Megint a Pitagorasz-háromszög :))) Ha a nagy alaptól a metszéspontig terjedő nagy átló egy darabját x-nek jelöljük, akkor az egyenlő szögű derékszögű háromszögek nyilvánvaló hasonlóságából ez következik.x/64 = 36/x, tehát x = 48;48/64 = 3/ 4, ezért MINDEN derékszögű háromszög, amelyet alapból, átlóból és az alapra merőleges oldalból alkotnak, hasonló egy 3,4,5 oldalú háromszöghöz. Az egyetlen kivétel az átlók darabjaiból és egy ferde oldalból alkotott háromszög, de ez minket nem érdekel :). (Az egyértelműség kedvéért a szóban forgó hasonlóság csak a MÁSKÉBEN NEVEZETT szögek trigonometrikus függvényei:) már ismerjük a főátló és a főalap közötti szög érintőjét, ez egyenlő 3/4-tel, ami azt jelenti, hogy a szinusz egyenlő 3/5, a koszinusz pedig 4 /5:)) Rögtön írhatsz
Válaszok. Az alsó alap 80, a trapéz magassága 60, a felsőé 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Hasonló feladatok:
1. A prizma alapja egy háromszög, melynek egyik oldala 2 cm, a másik kettő egyenként 3 cm oldaléle 4 cm és 45 -os szöget zár be az alap síkjával Keresse meg az élt egy egyenlő kockából.
2. A ferde prizma alapja egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala a; az egyik oldallap merőleges az alap síkjára, és egy rombusz, amelynek kisebb átlója egyenlő c-vel. Keresse meg a prizma térfogatát.
3. Egy ferde prizmában az alap egy derékszögű háromszög, melynek befogója egyenlő c-vel, egy hegyesszöge 30, oldaléle egyenlő k-val és 60 -os szöget zár be az alap síkjával. a prizma térfogata.
1. Keresse meg a négyzet oldalát, ha az átlója 10 cm!
2. Egy egyenlő szárú trapézban a tompaszög 135 fok, az alap 4 cm, a magasság pedig 2 cm, keresse meg a trapéz területét?
3. A trapéz magassága 3-szor nagyobb, mint az egyik alap, de fele akkora, mint a másiké. Keresse meg a trapéz alapjait és magasságát, ha a trapéz területe 168 négyzetcm?
4. Az ABC háromszögben A szög = szögben = 75 fok. Keresse meg a BC-t, ha a háromszög területe 36 cm-es négyzet.
1. AB és CD oldalú ABCD trapézben az átlók az O pontban metszik egymást
a) Hasonlítsa össze az ABD és az ACD háromszögek területét!
b) Hasonlítsa össze az ABO és CDO háromszögek területeit!
c) Bizonyítsuk be, hogy OA*OB=OC*OD
2. Egy egyenlő szárú háromszög alapját 4:3 arányban viszonyítjuk az oldalhoz, az alaphoz húzott magasság pedig 30 cm, keressük meg azokat a szakaszokat, amelyekre az alapnál lévő szögfelező osztja ezt a magasságot!
3. Az AM egyenes egy kört érint, az AB ennek a körnek egy akkordja. Bizonyítsuk be, hogy a MAB szöget a MAB szögön belüli AB ív fele méri.
Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor a következő elméleti anyag hasznos lesz a feladat megoldásában.
1. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor a trapéz magassága az alapok összegének felével egyenlő.
Rajzoljunk BD-vel párhuzamos CF egyenest a C ponton keresztül, és hosszabbítsuk meg az AD egyenest addig, amíg metszi a CF-et.
A BCFD négyszög egy paralelogramma (a trapéz alapja BC∥ DF, konstrukció szerint BD∥ CF). Tehát CF=BD, DF=BC és AF=AD+BC.
Az ACF háromszög derékszögű (ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másik egyenesre is). Mivel egy egyenlő szárú trapézben az átlók egyenlőek, és CF=BD, akkor CF=AC, azaz az ACF háromszög egyenlő szárú AF alappal. Ez azt jelenti, hogy a CN magassága egyben a medián. És mivel a medián derékszögű háromszög a hipotenuszhoz húzva egyenlő felével, akkor
ami általában úgy írható
ahol h a trapéz magassága, a és b az alapjai.
2. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor a magassága megegyezik a középvonallal.
Mivel az m trapéz középvonala egyenlő az alapok összegének felével, akkor
3. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor a trapéz területe megegyezik a trapéz magasságának négyzetével (vagy az alapok félösszegének négyzetével, vagy a középvonal négyzetével ).
Mivel a trapéz területét a képlet határozza meg
és egy merőleges átlójú egyenlő szárú trapéz magassága, az alapok összegének fele és a középvonal egyenlő egymással:
4. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor az átlójának négyzete egyenlő az alapok összegének négyzetének felével, valamint a magasság négyzetének kétszeresével és a középvonal négyzetének kétszeresével.
Mivel egy konvex négyszög területe az átlóin és a közöttük lévő szögön keresztül a képlet segítségével megtalálható
- A trapéz átlóinak felezőpontját összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével
- A trapéz alapjai által alkotott háromszögek és az átlók metszéspontjáig terjedő szakaszai hasonlóak
- A trapéz átlóinak szegmenseiből alkotott háromszögek, amelyek oldalai a trapéz oldalsó oldalain fekszenek - egyenlő méretűek (ugyanolyan területűek)
- Ha a trapéz oldalait a kisebb alap felé kiterjeszti, akkor azok egy ponton metszik egymást az alapok felezőpontjait összekötő egyenessel
- A trapéz alapjait összekötő és a trapéz átlóinak metszéspontján átmenő szakaszt elosztjuk ezzel a ponttal a trapéz alapjainak hosszának arányában
- A trapéz alapjaival párhuzamos és az átlók metszéspontján áthúzott szakaszt ezzel a ponttal kettéosztjuk, és hossza egyenlő 2ab/(a + b), ahol a és b a trapéz alapjai. trapéz alakú
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz tulajdonságai
Kössük össze az ABCD trapéz átlóinak felezőpontjait, aminek eredményeként lesz egy LM szakaszunk.
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz a trapéz középvonalán fekszik.
Ez a szegmens párhuzamos a trapéz alapjaival.
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz hossza megegyezik az alapjai különbségének felével.
LM = (KR - BC)/2
vagy
LM = (a-b)/2
A trapéz átlói által alkotott háromszögek tulajdonságai
Háromszögek, amelyeket a trapéz alapjai és a trapéz átlóinak metszéspontja alkotnak - hasonlóak.
A BOC és az AOD háromszögek hasonlóak. Mivel a BOC és AOD szögek függőlegesek, egyenlőek.
Az OCB és OAD szögek az AD és BC párhuzamos egyenesekkel (a trapéz alapjai párhuzamosak egymással) és egy AC metszővonallal keresztben elhelyezkedő belső szögek, ezért egyenlők.
Az OBC és az ODA szögei ugyanazon okból egyenlőek (belső keresztben).
Mivel egy háromszög mindhárom szöge egyenlő egy másik háromszög megfelelő szögeivel, ezek a háromszögek hasonlóak.
Mi következik ebből?
A geometriai problémák megoldásához a háromszögek hasonlóságát a következőképpen használjuk. Ha ismerjük a hasonló háromszög két megfelelő elemének hosszát, akkor megtaláljuk a hasonlósági együtthatót (egyet osztunk a másikkal). Ahonnan az összes többi elem hossza pontosan azonos értékkel kapcsolódik egymáshoz.
A trapéz oldaloldalán fekvő háromszögek és átlói tulajdonságai
Tekintsünk két háromszöget, amelyek az AB és a CD trapéz oldaloldalain helyezkednek el. Ezek az AOB és a COD háromszögek. Annak ellenére, hogy ezeknek a háromszögeknek az egyes oldalainak mérete teljesen eltérő lehet, de a trapéz oldaloldalai és átlóinak metszéspontja által alkotott háromszögek területe egyenlő, azaz a háromszögek egyenlő méretűek.
Ha a trapéz oldalait kiterjesztjük a kisebb alap felé, akkor az oldalak metszéspontja egybeesik az alapok közepén áthaladó egyenes vonallal.
Így bármely trapéz háromszöggé bővíthető. Ahol:
- Hasonlóak a háromszögek, amelyeket egy trapéz alapjai alkotnak, és amelyeknek közös csúcsuk van a kiterjesztett oldalak metszéspontjában
- A trapéz alapjainak felezőpontjait összekötő egyenes egyúttal a megszerkesztett háromszög mediánja is
A trapéz alapjait összekötő szakasz tulajdonságai
Ha olyan szakaszt rajzolunk, amelynek végei egy trapéz alapjain fekszenek, és amely a trapéz átlóinak metszéspontjában van (KN), akkor az azt alkotó szakaszok aránya az alap oldalától a metszésponthoz az átlók közül (KO/ON) egyenlő lesz a trapéz alapjainak arányával(BC/Kr. u.).
KO/ON = BC/AD
Ez a tulajdonság a megfelelő háromszögek hasonlóságából következik (lásd fent).
A trapéz alapjaival párhuzamos szakasz tulajdonságai
Ha a trapéz alapjaival párhuzamos szakaszt rajzolunk, amely átmegy a trapéz átlóinak metszéspontján, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- Meghatározott távolság (KM) kettévágja a trapéz átlóinak metszéspontja
- Szakasz hosszaáthalad a trapéz átlóinak metszéspontján és párhuzamos az alapokkal egyenlő KM = 2ab/(a + b)
Képletek a trapéz átlóinak megtalálásához
a, b- trapéz alapok
CD- a trapéz oldalai
d1 d2- trapéz átlói
α β - szögek a trapéz nagyobb alapjával
Képletek a trapéz átlóinak megtalálásához az alapokon, oldalakon és az alapnál lévő szögeken keresztül
Az (1-3) képletek első csoportja a trapézátlók egyik fő tulajdonságát tükrözi:
1. A trapéz átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzeteinek összegével, plusz az alapjainak szorzatával. A trapézátlók ezen tulajdonsága külön tételként igazolható
2 . Ezt a képletet az előző képlet átalakításával kapjuk. A második átló négyzetét átdobjuk az egyenlőségjelen, majd kivonjuk a négyzetgyököt a kifejezés bal és jobb oldaláról.
3 . A trapéz átlójának hosszának meghatározására szolgáló képlet hasonló az előzőhöz, azzal a különbséggel, hogy egy másik átló marad a kifejezés bal oldalán
A következő képletcsoport (4-5) hasonló jelentésű és hasonló kapcsolatot fejez ki.
A (6-7) képletcsoport lehetővé teszi a trapéz átlójának meghatározását, ha ismert a trapéz nagyobb alapja, egyik oldala és az alapnál bezárt szög.
Képletek a trapéz átlóinak megtalálásához a magasságon keresztül
Feladat.
Az ABCD (AD | | BC) trapéz átlói az O pontban metszik egymást. Határozzuk meg a trapéz BC alapjának hosszát, ha AD alap = 24 cm, AO hossza 9 cm, OS hossza 6 cm.
Megoldás.
A probléma megoldása ideológiailag abszolút megegyezik az előző problémákkal.
Az AOD és a BOC háromszögek három szögben hasonlóak - az AOD és a BOC függőlegesek, a többi szög pedig páronként egyenlő, mivel egy egyenes és két párhuzamos egyenes metszéspontjából jönnek létre.
Mivel a háromszögek hasonlóak, minden geometriai méretük összefügg egymással, akárcsak az általunk ismert AO és OC szakaszok geometriai méretei a feladat feltételei szerint. Azaz
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/Kr. e
Kr.e. = 24 * 6/9 = 16
Válasz: 16 cm
Feladat .
Az ABCD trapézben ismert, hogy AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Keresse meg a trapéz területét. 
Megoldás .
Ahhoz, hogy megtaláljuk a trapéz magasságát a kisebb B és C alap csúcsaiból, két magasságot csökkentünk a nagyobb alapra. Mivel a trapéz nem egyenlő, jelöljük az AM = a hosszúságot, a KD hosszt = b ( nem tévesztendő össze a képletben szereplő jelöléssel a trapéz területének megtalálása). Mivel a trapéz alapjai párhuzamosak, és a nagyobb alapra merőlegesen ejtettünk két magasságot, akkor az MBCK egy téglalap.
Eszközök
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
A DBM és ACK háromszögek téglalap alakúak, így derékszögüket a trapéz magasságai alkotják. Jelöljük a trapéz magasságát h-val. Aztán a Pitagorasz-tétel szerint
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
És
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Vegyük figyelembe, hogy a = 16 - b, akkor az első egyenletben
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Helyettesítsük be a magasság négyzetének értékét a Pitagorasz-tétel segítségével kapott második egyenletbe. Kapunk:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Tehát KD = 12
Ahol
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Keresse meg a trapéz területét a magasságán és az alapok összegének felén keresztül
, ahol a b - a trapéz alapja, h - a trapéz magassága
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm2
Válasz: a trapéz területe 80 cm2.
