सबसे सरल त्रिकोणमिति. त्रिकोणमितीय समीकरण. त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें? त्रिकोणमितीय समीकरणों के और उदाहरण

त्रिकोणमितीय समीकरण .

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण .

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

त्रिकोणमितीय समीकरण. एक समीकरण जिसमें अज्ञात के अंतर्गत है त्रिकोणमितीय फलन का चिन्ह कहलाता है त्रिकोणमितीय.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण.

समाधान के तरीके त्रिकोणमितीय समीकरण. त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं: समीकरण परिवर्तनइसे सरलतम रूप से प्राप्त करने के लिएटाइप करें (ऊपर देखें) और समाधानपरिणामी सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण.वहां सात हैं त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ।

1. बीजगणितीय विधि. यह विधि हमें बीजगणित से भली प्रकार ज्ञात है।

(परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि)।

2. गुणनखंडीकरण। आइए इस विधि को उदाहरणों के साथ देखें।

उदाहरण 1. समीकरण हल करें:पाप एक्स+क्योंकि एक्स = 1 .

समाधान आइए समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ:

पाप एक्स+क्योंकि एक्स – 1 = 0 ,

आइए हम अभिव्यक्ति को रूपांतरित और गुणनखंडित करें

समीकरण का बायां पक्ष:

उदाहरण 2. समीकरण हल करें:ओल 2 एक्स+पाप एक्सओल एक्स = 1.

समाधान: क्योंकि 2 एक्स+पाप एक्सओल एक्स– पाप 2 एक्स– क्योंकि 2 एक्स = 0 ,

पाप एक्सओल एक्स– पाप 2 एक्स = 0 ,

पाप एक्स· (क्योंकि) एक्स– पाप एक्स ) = 0 ,

उदाहरण 3. समीकरण हल करें:क्योंकि 2 एक्स-क्योंकि 8 एक्स+ क्योंकि 6 एक्स = 1.

समाधान: क्योंकि 2 एक्स+ क्योंकि 6 एक्स= 1 + कॉस 8 एक्स,

2 क्योंकि 4 एक्सक्योंकि 2 एक्स= 2cos²4 एक्स ,

क्योंकि 4 एक्स · (क्योंकि 2 एक्स– क्योंकि 4 एक्स) = 0 ,

क्योंकि 4 एक्स · 2 पाप 3 एक्सपाप एक्स = 0 ,

1). क्योंकि 4 एक्स= 0, 2). पाप 3 एक्स= 0, 3). पाप एक्स = 0 ,

3.

के लिए अग्रणी सजातीय समीकरण. समीकरण बुलाया से सजातीय के बारे में पापऔर ओल , अगर यह सब के सापेक्ष समान डिग्री की शर्तें पापऔर ओलएक ही कोण. एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए: ए) इसके सभी सदस्यों को बाईं ओर ले जाएं; बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें; वी) सभी कारकों और कोष्ठकों को शून्य के बराबर करें; जी) शून्य के बराबर कोष्ठक दें कम डिग्री का सजातीय समीकरण, जिसे विभाजित किया जाना चाहिए ओल(या पाप) वरिष्ठ डिग्री में; डी) के संबंध में परिणामी बीजगणितीय समीकरण को हल करेंटैन . उदाहरण समीकरण हल करें: 3पाप 2 एक्स+4 पाप एक्सओल एक्स+ 5cos 2 एक्स = 2. समाधान: 3पाप 2 एक्स+4 पाप एक्सओल एक्स+5 कॉस 2 एक्स= 2पाप 2 एक्स+ 2cos 2 एक्स , पाप 2 एक्स+4 पाप एक्सओल एक्स+3 कोस 2 एक्स = 0 , तन 2 एक्स+ 4 तन एक्स + 3 = 0 , यहाँ से य 2 + 4य +3 = 0 , इस समीकरण की जड़ें हैं:य 1 = - 1, य 2 = - 3, इसलिए 1) तन एक्स= -1, 2) तन एक्स = –3,

4. आधे कोण में संक्रमण. आइए इस विधि को एक उदाहरण के रूप में देखें:

उदाहरण समीकरण हल करें: 3पाप एक्स– 5 कोस एक्स = 7.

समाधान: 6 पाप ( एक्स/ 2) क्योंकि ( एक्स/ 2) – 5 cos² ( एक्स/ 2) + 5 पाप² ( एक्स/ 2) =

7 पाप² ( एक्स/ 2) + 7 cos² ( एक्स/ 2) ,

2 पाप² ( एक्स/ 2) – 6 पाप ( एक्स/ 2) क्योंकि ( एक्स/ 2) + 12 cos² ( एक्स/ 2) = 0 ,

tan²( एक्स/ 2) – 3 टैन ( एक्स/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. एक सहायक कोण का परिचय. प्रपत्र के एक समीकरण पर विचार करें:

एपाप एक्स + बीओल एक्स = सी ,

कहाँ ए, बी, सी– गुणांक;एक्स- अज्ञात।

अब समीकरण के गुणांकों में ज्या और कोज्या के गुण हैं, अर्थात्: प्रत्येक का मापांक (पूर्ण मान)।

कार्य क्रमांक 1

तर्क सरल है: हम वैसा ही करेंगे जैसा हमने पहले किया था, इस तथ्य की परवाह किए बिना कि अब त्रिकोणमितीय कार्यों का तर्क अधिक जटिल है!

यदि हमें इस रूप का एक समीकरण हल करना हो:

फिर हम निम्नलिखित उत्तर लिखेंगे:

या (तब से)

लेकिन अब हमारी भूमिका इस अभिव्यक्ति द्वारा निभाई जाती है:

तब हम लिख सकते हैं:

आपके साथ हमारा लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि बाईं ओर बिना किसी "अशुद्धता" के, सरलता से खड़ा रहे!

आइए धीरे-धीरे इनसे छुटकारा पाएं!

सबसे पहले, आइए हर को हटा दें: ऐसा करने के लिए, अपनी समानता को इससे गुणा करें:

आइए अब इसे दोनों भागों में बांटकर इससे छुटकारा पाएं:

आइए अब आठ से छुटकारा पाएं:

परिणामी अभिव्यक्ति को समाधानों की 2 श्रृंखलाओं के रूप में लिखा जा सकता है (द्विघात समीकरण के अनुरूप, जहां हम या तो विवेचक को जोड़ते हैं या घटाते हैं)

हमें सबसे बड़ा नकारात्मक मूल खोजने की आवश्यकता है! यह स्पष्ट है कि हमें इसे सुलझाना होगा।

आइए पहले पहला एपिसोड देखें:

यह स्पष्ट है कि यदि हम लेते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें सकारात्मक संख्याएँ प्राप्त होंगी, लेकिन उनमें हमारी रुचि नहीं है।

इसलिए आपको इसे नकारात्मक रूप से लेने की जरूरत है। रहने दो।

जब जड़ संकरी होगी:

और हमें सबसे बड़ी नकारात्मकता खोजने की जरूरत है!! इसका मतलब यह है कि अब यहां नकारात्मक दिशा में जाने का कोई मतलब नहीं रह गया है। और इस शृंखला के लिए सबसे बड़ा नकारात्मक मूल बराबर होगा.

आइए अब दूसरी श्रृंखला देखें:

और फिर से हम स्थानापन्न करते हैं: , फिर:

दिलचस्पी नहीं है!

फिर इसे और बढ़ाने का कोई मतलब नहीं है! आइए इसे कम करें! फिर चलो:

फिट बैठता है!

रहने दो। तब

तब - सबसे बड़ी नकारात्मक जड़!

उत्तर:

कार्य क्रमांक 2

जटिल कोसाइन तर्क की परवाह किए बिना, हम फिर से हल करते हैं:

अब हम बाईं ओर फिर से व्यक्त करते हैं:

दोनों पक्षों को इससे गुणा करें

दोनों पक्षों को विभाजित करें

जो कुछ बचा है उसे दाईं ओर ले जाना है, इसके चिह्न को माइनस से प्लस में बदलना है।

हमें फिर से जड़ों की 2 श्रृंखलाएँ मिलती हैं, एक with और दूसरी with।

हमें सबसे बड़ा नकारात्मक मूल खोजने की जरूरत है। आइए पहले एपिसोड पर नजर डालें:

यह स्पष्ट है कि हमें पहला नकारात्मक मूल मिलेगा, यह बराबर होगा और 1 श्रृंखला में सबसे बड़ा नकारात्मक मूल होगा।

दूसरी श्रृंखला के लिए

प्रथम ऋणात्मक मूल भी प्राप्त होगा तथा उसके बराबर होगा। चूँकि, तब समीकरण का सबसे बड़ा नकारात्मक मूल है।

उत्तर: .

कार्य क्रमांक 3

हम जटिल स्पर्शरेखा तर्क की परवाह किए बिना हल करते हैं।

अब, यह जटिल नहीं लगता, है ना?

पहले की तरह, हम बाईं ओर व्यक्त करते हैं:

खैर, यह बहुत अच्छा है, यहां जड़ों की केवल एक ही श्रृंखला है! आइए फिर से सबसे बड़ा नकारात्मक खोजें।

यह स्पष्ट है कि यदि आप इसे नीचे रख दें तो यह सफल हो जाएगा। और यह जड़ बराबर है.

उत्तर:

अब निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए होमवर्क या 3 कार्य।

1. समीकरण हल करें.
   
2. समीकरण हल करें.
   pi-shi-th-सबसे छोटी-संभव जड़ के उत्तर में।
3. समीकरण हल करें.
   pi-shi-th-सबसे छोटी-संभव जड़ के उत्तर में।

तैयार? की जाँच करें। मैं संपूर्ण समाधान एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन नहीं करूंगा, मुझे ऐसा लगता है कि इस पर पहले ही पर्याप्त ध्यान दिया जा चुका है।

अच्छा, क्या सब कुछ ठीक है? ओह, वे गंदे साइनस, उनमें हमेशा किसी न किसी तरह की परेशानी होती है!

खैर, अब आप सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हल कर सकते हैं!

समाधान और उत्तर देखें:

कार्य क्रमांक 1

आइए व्यक्त करें

यदि हम, चूँकि, तब डालें तो सबसे छोटा धनात्मक मूल प्राप्त होता है

उत्तर:

कार्य क्रमांक 2

सबसे छोटा धनात्मक मूल प्राप्त होता है।

यह बराबर होगा.

उत्तर: .

कार्य क्रमांक 3

जब हमें मिलता है, जब हमारे पास होता है।

उत्तर: .

यह ज्ञान आपको परीक्षा में आने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद करेगा।

यदि आप "5" रेटिंग के लिए आवेदन कर रहे हैं, तो आपको बस इसके लिए लेख पढ़ने के लिए आगे बढ़ना होगा मध्य स्तर, जो अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों (कार्य C1) को हल करने के लिए समर्पित होगा।

औसत स्तर

इस लेख में मैं वर्णन करूंगा त्रिकोणमितीय समीकरणों को अधिक हल करना जटिल प्रकार और उनकी जड़ों का चयन कैसे करें। यहां मैं निम्नलिखित विषयों पर विचार करूंगा:

1. शुरुआती स्तर के लिए त्रिकोणमितीय समीकरण (ऊपर देखें)।

अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरण उन्नत समस्याओं का आधार हैं। उन्हें समीकरण को सामान्य रूप में हल करने और एक निश्चित अंतराल से संबंधित इस समीकरण की जड़ें ढूंढने की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से दो उपकार्य होते हैं:

1. समीकरण हल करना
2. जड़ चयन

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दूसरे की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन अधिकांश उदाहरणों में चयन अभी भी आवश्यक है। लेकिन अगर इसकी आवश्यकता नहीं है, तो हम आपके प्रति सहानुभूति रख सकते हैं - इसका मतलब है कि समीकरण अपने आप में काफी जटिल है।

C1 समस्याओं के विश्लेषण में मेरा अनुभव बताता है कि उन्हें आम तौर पर निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है।

बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों की चार श्रेणियां (पूर्व में C1)

1. समीकरण जो गुणनखंडन को कम करते हैं।
2. समीकरण बनते-बनते रह गये.
3. एक चर को बदलकर समीकरण हल किए गए।
4. ऐसे समीकरण जिनमें अतार्किकता या हर के कारण मूलों के अतिरिक्त चयन की आवश्यकता होती है।

सीधे शब्दों में कहें तो: यदि आप पकड़े जाते हैं पहले तीन प्रकार के समीकरणों में से एक, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें। उनके लिए, एक नियम के रूप में, आपको अतिरिक्त रूप से एक निश्चित अंतराल से संबंधित जड़ों का चयन करने की आवश्यकता होती है।

यदि आपके सामने टाइप 4 का समीकरण आता है, तो आप कम भाग्यशाली हैं: आपको इसके साथ अधिक समय तक और अधिक सावधानी से छेड़छाड़ करने की आवश्यकता है, लेकिन अक्सर इसमें जड़ों के अतिरिक्त चयन की आवश्यकता नहीं होती है। फिर भी, मैं अगले लेख में इस प्रकार के समीकरणों का विश्लेषण करूंगा, और यह लेख मैं पहले तीन प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित करूंगा।

समीकरण जो गुणनखंडन को कम करते हैं

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए आपको सबसे महत्वपूर्ण बात याद रखनी होगी

जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, एक नियम के रूप में, यह ज्ञान पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1. न्यूनीकरण और द्विकोण ज्या सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को गुणनखंडन में घटाया गया

• समीकरण हल करें
• इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं

यहां, जैसा कि मैंने वादा किया था, कटौती सूत्र काम करते हैं:

तब मेरा समीकरण इस प्रकार दिखेगा:

तब मेरा समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

एक अदूरदर्शी छात्र कह सकता है: अब मैं दोनों पक्षों को कम कर दूंगा, सबसे सरल समीकरण प्राप्त करूंगा और जीवन का आनंद लूंगा! और उससे बहुत ग़लती होगी!

याद रखें: आप किसी अज्ञात वाले फ़ंक्शन द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरण के दोनों पक्षों को कभी भी कम नहीं कर सकते हैं! तो आप अपनी जड़ें खो देंगे!

इसलिए क्या करना है? हां, यह सरल है, सभी चीजों को एक तरफ ले जाएं और सामान्य कारक को हटा दें:

खैर, हमने इसे कारकों में शामिल कर लिया, हुर्रे! अब आइए निर्णय लें:

पहले समीकरण की जड़ें हैं:

और दूसरा:

यह समस्या का पहला भाग पूरा करता है। अब आपको जड़ों का चयन करना होगा:

अंतर इस प्रकार है:

अथवा इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

खैर, आइए जड़ें लें:

सबसे पहले, आइए पहले एपिसोड पर काम करें (और कम से कम यह कहना आसान है!)

चूँकि हमारा अंतराल पूरी तरह से नकारात्मक है, इसलिए गैर-नकारात्मक को लेने की कोई आवश्यकता नहीं है, फिर भी वे गैर-नकारात्मक मूल देंगे।

चलो इसे ले लेते हैं - यह बहुत ज्यादा है, यह हिट नहीं करता है।

फिर इसे रहने दो - मैंने इसे दोबारा नहीं मारा।

एक और प्रयास - फिर - हाँ, मैं समझ गया! पहली जड़ मिल गई है!

मैं फिर से गोली चलाता हूँ: फिर मैं फिर से मारता हूँ!

खैर, एक बार और: : - यह पहले से ही एक उड़ान है।

तो पहली श्रृंखला से अंतराल से संबंधित 2 जड़ें हैं:।

हम दूसरी श्रृंखला के साथ काम कर रहे हैं (हम निर्माण कर रहे हैं)। नियम के अनुसार शक्ति को):

अंडरशूट!

इसे फिर से याद कर रहा हूँ!

इसे फिर से याद कर रहा हूँ!

समझ गया!

उड़ान!

इस प्रकार, मेरे अंतराल की निम्नलिखित जड़ें हैं:

यह वह एल्गोरिदम है जिसका उपयोग हम अन्य सभी उदाहरणों को हल करने के लिए करेंगे। आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें।

उदाहरण 2. न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को गुणनखंडन में घटाया गया

• प्रश्न हल करें

समाधान:

फिर से कुख्यात कमी सूत्र:

दोबारा कटौती करने का प्रयास न करें!

पहले समीकरण की जड़ें हैं:

और दूसरा:

अब फिर जड़ों की तलाश.

मैं दूसरे एपिसोड से शुरू करूँगा, मैं इसके बारे में पिछले उदाहरण से पहले से ही सब कुछ जानता हूँ! देखें और सुनिश्चित करें कि अंतराल से संबंधित जड़ें इस प्रकार हैं:

अब पहला एपिसोड और यह सरल है:

यदि - उपयुक्त

अगर ये भी ठीक है

यदि यह पहले से ही एक उड़ान है।

तब जड़ें इस प्रकार होंगी:

स्वतंत्र काम। 3 समीकरण.

अच्छा, क्या तकनीक आपके लिए स्पष्ट है? क्या त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना अब इतना कठिन नहीं लगता? फिर निम्नलिखित समस्याओं को शीघ्रता से स्वयं हल करें, और फिर हम अन्य उदाहरण हल करेंगे:

1. प्रश्न हल करें
   इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो अंतराल के ऊपर स्थित हैं।
2. समीकरण हल करें
   समीकरण की जड़ों को इंगित करें जो कट के ऊपर स्थित हैं
3. समीकरण हल करें
   इस समीकरण के उन सभी मूलों को खोजें जो उनके बीच स्थित हैं।

समीकरण 1.

और फिर से कमी का सूत्र:

जड़ों की पहली श्रृंखला:

जड़ों की दूसरी श्रृंखला:

हम अंतराल के लिए चयन शुरू करते हैं

उत्तर: , ।

समीकरण 2. स्वतंत्र कार्य की जाँच करना।

गुणनखंडों में समूहीकरण काफी पेचीदा है (मैं दोहरे कोण ज्या सूत्र का उपयोग करूंगा):

फिर या

यह एक सामान्य समाधान है. अब हमें जड़ों का चयन करना होगा। समस्या यह है कि हम उस कोण का सटीक मान नहीं बता सकते जिसकी कोसाइन एक चौथाई के बराबर है। इसलिए, मैं आर्क कोसाइन से छुटकारा नहीं पा सकता - यह कितनी शर्म की बात है!

मैं जो कर सकता हूं वह यह पता लगाना है कि ऐसा, ऐसा, तो।

आइए एक तालिका बनाएं: अंतराल:

खैर, दर्दनाक खोजों के माध्यम से हम निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे कि हमारे समीकरण का संकेतित अंतराल पर एक मूल है: \displaystyle आर्ककोस\frac(1)(4)-5\pi

समीकरण 3: स्वतंत्र कार्य परीक्षण.

भयावह दिखने वाला समीकरण. हालाँकि, इसे दोहरे कोण ज्या सूत्र को लागू करके काफी सरलता से हल किया जा सकता है:

आइए इसे 2 से कम करें:

आइए पहले पद को दूसरे के साथ और तीसरे को चौथे के साथ समूहित करें और सामान्य गुणनखंड निकालें:

यह स्पष्ट है कि पहले समीकरण की कोई जड़ नहीं है, और अब दूसरे पर विचार करें:

सामान्य तौर पर, मैं ऐसे समीकरणों को हल करने पर थोड़ी देर बाद ध्यान देने वाला था, लेकिन जब से यह सामने आया, करने को कुछ नहीं है, मुझे हल करना होगा...

प्रपत्र के समीकरण:

इस समीकरण को दोनों पक्षों से विभाजित करके हल किया जाता है:

इस प्रकार, हमारे समीकरण में जड़ों की एक ही श्रृंखला है:

हमें उन लोगों को ढूंढना होगा जो अंतराल से संबंधित हैं:।

आइए फिर से एक तालिका बनाएं, जैसा मैंने पहले बनाया था:

उत्तर: ।

समीकरणों को इस रूप में घटाया गया:

खैर, अब समीकरणों के दूसरे भाग पर आगे बढ़ने का समय है, खासकर जब से मैं पहले ही बता चुका हूं कि नए प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान में क्या शामिल है। लेकिन यह दोहराने लायक है कि समीकरण का स्वरूप है

दोनों पक्षों को कोज्या से विभाजित करके हल किया गया:

1. समीकरण हल करें
   समीकरण की जड़ों को इंगित करें जो कट के ऊपर स्थित हैं।
2. समीकरण हल करें
   उनके बीच स्थित समीकरण की जड़ों को इंगित करें।

उदाहरण 1।

पहला वाला काफी सरल है. दाईं ओर जाएँ और द्विकोण कोज्या सूत्र लागू करें:

हाँ! स्वरूप का समीकरण: . मैं दोनों भागों को विभाजित करता हूं

हम रूट स्क्रीनिंग करते हैं:

अंतर:

उत्तर:

उदाहरण 2.

सब कुछ भी काफी तुच्छ है: आइए दाईं ओर के कोष्ठक खोलें:

मूल त्रिकोणमितीय पहचान:

दोहरे कोण की ज्या:

अंततः हमें मिलता है:

रूट स्क्रीनिंग: अंतराल.

उत्तर: ।

खैर, आपको यह तकनीक कैसी लगी, क्या यह बहुत जटिल नहीं है? मुझे आशा नहीं है। हम तुरंत आरक्षण कर सकते हैं: अपने शुद्ध रूप में, ऐसे समीकरण जो तुरंत स्पर्शरेखा के समीकरण में बदल जाते हैं, काफी दुर्लभ हैं। आमतौर पर, यह संक्रमण (कोसाइन द्वारा विभाजन) एक अधिक जटिल समस्या का केवल एक हिस्सा है। आपके अभ्यास के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

• समीकरण हल करें
• इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं।

की जाँच करें:

समीकरण को तुरंत हल किया जा सकता है; यह दोनों पक्षों को विभाजित करने के लिए पर्याप्त है:

रूट स्क्रीनिंग:

उत्तर: ।

किसी भी तरह, हमें अभी भी उस प्रकार के समीकरणों का सामना नहीं करना पड़ा है जिनकी हमने अभी जांच की है। हालाँकि, हमारे लिए इसे एक दिन कहना जल्दबाजी होगी: अभी भी समीकरणों की एक और "परत" है जिसका हमने विश्लेषण नहीं किया है। इसलिए:

चरों को बदलकर त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

यहां सब कुछ पारदर्शी है: हम समीकरण को करीब से देखते हैं, इसे जितना संभव हो सके सरल बनाते हैं, प्रतिस्थापन करते हैं, हल करते हैं, उलटा प्रतिस्थापन करते हैं! शब्दों में सब कुछ बहुत आसान है. आइए कार्रवाई में देखें:

उदाहरण।

• प्रश्न हल करें: ।
• इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं।

खैर, यहाँ प्रतिस्थापन स्वयं ही हमें सुझाता है!

तब हमारा समीकरण इस प्रकार बनेगा:

पहले समीकरण की जड़ें हैं:

और दूसरा इस प्रकार है:

आइए अब अंतराल से संबंधित मूल खोजें

उत्तर: ।

आइए एक साथ थोड़ा अधिक जटिल उदाहरण देखें:

• समीकरण हल करें
• दिए गए समीकरण के ऊपर-बीच में स्थित जड़ों को इंगित करें।

यहां प्रतिस्थापन तुरंत दिखाई नहीं देता है, इसके अलावा, यह बहुत स्पष्ट नहीं है। आइए पहले सोचें: हम क्या कर सकते हैं?

उदाहरण के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं

और उस समय पर ही

तब मेरा समीकरण यह रूप लेगा:

और अब ध्यान, फोकस:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:

अचानक आपके और मेरे बीच एक द्विघात समीकरण सापेक्ष हो गया! आइए एक प्रतिस्थापन करें, फिर हमें मिलता है:

समीकरण की निम्नलिखित जड़ें हैं:

जड़ों की दूसरी श्रृंखला अप्रिय, लेकिन कुछ नहीं किया जा सकता! हम अंतराल में जड़ों का चयन करते हैं।

हमें उस पर भी विचार करना होगा

तब से और, तब से

उत्तर:

समस्याओं को स्वयं हल करने से पहले इसे सुदृढ़ करने के लिए, यहां आपके लिए एक और अभ्यास है:

• समीकरण हल करें
• इस समीकरण के उन सभी मूलों को खोजें जो उनके बीच स्थित हैं।

यहां आपको अपनी आंखें खुली रखने की जरूरत है: अब हमारे पास ऐसे हर हैं जो शून्य हो सकते हैं! इसलिए, आपको जड़ों पर विशेष रूप से ध्यान देने की आवश्यकता है!

सबसे पहले, मुझे समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की आवश्यकता है ताकि मैं एक उपयुक्त प्रतिस्थापन कर सकूं। मैं साइन और कोसाइन के संदर्भ में स्पर्शरेखा को फिर से लिखने से बेहतर कुछ भी नहीं सोच सकता:

अब मैं मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके कोसाइन से साइन की ओर बढ़ूंगा:

और अंत में, मैं हर चीज़ को एक सामान्य विभाजक पर लाऊंगा:

अब मैं समीकरण पर आगे बढ़ सकता हूं:

लेकिन पर (अर्थात, पर)।

अब सब कुछ प्रतिस्थापन के लिए तैयार है:

फिर या

हालाँकि, ध्यान दें कि यदि, तो उसी समय!

इससे कौन पीड़ित है? स्पर्शरेखा के साथ समस्या यह है कि जब कोज्या शून्य के बराबर होती है (शून्य से विभाजन होता है) तो इसे परिभाषित नहीं किया जाता है।

इस प्रकार, समीकरण की जड़ें हैं:

अब हम अंतराल में जड़ों को छानते हैं:

	- फिट बैठता है
	- अति करना

इस प्रकार, हमारे समीकरण का अंतराल पर एक ही मूल है, और यह बराबर है।

आप देखते हैं: एक हर की उपस्थिति (स्पर्शरेखा की तरह, जड़ों के साथ कुछ कठिनाइयों की ओर ले जाती है! यहां आपको अधिक सावधान रहने की आवश्यकता है!)।

खैर, आपने और मैंने त्रिकोणमितीय समीकरणों का विश्लेषण लगभग पूरा कर लिया है, अब बहुत कम बचा है - दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए; वे यहाँ हैं।

1. प्रश्न हल करें
   इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं।
2. समीकरण हल करें
   कट के ऊपर स्थित इस समीकरण की जड़ों को इंगित करें।

फैसला किया? क्या यह बहुत कठिन नहीं है? की जाँच करें:

1. हम कटौती सूत्रों के अनुसार काम करते हैं:

   समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

   आइए प्रतिस्थापन को आसान बनाने के लिए कोसाइन के माध्यम से सब कुछ फिर से लिखें:

   अब प्रतिस्थापन करना आसान है:

   यह स्पष्ट है कि यह एक बाह्य जड़ है, क्योंकि समीकरण का कोई हल नहीं है। तब:

   हम अंतराल में उन जड़ों की तलाश कर रहे हैं जिनकी हमें आवश्यकता है

   उत्तर: ।

2. 
   यहां प्रतिस्थापन तुरंत दिखाई देता है:

   फिर या

   	- फिट बैठता है!	- फिट बैठता है!
   	- फिट बैठता है!	- फिट बैठता है!
   	- बहुत ज़्यादा!	- भी बहुत कुछ!

   उत्तर:

खैर, अब बस इतना ही! लेकिन त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना यहीं समाप्त नहीं होता है; हम सबसे कठिन मामलों में पीछे रह जाते हैं: जब समीकरणों में अतार्किकता या विभिन्न प्रकार के "जटिल हर" होते हैं। हम एक लेख में उन्नत स्तर के ऐसे कार्यों को कैसे हल करें, इस पर विचार करेंगे।

अग्रवर्ती स्तर

पिछले दो लेखों में चर्चा किए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों के अलावा, हम समीकरणों के एक और वर्ग पर विचार करेंगे जिनके लिए और भी अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण की आवश्यकता है। इन त्रिकोणमितीय उदाहरणों में या तो अपरिमेयता या हर होता है, जो उनके विश्लेषण को और अधिक कठिन बना देता है. हालाँकि, आपको परीक्षा पेपर के भाग सी में इन समीकरणों का सामना करना पड़ सकता है। हालाँकि, प्रत्येक बादल में एक उम्मीद की किरण होती है: ऐसे समीकरणों के लिए, एक नियम के रूप में, यह सवाल अब नहीं उठाया जाता है कि इसकी कौन सी जड़ें किसी दिए गए अंतराल से संबंधित हैं। आइए इधर-उधर न घूमें, बल्कि सीधे त्रिकोणमितीय उदाहरणों पर चलें।

उदाहरण 1।

समीकरण को हल करें और खंड से संबंधित मूल खोजें।

समाधान:

हमारे पास एक हर है जो शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए! फिर इस समीकरण को हल करना सिस्टम को हल करने के समान है

आइए प्रत्येक समीकरण को हल करें:

और अब दूसरा:

अब आइए श्रृंखला पर नजर डालें:

यह स्पष्ट है कि यह विकल्प हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमारा हर शून्य पर रीसेट हो जाता है (दूसरे समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र देखें)

यदि, तो सब कुछ क्रम में है, और हर शून्य नहीं है! तब समीकरण के मूल इस प्रकार हैं: , .

अब हम अंतराल से संबंधित जड़ों का चयन करते हैं।

	- उपयुक्त नहीं	- फिट बैठता है
	- फिट बैठता है	- फिट बैठता है
	अति करना	अति करना

फिर जड़ें इस प्रकार हैं:

आप देखिए, हर के रूप में एक छोटी सी गड़बड़ी की उपस्थिति ने भी समीकरण के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किया: हमने जड़ों की एक श्रृंखला को खारिज कर दिया जिसने हर को रद्द कर दिया। यदि आपके सामने ऐसे त्रिकोणमितीय उदाहरण आते हैं जो अतार्किक हैं तो चीज़ें और भी जटिल हो सकती हैं।

उदाहरण 2.

प्रश्न हल करें:

समाधान:

ठीक है, कम से कम आपको जड़ें नहीं उखाड़नी पड़ेंगी, और यह अच्छा है! आइए सबसे पहले, अतार्किकता की परवाह किए बिना, समीकरण को हल करें:

तो क्या बस इतना ही है? नहीं, अफ़सोस, यह बहुत आसान होगा! हमें याद रखना चाहिए कि मूल के नीचे केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ ही आ सकती हैं। तब:

इस असमानता का समाधान है:

अब यह पता लगाना बाकी है कि क्या पहले समीकरण की जड़ों का कुछ हिस्सा अनजाने में वहां पहुंच गया जहां असमानता नहीं है।

ऐसा करने के लिए, आप फिर से तालिका का उपयोग कर सकते हैं:

	: , लेकिन	नहीं!
		हाँ!
		हाँ!

इस प्रकार, मेरी एक जड़ "गिर गई"! यदि आप इसे नीचे रख दें तो यह पता चल जाता है। तो उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

आप देखिए, जड़ को और भी अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है! आइए इसे और अधिक जटिल बनाएं: मान लीजिए कि अब मेरे मूल में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है।

उदाहरण 3.

पहले की तरह: पहले हम प्रत्येक को अलग-अलग हल करेंगे, और फिर हम सोचेंगे कि हमने क्या किया है।

अब दूसरा समीकरण:

अब सबसे कठिन बात यह पता लगाना है कि क्या अंकगणितीय मूल के तहत नकारात्मक मान प्राप्त होते हैं यदि हम वहां पहले समीकरण से जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं:

संख्या को रेडियन के रूप में समझा जाना चाहिए। चूँकि एक रेडियन लगभग डिग्री है, तो रेडियन डिग्री के क्रम पर हैं। यह दूसरी तिमाही का कोना है. द्वितीय तिमाही की कोज्या का चिन्ह क्या है? माइनस. साइन के बारे में क्या? प्लस. तो हम अभिव्यक्ति के बारे में क्या कह सकते हैं:

यह शून्य से भी कम है!

इसका मतलब यह है कि यह समीकरण का मूल नहीं है.

अब समय आ गया है.

आइए इस संख्या की तुलना शून्य से करें।

कोटैंजेंट 1 तिमाही में घटने वाला एक फ़ंक्शन है (तर्क जितना छोटा होगा, कोटैंजेंट उतना ही बड़ा होगा)। रेडियन लगभग डिग्री हैं। एक ही समय में

तब से, तब से, और इसलिए
,

उत्तर: ।

क्या यह और अधिक जटिल हो सकता है? कृपया! यह अधिक कठिन होगा यदि मूल अभी भी एक त्रिकोणमितीय फलन है, और समीकरण का दूसरा भाग फिर से एक त्रिकोणमितीय फलन है।

जितने अधिक त्रिकोणमितीय उदाहरण उतने बेहतर, नीचे देखें:

उदाहरण 4.

सीमित कोसाइन के कारण जड़ उपयुक्त नहीं है

अब दूसरा:

उसी समय, जड़ की परिभाषा के अनुसार:

हमें यूनिट सर्कल को याद रखने की जरूरत है: अर्थात्, वे क्वार्टर जहां साइन शून्य से कम है। ये क्वार्टर क्या हैं? तीसरा और चौथा. तब हमें पहले समीकरण के उन समाधानों में दिलचस्पी होगी जो तीसरी या चौथी तिमाही में आते हैं।

पहली श्रृंखला तीसरी और चौथी तिमाही के चौराहे पर स्थित जड़ें देती है। दूसरी श्रृंखला - इसके बिल्कुल विपरीत - पहली और दूसरी तिमाही की सीमा पर स्थित जड़ों को जन्म देती है। इसलिए ये सीरीज हमारे लिए उपयुक्त नहीं है.

उत्तर: ,

और फिर "कठिन अतार्किकता" के साथ त्रिकोणमितीय उदाहरण. न केवल हमारे पास फिर से मूल के नीचे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है, बल्कि अब यह हर में भी है!

उदाहरण 5.

खैर, कुछ नहीं किया जा सकता - हम पहले की तरह ही करते हैं।

अब हम हर के साथ काम करते हैं:

मैं त्रिकोणमितीय असमानता को हल नहीं करना चाहता, इसलिए मैं कुछ चतुराई करूंगा: मैं असमानता में अपनी जड़ों की श्रृंखला लूंगा और प्रतिस्थापित करूंगा:

यदि - सम है, तो हमारे पास है:

चूँकि दृश्य के सभी कोण चौथी तिमाही में स्थित हैं। और फिर पवित्र प्रश्न: चौथी तिमाही में साइन का चिन्ह क्या है? नकारात्मक। फिर असमानता

यदि -विषम है, तो:

कोण किस तिमाही में स्थित है? यह दूसरी तिमाही का कोना है. फिर सभी कोने फिर से दूसरी तिमाही के कोने हैं। वहां साइन पॉजिटिव है. बस आपको क्या चाहिए! तो श्रृंखला:

फिट बैठता है!

हम जड़ों की दूसरी श्रृंखला से भी इसी तरह निपटते हैं:

हम अपनी असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

यदि - सम, तो

पहली तिमाही के कोने. वहां ज्या धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला उपयुक्त है। अब यदि - विषम, तो:

भी फिट बैठता है!

खैर, अब हम उत्तर लिखते हैं!

उत्तर:

खैर, यह शायद सबसे अधिक श्रम-गहन मामला था। अब मैं आपको स्वयं हल करने के लिए समस्याएं पेश करता हूं।

प्रशिक्षण

1. समीकरण के उन सभी मूलों को हल करें और खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान:

1. 
   पहला समीकरण:
   या
   रूट ODZ:

   दूसरा समीकरण:

   अंतराल से संबंधित जड़ों का चयन

   उत्तर:

या
या
लेकिन

चलो गौर करते हैं: । यदि - सम, तो
- फिट नहीं है!
यदि - विषम, : - उपयुक्त!
इसका मतलब है कि हमारे समीकरण में जड़ों की निम्नलिखित श्रृंखला है:
या
अंतराल में जड़ों का चयन:

	- उपयुक्त नहीं	- फिट बैठता है
	- फिट बैठता है	- बहुत ज़्यादा
	- फिट बैठता है	बहुत ज़्यादा

उत्तर: , ।

या
चूँकि तब स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है। हम जड़ों की इस श्रृंखला को तुरंत त्याग देते हैं!

दूसरा हिस्सा:

वहीं, डीजेड के मुताबिक यह जरूरी है

हम पहले समीकरण में पाए गए मूलों की जाँच करते हैं:

यदि संकेत:

प्रथम तिमाही के कोण जहां स्पर्शरेखा धनात्मक है। फिट नहीं बैठता!
यदि संकेत:

चौथी तिमाही का कोना. वहां स्पर्शरेखा ऋणात्मक है. फिट बैठता है. हम उत्तर लिखते हैं:

उत्तर: , ।

हमने इस लेख में जटिल त्रिकोणमितीय उदाहरणों को एक साथ देखा है, लेकिन आपको समीकरणों को स्वयं हल करना चाहिए।

सारांश और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात पूरी तरह से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्न के अंतर्गत होता है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के दो तरीके हैं:

पहला तरीका सूत्रों का उपयोग करना है।

दूसरा तरीका त्रिकोणमितीय वृत्त के माध्यम से है।

आपको कोणों को मापने, उनकी ज्या, कोज्या आदि खोजने की अनुमति देता है।

आप अपनी समस्या का विस्तृत समाधान ऑर्डर कर सकते हैं!!!

एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या `ctg x`) के चिह्न के नीचे एक अज्ञात युक्त समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और यह उनके सूत्र हैं जिन पर हम आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई संख्या है। आइए हम उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि साइन के मामले में होता है, इसका वास्तविक संख्याओं के बीच कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ग्राफ़ में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`a` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसके अलावा `ए` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइन के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने की सहायता से;
• ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके मुख्य समाधान विधियों को देखें।

बीजगणितीय विधि.

इस पद्धति में एक चर को प्रतिस्थापित करना और उसे एक समानता में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हम मूल पाते हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिससे दो मामले आते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडीकरण।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `sin x+cos x=1`.

समाधान। आइए समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में कम करना होगा:

`a syn x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a syn^2 x + b syn x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x` के लिए समीकरण मिलते हैं: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0`, जिन्हें ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

समाधान। आइए दाएँ पक्ष को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` `sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. आइए प्रतिस्थापन `tg x=t` का परिचय दें, जिसके परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0` होता है। इस समीकरण की जड़ें `t_1=-2` और `t_2=1` हैं। तब:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

आधे कोण की ओर बढ़ना

उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप x - 2 cos x = 10`।

समाधान। आइए दोहरे कोण सूत्रों को लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप: `22 पाप (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 पाप^2 x/2=` `10 पाप^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण `a syn x + b cos x =c` में, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, दोनों पक्षों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करें:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) syn x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =`\frac c(sqrt (a^2) ) +बी^2))`.

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। आइए हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करें: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =सी`, फिर:

`cos \varphi पाप x + पाप \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण हल करें: `3sin x+4 cos x=2`.

समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से विभाजित करें, हमें मिलता है:

`\frac (3 पाप x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 cos x=2/5`.

आइए निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, तो हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। फिर हम अपनी समानता को इस रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi syn x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनके अंश और हर में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन होते हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

समाधान। समानता के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिलता है।

आइए भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` और `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। पढ़ाई 10वीं कक्षा में शुरू होती है, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद करने का प्रयास करें - वे निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद रखने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात सार को समझना और उसे प्राप्त करने में सक्षम होना है। यह उतना कठिन नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण समीकरण हैं

क्योंकि (x) = a, पाप (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

समीकरण cos(x) = a

स्पष्टीकरण और तर्क

1. समीकरण cosx = a के मूल। कब | ए | > 1 समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि | कॉस्क्स |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 या ए पर< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

चलो | ए |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = क्योंकि x. अंतराल पर, फलन y = cos x 1 से घटकर -1 हो जाता है। लेकिन एक घटता हुआ फलन अपने प्रत्येक मान को अपनी परिभाषा के क्षेत्र के केवल एक बिंदु पर लेता है, इसलिए समीकरण cos x = a का इस अंतराल पर केवल एक मूल है, जो आर्ककोसाइन की परिभाषा के अनुसार, इसके बराबर है: x 1 = आर्ककोस ए (और इस मूल के लिए कॉस एक्स = ए)।

कोसाइन एक सम फलन है, इसलिए अंतराल पर [-n; 0] समीकरण cos x = और इसका केवल एक मूल है - x 1 के विपरीत संख्या, अर्थात

x 2 = -आर्ककोस ए.

इस प्रकार, अंतराल पर [-n; p] (लंबाई 2p) समीकरण cos x = a | के साथ ए |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

फ़ंक्शन y = cos x 2n की अवधि के साथ आवधिक है, इसलिए अन्य सभी मूल 2n (n € Z) द्वारा पाए गए मूलों से भिन्न हैं। हमें समीकरण cos x = a कब के मूलों के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. समीकरण cosx = a को हल करने के विशेष मामले।

समीकरण cos x = a कब के मूलों के लिए विशेष संकेतन याद रखना उपयोगी है

a = 0, a = -1, a = 1, जिसे संदर्भ के रूप में यूनिट सर्कल का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

चूँकि कोज्या इकाई वृत्त के संगत बिंदु के भुज के बराबर है, हम उस cos x = 0 को प्राप्त करते हैं यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु A या बिंदु B है।

इसी प्रकार, cos x = 1 यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु C है, इसलिए,

x = 2πп, k € Z.

इसके अलावा cos x = -1 यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु D है, तो x = n + 2n,

समीकरण पाप(x) = ए

स्पष्टीकरण और तर्क

1. समीकरण के मूल synx = a. कब | ए | > 1 समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि | सिनक्स |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 या ए पर< -1 не пересекает график функции y = sinx).

इस पाठ में हम देखेंगे बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ़, और सूची भी त्रिकोणमितीय समीकरणों और प्रणालियों के बुनियादी प्रकार. इसके अलावा, हम संकेत देते हैं सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य समाधान और उनके विशेष मामले.

यह पाठ आपको किसी एक प्रकार के कार्य के लिए तैयारी करने में मदद करेगा बी5 और सी1.

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी

प्रयोग

पाठ 10. त्रिकोणमितीय फलन। त्रिकोणमितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ।

लिखित

पाठ सारांश

हम पहले ही कई बार "त्रिकोणमितीय फलन" शब्द का प्रयोग कर चुके हैं। इस विषय के पहले पाठ में, हमने उनका उपयोग करके पहचान की सही त्रिकोणऔर इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त. त्रिकोणमितीय कार्यों को निर्दिष्ट करने के इन तरीकों का उपयोग करके, हम पहले से ही यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उनके लिए तर्क (या कोण) का एक मान फ़ंक्शन के बिल्कुल एक मान से मेल खाता है, यानी। हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट फ़ंक्शन को कॉल करने का अधिकार है।

इस पाठ में, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना के लिए पहले चर्चा की गई विधियों से सार निकालने का प्रयास करने का समय आ गया है। आज हम फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए सामान्य बीजगणितीय दृष्टिकोण पर आगे बढ़ेंगे, हम उनके गुणों को देखेंगे और ग्राफ़ चित्रित करेंगे।

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के संबंध में, विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए:

परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा, क्योंकि साइन और कोसाइन के लिए मानों की सीमा पर प्रतिबंध हैं, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषा की सीमा पर प्रतिबंध हैं;

सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता, क्योंकि हमने पहले ही सबसे छोटे गैर-शून्य तर्क की उपस्थिति नोट कर ली है, जिसके जुड़ने से फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है। इस तर्क को फ़ंक्शन की अवधि कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। साइन/कोसाइन और टेंगेंट/कोटैंजेंट के लिए ये अवधि अलग-अलग हैं।

फ़ंक्शन पर विचार करें:

1) परिभाषा का दायरा;

2) मूल्य सीमा ;

3) फ़ंक्शन विषम है ;

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उस क्षेत्र की छवि के साथ निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो ग्राफ़ को ऊपर से संख्या 1 और नीचे से संख्या तक सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। इसके अलावा, निर्माण के लिए कई मुख्य तालिका कोणों की ज्याओं के मानों को याद रखना उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यह आपको ग्राफ़ की पहली पूर्ण "तरंग" बनाने और फिर इसे दाईं ओर फिर से बनाने की अनुमति देगा और बाईं ओर, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र को एक अवधि के बदलाव के साथ दोहराया जाएगा, अर्थात। पर ।

अब आइए फ़ंक्शन को देखें:

इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1) परिभाषा का दायरा;

2) मूल्य सीमा ;

3) सम कार्य इसका तात्पर्य यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कोटि के बारे में सममित है;

4) फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में एकरस नहीं है;

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। साइन का निर्माण करते समय, उस क्षेत्र की एक छवि के साथ शुरू करना सुविधाजनक होता है जो ग्राफ़ को शीर्ष पर संख्या 1 के साथ और नीचे संख्या के साथ सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। हम ग्राफ़ पर कई बिंदुओं के निर्देशांक भी प्लॉट करेंगे, जिसके लिए हमें कई मुख्य तालिका कोणों के कोसाइन के मानों को याद रखना होगा, उदाहरण के लिए, इन बिंदुओं की सहायता से हम पहली पूर्ण "तरंग" बना सकते हैं ग्राफ़ का "और फिर इसे दाईं और बाईं ओर फिर से बनाएं, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र एक अवधि बदलाव के साथ दोहराएगा, यानी। पर ।

आइए फ़ंक्शन पर आगे बढ़ें:

इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1) डोमेन सिवाय , कहाँ . हम पिछले पाठों में पहले ही बता चुके हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। स्पर्शरेखा अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;

2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। स्पर्शरेखा मान सीमित नहीं हैं;

3) फ़ंक्शन विषम है ;

4) फ़ंक्शन अपनी तथाकथित स्पर्शरेखा शाखाओं के भीतर नीरस रूप से बढ़ता है, जिसे अब हम चित्र में देखेंगे;

5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उन बिंदुओं पर ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी को चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा डोमेन में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक पट्टी के अंदर स्पर्शरेखा की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। साथ ही, यह न भूलें कि प्रत्येक शाखा एकरस रूप से बढ़ती है। हम सभी शाखाओं को एक ही तरह से चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि प्रत्येक शाखा पड़ोसी को एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थानांतरित करके प्राप्त की जाती है।

और हम फ़ंक्शन पर एक नज़र डालकर समाप्त करते हैं:

इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1) डोमेन सिवाय , कहाँ . त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तालिका से, हम पहले से ही जानते हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। कोटैंजेंट अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;

2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। कोटैंजेंट मान सीमित नहीं हैं;

3) फ़ंक्शन विषम है ;

4) फ़ंक्शन अपनी शाखाओं के भीतर नीरस रूप से घटता है, जो स्पर्शरेखा शाखाओं के समान होते हैं;

5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, जहां तक ​​स्पर्शरेखा की बात है, तो ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों को उन बिंदुओं पर चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा क्षेत्र में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक धारियों के अंदर कोटैंजेंट की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। इस मामले में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रत्येक शाखा नीरस रूप से घटती है। हम सभी शाखाओं को समान रूप से स्पर्शरेखा के समान चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है।

अलग से, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जटिल तर्कों वाले त्रिकोणमितीय कार्यों में एक गैर-मानक अवधि हो सकती है। हम प्रपत्र के कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं:

उनकी अवधि बराबर है. और कार्यों के बारे में:

उनकी अवधि बराबर है.

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक नई अवधि की गणना करने के लिए, मानक अवधि को तर्क में कारक से विभाजित किया जाता है। यह फ़ंक्शन के अन्य संशोधनों पर निर्भर नहीं है।

आप अधिक विस्तार से समझ सकते हैं और समझ सकते हैं कि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने और बदलने के पाठ में ये सूत्र कहाँ से आते हैं।

हम "त्रिकोणमिति" विषय के सबसे महत्वपूर्ण भागों में से एक पर आ गए हैं, जिसे हम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित करेंगे। ऐसे समीकरणों को हल करने की क्षमता महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, भौतिकी में दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय। आइए कल्पना करें कि आपने एक स्पोर्ट्स कार में गो-कार्ट में कुछ चक्कर लगाए हैं; त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने से आपको यह निर्धारित करने में मदद मिलेगी कि आप ट्रैक पर कार की स्थिति के आधार पर कितनी देर तक दौड़ रहे हैं।

आइए सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण लिखें:

ऐसे समीकरण का हल वे तर्क हैं जिनकी ज्या के बराबर है। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि साइन की आवधिकता के कारण ऐसे तर्कों की संख्या अनंत है। इस प्रकार, इस समीकरण का हल होगा, आदि। यही बात किसी अन्य सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने पर भी लागू होती है, उनकी संख्या अनंत होगी;

त्रिकोणमितीय समीकरणों को कई मुख्य प्रकारों में विभाजित किया गया है। अलग से, हमें सबसे सरल बातों पर ध्यान देना चाहिए, क्योंकि बाकी सब कुछ उनके पास आता है। ऐसे चार समीकरण हैं (बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की संख्या के अनुसार)। उनके लिए सामान्य समाधान ज्ञात हैं, उन्हें याद रखा जाना चाहिए।

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण और उनके सामान्य समाधानऐसे दिखते हैं:

कृपया ध्यान दें कि साइन और कोसाइन के मूल्यों को हमें ज्ञात सीमाओं को ध्यान में रखना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण का कोई समाधान नहीं है और निर्दिष्ट सूत्र लागू नहीं किया जाना चाहिए।

इसके अलावा, निर्दिष्ट रूट सूत्रों में एक मनमाना पूर्णांक के रूप में एक पैरामीटर होता है। में स्कूल के पाठ्यक्रमयह एकमात्र मामला है जब किसी पैरामीटर के बिना समीकरण के समाधान में एक पैरामीटर होता है। यह मनमाना पूर्णांक दर्शाता है कि सभी पूर्णांकों को बारी-बारी से प्रतिस्थापित करके उपरोक्त किसी भी समीकरण के मूलों की अनंत संख्या को लिखना संभव है।

आप 10वीं कक्षा के बीजगणित कार्यक्रम में "त्रिकोणमितीय समीकरण" अध्याय को दोहराकर इन सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति से परिचित हो सकते हैं।

अलग से, साइन और कोसाइन के साथ सरलतम समीकरणों के विशेष मामलों को हल करने पर ध्यान देना आवश्यक है। ये समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:

सामान्य समाधान खोजने के सूत्र उन पर लागू नहीं होने चाहिए। ऐसे समीकरणों को त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके सबसे आसानी से हल किया जाता है, जो सामान्य समाधान सूत्रों की तुलना में सरल परिणाम देता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण का हल है . इस उत्तर को स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें और संकेतित शेष समीकरणों को हल करें।

संकेतित सबसे सामान्य प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों के अलावा, कई और मानक समीकरण भी हैं। हम उन्हें उन बातों को ध्यान में रखते हुए सूचीबद्ध करते हैं जिन्हें हम पहले ही इंगित कर चुके हैं:

1) प्रोटोज़ोआ, उदाहरण के लिए, ;

2) सरलतम समीकरणों के विशेष मामले, उदाहरण के लिए, ;

3) जटिल तर्क वाले समीकरण, उदाहरण के लिए, ;

4) एक सामान्य गुणनखंड को हटाकर समीकरणों को सरलतम बना दिया जाता है, उदाहरण के लिए, ;

5) त्रिकोणमितीय फलनों को रूपांतरित करके समीकरणों को सरलतम बनाया गया, उदाहरण के लिए, ;

6) प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों को उनके सरलतम में घटाया गया, उदाहरण के लिए, ;

7) सजातीय समीकरण, उदाहरण के लिए, ;

8) समीकरण जिन्हें फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, . इस तथ्य से चिंतित न हों कि इस समीकरण में दो चर हैं; यह स्वयं ही हल हो जाता है;

साथ ही ऐसे समीकरण जिन्हें विभिन्न विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के अलावा, आपको उनके सिस्टम को हल करने में भी सक्षम होना चाहिए।

सिस्टम के सबसे सामान्य प्रकार हैं:

1) जिसमें से एक समीकरण शक्ति है, उदाहरण के लिए, ;

2) सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों की प्रणाली, उदाहरण के लिए, .

आज के पाठ में हमने बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों, उनके गुणों और ग्राफ़ को देखा। हम भी मिले सामान्य सूत्रसरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान, ऐसे समीकरणों के मुख्य प्रकार और उनकी प्रणालियों को दर्शाते हैं।

पाठ के व्यावहारिक भाग में, हम त्रिकोणमितीय समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के तरीकों की जांच करेंगे।

बॉक्स 1.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामलों को हल करना.

जैसा कि हमने पाठ के मुख्य भाग में पहले ही कहा है, साइन और कोसाइन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले:

सामान्य समाधान सूत्रों द्वारा दिए गए समाधानों की तुलना में इनका समाधान अधिक सरल है।

इसके लिए त्रिकोणमितीय वृत्त का प्रयोग किया जाता है। आइए समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके उन्हें हल करने की विधि का विश्लेषण करें।

आइए हम त्रिकोणमितीय वृत्त पर उस बिंदु को चित्रित करें जिस पर कोसाइन मान शून्य है, जो भुज अक्ष के साथ निर्देशांक भी है। जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे दो बिंदु हैं। हमारा कार्य यह इंगित करना है कि वृत्त पर इन बिंदुओं से मेल खाने वाला कोण किसके बराबर है।

हम भुज अक्ष (कोसाइन अक्ष) की सकारात्मक दिशा से गिनती शुरू करते हैं और कोण निर्धारित करते समय हम पहले चित्रित बिंदु पर पहुंचते हैं, यानी। एक समाधान यह कोण मान होगा। लेकिन हम अभी भी उस कोण से संतुष्ट हैं जो दूसरे बिंदु से मेल खाता है। इसमें कैसे प्रवेश करें?