Kojom se formulom izračunava projekcija pomaka tijela pri jednoliko ubrzanom pravocrtnom gibanju? Zbrajanje vektora okomitih jedan na drugi

Stranica 8 od 12

§ 7. Jednoliko ubrzano gibanje
ravno kretanje

1. Pomoću grafa ovisnosti brzine o vremenu možete dobiti formulu za pomak tijela tijekom jednolikog pravocrtnog gibanja.

Slika 30 prikazuje graf projekcije brzine jednoliko kretanje po osi x s vremena. Ako u nekom trenutku vratimo okomicu na vremensku os C, tada dobivamo pravokutnik OABC. Površina ovog pravokutnika jednaka je umnošku stranica O.A. I O.C.. Ali duljina stranice O.A. jednak v x, i duljina stranice O.C. - t, odavde S = v x t. Umnožak projekcije brzine na os x a vrijeme je jednako projekciji pomaka tj. s x = v x t.

Tako, projekcija pomaka tijekom ravnomjernog pravocrtnog gibanja brojčano je jednaka površini pravokutnika omeđenog koordinatnim osima, grafom brzine i okomicom na vremensku os.

2. Na sličan način dobivamo formulu za projekciju pomaka za pravocrtac jednoliko ubrzano gibanje. Da bismo to učinili, koristit ćemo se grafikonom projekcije brzine na os x s vremena na vrijeme (slika 31). Odaberimo malo područje na grafikonu ab i ispustite okomice iz točaka a I b na vremenskoj osi. Ako je vremenski interval D t, koji odgovara web mjestu CD na vremenskoj osi mala, tada možemo pretpostaviti da se brzina ne mijenja u tom vremenskom razdoblju i da se tijelo giba jednoliko. U ovom slučaju figura cabd malo se razlikuje od pravokutnika i njegova je površina numerički jednaka projekciji kretanja tijela tijekom vremena koje odgovara segmentu CD.

Cijela figura može se podijeliti na takve trake OABC, a njegova će površina biti jednaka zbroju površina svih traka. Dakle, projekcija kretanja tijela u vremenu t brojčano jednaka površini trapeza OABC. Iz vašeg tečaja geometrije znate da je površina trapeza jednaka umnošku polovine zbroja njegovih baza i visine: S= (O.A. + prije Krista)O.C..

Kao što se može vidjeti na slici 31, O.A. = v 0x , prije Krista = v x, O.C. = t. Slijedi da se projekcija pomaka izražava formulom: s x= (v x + v 0x)t.

Kod jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja brzina tijela u bilo kojem trenutku jednaka je v x = v 0x + a x t, stoga, s x = (2v 0x + a x t)t.

Odavde:

Da bismo dobili jednadžbu gibanja tijela, zamijenimo njen izraz u smislu razlike koordinata u formulu projekcije pomaka s x = x – x 0 .

Dobivamo: x – x 0 = v 0x t+ , ili

x = x 0 + v 0x t + .

Pomoću jednadžbe gibanja možete odrediti koordinatu tijela u bilo kojem trenutku ako su poznate početna koordinata, početna brzina i akceleracija tijela.

3. U praksi se često javljaju zadaci u kojima je potrebno pronaći pomak tijela pri jednoliko ubrzanom pravocrtnom gibanju, a vrijeme gibanja je nepoznato. U tim se slučajevima koristi drugačija formula za projekciju pomaka. Nabavimo to.

Iz formule za projekciju brzine jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja v x = v 0x + a x t Izrazimo vrijeme:

t = .

Zamjenom ovog izraza u formulu projekcije pomaka dobivamo:

s x = v 0x + .

Odavde:

s x = , ili
–= 2a x s x.

Ako je početna brzina tijela nula, tada je:

2a x s x.

4. Primjer rješenja problema

Skijaš klizi niz planinsku padinu iz stanja mirovanja akceleracijom 0,5 m/s 2 u 20 s, a zatim se kreće po horizontalnoj dionici, nakon što je prešao 40 m do zaustavljanja.Kojim se ubrzanjem skijaš gibao po horizontali površinski? Kolika je duljina planinske padine?

S obzirom:

Riješenje

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Kretanje skijaša sastoji se od dva stupnja: u prvom stupnju, pri spuštanju s planinske padine, skijaš se kreće sve većom brzinom; u drugoj fazi, kada se kreće po vodoravnoj površini, njegova brzina se smanjuje. Vrijednosti koje se odnose na prvu fazu kretanja upisujemo indeksom 1, a one koje se odnose na drugu fazu indeksom 2.

a 2?

s 1?

Referentni sustav povezujemo sa Zemljom, osi x usmjerimo skijaša u smjeru brzine u svakoj fazi njegova kretanja (slika 32).

Napišimo jednadžbu za brzinu skijaša na kraju spusta s planine:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

U projekcijama na os x dobivamo: v 1x = a 1x t. Budući da projekcije brzine i ubrzanja na os x pozitivni, modul brzine skijaša jednak je: v 1 = a 1 t 1 .

Napišimo jednadžbu koja povezuje projekcije brzine, ubrzanja i pomaka skijaša u drugoj fazi kretanja:

–= 2a 2x s 2x .

S obzirom da je početna brzina skijaša u ovoj fazi kretanja jednaka njegovoj konačnoj brzini u prvoj fazi

v 02 = v 1 , v 2x= 0 dobivamo

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Odavde a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2 .

Modul kretanja skijaša u prvoj fazi kretanja jednak je duljini planinske padine. Napišimo jednadžbu za pomak:

s 1x = v 01x t + .

Stoga je duljina planinske padine s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Odgovor: a 2 = 0,125 m/s 2 ; s 1 = 100 m.

Pitanja za samotestiranje

1. Kao u grafu projekcije brzine jednolikog pravocrtnog gibanja na os x

2. Kao u grafikonu projekcije brzine jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja na os x odrediti projekciju kretanja tijela s vremena na vrijeme?

3. Kojom se formulom izračunava projekcija pomaka tijela pri jednoliko ubrzanom pravocrtnom gibanju?

4. Kojom se formulom izračunava projekcija pomaka tijela koje se giba jednoliko ubrzano i pravocrtno ako je početna brzina tijela nula?

Zadatak 7

1. Koliki je modul kretanja automobila u 2 minute, ako mu se za to vrijeme brzina promijenila od 0 do 72 km/h? Koja je koordinata automobila u trenutku vremena t= 2 min? Početna koordinata se smatra jednakom nuli.

2. Vlak se giba početnom brzinom 36 km/h i ubrzanjem 0,5 m/s 2 . Koliki je pomak vlaka u 20 s i njegova koordinata u trenutku vremena? t= 20 s ako je početna koordinata vlaka 20 m?

3. Koliki je pomak biciklista u 5 s nakon početka kočenja, ako mu je početna brzina pri kočenju 10 m/s, a ubrzanje 1,2 m/s 2? Koja je koordinata biciklista u trenutku? t= 5 s, ako je u početnom trenutku vremena bila u ishodištu?

4. Automobil koji se kreće brzinom 54 km/h zaustavlja se kočenjem 15 s. Koliki je modul gibanja automobila tijekom kočenja?

5. Dva automobila kreću se jedan prema drugome iz dva naselja koja su međusobno udaljena 2 km. Početna brzina jednog automobila je 10 m/s, a akceleracija 0,2 m/s 2 , drugog automobila 15 m/s, a akceleracija 0,2 m/s 2 . Odredite vrijeme i koordinate mjesta susreta automobila.

Laboratorijski rad br.1

Proučavanje jednoliko ubrzanog
pravocrtno kretanje

Cilj rada:

naučiti mjeriti ubrzanje pri jednoliko ubrzanom pravocrtnom gibanju; eksperimentalno utvrditi omjer puteva koje tijelo prijeđe tijekom jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja u uzastopnim jednakim vremenskim intervalima.

Uređaji i materijali:

jarak, tronožac, metalna kugla, štoperica, metar, metalni cilindar.

Radni nalog

1. Pričvrstite jedan kraj žlijeba u nogu tronošca tako da čini blagi kut s površinom stola. Na drugom kraju žlijeba stavite u njega metalni cilindar.

2. Izmjerite putove koje je prešla lopta u 3 uzastopna vremenska razdoblja jednaka 1 s. To se može učiniti na različite načine. Na oluk možete staviti oznake kredom koje bilježe položaje lopte u trenucima jednakim 1 s, 2 s, 3 s i mjeriti udaljenosti s_ između ovih oznaka. Možete, svaki put puštajući lopticu s iste visine, izmjeriti put s, koju je prešla prvo za 1 s, zatim za 2 s i za 3 s, a zatim izračunajte put koji je prešla kuglica u drugoj i trećoj sekundi. Zabilježite rezultate mjerenja u tablicu 1.

3. Nađi omjer puta prijeđenog u drugoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi, te puta prijeđenog u trećoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi. Izvući zaključak.

4. Izmjerite vrijeme koje se lopta kretala duž žlijeba i udaljenost koju prijeđe. Izračunajte ubrzanje njegovog gibanja pomoću formule s = .

5. Pomoću eksperimentalno dobivene vrijednosti ubrzanja izračunajte putove koje lopta mora prijeći u prvoj, drugoj i trećoj sekundi svog gibanja. Izvući zaključak.

stol 1

Iskustvo br.

Eksperimentalni podaci

Teorijski rezultati

Vrijeme t , S

Put s , cm

Vrijeme t , S

Staza

s, cm

Ubrzanje a, cm/s2

Vrijemet, S

Put s , cm

Brzina (v) je fizikalna veličina, brojčano jednaka putu (s) koje tijelo prijeđe u jedinici vremena (t).

Staza

Put (S) - duljina putanje kojom se tijelo gibalo, brojčano je jednaka umnošku brzine (v) tijela i vremena (t) gibanja.

Vrijeme vožnje

Vrijeme gibanja (t) jednako je omjeru prijeđenog puta (S) tijela i brzine (v) gibanja.

Prosječna brzina

Prosječna brzina (vsr) jednaka je omjeru zbroja dionica puta (s 1 s 2, s 3, ...) koje tijelo prijeđe i vremenskog perioda (t 1 + t 2 + t 3 + . ..) tijekom kojih je prijeđena ova staza .

Prosječna brzina- ovo je omjer duljine puta koji je prešlo tijelo i vremena tijekom kojeg je taj put prošao.

Prosječna brzina za neravnomjerno kretanje po ravnoj liniji: ovo je omjer cijelog puta prema cijelom vremenu.

Dvije uzastopne faze pri različitim brzinama: gdje

Prilikom rješavanja problema - koliko faza kretanja će biti toliko komponenti:

Projekcije vektora pomaka na koordinatne osi

Projekcija vektora pomaka na os OX:

Projekcija vektora pomaka na os OY:

Projekcija vektora na os jednaka je nuli ako je vektor okomit na os.

Predznaci projekcija pomaka: projekcija se smatra pozitivnom ako se pomak od projekcije početka vektora do projekcije kraja odvija u smjeru osi, a negativna ako se kreće protiv osi. U ovom primjeru

Modul kretanja je duljina vektora pomaka:

Prema Pitagorinoj teoremi:

Projekcije gibanja i kut nagiba

U ovom primjeru:

Jednadžba koordinata (u općem obliku):

Radijus vektor- vektor čiji se početak podudara s ishodištem koordinata, a kraj s položajem tijela u određenom trenutku vremena. Projekcije radijus vektora na koordinatne osi određuju koordinate tijela u određenom trenutku.

Radijus vektor vam omogućuje da odredite položaj materijalne točke u datom referentni sustav:

Jednoliko pravocrtno gibanje - definicija

Ravnomjerno linearno kretanje- kretanje u kojem tijelo čini jednake pokrete u bilo kojim jednakim vremenskim razdobljima.

Brzina tijekom ravnomjernog pravocrtnog gibanja. Brzina je vektorska fizikalna veličina koja pokazuje koliko tijelo napravi kretanje u jedinici vremena.

U vektorskom obliku:

U projekcijama na os OX:

Dodatne jedinice brzine:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Mjerni uređaj - brzinomjer - pokazuje modul brzine.

Predznak projekcije brzine ovisi o smjeru vektora brzine i koordinatnoj osi:

Graf projekcije brzine predstavlja ovisnost projekcije brzine o vremenu:

Grafikon brzine za ravnomjerno pravocrtno gibanje- pravac paralelan s vremenskom osi (1, 2, 3).

Ako graf leži iznad vremenske osi (.1), tada se tijelo giba u smjeru osi OX. Ako se graf nalazi ispod vremenske osi, tada se tijelo giba naspram OX osi (2, 3).

Geometrijsko značenje kretanja.

S jednolikim linearnim gibanjem, pomak je određen formulom. Isti rezultat dobivamo ako izračunamo površinu figure ispod grafa brzine u osi. To znači da je za određivanje putanje i modula pomaka tijekom linearnog gibanja potrebno izračunati površinu figure ispod grafikona brzine u osi:

Grafikon projekcije pomaka- ovisnost projekcije pomaka o vremenu.

Graf projekcije pomaka na jednoliko pravocrtno gibanje- ravna linija koja dolazi iz ishodišta koordinata (1, 2, 3).

Ako pravac (1) leži iznad vremenske osi, tada se tijelo giba u smjeru osi OX, a ako ispod osi (2, 3), onda se kreće protiv osi OX.

Što je veći tangens nagiba (1) grafikona, veći je modul brzine.

Koordinate grafikona- ovisnost koordinata tijela o vremenu:

Graf koordinata za jednoliko pravocrtno gibanje - ravne linije (1, 2, 3).

Ako se koordinata s vremenom povećava (1, 2), tada se tijelo giba u smjeru osi OX; ako se koordinata smanjuje (3), tada se tijelo giba suprotno od smjera osi OX.

Što je veći tangens kuta nagiba (1), veći je modul brzine.

Ako se koordinatni grafikoni dvaju tijela sijeku, tada iz sjecišta treba spustiti okomice na vremensku os i koordinatnu os.

Relativnost mehaničkog gibanja

Pod relativnošću razumijevamo ovisnost nečega o izboru referentnog okvira. Na primjer, mir je relativan; kretanje je relativno i položaj tijela je relativan.

Pravilo zbrajanja pomaka. Vektorski zbroj pomaka

gdje je kretanje tijela u odnosu na pokretni referentni okvir (MSF); - kretanje PSO-a u odnosu na fiksni referentni sustav (FRS); - kretanje tijela u odnosu na fiksni referentni okvir (FFR).

Vektorski dodatak:

Zbrajanje vektora usmjerenih duž jedne ravne linije:

Zbrajanje vektora okomitih jedan na drugi

Prema Pitagorinoj teoremi

Izvedimo formulu pomoću koje možete izračunati projekciju vektora pomaka tijela koje se giba pravocrtno i jednoliko ubrzano za bilo koje vremensko razdoblje. Da bismo to učinili, okrenimo se slici 14. I na slici 14, a i na slici 14, b, segment AC je graf projekcije vektora brzine tijela koje se kreće konstantnom akceleracijom a (pri početnoj brzini v 0).

Riža. 14. Projekcija vektora pomaka tijela koje se giba pravocrtno i jednoliko ubrzano brojčano je jednaka površini S ispod grafa.

Podsjetimo se da je u slučaju pravocrtnog ravnomjernog gibanja tijela, projekcija vektora pomaka koju čini ovo tijelo određena istom formulom kao i površina pravokutnika zatvorenog ispod grafa projekcije vektora brzine (vidi sliku 6). Stoga je projekcija vektora pomaka brojčano jednaka površini ovog pravokutnika.

Dokažimo da se u slučaju pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja projekcija vektora pomaka s x može odrediti istom formulom kao i površina lika zatvorenog između grafa AC, osi Ot i odsječaka OA i BC , tj. kao u ovom slučaju, projekcija vektora pomaka brojčano je jednaka površini figure ispod grafa brzine. Da bismo to učinili, na osi Ot (vidi sliku 14, a) odabiremo mali vremenski period db. Iz točaka d i b povlačimo okomice na os Ot dok se ne sijeku s grafom projekcije vektora brzine u točkama a i c.

Dakle, tijekom vremena koje odgovara segmentu db, brzina tijela se mijenja od v ax do v cx.

U relativno kratkom vremenskom razdoblju projekcija vektora brzine se vrlo malo mijenja. Stoga se gibanje tijela u tom vremenskom razdoblju malo razlikuje od jednolikog gibanja, odnosno od gibanja stalnom brzinom.

Cijelo područje figure OASV, koja je trapez, može se podijeliti na takve trake. Prema tome, projekcija vektora pomaka sx za vremensko razdoblje koje odgovara segmentu OB brojčano je jednaka površini S trapeza OASV i određena je istom formulom kao i ova površina.

Prema pravilu navedenom u školski tečajevi geometrije, površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine. Sa slike 14, b jasno je da su osnovice trapeza OASV odsječci OA = v 0x i BC = v x, a visina odsječak OB = t. Stoga,

Budući da je v x = v 0x + a x t, a S = s x, možemo napisati:

Time smo dobili formulu za izračunavanje projekcije vektora pomaka pri jednoliko ubrzanom gibanju.

Pomoću iste formule izračunava se projekcija vektora pomaka i kada se tijelo giba opadajućom brzinom, samo će u tom slučaju vektori brzine i ubrzanja biti usmjereni u suprotnim smjerovima, pa će njihove projekcije imati različite predznake.

Pitanja

Koristeći sliku 14, a, dokažite da je projekcija vektora pomaka tijekom ravnomjerno ubrzanog gibanja numerički jednaka površini slike OASV.
Napiši jednadžbu za određivanje projekcije vektora pomaka tijela tijekom njegovog pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja.

Vježba 7

Stranica 8 od 12

§ 7. Jednoliko ubrzano gibanje
ravno kretanje

1. Pomoću grafa ovisnosti brzine o vremenu možete dobiti formulu za pomak tijela tijekom jednolikog pravocrtnog gibanja.

Na slici 30 prikazan je graf projekcije brzine jednolikog gibanja na os x s vremena. Ako u nekom trenutku vratimo okomicu na vremensku os C, tada dobivamo pravokutnik OABC. Površina ovog pravokutnika jednaka je umnošku stranica O.A. I O.C.. Ali duljina stranice O.A. jednak v x, i duljina stranice O.C. - t, odavde S = v x t. Umnožak projekcije brzine na os x a vrijeme je jednako projekciji pomaka tj. s x = v x t.

Tako, projekcija pomaka tijekom ravnomjernog pravocrtnog gibanja brojčano je jednaka površini pravokutnika omeđenog koordinatnim osima, grafom brzine i okomicom na vremensku os.

2. Na sličan način dobivamo formulu za projekciju pomaka kod pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja. Da bismo to učinili, koristit ćemo se grafikonom projekcije brzine na os x s vremena na vrijeme (slika 31). Odaberimo malo područje na grafikonu ab i ispustite okomice iz točaka a I b na vremenskoj osi. Ako je vremenski interval D t, koji odgovara web mjestu CD na vremenskoj osi mala, tada možemo pretpostaviti da se brzina ne mijenja u tom vremenskom razdoblju i da se tijelo giba jednoliko. U ovom slučaju figura cabd malo se razlikuje od pravokutnika i njegova je površina numerički jednaka projekciji kretanja tijela tijekom vremena koje odgovara segmentu CD.

Kao što se može vidjeti na slici 31, O.A. = v 0x , prije Krista = v x, O.C. = t. Slijedi da se projekcija pomaka izražava formulom: s x= (v x + v 0x)t.

Kod jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja brzina tijela u bilo kojem trenutku jednaka je v x = v 0x + a x t, stoga, s x = (2v 0x + a x t)t.

Da bismo dobili jednadžbu gibanja tijela, zamijenimo njen izraz u smislu razlike koordinata u formulu projekcije pomaka s x = x – x 0 .

Dobivamo: x – x 0 = v 0x t+ , ili

x = x 0 + v 0x t + .

Pomoću jednadžbe gibanja možete odrediti koordinatu tijela u bilo kojem trenutku ako su poznate početna koordinata, početna brzina i akceleracija tijela.

Iz formule za projekciju brzine jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja v x = v 0x + a x t Izrazimo vrijeme:

Zamjenom ovog izraza u formulu projekcije pomaka dobivamo:

s x = v 0x + .

s x = , ili
–= 2a x s x.

Ako je početna brzina tijela nula, tada je:

2a x s x.

4. Primjer rješenja problema

S obzirom:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Referentni sustav povezujemo sa Zemljom, osi x usmjerimo skijaša u smjeru brzine u svakoj fazi njegova kretanja (slika 32).

Napišimo jednadžbu za brzinu skijaša na kraju spusta s planine:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

U projekcijama na os x dobivamo: v 1x = a 1x t. Budući da projekcije brzine i ubrzanja na os x pozitivni, modul brzine skijaša jednak je: v 1 = a 1 t 1 .

Napišimo jednadžbu koja povezuje projekcije brzine, ubrzanja i pomaka skijaša u drugoj fazi kretanja:

–= 2a 2x s 2x .

S obzirom da je početna brzina skijaša u ovoj fazi kretanja jednaka njegovoj konačnoj brzini u prvoj fazi

v 02 = v 1 , v 2x= 0 dobivamo

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Odavde a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2 .

Modul kretanja skijaša u prvoj fazi kretanja jednak je duljini planinske padine. Napišimo jednadžbu za pomak:

s 1x = v 01x t + .

Stoga je duljina planinske padine s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Odgovor: a 2 = 0,125 m/s 2 ; s 1 = 100 m.

Pitanja za samotestiranje

1. Kao u grafu projekcije brzine jednolikog pravocrtnog gibanja na os x

2. Kao u grafikonu projekcije brzine jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja na os x odrediti projekciju kretanja tijela s vremena na vrijeme?

3. Kojom se formulom izračunava projekcija pomaka tijela pri jednoliko ubrzanom pravocrtnom gibanju?

4. Kojom se formulom izračunava projekcija pomaka tijela koje se giba jednoliko ubrzano i pravocrtno ako je početna brzina tijela nula?

Zadatak 7

2. Vlak se giba početnom brzinom 36 km/h i ubrzanjem 0,5 m/s 2 . Koliki je pomak vlaka u 20 s i njegova koordinata u trenutku vremena? t= 20 s ako je početna koordinata vlaka 20 m?

4. Automobil koji se kreće brzinom 54 km/h zaustavlja se kočenjem 15 s. Koliki je modul gibanja automobila tijekom kočenja?

Laboratorijski rad br.1

Proučavanje jednoliko ubrzanog
pravocrtno kretanje

Cilj rada:

Uređaji i materijali:

jarak, tronožac, metalna kugla, štoperica, metar, metalni cilindar.

Radni nalog

1. Pričvrstite jedan kraj žlijeba u nogu tronošca tako da čini blagi kut s površinom stola. Na drugom kraju žlijeba stavite u njega metalni cilindar.

3. Nađi omjer puta prijeđenog u drugoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi, te puta prijeđenog u trećoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi. Izvući zaključak.

4. Izmjerite vrijeme koje se lopta kretala duž žlijeba i udaljenost koju prijeđe. Izračunajte ubrzanje njegovog gibanja pomoću formule s = .

5. Pomoću eksperimentalno dobivene vrijednosti ubrzanja izračunajte putove koje lopta mora prijeći u prvoj, drugoj i trećoj sekundi svog gibanja. Izvući zaključak.

stol 1

Iskustvo br.

Eksperimentalni podaci

Teorijski rezultati

Vrijeme t , S

Put s , cm

Vrijeme t , S

Staza

s, cm

Ubrzanje a, cm/s2

Vrijemet, S

Put s , cm

Kako, znajući put kočenja, odrediti početnu brzinu automobila i kako, znajući karakteristike kretanja, kao što su početna brzina, ubrzanje, vrijeme, odrediti kretanje automobila? Odgovore ćemo dobiti nakon što se upoznamo s temom današnje lekcije: “Gibanje pri jednoliko ubrzanom gibanju, ovisnost koordinata o vremenu pri jednoliko ubrzanom gibanju”

Kod jednoliko ubrzanog gibanja, graf izgleda kao ravna linija koja ide prema gore, jer je njegova projekcija ubrzanja veća od nule.

Kod ravnomjernog pravocrtnog gibanja površina će biti brojčano jednaka modulu projekcije gibanja tijela. Ispada da se ova činjenica može generalizirati za slučaj ne samo jednolikog gibanja, već i za bilo koje gibanje, odnosno može se pokazati da je površina ispod grafa brojčano jednaka modulu projekcije pomaka. To se radi striktno matematički, ali mi ćemo koristiti grafičku metodu.

Riža. 2. Graf brzine u odnosu na vrijeme za jednoliko ubrzano gibanje ()

Podijelimo graf projekcije brzine prema vremenu za jednoliko ubrzano gibanje na male vremenske intervale Δt. Pretpostavimo da su toliko male da se brzina praktički nije mijenjala tijekom njihove duljine, odnosno uvjetno ćemo graf linearne ovisnosti na slici pretvoriti u ljestvicu. Na svakom koraku vjerujemo da se brzina praktički nije promijenila. Zamislimo da vremenske intervale Δt učinimo infinitezimalnima. U matematici kažu: činimo prijelaz do granice. U ovom slučaju, područje takve ljestvice će se neograničeno podudarati s područjem trapeza, koje je ograničeno grafom V x (t). To znači da za slučaj jednoliko ubrzanog gibanja možemo reći da je modul projekcije pomaka brojčano jednak površini ograničenoj grafom V x (t): osi apscisa i ordinata te okomicom spuštenom na apscisu, tj. je, površina trapeza OABC koju vidimo na slici 2.

Problem se iz fizičkog pretvara u matematički problem - nalaženje površine trapeza. Ovo je standardna situacija kada fizičari stvaraju model koji opisuje ovu ili onu pojavu, a onda na scenu stupa matematika koja taj model obogaćuje jednadžbama, zakonima – čime se model pretvara u teoriju.

Nalazimo područje trapeza: trapez je pravokutan, budući da je kut između osi 90 0, trapez dijelimo na dvije figure - pravokutnik i trokut. Očito je da ukupna površina bit će jednak zbroju površina ovih likova (slika 3). Nađimo njihova područja: površina pravokutnika jednaka je proizvodu stranica, odnosno V 0x t, površina pravokutni trokut bit će jednak polovici produkta nogu - 1/2AD·BD, zamjenjujući vrijednosti projekcija, dobivamo: 1/2t·(V x - V 0x), i, sjećajući se zakona promjena brzine tijekom vremena tijekom jednoliko ubrzanog gibanja: V x (t) = V 0x + a x t, sasvim je očito da je razlika u projekcijama brzina jednaka umnošku projekcije ubrzanja a x s vremenom t, odnosno V x - V 0x = a x t.

Riža. 3. Određivanje površine trapeza ( Izvor)

Uzimajući u obzir činjenicu da je površina trapeza numerički jednaka modulu projekcije pomaka, dobivamo:

S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2

Dobili smo zakon ovisnosti projekcije pomaka o vremenu pri jednoliko ubrzanom gibanju u skalarnom obliku, a u vektorskom obliku izgledat će ovako:

(t) = t + t 2 / 2

Izvedimo drugu formulu za projekciju pomaka, koja neće uključivati vrijeme kao varijablu. Riješimo sustav jednadžbi, eliminirajući vrijeme iz njega:

S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2

V x (t) = V 0 x + a x t

Zamislimo da nam je vrijeme nepoznato, tada ćemo vrijeme izraziti iz druge jednadžbe:

t = V x - V 0x / a x

Zamijenimo dobivenu vrijednost u prvu jednadžbu:

Uzmimo ovaj glomazni izraz, kvadrizirajmo ga i dajmo slične:

Dobili smo vrlo zgodan izraz za projekciju kretanja za slučaj kada ne znamo vrijeme kretanja.

Neka naša početna brzina automobila, kada je počelo kočenje, bude V 0 = 72 km/h, konačna brzina V = 0, ubrzanje a = 4 m/s 2 . Saznajte duljinu puta kočenja. Pretvarajući kilometre u metre i zamjenjujući vrijednosti u formuli, nalazimo da će put kočenja biti:

S x = 0 - 400 (m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m

Analizirajmo sljedeću formulu:

S x = (V 0 x + V x) / 2 t

Projekcija pomaka je poluzbroj projekcija početne i konačne brzine, pomnožen s vremenom gibanja. Prisjetimo se formule pomaka za prosječnu brzinu

S x = V av · t

U slučaju jednoliko ubrzanog gibanja prosječna brzina će biti:

V av = (V 0 + V k) / 2

Približili smo se rješenju glavnog problema mehanike jednoliko ubrzanog gibanja, odnosno dobivanju zakona prema kojem se koordinata mijenja s vremenom:

x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2

Kako bismo naučili koristiti ovaj zakon, analizirajmo tipičan problem.

Automobil koji se kreće iz mirovanja dobiva akceleraciju od 2 m/s 2 . Odredi put koji je automobil priješao za 3 sekunde i za treću sekundu.

Zadano je: V 0 x = 0

Zapišimo zakon prema kojem se pomak mijenja s vremenom pri

jednoliko ubrzano gibanje: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s

Na prvo pitanje problema možemo odgovoriti dodavanjem podataka:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - ovo je prijeđeni put

c auto za 3 sekunde.

Saznajmo koliko je putovao u 2 sekunde:

S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

Dakle, ti i ja znamo da je automobil u dvije sekunde prešao 4 metra.

Sada, znajući ove dvije udaljenosti, možemo pronaći put koji je prešao u trećoj sekundi:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Jednoliko ubrzano gibanje naziva se takvo gibanje kod kojeg vektor ubrzanja ostaje nepromijenjen u veličini i smjeru. Primjer takvog kretanja je kretanje kamena bačenog pod određenim kutom u odnosu na horizont (bez uzimanja u obzir otpora zraka). U bilo kojoj točki putanje, ubrzanje kamena je jednako ubrzanju sile teže. Tako se proučavanje jednoliko ubrzanog gibanja svodi na proučavanje pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja. Kod pravocrtnog gibanja vektori brzine i ubrzanja usmjereni su duž pravocrtne linije gibanja. Stoga se brzina i ubrzanje u projekcijama na smjer gibanja mogu smatrati algebarskim veličinama. Kod jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja brzina tijela određena je formulom (1)

U ovoj formuli je brzina tijela pri t = 0 (početna brzina ), = const – ubrzanje. U projekciji na odabranu x os, jednadžba (1) će biti zapisana kao: (2). Na grafu projekcije brzine υ x ( t) ova ovisnost izgleda kao ravna linija.

Ubrzanje se može odrediti iz nagiba grafa brzine a tijela. Odgovarajuće konstrukcije prikazane su na sl. za grafikon I Ubrzanje je brojčano jednako omjeru stranica trokuta ABC: .

Što je veći kut β koji graf brzine tvori s vremenskom osi, tj. veći je nagib grafa ( strmina), veća je akceleracija tijela.

Za grafikon I: υ 0 = –2 m/s, a= 1/2 m/s 2. Za raspored II: υ 0 = 3 m/s, a= –1/3 m/s 2 .

Grafikon brzine također vam omogućuje određivanje projekcije pomaka tijela s tijekom nekog vremena t. Označimo određeni mali vremenski interval Δt na vremenskoj osi. Ako je to vremensko razdoblje dovoljno kratko, tada je promjena brzine tijekom tog razdoblja mala, odnosno kretanje tijekom tog vremenskog razdoblja može se smatrati jednolikim s nekim Prosječna brzina, koja je jednaka trenutnoj brzini υ tijela u sredini intervala Δt. Stoga će pomak Δs tijekom vremena Δt biti jednak Δs = υΔt. Ovo kretanje je jednako osjenčanom području na sl. pruge. Podijelivši vremenski interval od 0 do određenog trenutka t na male intervale Δt, možemo dobiti da je pomak s za određeno vrijeme t s jednoliko ubrzanim pravocrtnim gibanjem jednak površini trapeza ODEF. Odgovarajuće konstrukcije prikazane su na sl. za raspored II. Pretpostavlja se da je vrijeme t 5,5 s.

(3) – dobivena formula omogućuje određivanje pomaka tijekom jednoliko ubrzanog gibanja ako je akceleracija nepoznata.

Zamijenimo li izraz za brzinu (2) u jednadžbu (3) dobivamo (4) - ovom formulom pišemo jednadžbu gibanja tijela: (5).

Ako iz jednadžbe (2) izrazimo vrijeme kretanja (6) i zamijenimo ga u jednakost (3), tada

Ova formula vam omogućuje određivanje kretanja s nepoznatim vremenom kretanja.

Promotrimo kako se računa projekcija vektora pomaka tijela koje se giba jednoliko ubrzano ako mu je početna brzina v 0 nula. U ovom slučaju jednadžba

izgledat će ovako:

Prepišimo ovu jednadžbu tako da umjesto projekcija s x i a x u nju zamijenimo module vektora s i a

kretanje i ubrzanje. Kako su u ovom slučaju sua vektori usmjereni u istom smjeru, njihove projekcije imaju iste predznake. Stoga se jednadžba za module vektora može napisati:

Iz ove formule slijedi da je u slučaju pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja bez početne brzine veličina vektora pomaka izravno proporcionalna kvadratu vremenskog intervala tijekom kojeg je taj pomak napravljen. To znači da kada se vrijeme gibanja (računajući od trenutka početka gibanja) poveća za n puta, pomak se poveća za n 2 puta.

Na primjer, ako se tijekom proizvoljnog vremena t 1 od početka gibanja tijelo gibalo

tada će se tijekom razdoblja t 2 = 2t 1 (računajući od istog trenutka kao t 1) kretati

za vremenski period t n = nt l - kretanje s n = n 2 s l (gdje je n prirodni broj).

Ova ovisnost modula vektora pomaka o vremenu za pravocrtno jednoliko ubrzano gibanje bez početne brzine jasno se odražava na slici 15, gdje segmenti OA, OB, OS, OD i OE predstavljaju module vektora pomaka (s 1, s 2, s 3, s 4 i s 5), koje izvodi tijelo redom u vremenskim intervalima t 1, t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 i t 5 = 5t 1.

Riža. 15. Pravilnosti jednoliko ubrzanog gibanja: OA:OV:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Iz ove brojke je jasno da

OA:OV:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

tj. s povećanjem vremenskih intervala koji se broje od početka gibanja za cijeli broj puta u odnosu na t 1, moduli odgovarajućih vektora pomaka rastu kao niz kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva.

Na slici 15 vidljiv je još jedan obrazac:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

tj. moduli vektora pomaka koje je tijelo napravilo tijekom uzastopnih jednakih vremenskih razdoblja (od kojih je svaki jednak t 1) povezani su kao niz uzastopnih neparnih brojeva.

Pravilnosti (1) i (2) svojstvene su samo jednoliko ubrzanom gibanju. Stoga se mogu koristiti ako je potrebno utvrditi je li gibanje jednoliko ubrzano ili ne.

Utvrdimo npr. je li kretanje puža bilo jednoliko ubrzano, u prvih 20 s kretanja pomaknuo se za 0,5 cm, u drugih 20 s za 1,5 cm, u trećih 20 s za 2,5 cm.

Da bismo to učinili, odredimo koliko su puta pokreti napravljeni tijekom drugog i trećeg vremenskog razdoblja veći nego tijekom prvog:

To znači 0,5 cm : 1,5 cm : 2,5 cm = 1 : 3 : 5. Budući da ovi omjeri predstavljaju niz uzastopnih neparnih brojeva, kretanje tijela je bilo jednoliko ubrzano.

U ovom slučaju, ravnomjerno ubrzana priroda kretanja identificirana je na temelju pravilnosti (2).

Pitanja

Po kojim se formulama izračunava projekcija i veličina vektora pomaka tijela tijekom njegovog jednoliko ubrzanog gibanja iz stanja mirovanja?
Koliko će se puta povećati modul vektora pomaka tijela kada se vrijeme njegova kretanja iz stanja mirovanja poveća za n puta?
Zapiši u kakvom su međusobnom odnosu moduli vektora pomaka tijela koje se giba jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja kada se vrijeme njegovog gibanja poveća za cijeli broj puta u odnosu na t 1 .
Napiši u kakvom su međusobnom odnosu moduli vektora pomaka koje tijelo napravi u uzastopnim jednakim vremenskim intervalima ako se to tijelo giba jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja.
U koje svrhe možemo koristiti obrasce (1) i (2)?

Vježba 8

Tijekom prvih 20 s vlak koji napušta stanicu giba se pravocrtno i jednoliko ubrzano. Poznato je da je vlak u trećoj sekundi od početka kretanja prešao 2 m. Odredite veličinu vektora pomaka koji je napravio vlak u prvoj sekundi, te veličinu vektora ubrzanja kojim se kretao.
Automobil koji se kreće jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja u petoj sekundi ubrzanja prijeđe 6,3 m. Koliku je brzinu automobil razvio do kraja pete sekunde od početka gibanja?
Određeno tijelo se u prvih 0,03 s gibanja bez početne brzine pomaknulo za 2 mm, u prvih 0,06 s za 8 mm, a u prvih 0,09 s za 18 mm. Na temelju pravilnosti (1) dokažite da se tijekom čitavih 0,09 s tijelo gibalo jednoliko ubrzano.

Pitanja.

1. Po kojim se formulama računaju projekcija i veličina vektora pomaka tijela pri njegovom jednoliko ubrzanom gibanju iz stanja mirovanja?

2. Koliko puta će se povećati modul vektora pomaka tijela kada se vrijeme njegovog kretanja iz stanja mirovanja poveća za n puta?

3. Zapišite u kakvom su međusobnom odnosu moduli vektora pomaka tijela koje se giba jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja kada se vrijeme njegovog gibanja poveća cijeli broj puta u odnosu na t 1.

4. Napiši u kakvom su međusobnom odnosu moduli vektora pomaka koje tijelo napravi u uzastopnim jednakim vremenskim razmacima, ako se to tijelo giba jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja.

5. U koje svrhe se mogu koristiti zakoni (3) i (4)?

Pravilnostima (3) i (4) utvrđuje se je li gibanje jednoliko ubrzano ili ne (vidi str. 33).

Vježbe.

1. Vlak koji napušta kolodvor giba se prvih 20 s pravocrtno i jednoliko ubrzano. Poznato je da je u trećoj sekundi od početka gibanja vlak prešao 2 m. Odredite veličinu vektora pomaka koji je napravio vlak u prvoj sekundi i veličinu vektora ubrzanja kojim se kretao.