बीजगणतीय अभिव्यक्ति जोड़, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्णांक घात तक बढ़ाने और मूल निकालने के संचालन के लिए संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति (घातांक और मूल स्थिर संख्याएं होनी चाहिए)। ए.वी. इसमें शामिल कुछ अक्षरों के संबंध में इसे तर्कसंगत कहा जाता है यदि उदाहरण के लिए, इसमें उन्हें मूल निष्कर्षण के संकेत के तहत शामिल नहीं किया गया है ए, बी और सी के संबंध में तर्कसंगत। ए.वी. कुछ अक्षरों के संबंध में पूर्णांक कहा जाता है यदि इसमें इन अक्षरों वाले भावों में विभाजन नहीं होता है, उदाहरण के लिए 3a/c + bc 2 - 3ac/4
ए और बी के संबंध में पूर्णांक है। यदि कुछ अक्षरों (या सभी) को चर माना जाता है, तो ए.सी. एक बीजीय फलन है.
महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .
देखें अन्य शब्दकोशों में "बीजगणितीय अभिव्यक्ति" क्या है:
बीजगणितीय परिचालनों के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, मूल निष्कर्षण... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश
बीजगणतीय अभिव्यक्ति- - विषय तेल और गैस उद्योग EN बीजगणितीय अभिव्यक्ति ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका
एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक या अधिक बीजगणितीय मात्राएँ (संख्याएँ और अक्षर) हैं जो बीजगणितीय संक्रियाओं के संकेतों से जुड़ी होती हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग, साथ ही मूल लेना और पूर्ण संख्याओं तक बढ़ाना... विकिपीडिया
बीजगणितीय परिचालनों के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, मूल निष्कर्षण। * * * बीजगणितीय अभिव्यक्ति बीजगणितीय अभिव्यक्ति, अभिव्यक्ति,... ... विश्वकोश शब्दकोश
बीजगणतीय अभिव्यक्ति- बीजगणित išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. बीजगणितीय अभिव्यक्ति वोक। बीजगणित ऑस्ड्रक, एम रस। बीजगणितीय अभिव्यक्ति, एन pranc। अभिव्यक्ति बीजगणित, एफ ... भौतिक शब्दावली शब्द
बीजगणितीय चिह्नों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति। संचालन: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, मूल निष्कर्षण... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश
किसी दिए गए चर के लिए एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति, एक ट्रान्सेंडैंटल के विपरीत, एक अभिव्यक्ति है जिसमें किसी दिए गए मात्रा के अन्य कार्यों को शामिल नहीं किया जाता है, इस मात्रा के योग, उत्पादों या शक्तियों और शर्तों को छोड़कर ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एप्रोन
अभिव्यक्ति, अभिव्यक्ति, सी.एफ. 1. चौ. के तहत कार्रवाई एक्सप्रेस एक्सप्रेस. मुझे अपना आभार व्यक्त करने के लिए शब्द नहीं मिल रहे हैं। 2. अधिक बार इकाइयाँ। किसी प्रकार की कला (दर्शन) के रूप में किसी विचार का अवतार। ऐसी अभिव्यक्ति कोई महान कलाकार ही कर सकता है... शब्दकोषउषाकोवा
दो बीजीय व्यंजकों को बराबर करने से उत्पन्न समीकरण (बीजगणितीय व्यंजक देखें)। ए.यू. एक अज्ञात के साथ भिन्नात्मक कहा जाता है यदि अज्ञात को हर में शामिल किया जाता है, और यदि अज्ञात को शामिल किया जाता है तो इसे अपरिमेय कहा जाता है ... ... महान सोवियत विश्वकोश
अभिव्यक्ति- एक प्राथमिक गणितीय अवधारणा, जिसका अर्थ है अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं का एक अंकन, जिसमें कोष्ठक, फ़ंक्शन नोटेशन आदि का उपयोग किया जा सकता है; सामान्यतः सूत्र लाखों भागों में होता है। वहाँ बी (1) हैं… … बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया
विज्ञान और गणित पर लेख
संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्ति क्या है?
संख्यात्मक अभिव्यक्ति- यह अंकगणित संक्रियाओं की संख्याओं और चिह्नों से बना और ज्ञात नियमों के अनुसार लिखा गया कोई भी अभिलेख है, जिसके परिणामस्वरूप इसका एक निश्चित अर्थ होता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टियाँ संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं: 4 + 5; -1.05 × 22.5 - 34. दूसरी ओर, अंकन × 16 - × 0.5 संख्यात्मक नहीं है, क्योंकि, हालांकि इसमें अंकगणितीय संक्रियाओं की संख्याएं और चिह्न शामिल हैं, यह संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की रचना के नियमों के अनुसार नहीं लिखा गया है।
यदि किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं के स्थान पर अक्षर हों (सभी या केवल कुछ), तो यह अभिव्यक्ति पहले से ही है बीजगणितीय.
अक्षरों के प्रयोग का अर्थ लगभग इस प्रकार है। अक्षरों के स्थान पर अलग-अलग संख्याएँ प्रतिस्थापित की जा सकती हैं, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्ति के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। बीजगणित एक विज्ञान के रूप में अभिव्यक्तियों को सरल बनाने, विभिन्न नियमों, कानूनों और सूत्रों को खोजने और उपयोग करने के सिद्धांतों का अध्ययन करता है। बीजगणित गणना करने के सबसे तर्कसंगत तरीकों का अध्ययन करता है, और यह वही है जो सामान्यीकरण के लिए है, अर्थात, विशिष्ट संख्याओं के बजाय चर (अक्षरों) का उपयोग।
बीजगणितीय तथ्यों में जोड़ और गुणा के नियम, ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणाएं, साधारण और दशमलव भिन्न और उनके साथ अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम और साधारण भिन्न के गुण शामिल हैं। बीजगणित को तथ्यों की इस पूरी विविधता को समझने, उनका उपयोग करना सिखाने और विशिष्ट संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में कानूनों की प्रयोज्यता को देखने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्यांकन किया जाता है, तो परिणाम उसका मान होता है। बीजगणितीय अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना केवल तभी की जा सकती है जब अक्षरों के लिए कुछ संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित किए जाएं। उदाहरण के लिए, a = 3 और b = 5 के साथ अभिव्यक्ति a ÷ b का मान 3 ÷ 5 या 0.6 है। हालाँकि, एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति ऐसी हो सकती है कि, चर (अक्षरों) के कुछ मानों के लिए, इसका कोई अर्थ नहीं हो सकता है। उसी उदाहरण (ए ÷ बी) के लिए, अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है जब बी = 0, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं।
इसलिए, वे एक विशेष बीजगणितीय अभिव्यक्ति के लिए चर के स्वीकार्य और अस्वीकार्य मूल्यों के बारे में बात करते हैं।
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बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ
- अवधारणा की परिभाषा
- अभिव्यक्ति मूल्य
- पहचान अभिव्यक्तियाँ
- समस्या को सुलझाना
- हमने क्या सीखा?
अवधारणा की परिभाषा
कौन से भावों को बीजगणितीय कहा जाता है? यह संख्याओं, अक्षरों और अंकगणितीय प्रतीकों से बना एक गणितीय संकेतन है। अक्षरों की उपस्थिति संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के बीच मुख्य अंतर है। उदाहरण:
बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में एक अक्षर एक संख्या को दर्शाता है। इसीलिए इसे एक चर कहा जाता है - पहले उदाहरण में यह अक्षर a है, दूसरे में यह b है, और तीसरे में यह c है। बीजगणितीय व्यंजक को ही कहा जाता है चर के साथ अभिव्यक्ति.
अभिव्यक्ति मूल्य
बीजगणितीय अभिव्यक्ति का अर्थइस अभिव्यक्ति में दर्शाए गए सभी अंकगणितीय परिचालनों को निष्पादित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या है। लेकिन इसे पाने के लिए अक्षरों को अंकों से बदलना होगा। इसलिए, उदाहरणों में वे हमेशा इंगित करते हैं कि कौन सी संख्या अक्षर से मेल खाती है। आइए देखें कि यदि a=3 है तो व्यंजक 8a-14*(5-a) का मान कैसे ज्ञात करें।
आइए अक्षर a के स्थान पर संख्या 3 रखें। हमें निम्नलिखित प्रविष्टि मिलती है: 8*3-14*(5-3)।
संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तरह, बीजगणितीय अभिव्यक्ति का समाधान अंकगणितीय संचालन करने के नियमों के अनुसार किया जाता है। आइए सब कुछ क्रम से हल करें।
इस प्रकार, a=3 पर अभिव्यक्ति 8a-14*(5-a) का मान -4 के बराबर है।
किसी चर के मान को वैध कहा जाता है यदि अभिव्यक्ति उसके साथ समझ में आती है, यानी उसका समाधान ढूंढना संभव है।
व्यंजक 5:2ए के लिए वैध चर का एक उदाहरण संख्या 1 है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5:2*1=2.5 प्राप्त होता है। इस अभिव्यक्ति के लिए अमान्य चर 0 है। यदि हम अभिव्यक्ति में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें 5:2*0 मिलता है, यानी 5:0। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।
पहचान अभिव्यक्तियाँ
यदि दो अभिव्यक्तियाँ उनके घटक चर के किसी मान के लिए समान हैं, तो उन्हें कहा जाता है समान.
समान भावों का उदाहरण
:
4(ए+सी) और 4ए+4सी.
अक्षर a और c जो भी मान लें, भाव हमेशा समान रहेंगे। किसी भी अभिव्यक्ति को उसके समान किसी अन्य अभिव्यक्ति से बदला जा सकता है। इस प्रक्रिया को पहचान परिवर्तन कहा जाता है।
पहचान परिवर्तन का उदाहरण
.
4*(5ए+14सी) - गुणन के गणितीय नियम को लागू करके इस अभिव्यक्ति को एक समान अभिव्यक्ति से बदला जा सकता है। किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आपको इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।
इस प्रकार, अभिव्यक्ति 4*(5a+14c) 20a+64c के समान है।
बीजगणितीय अभिव्यक्ति में अक्षर चर से पहले आने वाली संख्या को गुणांक कहा जाता है। गुणांक और चर गुणक हैं।
समस्या को सुलझाना
बीजीय व्यंजकों का उपयोग समस्याओं और समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
आइए समस्या पर विचार करें. पेट्या एक नंबर लेकर आई। अपनी सहपाठी साशा को इसका अनुमान लगाने के लिए, पेट्या ने उससे कहा: पहले मैंने संख्या में 7 जोड़ा, फिर उसमें से 5 घटाया और 2 से गुणा किया। परिणामस्वरूप, मुझे संख्या 28 मिली। मैंने किस संख्या का अनुमान लगाया?
समस्या को हल करने के लिए, आपको छिपे हुए नंबर को अक्षर a से निर्दिष्ट करना होगा, और फिर उसके साथ सभी संकेतित क्रियाएं करनी होंगी।
आइए अब परिणामी समीकरण को हल करें।
पेट्या ने 12 नंबर की कामना की।
हमने क्या सीखा?
बीजगणितीय अभिव्यक्ति अक्षरों, संख्याओं और अंकगणितीय प्रतीकों से बना एक रिकॉर्ड है। प्रत्येक अभिव्यक्ति का एक मान होता है, जो अभिव्यक्ति में सभी अंकगणितीय परिचालनों को निष्पादित करके पाया जाता है। बीजगणितीय अभिव्यक्ति में अक्षर को चर कहा जाता है, और उसके सामने की संख्या को गुणांक कहा जाता है। समस्याओं को हल करने के लिए बीजीय व्यंजकों का उपयोग किया जाता है।
6.4.1. बीजगणतीय अभिव्यक्ति
मैं। जिन व्यंजकों में अक्षरों के साथ संख्याओं, अंकगणितीय चिह्नों तथा कोष्ठकों का प्रयोग किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय व्यंजक कहते हैं।
बीजीय व्यंजकों के उदाहरण:
2एम-एन; 3 · (2ए + बी); 0.24x; 0.3ए-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2एबी;
चूँकि बीजगणितीय अभिव्यक्ति में एक अक्षर को कुछ अलग-अलग संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए अक्षर को एक चर कहा जाता है, और बीजीय अभिव्यक्ति को स्वयं एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति कहा जाता है।
द्वितीय. यदि किसी बीजगणितीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से बदल दिया जाए और निर्दिष्ट क्रियाएँ की जाएँ तो परिणामी संख्या को बीजगणितीय व्यंजक का मान कहा जाता है।
उदाहरण। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
1) ए + 2बी -सी ए = -2 के साथ; बी = 10; सी = -3.5.
2) |एक्स| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; जेड = 6.
1) ए + 2बी -सी ए = -2 के साथ; बी = 10; सी = -3.5. आइए चरों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |एक्स| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; z = 6. संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करें. हमें याद है कि एक ऋणात्मक संख्या का मापांक उसकी विपरीत संख्या के बराबर होता है, और एक धनात्मक संख्या का मापांक इस संख्या के बराबर होता है। हम पाते हैं:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
तृतीय.अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का अर्थ निकलता है, अक्षर (चर) के अनुमेय मान कहलाते हैं।
उदाहरण। चर के किन मानों के लिए अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है?
समाधान।हम जानते हैं कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति का उस अक्षर (चर) के मान को देखते हुए कोई मतलब नहीं होगा जो भिन्न के हर को शून्य में बदल देता है!
उदाहरण 1 में) यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि आप a के स्थान पर 0 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: अभिव्यक्ति 1) का कोई मतलब नहीं है जब a = 0 हो।
उदाहरण 2 में) हर x - 4 = 0 पर x = 4 है, इसलिए, यह मान x = 4 है और इसे नहीं लिया जा सकता। उत्तर: अभिव्यक्ति 2) का कोई मतलब नहीं है जब x = 4 हो।
उदाहरण 3 में) हर x + 2 = 0 है जब x = -2 है। उत्तर: अभिव्यक्ति 3) का कोई मतलब नहीं है जब x = -2 हो।
उदाहरण 4) में हर 5 -|x| है = 0 |x| के लिए = 5. और चूँकि |5| = 5 और |-5| = 5, तो आप x = 5 और x = -5 नहीं ले सकते। उत्तर: अभिव्यक्ति 4) का x = -5 और x = 5 पर कोई मतलब नहीं है।
चतुर्थ. दो अभिव्यक्तियों को समान रूप से समान कहा जाता है यदि, चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, इन अभिव्यक्तियों के संबंधित मान समान हैं।
उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5ए - 5बी भी बराबर हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5ए - 5बी ए और बी के किसी भी मान के लिए सत्य होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है।
पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी अनुमेय मूल्यों के लिए मान्य है। आपको पहले से ही ज्ञात पहचान के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, और वितरण गुण।
एक अभिव्यक्ति को दूसरे समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित करना एक पहचान परिवर्तन या बस एक अभिव्यक्ति का परिवर्तन कहा जाता है। चर के साथ अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन संख्याओं पर संचालन के गुणों के आधार पर किए जाते हैं।
ए)गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:
1)10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(ए -2बी + 4सी); 3) a·(6m -2n + k).
समाधान. आइए गुणन के वितरण गुण (कानून) को याद करें:
(ए+बी)सी=एसी+बीसी(जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी परिणाम जोड़ सकते हैं)।
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप न्यूनतम को गुणा कर सकते हैं और इस संख्या से अलग-अलग घटा सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।
1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.
2) 1.5·(ए -2बी + 4सी) = 1.5ए -3बी + 6सी।
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
बी)जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:
4) एक्स + 4.5 +2एक्स + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 सेकंड -3 -2.5 -2.3 सेकंड।
समाधान।आइए जोड़ के नियम (गुण) लागू करें:
ए+बी=बी+ए(क्रमविनिमेय: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(संयोजनात्मक: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं)।
4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.
5) (3ए + 2.1) + 7.8 = 3ए + (2.1 + 7.8) = 3ए + 9.9।
6) 6) 5.4 सेकेंड -3 -2.5 -2.3 सेकेंड = (5.4 सेकेंड -2.3 सेकेंड) + (-3 -2.5) = 3.1 सेकेंड -5.5।
वी)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (नियमों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:
7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2यू · (-1); 9)3ए · (-3) · 2s.
समाधान।आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:
ए·बी=बी·ए(विनिमेय: कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी=ए (बी सी)(संयोजनात्मक: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरे और तीसरे के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।
7) 4 · एक्स · (-2,5) = -4 · 2,5 · एक्स = -10x.
8) -3,5 · 2यू · (-1)=7यू.
9)3ए · (-3) · 2सी = -18एसी.
यदि एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक कम करने योग्य भिन्न के रूप में दी गई है, तो एक भिन्न को कम करने के नियम का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है, अर्थात। इसे एक समान रूप से समान सरल अभिव्यक्ति के साथ बदलें।
उदाहरण। भिन्न न्यूनीकरण का उपयोग करके सरल बनाएं। 
समाधान।किसी भिन्न को छोटा करने का अर्थ है उसके अंश और हर को शून्य के अलावा एक ही संख्या (अभिव्यक्ति) से विभाजित करना। अंश 10) से कम हो जाएगा 3 बी; अंश 11) से कम हो जाएगा एऔर अंश 12) से कम हो जाएगा 7एन. हम पाते हैं:
सूत्र बनाने के लिए बीजीय व्यंजकों का उपयोग किया जाता है।
सूत्र एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो समानता के रूप में लिखी जाती है और दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध को व्यक्त करती है।उदाहरण: पथ सूत्र आप जानते हैं एस=वी टी(एस - तय की गई दूरी, वी - गति, टी - समय)। याद रखें कि आप कौन से अन्य सूत्र जानते हैं।
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बीजगणितीय अभिव्यक्ति का नियम अर्थ
संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ
प्राथमिक विद्यालय में आपने गणना करना सीखा पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याएँ, समीकरण हल किए, ज्यामितीय आकृतियों और निर्देशांक तल से परिचित हुए। यह सब एक की सामग्री का गठन किया स्कूल विषय "गणित". वास्तव में, गणित जैसा विज्ञान का इतना महत्वपूर्ण क्षेत्र बड़ी संख्या में स्वतंत्र विषयों में विभाजित है: बीजगणित, ज्यामिति, संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय विश्लेषण, गणितीय तर्क, गणितीय सांख्यिकी, खेल सिद्धांत, आदि। प्रत्येक अनुशासन के अध्ययन के अपने उद्देश्य होते हैं, वास्तविकता को समझने के अपने तरीके होते हैं।
बीजगणित, जिसका हम अध्ययन करने जा रहे हैं, एक व्यक्ति को न केवल विभिन्न कार्य करने का अवसर देता है गणना, लेकिन उसे इसे यथासंभव शीघ्र और तर्कसंगत रूप से करना भी सिखाता है। एक व्यक्ति जो बीजगणितीय विधियों में महारत हासिल करता है, उसे उन लोगों की तुलना में लाभ होता है जो इन विधियों में महारत हासिल नहीं करते हैं: वह तेजी से गणना करता है, जीवन स्थितियों को अधिक सफलतापूर्वक नेविगेट करता है, अधिक स्पष्ट रूप से निर्णय लेता है, और बेहतर सोचता है। हमारा काम आपको बीजगणितीय तरीकों में महारत हासिल करने में मदद करना है, आपका काम सीखने का विरोध करना नहीं है, कठिनाइयों पर काबू पाने के लिए हमारा अनुसरण करने के लिए तैयार रहना है।
वास्तव में, प्राथमिक विद्यालय में, आपके जीवन की एक खिड़की पहले ही खुल चुकी होती है। जादू की दुनियाबीजगणित, क्योंकि बीजगणित मुख्य रूप से संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का अध्ययन करता है।
आइए याद रखें कि एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति अंकगणितीय परिचालनों की संख्याओं और संकेतों से बना कोई भी रिकॉर्ड है (बेशक, अर्थ के साथ बना है: उदाहरण के लिए, 3 + 57 एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, जबकि 3 +: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं है, लेकिन प्रतीकों का एक अर्थहीन सेट)। कुछ कारणों से (हम उनके बारे में बाद में बात करेंगे), विशिष्ट संख्याओं के बजाय अक्सर अक्षरों (मुख्य रूप से लैटिन वर्णमाला से) का उपयोग किया जाता है; तब एक बीजगणितीय व्यंजक प्राप्त होता है। ये अभिव्यक्तियाँ बहुत बोझिल हो सकती हैं। बीजगणित आपको विभिन्न नियमों, कानूनों, गुणों, एल्गोरिदम, सूत्रों, प्रमेयों का उपयोग करके उन्हें सरल बनाना सिखाता है।
उदाहरण 1. संख्यात्मक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
समाधान. अब हम एक साथ कुछ याद करेंगे, और आप देखेंगे कि आप कितने बीजगणितीय तथ्य पहले से ही जानते हैं। सबसे पहले, आपको गणना करने के लिए एक योजना विकसित करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको संचालन के क्रम के बारे में गणित में स्वीकृत परंपराओं का उपयोग करना होगा। में प्रक्रिया इस उदाहरण मेंइस प्रकार होगा:
1) पहले कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मान A ज्ञात करें:
ए = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81;
2) दूसरे कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मान B ज्ञात करें:
3) A को B से विभाजित करें - तब हमें पता चलेगा कि अंश में कौन सी संख्या C निहित है (अर्थात, क्षैतिज रेखा के ऊपर);
4) हर का मान D ज्ञात करें (अर्थात, क्षैतिज रेखा के नीचे निहित अभिव्यक्ति):
डी = 25 - 37 - 0.4;
5) C को D से विभाजित करें - यह वांछित परिणाम होगा। तो, एक गणना योजना है (और एक योजना का होना आधा है
सफलता!), आइए इसे लागू करना शुरू करें।
1) आइए A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81 खोजें। बेशक, आप एक पंक्ति में गिन सकते हैं या, जैसा कि वे कहते हैं, "सिर से सिर": 2.73 + 4.81, फिर इस संख्या में जोड़ें
3.27, फिर 2.81 घटाएँ। लेकिन एक सुसंस्कृत व्यक्ति इस तरह से गणना नहीं करेगा. वह जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों को याद रखेगा (हालाँकि, उसे उन्हें याद रखने की ज़रूरत नहीं है, वे हमेशा उसके दिमाग में रहते हैं) और इस तरह गणना करेगा:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
आइए अब एक बार फिर मिलकर विश्लेषण करें कि उदाहरण को हल करने की प्रक्रिया में हमें किन गणितीय तथ्यों को याद रखना था (और न केवल याद रखना था, बल्कि उपयोग भी करना था)।
1. अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम।
2. योग का क्रमविनिमेय नियम: a + b = b + a.
4. जोड़ का संयोजन नियम:
ए+बी + सी = (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)।
5. गुणन का संयोजन नियम: abc = (ab)c = a(bc)।
6. सामान्य भिन्न अवधारणाएँ, दशमलव , एक ऋणात्मक संख्या.
7. दशमलव भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ।
8. साधारण भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ।
10. सकारात्मक और नकारात्मक कार्यों के नियम नंबर. आप यह सब जानते हैं, लेकिन ये सभी बीजगणितीय तथ्य हैं। इस प्रकार, आपको प्राथमिक विद्यालय में बीजगणित का कुछ अनुभव पहले ही मिल चुका है। मुख्य कठिनाई, जैसा कि उदाहरण 1 से देखा जा सकता है, यह है कि ऐसे बहुत सारे तथ्य हैं, और किसी को न केवल उन्हें जानना चाहिए, बल्कि उनका उपयोग करने में भी सक्षम होना चाहिए, जैसा कि वे कहते हैं, "में सही समयऔर सही जगह पर।" यही हम सीखेंगे.
चूँकि बीजगणितीय अभिव्यक्ति बनाने वाले अक्षरों को अलग-अलग संख्यात्मक मान दिए जा सकते हैं (अर्थात अक्षरों के अर्थ बदले जा सकते हैं), इन अक्षरों को चर कहा जाता है।
बी) इसी तरह, क्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, हम लगातार पाते हैं:
लेकिन आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते! इस मामले में (और इसी तरह के अन्य मामलों में) इसका क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि जब : दी गई बीजगणितीय अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।
निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग किया जाता है: यदि, अक्षरों (चर) के विशिष्ट मानों के लिए, बीजगणितीय अभिव्यक्ति में एक संख्यात्मक मान होता है, तो चर के निर्दिष्ट मान स्वीकार्य कहलाते हैं; यदि अक्षरों (चर) के विशिष्ट मानों के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है, तो चरों के संकेतित मान अमान्य कहलाते हैं।
तो, उदाहरण 2 में, मान a = 1 और b = 2, a = 3.7 और b = -1.7 स्वीकार्य हैं, जबकि मान
अमान्य (अधिक सटीक रूप से: मानों की पहली दो जोड़ी मान्य हैं, और मानों की तीसरी जोड़ी अमान्य है)।
सामान्य तौर पर, उदाहरण 2 में, चर a, b के ऐसे मान अस्वीकार्य होंगे जिनके लिए या तो a + b = 0 या a - b = 0. उदाहरण के लिए, a = 7, b = - 7 या a = 28.3 , बी = 28 ,3 - मानों के अमान्य जोड़े; पहले मामले में, a + b = 0, और दूसरे मामले में, a - b = 0. दोनों मामलों में, इस उदाहरण में दिए गए अभिव्यक्ति का हर शून्य हो जाता है, और, हम फिर से दोहराते हैं, शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है . अब, शायद, आप स्वयं उदाहरण 2 में इन चरों के लिए चर ए, बी, और मानों के अमान्य जोड़े दोनों के लिए वैध जोड़े के साथ आने में सक्षम होंगे। इसे आज़माएं!
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ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक
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बीजगणतीय अभिव्यक्ति- यह अक्षरों, संख्याओं, अंकगणितीय चिह्नों और कोष्ठकों का कोई भी रिकॉर्ड है, जो अर्थ से बना है। मूलतः, बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जिसमें संख्याओं के अलावा अक्षरों का भी उपयोग किया जाता है। अतः बीजगणितीय व्यंजकों को शाब्दिक व्यंजक भी कहा जाता है।
वर्णमाला संबंधी अभिव्यक्तियों में अधिकतर लैटिन वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग किया जाता है। ये पत्र किस लिए हैं? हम इसके स्थान पर विभिन्न संख्याएँ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इसीलिए इन अक्षरों को चर कहा जाता है। अर्थात वे अपना अर्थ बदल सकते हैं।
बीजीय व्यंजकों के उदाहरण.
$\begin(संरेखित) और x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(संरेखित)$
यदि, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x + 5 में हम चर x के स्थान पर कुछ संख्या प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होगी। इस स्थिति में, इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान चर के दिए गए मान के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति x + 5 का मान होगा। अर्थात्, x = 10 के लिए, x + 5 = 10 + 5 = 15. और x = 2 के लिए, x + 5 = 2 + 5 = 7.
एक चर के ऐसे मान होते हैं जिन पर बीजगणितीय अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देती है। ऐसा होगा, उदाहरण के लिए, यदि अभिव्यक्ति 1:x में हम x के स्थान पर मान 0 प्रतिस्थापित करते हैं।
क्योंकि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते.
बीजगणितीय अभिव्यक्ति की परिभाषा का क्षेत्र।
किसी चर के मानों का वह समुच्चय जिसके लिए अभिव्यक्ति का अर्थ नहीं खोता है, कहलाता है परिभाषा का क्षेत्रयह अभिव्यक्ति. हम यह भी कह सकते हैं कि किसी अभिव्यक्ति का डोमेन एक चर के सभी मान्य मानों का समूह है।
आइए उदाहरण देखें:
- y+5 - परिभाषा का क्षेत्र y का कोई भी मान होगा।
- 1:x - अभिव्यक्ति 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए समझ में आएगी। इसलिए, परिभाषा का क्षेत्र शून्य को छोड़कर x का कोई भी मान होगा।
- (x+y):(x-y) - परिभाषा का क्षेत्र - x और y का कोई भी मान जिसके लिए x ≠ y।
तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँपूर्णांक और भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं।
- संपूर्ण बीजगणितीय अभिव्यक्ति - इसमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक शामिल नहीं है, किसी चर का मूल लेना, या किसी चर से विभाजित करना शामिल नहीं है। पूर्णांक बीजीय व्यंजकों में सभी चर मान मान्य होते हैं। उदाहरण के लिए, ax + bx + c एक पूर्णांक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है।
- भिन्नात्मक - इसमें एक चर द्वारा विभाजन होता है। $\frac(1)(a)+bx+c$ एक भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है। भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में, सभी चर मान जो शून्य से विभाजित नहीं होते हैं, मान्य हैं।
$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((बी)^(\frac(1)(3)));$- अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ। अपरिमेय बीजीय व्यंजकों में चरों के वे सभी मान मान्य होते हैं जिनके लिए सम मूल के चिह्न के नीचे का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होता।
हम कुछ गणितीय अभिव्यक्तियाँ लिख सकते हैं विभिन्न तरीके. यह हमारे लक्ष्यों पर निर्भर करता है कि हमारे पास पर्याप्त डेटा है या नहीं, आदि। संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँउनमें अंतर यह है कि हम पहले वाले को केवल अंकगणितीय चिह्नों (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) और कोष्ठक का उपयोग करके संयुक्त संख्याओं के रूप में लिखते हैं।
यदि आप संख्याओं के बजाय अभिव्यक्ति में लैटिन अक्षर (चर) डालते हैं, तो यह बीजगणितीय हो जाएगा। बीजगणितीय अभिव्यक्ति में अक्षरों, संख्याओं, जोड़ और घटाव, गुणा और भाग के संकेतों का उपयोग किया जाता है। मूल, डिग्री और कोष्ठक के चिह्न का भी उपयोग किया जा सकता है।
किसी भी स्थिति में, चाहे अभिव्यक्ति संख्यात्मक हो या बीजगणितीय, यह केवल संकेतों, संख्याओं और अक्षरों का एक यादृच्छिक सेट नहीं हो सकता है - इसका अर्थ होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि अक्षर, अंक, चिह्न किसी न किसी संबंध से जुड़े होने चाहिए। सही उदाहरण: 7x + 2: (y + 1). ख़राब उदाहरण) : + 7x - * 1.
"चर" शब्द का उल्लेख ऊपर किया गया था - इसका क्या अर्थ है? यह एक लैटिन अक्षर है, जिसके स्थान पर आप कोई संख्या प्रतिस्थापित कर सकते हैं। और अगर हम चर के बारे में बात कर रहे हैं, तो इस मामले में बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बीजगणितीय फ़ंक्शन कहा जा सकता है।
चर अलग-अलग मान ले सकता है। और इसके स्थान पर कुछ संख्या प्रतिस्थापित करके, हम चर के इस विशेष मान के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कर सकते हैं। जब किसी वेरिएबल का मान भिन्न होता है, तो अभिव्यक्ति का मान भिन्न होगा।
बीजगणितीय व्यंजकों को कैसे हल करें?
मूल्यों की गणना करने के लिए आपको करने की आवश्यकता है बीजीय व्यंजकों को परिवर्तित करना. और इसके लिए आपको अभी भी कुछ नियमों को ध्यान में रखना होगा।
सबसे पहले, बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का दायरा एक चर के सभी संभावित मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आ सकती है। इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, आप किसी वेरिएबल के लिए कोई मान प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जिसके लिए आपको शून्य से विभाजित करने की आवश्यकता होगी। अभिव्यक्ति 1/(x – 2) में, 2 को परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाना चाहिए।
दूसरे, याद रखें कि अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जाए: उन्हें गुणनखंडित करें, समान चरों को कोष्ठक से बाहर रखें, आदि। उदाहरण के लिए: यदि आप शर्तों की अदला-बदली करते हैं, तो योग नहीं बदलेगा (y + x = x + y)। इसी तरह, यदि कारकों की अदला-बदली की जाती है (x*y = y*x) तो उत्पाद नहीं बदलेगा।
सामान्य तौर पर, वे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उत्कृष्ट हैं। संक्षिप्त गुणन सूत्र. जिन लोगों ने अभी तक इन्हें नहीं सीखा है उन्हें अवश्य ऐसा करना चाहिए - फिर भी वे एक से अधिक बार काम आएंगे:
हम चरों के वर्ग के बीच अंतर पाते हैं: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);
हम योग का वर्ग ज्ञात करते हैं: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;
हम अंतर के वर्ग की गणना करते हैं: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;
योग को घन करें: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 या (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
अंतर को घन करें: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 या (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);
हम घन वाले चरों का योग ज्ञात करते हैं: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);
हम घन वाले चरों के बीच अंतर की गणना करते हैं: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);
हम जड़ों का उपयोग करते हैं: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), और 1 और a 2 अभिव्यक्ति xa 2 + ua + z की जड़ें हैं।
आपको बीजीय व्यंजकों के प्रकारों की भी समझ होनी चाहिए। वे हैं:
तर्कसंगत, और बदले में उन्हें विभाजित किया गया है:
पूर्णांक (चर में कोई विभाजन नहीं है, चर से जड़ों का कोई निष्कर्षण नहीं है और भिन्नात्मक शक्तियों तक कोई वृद्धि नहीं है): 3 ए 3 बी + 4 ए 2 बी * (ए - बी)। परिभाषा का क्षेत्र चर के सभी संभावित मान हैं ;
भिन्नात्मक (अन्य गणितीय संक्रियाओं को छोड़कर, जैसे जोड़, घटाव, गुणा, इन अभिव्यक्तियों में उन्हें एक चर से विभाजित किया जाता है और एक घात तक बढ़ाया जाता है (एक प्राकृतिक घातांक के साथ): (2/बी - 3/ए + सी/4) 2. परिभाषा का क्षेत्र - वे सभी मान चर जिनके लिए अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है;
अपरिमेय - एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति पर विचार करने के लिए, इसमें भिन्नात्मक घातांक के साथ चर को एक घात तक बढ़ाना और/या चर से मूल निकालना शामिल होना चाहिए: √a + b 3/4। परिभाषा का क्षेत्र चर के सभी मान हैं, उन मूल्यों को छोड़कर जिनके लिए एक सम घात की जड़ के तहत या एक भिन्नात्मक घात के तहत अभिव्यक्ति एक नकारात्मक संख्या बन जाती है।
बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनउन्हें हल करने के लिए एक और उपयोगी तकनीक है। एक पहचान एक अभिव्यक्ति है जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल किसी भी चर के लिए सत्य होगी जिसे इसमें प्रतिस्थापित किया गया है।
एक अभिव्यक्ति जो कुछ चर पर निर्भर करती है वह किसी अन्य अभिव्यक्ति के समान रूप से बराबर हो सकती है यदि यह समान चर पर निर्भर करती है और यदि दोनों अभिव्यक्तियों के मान बराबर हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चर के कौन से मान चुने गए हैं। दूसरे शब्दों में, यदि किसी अभिव्यक्ति को दो अलग-अलग तरीकों (अभिव्यक्तियों) में व्यक्त किया जा सकता है जिनके अर्थ समान हैं, तो वे अभिव्यक्तियाँ समान रूप से समान हैं। उदाहरण के लिए: y + y = 2y, या x 7 = x 4 * x 3, या x + y + z = z + x + y।
बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के साथ कार्य करते समय, पहचान परिवर्तन यह सुनिश्चित करने के लिए कार्य करता है कि एक अभिव्यक्ति को दूसरे के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो उसके समान है। उदाहरण के लिए, x 9 को उत्पाद x 5 * x 4 से बदलें।
समाधान के उदाहरण
इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें। बीजीय व्यंजकों का रूपांतरण. इस स्तर के कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए KIMs में पाए जा सकते हैं।
कार्य 1: व्यंजक ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1) का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.
कार्य 2: अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3)।
समाधान: (4x 2 - 9)*(1/(2x - 3) - 1/(2x +3) = (2x - 3)(2x + 3)(2x + 3 - 2x + 3)/(2x - 3) )(2x + 3) = 6.
निष्कर्ष
स्कूल परीक्षाओं की तैयारी करते समय, एकीकृत राज्य परीक्षाएँऔर जीआईए आप इस सामग्री को हमेशा संकेत के रूप में उपयोग कर सकते हैं। ध्यान रखें कि बीजगणितीय अभिव्यक्ति लैटिन अक्षरों में व्यक्त संख्याओं और चरों का एक संयोजन है। और अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग), कोष्ठक, घात, मूल के संकेत भी।
बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों और सर्वसमिकाओं के ज्ञान का उपयोग करें।
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बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक सार्थक संकेतन है जिसमें संख्याओं को अक्षरों और संख्याओं दोनों द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसमें अंकगणितीय प्रतीक और कोष्ठक भी हो सकते हैं।
किसी संख्या को दर्शाने वाला कोई भी अक्षर, और संख्याओं का उपयोग करके दर्शाई गई कोई भी संख्या, आमतौर पर बीजगणित में एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति मानी जाती है।
सूत्रों में शामिल बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को विशेष अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है यदि उनमें अक्षरों को दी गई संख्याओं से बदल दिया जाए और निर्दिष्ट क्रियाएं की जाएं। अक्षरों के स्थान पर कुछ संख्याएँ लेकर उन पर संकेतित क्रियाएँ करने पर जो संख्या प्राप्त होगी, वह कहलाती है अंकीय मूल्यबीजगणतीय अभिव्यक्ति। इससे यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि एक ही बीजगणितीय अभिव्यक्ति, जिसमें शामिल अक्षरों के अलग-अलग अर्थ हैं, के अलग-अलग संख्यात्मक मान हो सकते हैं। तो, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति
एएम+बीएन
पर ए=2, एम=5, बी=1, एन=4 की गणना की जाती है: 2 5 + 1 4 = 14, और कब ए=3, एम=4, बी=5, एन=1 की गणना की जाती है: 3 · 4 + 5 · 1 = 17, आदि; अभिव्यक्ति
एबीसाथ
पर ए=1, बी=2, सी=3, 6 के बराबर है, और ए=2, बी=3, सी=4, 24 के बराबर, आदि।
गुणक
कई कारकों का उत्पाद ए, बी, सी, डी, लिखा हुआ ए बी सी डी. यदि अक्षर गुणनखंड के अतिरिक्त कोई संख्यात्मक गुणनखंड भी हो (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह पूर्णांक है या भिन्नात्मक), तो उसे आमतौर पर सामने रखा जाता है और कहा जाता है गुणक. इस प्रकार,
मात्राओं का उत्पाद ए, बी, सी, डी, 4 इस प्रकार लिखें: 4 ए बी सी डी
मात्राओं का उत्पाद एम, एन, पीवे इस तरह लिखते हैं: .
संख्याएँ 4 और गुणांक हैं। जाहिर है 4 ए बी सी डी = ए बी सी डी + ए बी सी डी + ए बी सी डी + ए बी सी डीऔर बिल्कुल वैसा ही. तो, गुणांक दर्शाता है कि कितनी बार एक संपूर्ण बीजगणितीय अभिव्यक्ति या उसके ज्ञात भाग को एक पद के रूप में लिया जाता है।
यदि किसी बीजीय व्यंजक में कोई गुणांक नहीं है, तो यह मान लिया जाता है कि यह एक के बराबर है, क्योंकि ए= 1· ए; ईसा पूर्व= 1· ईसा पूर्वऔर इसी तरह।
अभिव्यक्ति के प्रकार
एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति जिसमें अक्षर विभाजक शामिल नहीं है, कहलाता है साबुत, अन्यथा आंशिकया बीजगणितीय अंश.
