Preliminarne informacije
Opseg bilo kojeg ravnog geometrijskog lika na ravnini definiran je kao zbroj duljina svih njegovih stranica. Trokut u tome nije iznimka. Najprije predstavljamo pojam trokuta, kao i vrste trokuta ovisno o stranicama.
Definicija 1
Trokutom ćemo nazvati geometrijski lik koji se sastoji od tri točke međusobno spojene segmentima (slika 1).
Definicija 2
U okviru definicije 1, točke ćemo zvati vrhovima trokuta.
Definicija 3
U okviru definicije 1, segmente ćemo zvati stranice trokuta.
Očito, svaki trokut će imati 3 vrha, kao i tri strane.
Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na razmjerne, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Trokut ćemo nazvati razmjernim ako niti jedna njegova stranica nije jednaka ni jednoj drugoj.
Definicija 5
Trokut ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice međusobno jednake, ali nisu jednake trećoj stranici.
Definicija 6
Trokut ćemo nazvati jednakostraničnim ako su mu sve stranice međusobno jednake.
Sve vrste ovih trokuta možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći opseg razmjernog trokuta?
Neka nam je dan razmjerni trokut čije su duljine stranica jednake $α$, $β$ i $γ$.
Zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, trebate zbrojiti sve duljine njegovih stranica.
Primjer 1
Odredi opseg skalenskog trokuta jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: $57$ cm.
Primjer 2
Odredi opseg pravokutnog trokuta čije su katete 6$ i 8$ cm.
Najprije pronađimo duljinu hipotenuze ovog trokuta koristeći Pitagorin teorem. Označimo ga onda s $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje opsega skalenskog trokuta, dobivamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: $24$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakokračnog trokuta?
Neka nam je dan jednakokračni trokut, duljine stranica bit će jednake $α$, a duljina osnovice bit će jednaka $β$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+β=2α+β$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakokračnog trokuta, dodajte dvostruku duljinu njegovih stranica duljini njegove baze.
Primjer 3
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako su mu stranice 12$ cm, a osnovica 11$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: $35$ cm.
Primjer 4
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako je njegova visina povučena na osnovicu $8$ cm, a baza $12$ cm.
Pogledajmo crtež prema uvjetima problema:
Budući da je trokut jednakokračan, $BD$ je ujedno i medijan, stoga je $AD=6$ cm.
Koristeći Pitagorin poučak, iz trokuta $ADB$ nalazimo bočnu stranicu. Označimo ga onda s $α$
Prema pravilu za izračunavanje opsega jednakokračnog trokuta dobivamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: 32$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakostraničnog trokuta?
Neka nam je dan jednakostranični trokut čije su duljine svih stranica jednake $α$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+α=3α$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakostraničnog trokuta, pomnožite duljinu stranice trokuta s $3$.
Primjer 5
Odredi opseg jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica 12$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
Sadržaj:
Opseg je ukupna duljina granica dvodimenzionalnog oblika. Ako želite pronaći opseg trokuta, tada morate zbrojiti duljine svih njegovih stranica; Ako ne znate duljinu barem jedne stranice trokuta, morate je pronaći. Ovaj članak će vam reći (a) kako pronaći opseg trokuta s tri poznate strane; (b) kako pronaći opseg pravokutnog trokuta kada su poznate samo dvije stranice; (c) kako pronaći opseg bilo kojeg trokuta kada su zadane dvije stranice i kut između njih (koristeći teorem o kosinusu).
Koraci
1 Prema ove tri strane
- 1 Za pronalaženje opsega koristite formulu: P = a + b + c, gdje su a, b, c duljine triju stranica, P je opseg.
- 2
Odredi duljine sve tri stranice. U našem primjeru: a = 5, b = 5, c = 5.
- To je jednakostraničan trokut jer su sve tri stranice iste duljine. Ali gornja formula se odnosi na bilo koji trokut.
- 3
Zbrojite duljine sve tri strane kako biste pronašli opseg. U našem primjeru: 5 + 5 + 5 = 15, odnosno P = 15.
- Drugi primjer: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Ne zaboravite u odgovoru navesti mjernu jedinicu. U našem primjeru, strane se mjere u centimetrima, tako da vaš konačni odgovor također treba sadržavati centimetre (ili jedinice navedene u tekstu problema).
- U našem primjeru, svaka stranica je 5 cm, tako da je konačni odgovor P = 15 cm.
2 Za dvije zadane stranice pravokutnog trokuta
- 1 Sjetite se Pitagorinog poučka. Ovaj teorem opisuje odnos između stranica pravokutnog trokuta i jedan je od najpoznatijih i najprimijenjenijih teorema u matematici. Teorem tvrdi da u bilo kojoj pravokutni trokut stranice su povezane sljedećim odnosom: a 2 + b 2 = c 2, gdje su a, b katete, c je hipotenuza.
- 2 Nacrtajte trokut i označite stranice kao a, b, c. Najduža stranica pravokutnog trokuta je hipotenuza. Leži nasuprot pravog kuta. Označite hipotenuzu kao "c". Označite noge (stranice uz pravi kut) kao "a" i "b".
- 3
Zamijenite vrijednosti poznatih strana u Pitagorinu teoremu (a 2 + b 2 = c 2). Umjesto slova, zamijenite brojeve navedene u tvrdnji zadatka.
- Na primjer, a = 3 i b = 4. Zamijenite ove vrijednosti u Pitagorinu teoremu: 3 2 + 4 2 = c 2.
- Drugi primjer: a = 6 i c = 10. Zatim: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Riješite dobivenu jednadžbu da pronađete nepoznatu stranu. Da biste to učinili, prvo kvadrirajte poznate duljine stranica (jednostavno pomnožite broj koji ste dobili sam sa sobom). Ako tražite hipotenuzu, zbrojite kvadrate dviju stranica i iz dobivene sume izvadite kvadratni korijen. Ako tražite katet, oduzmite kvadrat poznate katete od kvadrata hipotenuze i iz dobivenog kvocijenta izvadite kvadratni korijen.
- U prvom primjeru: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2; 25= c 2 ; √25 = s. Dakle, c = 25.
- U drugom primjeru: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Premjestimo 36 na desnu stranu jednadžbe i dobijemo: b 2 = 64; b = √64. Dakle, b = 8.
- 5
- U našem prvom primjeru: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- U našem drugom primjeru: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Prema dvjema zadanim stranicama i kutu između njih
- 1 Bilo koja stranica trokuta može se pronaći korištenjem zakona kosinusa ako su vam zadane dvije stranice i kut između njih. Ovaj se teorem odnosi na bilo koji trokut i vrlo je korisna formula. Kosinusni teorem: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), gdje su a, b, c stranice trokuta, A, B, C kutovi nasuprot odgovarajućim stranicama trokuta.
- 2 Nacrtajte trokut i označite stranice kao a, b, c; kutove nasuprot odgovarajućim stranicama označite kao A, B, C (odnosno kut nasuprot stranici "a", označite ga s "A" i tako dalje).
- Na primjer, dan je trokut sa stranicama 10 i 12 i kutom između njih od 97°, to jest, a = 10, b = 12, C = 97°.
- 3
Zamijenite vrijednosti koje su vam dane u formulu i pronađite nepoznatu stranu "c". Najprije kvadrirajte duljine poznatih stranica i zbrojite dobivene vrijednosti. Zatim pronađite kosinus kuta C (pomoću kalkulatora ili online kalkulatora). Pomnožite duljine poznatih stranica s kosinusom zadanog kuta i s 2 (2abcos(C)). Dobivenu vrijednost oduzmite od zbroja kvadrata dviju stranica (a 2 + b 2) i dobit ćete c 2. Izvadite kvadratni korijen ove vrijednosti da biste pronašli duljinu nepoznate stranice "c". U našem primjeru:
- c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
- c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
- c 2 = 244 – (-29,25)
- c 2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Zbrojite duljine triju stranica kako biste pronašli opseg. Podsjetimo se da se opseg izračunava pomoću formule: P = a + b + c.
- U našem primjeru: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
Opseg trokuta možete pronaći ne samo zbrajanjem duljina njegovih stranica. Što biste, na primjer, trebali učiniti ako su vam zadane jedna stranica i kutovi trokuta ili, primjerice, dvije stranice i kut između njih?”
1. U slučaju da su sve tri strane poznate.
Opseg proizvoljnog trokuta je a+b+c.
Ako je dan jednakostranični (pravilni) trokut tada je P=3a, odnosno duljina stranice pomnožena s tri.
Ako je dan jednakokračni trokut, tada je P=2a+c, gdje je a stranica, a c osnovica.
2. Zadane su dvije stranice i vrijednost kuta između njih.
Za početak, iz kosinusnog teorema možete saznati treću stranu koja leži nasuprot kutu "beta". Ova stranica (nazovimo je stranica c) bit će jednaka kvadratnom korijenu izraza a 2 + b 2 -2∙a∙b∙cosbeta;.
Prema tome, opseg je jednak "a+b+radic;(a 2 +b 2 -2∙a∙b∙cosbeta;).
3. Ako su poznati stranica i dva susjedna kuta.
U ovom slučaju, da biste pronašli opseg trokuta, potrebno je uzeti u obzir teorem sinusa.
Tada će formula za izračunavanje perimetra imati oblik " a+sinalpha;∙a/(sin(180deg;-alpha;-beta;)) + sinbeta;∙a/(sin(180deg;-alpha;-beta;)).
4. Ako su poznati površina trokuta i polumjer kruga upisanog u trokut.
Opseg trokuta se tada može pronaći kroz omjer dvostruke površine i polumjera upisane kružnice: "P=2S/r.
Posebni slučajevi
(opseg izražen polumjerima upisane i opisane kružnice).
1. Za pravilan trokut P=3Rradic;3=6rradic;3.
2. Za jednakokračni trokut P=2R(2sinalpha;+sinbeta;).
Opseg svakog trokuta je duljina linije koja omeđuje lik. Da biste ga izračunali, morate saznati zbroj svih stranica ovog poligona.
Izračun prema zadanim duljinama stranica
Jednom kada se sazna njihova značenja, to je lako učiniti. Označivši te parametre slovima m, n, k, a opseg slovom P, dobivamo formulu za izračun: P = m+n+k. Zadatak: Poznato je da trokut ima stranice duljine 13,5 decimetara, 12,1 decimetara i 4,2 decimetra. Saznajte opseg. Rješavamo: Ako su stranice ovog mnogokuta a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, tada je P = 29,8 dm. Odgovor: P = 29,8 dm.
Opseg trokuta koji ima dvije jednake stranice
Takav se trokut naziva jednakokračan. Ako te jednake stranice imaju duljinu od a centimetara, a treća stranica ima duljinu od b centimetara, tada je opseg lako pronaći: P = b + 2a. Zadatak: trokut ima dvije stranice 10 decimetara, osnovicu 12 decimetara. Nađi P. Rješenje: Neka stranica a = c = 10 dm, osnovica b = 12 dm. Zbroj stranica P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Odgovor: P = 32 decimetra.
Opseg jednakostraničnog trokuta
Ako sve tri stranice trokuta imaju jednak broj mjernih jedinica, naziva se jednakostraničnim. Drugi naziv je točan. Opseg pravilnog trokuta nalazi se pomoću formule: P = a+a+a = 3·a. Problem: Imamo zemljišnu parcelu jednakostraničnog trokuta. Jedna strana je 6 metara. Pronađite duljinu ograde kojom se može ograditi ovo područje. Rješenje: Ako je stranica ovog poligona a = 6 m, tada je duljina ograde P = 3 6 = 18 (m). Odgovor: P = 18 m.
Trokut koji ima kut od 90°
Zove se pravokutni. Prisutnost pravog kuta omogućuje pronalaženje nepoznatih strana pomoću definicije trigonometrijskih funkcija i Pitagorinog teorema. Najdulja stranica naziva se hipotenuza i označava se c. Postoje još dvije strane, a i b. Slijedeći teorem nazvan po Pitagori, imamo c 2 = a 2 + b 2 . Krakovi a = √ (c 2 - b 2) i b = √ (c 2 - a 2). Znajući duljinu dviju kateta a i b, izračunavamo hipotenuzu. Zatim zbrajanjem ovih vrijednosti nalazimo zbroj stranica figure. Zadatak: kraci pravokutnog trokuta imaju duljine 8,3 centimetra i 6,2 centimetra. Potrebno je izračunati opseg trokuta. Rješavanje: Označimo katete a = 8,3 cm, b = 6,2 cm. Prema Pitagorinom poučku, hipotenuza c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 = 10,4 (cm ). P = 24,9 (cm). Ili P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Odgovor: P = 24,9 cm Vrijednosti korijena uzete su s točnošću desetinki. Ako znamo vrijednosti hipotenuze i noge, tada vrijednost P dobivamo izračunavanjem P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Problem 2: Dio zemlje koji leži nasuprot kutu od 90 stupnjeva, 12 km, jedan od krakova je 8 km. Koliko će vam vremena trebati da obiđete cijelo područje ako se krećete brzinom od 4 kilometra na sat? Rješenje: ako je najveći segment 12 km, a manji b = 8 km, tada će duljina cijelog puta biti P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Vrijeme ćemo pronaći tako da put podijelimo s brzinom. 28,9:4 = 7,225 (h). Odgovor: možete ga zaobići za 7,3 sata Uzimamo vrijednost kvadratnog korijena i odgovor točan na desetine. Zbroj stranica pravokutnog trokuta možete pronaći ako su zadane jedna od stranica i vrijednost jednog od oštrih kutova. Znajući duljinu kraka b i vrijednost kuta β nasuprot njemu, nalazimo nepoznatu stranicu a = b/ tan β. Nađi hipotenuzu c = a: sinα. Opseg takve figure nalazimo zbrajanjem dobivenih vrijednosti. P = a + a/ sinα + a/ tan α, ili P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Zadatak: U pravokutniku Δ ABC s pravim kutom C krak BC ima duljinu 10 m, kut A je 29 stupnjeva. Moramo pronaći zbroj stranica Δ ABC. Rješenje: Označimo poznatu stranicu BC = a = 10 m, kut nasuprot njoj, ∟A = α = 30°, zatim stranicu AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), hipotenuza AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Ili P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m. Imamo: P = 47,2 m. Uzimamo vrijednost trigonometrijskih funkcija točnih na stotinke, zaokružujemo duljinu stranica i opseg na desetinke. Imajući vrijednost kraka α i pridruženog kuta β, saznajemo čemu je jednak drugi krak: b = a tan β. Hipotenuza će u ovom slučaju biti jednaka kraku podijeljenom kosinusom kuta β. Opseg nalazimo po formuli P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Zadatak: Krak trokuta s kutom od 90 stupnjeva iznosi 18 cm, a susjedni kut je 40 stupnjeva. Nađi P. Rješenje: Označimo poznatu stranicu BC = 18 cm, ∟β = 40°. Tada je nepoznata stranica AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), hipotenuza AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Zbroj stranica figure je P = 56,3 (cm). Ili P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm. Odgovor: P = 56,3 cm. Ako su poznati duljina hipotenuze c i neki kut α, katete će biti jednake produktu hipotenuze za prvi - sinusom, a drugi - kosinusom ovog kuta. Opseg ove figure je P = (sin α + 1+ cos α)*c. Zadatak: Hipotenuza pravokutnog trokuta AB = 9,1 centimetar, a kut je 50 stupnjeva. Odredite zbroj stranica ove figure. Rješenje: Označimo hipotenuzu: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, tada jedan od krakova BC ima duljinu a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), krak AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). To znači da je opseg ovog poligona P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Ili P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Odgovor: P = 21,9 centimetara.
Proizvoljni trokut čija je jedna stranica nepoznata
Ako imamo vrijednosti dviju stranica a i c, te kut između tih stranica γ, treći nalazimo po kosinusnom teoremu: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, gdje je β kut koja leži između stranica a i c. Zatim nalazimo perimetar. Zadatak: Δ ABC ima isječak AB duljine 15 dm i isječak AC duljine 30,5 dm. Kut između ovih stranica je 35 stupnjeva. Izračunaj zbroj stranica Δ ABC. Rješenje: Kosinusnim poučkom izračunavamo duljinu treće stranice. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Imamo: P = 65,6 dm.
Zbroj stranica proizvoljnog trokuta kojemu su duljine dviju stranica nepoznate
Kada znamo duljinu samo jednog odsječka i vrijednost dvaju kutova, možemo saznati duljinu dviju nepoznatih stranica koristeći sinusni teorem: „u trokutu su stranice uvijek proporcionalne vrijednostima sinusa suprotnih uglova.” Gdje je b = (a* sin β)/ sin a. Slično c = (a sin γ): sin a. Opseg će u ovom slučaju biti P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Zadatak: Imamo Δ ABC. U njemu je duljina stranice BC 8,5 mm, vrijednost kuta C je 47°, a kut B je 35 stupnjeva. Odredite zbroj stranica ove figure. Rješenje: Označimo duljine stranica BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. Iz relacija dobivenih iz sinusnog teorema nalazimo katete AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Dakle, zbroj stranica ovog mnogokuta je P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Odgovor: P = 23,5 mm. U slučaju kada postoji samo duljina jednog segmenta i vrijednosti dvaju susjednih kutova, prvo izračunamo kut nasuprot poznatoj stranici. Zbroj svih kutova ove figure iznosi 180 stupnjeva. Prema tome ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Zatim pronalazimo nepoznate segmente koristeći sinusni teorem. Zadatak: Imamo Δ ABC. Ima segment BC jednak 10 cm Vrijednost kuta B je 48 stupnjeva, kut C je 56 stupnjeva. Odredi zbroj stranica Δ ABC. Rješenje: Najprije pronađite vrijednost kuta A nasuprot stranice BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Sada, koristeći teorem sinusa, izračunavamo duljinu stranice AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* sin C/ sin A = 8.6. Opseg trokuta je P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Rezultat: P = 26,2 cm.
Izračunavanje opsega trokuta pomoću polumjera unutar njega upisane kružnice
Ponekad nije poznata niti jedna strana problema. Ali postoji vrijednost za područje trokuta i polumjer kruga upisanog u njega. Ove su veličine povezane: S = r p. Poznavajući površinu trokuta i polumjer r, možemo pronaći poluopseg p. Nalazimo p = S: r. Zadatak: Parcela je površine 24 m2, radijus r je 3 m. Nađite broj stabala koje treba ravnomjerno zasaditi duž linije koja okružuje ovu parcelu, ako između dva susjedna mora biti razmak od 2 metra. . Rješenje: Zbroj stranica ove figure nalazimo na sljedeći način: P = 2 · 24 : 3 = 16 (m). Zatim podijelite s dva. 16:2= 8. Ukupno: 8 stabala.
Zbroj stranica trokuta u Kartezijevim koordinatama
Vrhovi Δ ABC imaju koordinate: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Nađimo kvadrate svake stranice AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Da biste pronašli opseg, samo zbrojite sve segmente. Zadatak: Koordinate vrhova Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Odredite zbroj stranica ove figure. Rješenje: stavljajući vrijednosti odgovarajućih koordinata u formulu perimetra, dobivamo P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Imamo: P = 16,6. Ako lik nije u ravnini, već u prostoru, tada svaki od vrhova ima tri koordinate. Stoga će formula za zbroj strana imati još jedan član.
Vektorska metoda
Ako je lik zadan koordinatama svojih vrhova, opseg se može izračunati vektorskom metodom. Vektor je segment koji ima smjer. Njegov modul (dužina) označen je simbolom ǀᾱǀ. Udaljenost između točaka je duljina odgovarajućeg vektora, odnosno apsolutna vrijednost vektora. Razmotrimo trokut koji leži na ravnini. Ako vrhovi imaju koordinate A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3), tada se duljina svake stranice nalazi pomoću formula: ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). Opseg trokuta dobijemo zbrajanjem duljina vektora. Slično, pronađite zbroj stranica trokuta u prostoru.
Opseg trokuta, kao i kod svake figure, naziva se zbroj duljina svih stranica. Vrlo često ova vrijednost pomaže u pronalaženju površine ili se koristi za izračunavanje drugih parametara figure.
Formula za opseg trokuta izgleda ovako:
Primjer izračunavanja opsega trokuta. Neka je dan trokut sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm Zamijenite podatke u formulu: cm
Formula za izračunavanje opsega jednakokračan trokut izgledat će ovako:
Formula za izračunavanje opsega jednakostraničan trokut:
Primjer izračunavanja opsega jednakostraničnog trokuta. Kada su sve strane figure jednake, mogu se jednostavno pomnožiti s tri. Pretpostavimo da nam je dan pravilan trokut sa stranicom od 5 cm u ovom slučaju: cm
Općenito, kada su zadane sve strane, pronalaženje opsega prilično je jednostavno. U drugim situacijama morate pronaći veličinu strane koja nedostaje. U pravokutnom trokutu možete pronaći treću stranu Pitagorin poučak. Na primjer, ako su poznate duljine nogu, hipotenuzu možete pronaći pomoću formule: 
Razmotrimo primjer izračunavanja opsega jednakokračnog trokuta, pod uvjetom da znamo duljinu kateta u pravokutnom jednakokračnom trokutu.
Zadan je trokut s kracima a =b =5 cm.Odredi opseg. Najprije pronađimo stranu koja nedostaje c. cm
Sada izračunajmo opseg: cm
Opseg pravokutnog jednakokračnog trokuta bit će 17 cm.
U slučaju kada su poznati hipotenuza i duljina jedne noge, onu koja nedostaje možete pronaći pomoću formule: 
Ako su u pravokutnom trokutu poznati hipotenuza i jedan od oštrih kutova, stranica koja nedostaje nalazi se pomoću formule.
