करना.

जैसा कि हमने पाठ के मुख्य भाग में पहले ही कहा है, साइन और कोसाइन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले:

सामान्य समाधान सूत्रों द्वारा दिए गए समाधानों की तुलना में इनका समाधान अधिक सरल है।

इसके लिए त्रिकोणमितीय वृत्त का प्रयोग किया जाता है। आइए समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके उन्हें हल करने की विधि का विश्लेषण करें।

आइए हम त्रिकोणमितीय वृत्त पर उस बिंदु को चित्रित करें जिस पर कोसाइन मान शून्य है, जो भुज अक्ष के साथ निर्देशांक भी है। जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे दो बिंदु हैं। हमारा कार्य यह इंगित करना है कि वृत्त पर इन बिंदुओं से मेल खाने वाला कोण किसके बराबर है।

हम भुज अक्ष (कोसाइन अक्ष) की सकारात्मक दिशा से गिनती शुरू करते हैं और कोण निर्धारित करते समय हम पहले चित्रित बिंदु पर पहुंचते हैं, यानी। एक समाधान यह कोण मान होगा। लेकिन हम अभी भी उस कोण से संतुष्ट हैं जो दूसरे बिंदु से मेल खाता है। इसमें कैसे प्रवेश करें?