Opet Pitagorin trokut :))) Ako dio velike dijagonale od velike baze do sjecišta označimo s x, onda iz očite sličnosti pravokutnih trokuta s istim kutovima slijedi: x / 64 = 36 / x, dakle x = 48; 48/64 = 3 / 4, pa su SVI pravokutni trokuti sastavljeni od baza, dijagonala i stranice okomite na osnovicu slični trokutu sa stranicama 3,4,5. Jedina iznimka je trokut sastavljen od dijelova dijagonala i kose stranice, ali on nas ne zanima :). (Da se razumijemo, sličnost o kojoj je riječ je samo DRUGA IMENOVANA trigonometrijska funkcija kutova :) već znamo tangens kuta između velike dijagonale i velike baze, on je 3/4, dakle sinus je 3/5, a kosinus je 4 /5 :)) Možete odmah napisati
Odgovori. Donja baza je 80, visina trapeza će biti 60, a gornja 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Povezani zadaci:
1. Osnovica prizme je trokut kojemu je jedna stranica 2 cm, a druge dvije po 3 cm. Bočni brid je 4 cm i s ravninom osnovke zatvara kut od 45. Odredite rub prizme. jednaka kocka.
2. Osnovica kose prizme je jednakostranični trokut sa stranicom a; jedna od bočnih ploha okomita je na ravninu baze i predstavlja romb čija je manja dijagonala c. Nađi obujam prizme.
3. U kosoj prizmi osnovica je pravokutni trokut kojemu je hipotenuza jednaka c, jedan šiljasti kut 30, bočni brid jednak k i s ravninom osnovice zatvara kut od 60. Odredite volumen od prizme.
1. Odredi stranicu kvadrata ako mu je dijagonala 10 cm
2. U jednakokračnom trapezu, tupi kut je 135 stupnjeva manji od baze je 4 cm, a visina je 2 cm, pronađite površinu trapeza?
3. Visina trapeza je 3 puta veća od jedne osnovice, ali polovica druge. Odredite osnovicu trapeza i visinu ako je površina trapeza 168 cm na kvadrat?
4. U trokutu ABC, kut A = U kutu = 75 stupnjeva. Nađi BC ako je površina trokuta 36 cm na kvadrat.
1. U trapezu ABCD sa stranicama AB i CD dijagonale se sijeku u točki O
a) Usporedite površine trokuta ABD i ACD
b) Usporedite površine trokuta ABO i CDO
c) Dokažite da je OA*OB=OC*OD
2. Osnovica jednakostraničnog trokuta odnosi se prema stranici kao 4:3, a osnovici povučena visina iznosi 30 cm.Nađite odsječke na koje tu visinu dijeli simetrala kuta pri osnovici.
3. Pravac AM -tangenta na kružnicu, AB-tetiva ove kružnice. Dokažite da se kut MAB mjeri polovicom luka AB unutar kuta MAB.
Ako su dijagonale u jednakokračnom trapezu okomite, sljedeći teorijski materijal bit će koristan u rješavanju problema.
1. Ako su dijagonale u jednakokračnom trapezu okomite, visina trapeza je polovica zbroja osnovica.
Povucimo pravac CF kroz točku C paralelno s BD i produžimo pravac AD dok ne siječe CF.
Četverokut BCFD je paralelogram (BC∥ DF kao osnovica trapeza, BD∥ CF po konstrukciji). Dakle, CF=BD, DF=BC i AF=AD+BC.
Trokut ACF je pravokutan (ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi pravac). Kako su dijagonale u jednakokračnom trapezu jednake, a CF=BD, onda je CF=AC, odnosno trokut ACF je jednakokračan s osnovicom AF. Stoga je njegova visina CN također medijan. A budući da medijan pravokutni trokut povučeno na hipotenuzu jednako je njezinoj polovici, dakle
što se općenito može napisati kao
gdje je h visina trapeza, a i b su njegove osnovice.
2. Ako su u jednakokračnom trapezu dijagonale okomite, tada mu je visina jednaka središnjici.
Kako je srednja linija trapeza m jednaka polovici zbroja osnovica, tada
3. Ako su dijagonale okomite u jednakokračnom trapezu, tada je površina trapeza jednaka kvadratu visine trapeza (ili kvadratu poluzbroja baza, ili kvadratu srednje crte ).
Budući da se područje trapeza nalazi formulom
a visina, polovica zbroja osnovica i središnjica jednakokračnog trapeza s okomitim dijagonalama međusobno su jednake:
4. Ako su u jednakokračnom trapezu dijagonale okomite, tada je kvadrat njegove dijagonale jednak polovici kvadrata zbroja osnovica, kao i dvostrukom kvadratu visine i dvostrukom kvadratu središnje crte.
Budući da se površina konveksnog četverokuta može pronaći kroz njegove dijagonale i kut između njih pomoću formule
- Isječak koji spaja središta dijagonala trapeza jednak je polovici razlike osnovica
- Trokuti koje čine osnovice trapeza i odsječci dijagonala do točke njihova sjecišta slični su
- Trokuti sastavljeni od segmenata dijagonala trapeza, čije stranice leže na stranicama trapeza - jednake površine (imaju istu površinu)
- Produžimo li stranice trapeza prema manjoj osnovici, tada će se one u jednoj točki sjeći s pravom linijom koja spaja središta osnovica.
- Segment koji povezuje baze trapeza i prolazi kroz točku sjecišta dijagonala trapeza, podijeljen je ovom točkom u omjeru jednakom omjeru duljina baza trapeza.
- Segment paralelan s bazama trapeza i povučen kroz sjecište dijagonala raspolavlja se ovom točkom, a njegova duljina je jednaka 2ab / (a + b), gdje su a i b osnovice trapeza.
Svojstva odsječka koji spaja središta dijagonala trapeza
Spojimo središta dijagonala trapeza ABCD, čime ćemo dobiti segment LM.
Odsječak koji spaja središta dijagonala trapeza leži na središnjoj liniji trapeza.
Ovaj segment paralelno s osnovicama trapeza.
Duljina isječka koji spaja središta dijagonala trapeza jednaka je polurazlici njegovih osnovica.
LM = (AD - BC)/2
ili
LM = (a-b)/2
Svojstva trokuta koje čine dijagonale trapeza
Trokuti koje tvore osnovice trapeza i sjecište dijagonala trapeza - su slični.
Trokuti BOC i AOD su slični. Budući da su kutovi BOC i AOD okomiti, oni su jednaki.
Kutovi OCB i OAD su unutarnji poprečno ležeći na paralelnim pravcima AD i BC (osnovice trapeza su međusobno paralelne) i sekansi AC, dakle, jednaki su.
Kutovi OBC i ODA su jednaki iz istog razloga (unutarnji križni položaj).
Budući da su sva tri kuta jednog trokuta jednaka odgovarajućim kutovima drugog trokuta, ti su trokuti slični.
Što iz ovoga slijedi?
Za rješavanje problema u geometriji, sličnost trokuta se koristi na sljedeći način. Ako znamo duljine dvaju odgovarajućih elemenata sličnih trokuta, tada nalazimo koeficijent sličnosti (dijelimo jedan s drugim). Odakle su duljine svih ostalih elemenata međusobno povezane točno istom vrijednošću.
Svojstva trokuta koji leže na bočnoj stranici i dijagonale trapeza
Promotrimo dva trokuta koji leže na stranicama trapeza AB i CD. To su trokuti AOB i COD. Unatoč činjenici da veličine pojedinih stranica ovih trokuta mogu biti potpuno različite, ali površine trokuta koje čine stranice i sjecište dijagonala trapeza su, odnosno trokuti su jednaki.
Ako su stranice trapeza produžene prema manjoj osnovici, tada će točka presjeka stranica biti podudaraju s ravnom linijom koja prolazi središtima baza.
Dakle, svaki trapez se može produžiti u trokut. pri čemu:
- Slični su trokuti koje čine osnovice trapeza sa zajedničkim vrhom u sjecištu produženih stranica.
- Pravac koji spaja polovišta osnovica trapeza ujedno je i središnjica konstruiranog trokuta.
Svojstva odsječka koji spaja osnovice trapeza
Ako nacrtate segment čiji krajevi leže na bazama trapeza, koji se nalazi u sjecištu dijagonala trapeza (KN), tada je omjer njegovih sastavnih segmenata od stranice baze do sjecišta trapeza. dijagonale (KO / ON) bit će jednak omjeru osnovica trapeza(pr. Kr./AD).
KO/ON=BC/AD
Ovo svojstvo proizlazi iz sličnosti odgovarajućih trokuta (vidi gore).
Svojstva odsječka paralelnog s osnovicama trapeza
Ako nacrtate segment paralelan s bazama trapeza i prolazi kroz sjecište dijagonala trapeza, tada će imati sljedeća svojstva:
- Unaprijed postavljena udaljenost (KM) raspolavlja točku presjeka dijagonala trapeza
- Duljina rezanja, koja prolazi kroz točku sjecišta dijagonala trapeza i paralelna s bazama, jednaka je KM = 2ab/(a + b)
Formule za pronalaženje dijagonala trapeza
a, b- osnovice trapeza
c, d- stranice trapeza
d1 d2- dijagonale trapeza
α β - kutovi s većom osnovicom trapeza
Formule za pronalaženje dijagonala trapeza kroz baze, stranice i kutove na bazi
Prva skupina formula (1-3) odražava jedno od glavnih svojstava dijagonala trapeza:
1. Zbroj kvadrata dijagonala trapeza jednak je zbroju kvadrata stranica plus dvostruki umnožak njegovih baza. Ovo svojstvo dijagonala trapeza može se dokazati kao poseban teorem
2 . Ova formula je dobivena transformacijom prethodne formule. Kvadrat druge dijagonale prebacuje se preko znaka jednakosti, nakon čega se izvlači kvadratni korijen s lijeve i desne strane izraza.
3 . Ova formula za određivanje duljine dijagonale trapeza slična je prethodnoj, s tom razlikom što je još jedna dijagonala ostavljena na lijevoj strani izraza
Sljedeća skupina formula (4-5) je sličnog značenja i izražava sličan odnos.
Skupina formula (6-7) omogućuje vam da pronađete dijagonalu trapeza ako znate veću osnovicu trapeza, jednu stranicu i kut pri bazi.
Formule za određivanje dijagonala trapeza u smislu visine
Zadatak.
Dijagonale trapeza ABCD (AD | | BC) sijeku se u točki O. Odredite duljinu osnovice BC trapeza ako je osnovica AD = 24 cm, duljina AO = 9 cm, duljina OS = 6 cm.
Riješenje.
Rješenje ovog zadatka ideološki je potpuno identično prethodnim zadacima.
Trokuti AOD i BOC slični su u tri kuta - AOD i BOC su okomiti, a ostali su kutovi po paru jednaki, jer nastaju sjecištem jednog pravca i dvaju paralelnih pravaca.
Budući da su trokuti slični, onda su sve njihove geometrijske dimenzije međusobno povezane, kao geometrijske dimenzije odsječaka AO i OC koji su nam poznati po uvjetu zadatka. To je
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odgovor: 16 cm
zadatak .
U trapezu ABCD poznato je da je AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Pronađite površinu trapeza. 
Riješenje .
Da bismo pronašli visinu trapeza iz vrhova manje osnovice B i C, spustimo dvije visine na veću osnovicu. Budući da je trapez nejednak, označavamo dužinu AM = a, dužinu KD = b ( ne smije se brkati sa simbolima u formuli nalaženje površine trapeza). Kako su osnovice trapeza paralelne i izostavili smo dvije visine okomite na veću osnovicu, onda je MBCK pravokutnik.
Sredstva
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trokuti DBM i ACK su pravokutni, pa im prave kutove tvore visine trapeza. Označimo visinu trapeza sa h. Zatim po Pitagorinom teoremu
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
I
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Uzmite u obzir da je a \u003d 16 - b, a zatim u prvoj jednadžbi
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Zamijenite vrijednost kvadrata visine u drugu jednadžbu, dobivenu Pitagorinim teoremom. Dobivamo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Dakle, KD = 12
Gdje
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Odredite površinu trapeza koristeći njegovu visinu i polovicu zbroja baza
, gdje a b - baze trapeza, h - visina trapeza
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Odgovor: površina trapeza je 80 cm2.
