Amikor egy előkészítő iskolában dolgoztam, bementem a hatodik osztályos irodába, és a falon egy plakátot láttam: „A számok oszthatóságának jelei”. A 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os, 8-as, 9-es számoknál voltak oszthatóság jelei, de a 7-esnél nem volt ilyen. Megkérdeztem a matek tanárt:
— Miért nincs jele a héttel oszthatóságnak?
Azt mondták, hogy létezik, de nagyon bonyolult. Interneten érdeklődtem. Három jelet találtam.
1. jel : a szám osztható vele akkor és csak akkor, ha az egyesek számához hozzáadott tízesek hármasa osztható 7-tel. Például 154 osztható 7-tel, mivel a 15*3+4=49 osztható 7-tel.
Egy másik példa, hogy az 1001 szám osztható 7-tel, mivel a 100*3+1=301, a 30*3+1=91, a 9*3+1=28, a 2*3+8=14 osztható 7-tel.
2. jel . egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha a „+” előjellel felvett háromjegyű (egyesekkel kezdődő) páratlan csoportokat alkotó számok és a „-” jelű páros számok algebrai összegének modulusa osztható 7. Például az 138689257 osztható 7-tel, mivel a 7 osztható |138-689+257|=294-gyel.
3. jel . Egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az utolsó számjegy nélküli számból az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel (például a 259 osztható 7-tel, mivel a 25 - (2 9) = 7 osztható által 7).
Vizsgáljuk meg egy szám oszthatóságát 86 576 (nyolcvanhatezer-ötszázhetvenhat). Ebben a számban 8 657 (nyolcezer hatszázötvenhét) tízes és 6 (hat) egység. Kezdjük el ellenőrizni ennek a számnak az oszthatóságát 7 (hét):
8657 - 6 x 2 = 8657 - 12 = 8645
Ismét ellenőrizzük az oszthatóságot 7
(hét), most a már megkapott szám 8 645
(nyolcezer-hatszáznegyvenöt). Most megvan 864
(nyolc hatvannégy) tízes és 5
(öt) egység:
864 - 5 x 2 = 864 - 10 = 854
Ismételjük meg a műveleteinket a számra 854
(nyolcszázötvennégy), amelyben 85
(nyolcvanöt) tízes és 4
(négy) egység:
85 - 4 x 2 = 85 - 8 = 77
Elvileg már szabad szemmel is látható, hogy a szám 77 (hetvenhét) osztva 7 (hét) és az eredmény az 11 (tizenegy). Fentebb már foglalkoztunk hasonló eredménnyel.
Amint látja, a jelek nagyon összetettek. Szellemileg nehéz használni őket a nagyszámú műtét miatt. A legegyszerűbb a harmadik előjel, de van két művelet is, először szorzás, majd kivonás, és a 700 feletti számoknál már több ciklust is meg kell csinálni.
Állítsa be a feladatot:
„Találjon osztást 7-tel kevesebb matematikai művelettel.”
A TRIZ eszközt használtam – IFR (ideális végeredmény).
A számnak magának kell forrást adnia a számításhoz.
És ez az erőforrás meglett. Ha megnézi a 7-es szorzótáblát, akkor a szorzatai megkülönböztető tulajdonsággal rendelkeznek - a végső számjegy nem ismétlődik: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. Első pillantásra , ez bonyolítja a feladatot, hiszen .To. a tetszőleges végű ellenőrzött szám osztható 7-tel. De a TRIZ szabály szerint: – Aki beleavatkozik, az segít. Ezt az ingatlant a javunkra kell fordítanunk.
Ha a vizsgált szám utolsó számjegyét nézzük, már ismerjük a válasz egyik jelét - ez a szám a szorzótáblából, amely ezt a tippet adja. Például, ha a vizsgált szám 154, akkor ha osztható 7-tel, akkor a válasz utolsó számjegye 2 legyen (7x2=14), ha pedig 259, akkor a válasz utolsó számjegye legyen 7 (7x7=49).
Itt van a szükséges erőforrás - ez a szorzótábla 7-tel - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
Feltételezzük, hogy megvan a memóriában. Most a harmadik (legegyszerűbb) attribútumból származó műveletet használjuk - kivonás.Új tesztet kapunk a 7-tel való oszthatóságra.
Egy szám osztható 7-tel, ha az első számjegyet kivonjuk híres alkotás ennek a számnak az utolsó számjegye nélkül osztható 7-tel.
És most egyszerű szavakkal.
— Nézzük az ellenőrzött számot, például a már ismert 259-et.
— 9-re végződik. Az erőforrást a szorzótáblából vesszük 49 . Az első számjegye 4.
- Vonjuk ki ezt a számot 25-ből. 25 – 4 = 21
— A válasz: 21. Tehát a szám osztható 7-tel. Ez: 259: 7 = 37. Az utolsó számjegy a 7, ahogy azt vártuk.
Még néhány példa. 756 osztható 7-tel?
6-ra végződik. Az erőforrás 56. Vonja ki a 75-öt - 5 = 70. A számot elosztjuk 756-tal: 7 = 108
392-es szám. 2-re végződik. Erőforrás – 42. Vonja ki a 39-et -4 = 35. Ossza el a 392-t: 7 = 56.
571-es szám. 1-gyel végződik. Erőforrás – 21. 57 kivonása – 2 = 55. Nem osztható.
574-es szám. 4-re végződik. Erőforrás – 14. Vonja ki az 57-et – 1 = 56. Ossza el az 574-et: 7 = 82
Ebben a funkcióban egy matematikai műveletet - a szorzást - kizártunk.
Kiegészítés.
A 700-nál nagyobb tesztelendő számok esetében az ismétlődő ciklusok elkerülése érdekében, mint a 3. előjelben, használja a hetes többszörösét a részrészhez.
Tekintsük például a 973-as számot. 3-ra végződik. Erőforrás 63. Kivonás 97 - 6 = 91. Mehet a második ciklus, vagy kivonhat nem 6-ot, hanem 76-ot. 97 - 76 = 21. Oszt .
Az összeadás a hetes számrendszer szerint történik: 70, 140, 210 stb. az ellenőrzött számtól függően.
1. Ez a jel 1000-ig terjedő számok esetén használható mentálisan minden nehézség nélkül. Segít megtalálni az osztás többszöröseit.
2. Kollégák, használjátok a TRIZ-t a problémáik megoldására! Ezzel időt takaríthat meg. 3 órába telt, amíg megtaláltam az oszthatóság jelét, figyelembe véve az analógok internetes keresését.
Örülök, ha valakinek hasznos lesz ez a jel.
A matematika 6. osztályban az oszthatóság fogalmának és az oszthatóság jeleinek tanulmányozásával kezdődik. Gyakran a következő számokkal való oszthatóság kritériumaira korlátozódnak:
- Tovább 2 : az utolsó számjegy 0, 2, 4, 6 vagy 8 lehet;
- Tovább 3 : a szám számjegyeinek összegének oszthatónak kell lennie 3-mal;
- Tovább 4 : az utolsó két számjegyből képzett számnak oszthatónak kell lennie 4-gyel;
- Tovább 5 : az utolsó számjegynek 0-nak vagy 5-nek kell lennie;
- Tovább 6 : a számnak rendelkeznie kell 2-vel és 3-mal osztható jelekkel;
- Oszthatósági teszt a 7 gyakran hiányzik;
- Ritkán beszélnek a vele való oszthatóság próbájáról is 8 , bár hasonló a 2-vel és 4-gyel való oszthatóság kritériumaihoz. Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 8-cal, szükséges és elegendő, hogy a háromjegyű vége osztható legyen 8-cal.
- Oszthatósági teszt a 9 Mindenki tudja: egy szám számjegyeinek összegének oszthatónak kell lennie 9-cel. Ami azonban nem fejleszt immunitást mindenféle, a numerológusok által használt dátumozással szemben.
- Oszthatósági teszt a 10 , talán a legegyszerűbb: a számnak nullára kell végződnie.
- Néha a hatodik osztályosokat tanítják a vele való oszthatóság próbájáról 11 . Össze kell adni a páros helyen lévő számjegyeket, és az eredményből ki kell vonni a páratlan helyeken lévő számokat. Ha az eredmény osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel.
Vegyünk egy számot. Felosztjuk egyenként 3 számjegyű blokkokra (a bal szélső blokk egy vagy két számjegyet tartalmazhat), és felváltva összeadjuk/kivonjuk ezeket a blokkokat.
Ha az eredmény osztható 7-tel, 13-mal (vagy 11-gyel), akkor maga a szám osztható 7-tel, 13-mal (vagy 11-gyel).
Ez a módszer, mint számos matematikai trükk, azon alapszik, hogy 7x11x13 = 1001. De mit kezdjünk a háromjegyű számokkal, amelyeknél az oszthatóság kérdése szintén nem oldható meg maga az osztás nélkül.
Az oszthatóság univerzális tesztje segítségével viszonylag egyszerű algoritmusokat készíthetünk annak meghatározására, hogy egy szám osztható-e 7-tel és más „kényelmetlen” számokkal.
A 7-tel oszthatóság javított tesztje
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 7-tel, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és ezt a számjegyet kétszer ki kell vonnia a kapott eredményből. Ha az eredmény osztható 7-tel, akkor maga a szám osztható 7-tel.
1. példa:
A 238 osztható 7-tel?
23-8-8 = 7. Tehát a 238-as szám osztható 7-tel.
Valóban, 238 = 34x7
Ez a művelet többször is végrehajtható.
2. példa:
65835 osztható 7-tel?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
A 63 osztható 7-tel (ha ezt nem vettük volna észre, még egy lépést tehettünk volna: 6-3-3 = 0, és a 0 biztosan osztható 7-tel).
Ez azt jelenti, hogy a 65835 szám osztható 7-tel.
Az univerzális oszthatósági kritérium alapján lehetőség van a 4-gyel és a 8-cal való oszthatóság kritériumának javítására.
Javított teszt a 4-gyel oszthatóra
Ha az egységek számának fele plusz a tízesek száma páros szám, akkor a szám osztható 4-gyel.
3. példa
Az 52-es szám osztható 4-gyel?
5+2/2 = 6, a szám páros, ami azt jelenti, hogy a szám osztható 4-gyel.
4. példa
A 134-es szám osztható 4-gyel?
3+4/2 = 5, a szám páratlan, ami azt jelenti, hogy 134 nem osztható 4-gyel.
A 8-cal való oszthatóság javított tesztje
Ha összeadja a százasok kétszeresét, a tízesek számát és az egységek számának felét, és az eredmény osztható 4-gyel, akkor maga a szám osztható 8-cal.
5. példa
Az 512-es szám osztható 8-cal?
5*2+1+2/2 = 12, a szám osztható 4-gyel, ami azt jelenti, hogy 512 osztható 8-cal.
6. példa
Az 1984 szám osztható 8-cal?
9*2+8+4/2 = 28, a szám osztható 4-gyel, ami azt jelenti, hogy 1984 osztható 8-cal.
Oszthatósági teszt 12-vel- ez a 3-mal és 4-gyel való oszthatóság előjeleinek uniója. Ugyanez vonatkozik bármely n-re, amely p és q koprím szorzata. Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen n-nel (amely egyenlő a pq,actih szorzattal, tehát gcd(p,q)=1), oszthatónak kell lennie p-vel és q-val is.
Azonban légy óvatos! Ahhoz, hogy az összetett oszthatósági kritériumok működjenek, egy szám tényezőinek koprímnek kell lenniük. Nem mondhatjuk, hogy egy szám osztható 8-cal, ha osztható 2-vel és 4-gyel.
Javított teszt a 13-mal oszthatóra
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 13-mal, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és négyszer kell hozzáadnia a kapott eredményhez. Ha az eredmény osztható 13-mal, akkor maga a szám osztható 13-mal.
7. példa
65835 osztható 8-cal?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
A 43-as szám nem osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a 65835-ös szám nem osztható 13-mal.
8. példa
715 osztható 13-mal?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
A 13 osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a 715 osztható 13-mal.
A 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28-cal való oszthatóság jeleiés más összetett számok, amelyek nem prímszámok hatványai, hasonlóak a 12-vel való oszthatóság tesztjéhez. Ellenőrizzük ezeknek a számoknak az oszthatóságát koprímtényezőkkel.
- 14-re: 2-re és 7-re;
- 15-re: 3-ra és 5-re;
- 18 éveseknek: 2-n és 9-en;
- 21-re: 3-on és 7-en;
- 20 esetén: 4-gyel és 5-tel (vagy más szóval az utolsó számjegynek nullának, az utolsó előttinek pedig párosnak kell lennie);
- 24-re: 3-ra és 8-ra;
- 26-nak: 2-n és 13-on;
- 28-ra: 4-én és 7-én.
Ahelyett, hogy ellenőrizné, hogy egy szám 4 számjegyű vége osztható-e 16-tal, hozzáadhatja az egyes számjegyeket a tízes számjegy tízszeresével, a négyszeres százas számjegyet és a
megszorozva az ezres számjegy nyolcszorosával, és ellenőrizze, hogy az eredmény osztható-e 16-tal.
9. példa
Az 1984-es szám osztható 16-tal?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
A 30 nem osztható 16-tal, ami azt jelenti, hogy 1984 nem osztható 16-tal.
10. példa
Az 1526 szám osztható 16-tal?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
A 48 nem osztható 16-tal, ami azt jelenti, hogy 1526 nem osztható 16-tal.
A 17-tel oszthatóság javított tesztje.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 17-tel, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és ezt a számjegyet ötször ki kell vonnia a kapott eredményből. Ha az eredmény osztható 13-mal, akkor maga a szám osztható 13-mal.
11. példa
Az 59772 szám osztható 17-tel?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
A 0 osztható 17-tel, ami azt jelenti, hogy az 59772 szám osztható 17-tel.
12. példa
A 4913 szám osztható 17-tel?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
A 17 osztható 17-tel, ami azt jelenti, hogy a 4913 szám osztható 17-tel.
Egy javított teszt a 19-cel oszthatóságra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 19-cel, az utolsó számjegy elvetése után az utolsó számjegyet kétszer kell hozzáadnia az utolsó számjegyhez.
13. példa
A 9044 szám osztható 19-cel?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
A 19 osztható 19-cel, ami azt jelenti, hogy a 9044 szám osztható 19-cel.
Egy továbbfejlesztett teszt a 23-mal oszthatóságra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 23-mal, hozzá kell adnia a hétszeresével megnövelt utolsó számjegyet az utolsó számjegy elvetése után fennmaradó számhoz.
14. példa
A 208012 szám osztható 23-mal?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Valójában már észreveheti, hogy a 253 az 23,
Szabály
Tesztelje a 7-tel való oszthatóságot
Annak meghatározásához, hogy egy szám osztható-e \(\displaystyle 7\-el), a következőket kell tennie:
1. Vegye ki az eredeti számot az utolsó számjegy nélkül.
2. Az első lépésben kapott számhoz adja hozzá az eredeti szám utolsó számjegyét, megszorozva \(\displaystyle 5\-el).
Egy szám akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle 7\)-vel, ha a második lépésben kapott összeg osztható \(\displaystyle 7\-el).
Magyarázat
Kétjegyű számok 7-tel való oszthatósági tesztje
Kétjegyű szám esetén a \(\displaystyle 7\)-vel való oszthatóság tesztje a következőképpen fogalmazható meg:
1. \(\displaystyle (\szín(kék)X)(\szín(piros)Y)\jobbra nyíl (\szín(kék)X)\).
2. \(\displaystyle (\szín(kék)X)+5\cdot(\szín(piros)Y)\).
A \(\displaystyle (\szín(kék)X)(\szín(piros)Y)\) akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle 7\) számmal, ha a \(\displaystyle (\szín(kék)) X )+5\cdot(\color(red)Y)\) osztva \(\displaystyle 7\).
A \(\displaystyle 78\) szám van megadva. Végezzünk számításokat a fent leírt szabály szerint.
1. Eldobjuk az eredeti szám utolsó számjegyét:
\(\displaystyle (\szín(kék)7)(\szín(piros)8) \jobbra nyíl (\szín(kék)7)\).
2. Számolja ki:
\(\displaystyle (\szín(kék)7)+5 \cdot (\szín(piros)8) = 47\).
A \(\displaystyle 78\) akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle 7\)-vel, ha a \(\displaystyle 47\) osztható \(\displaystyle 7\-el).
De mivel a \(\displaystyle 47\) nem osztható \(\displaystyle 7\-el), így a \(\displaystyle 78\) is nincs megosztva ide: \(\displaystyle 7\).
Válasz: nem, nem osztható \(\displaystyle 7\-el).
Jó napot
Ma továbbra is megvizsgáljuk az oszthatóság jeleit.
És ezzel kezdjük:
Fogjuk a szám utolsó számjegyét, megduplázzuk, és kivonjuk az utolsó számjegy nélkül maradt számból. Ha a különbség osztható 7-tel, akkor az egész szám osztható 7-tel. Ezt a műveletet tetszőlegesen folytathatjuk, amíg kiderül, hogy a szám osztható-e 7-tel vagy sem.
Példa: 298109.
1. lépés. Vegyünk 9-et, megszorozzuk 2-vel és kivonjuk:
29810-18=29792.
2. lépés. 29792. Vegyünk 2-t, szorozzuk meg 2-vel és vonjuk ki:
2979-4 = 2975.
3. lépés. 2975. Vegyünk 5-öt, szorozzuk meg 2-vel és vonjuk ki: 297-10=287.
4. lépés. 287. Vegyünk 7-et, szorozzuk meg 2-vel, és vonjunk ki 28-14=14-et. 7-tel osztható.
Tehát a 298109 egész szám osztható 7-tel.
Egy másik példa. A szám 1102283.
1. lépés. 110228-3*2 = 110222
2. lépés. 11022-2*2 = 11018.
3. lépés. 1101-8*2 = 1085.
4. lépés. 108-5*2 = 98.
5. lépés. 9-8*2 = -7. Osztható 7-tel. Tehát 1102283 osztható 7-tel.
Tesztelje a 13-mal való oszthatóságot. Kivesszük a szám utolsó számjegyét, megszorozzuk 4-gyel, és összeadjuk az utolsó számjegy nélküli számmal. Ha az összeg osztható 13-mal, akkor az egész szám osztható 13-mal.
Ez a művelet tetszőleges számú alkalommal folytatható, amíg kiderül, hogy a szám osztható-e 13-mal vagy sem.
Példa: 595166 szám.
1. lépés. 59516 + 6*4 = 59540
2. lépés. 5954 + 0*4 = 5954
3. lépés. 595 + 4*4 = 611
4. lépés. 61 + 1*4 = 65
5. lépés. 6 + 5*4 = 26. Osztható 13-mal.
Ez azt jelenti, hogy az 595166 szám osztható 13-mal.
Egy másik példa. A szám 10221224.
1. lépés. 1022122 + 4*4 = 1022138
2. lépés. 102213 + 8*4 = 102245
3. lépés. 10224 + 5*4 = 10244
4. lépés. 1024 + 4*4 = 1040
5. lépés. 104 + 0*4 = 104
6. lépés. 10 + 4*4 = 26. Osztható 13-mal.
Ez azt jelenti, hogy az 10221224 szám osztható 13-mal.
Most az oszthatóság több más jelét is szeretném megmutatni, nemcsak a prímszámoknál, hanem az összetetteknél is.
Tesztelje a 11-gyel való oszthatóságot. Vegyünk egy számot, és adjuk össze a páratlan helyen lévő számokat. Ezután összeadjuk a szám páros helyen lévő számjegyeit.
Ha az első és a második összeg közötti különbség 11 többszöröse, akkor a teljes szám osztható 11-gyel.
Ebben az esetben a különbség lehet pozitív vagy negatív.
Példák: 160369(A páratlan helyen lévő számjegyek összege
1+0+6 = 7.
A páros helyen lévő számok összege 6+3+9 = 18.
18 - 7 = 11. Osztható 11-gyel. Tehát az 160369 szám osztható 11-gyel).
Egy másik példa: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
A 7527927 szám osztható 11-gyel).
Tesztelje az oszthatóságot 15-tel. A 15-ös szám összetett szám. A prímtényezők, nevezetesen az 5 és a 3 szorzataként ábrázolható.
És már tudjuk, tehát egy szám osztható 15-tel, ha
1. - 0-ra vagy 5-re végződik;
Példa: 36840(A szám 0-ra végződik; számjegyeinek összege 3+6+8+4 = 21. Osztható 3-mal.) Ez azt jelenti, hogy az egész szám osztható 15-tel.
Egy másik példa: 113445 A szám 5-re végződik; számjegyeinek összege 1+1+3+4+4+5 = 18. Osztható 3-mal.) Ez azt jelenti, hogy a teljes szám osztható 15-tel.
Tesztelje a 12-vel való oszthatóságot. A 12-es szám összetett. A következő tényezők szorzataként ábrázolható: 4 és 3.
Tehát egy szám osztható 12-vel, ha
1. - utolsó 2 számjegye osztható 4-gyel;
2. - számjegyeinek összege osztható 3-mal.
Példák: 78864(Az utolsó két számjegy 64. A belőlük alkotott szám osztható 4-gyel; a számjegyek összege: 7+8+8+6+4 = 33. Osztható 3-mal.) Ez azt jelenti, hogy a teljes szám osztható 12-ig.
Egy másik példa: 943908(Az utolsó két számjegy 08. Az ezekből a számjegyekből álló szám osztható 4-gyel; a számjegyek összege 9+4+3+9+0+8 = 33.
3-mal osztható.) Tehát az egész szám osztható 12-vel.
Tól től iskolai tananyag sokan emlékeznek arra, hogy vannak az oszthatóság jelei. Ez a kifejezés olyan szabályokra utal, amelyek lehetővé teszik annak gyors meghatározását, hogy egy szám többszöröse-e egy adott számnak anélkül, hogy közvetlen aritmetikai műveletet hajtana végre. Ez a módszer a bejegyzés számainak egy részével végrehajtott műveleteken alapul
Sokan emlékeznek az oszthatóság legegyszerűbb jeleire az iskolai tananyagból. Például az a tény, hogy minden szám, amelynek utolsó számjegye páros, osztható 2-vel. Ezt a jelet a legkönnyebb megjegyezni és a gyakorlatban alkalmazni. Ha a 3-mal való osztásról beszélünk, akkor a többjegyű számokra a következő szabály vonatkozik, amit ezzel a példával is bemutathatunk. Meg kell találnia, hogy a 273 a három többszöröse-e. Ehhez hajtsa végre a következő műveletet: 2+7+3=12. A kapott összeget elosztjuk 3-mal, ezért 273-at úgy osztjuk el 3-mal, hogy az eredmény egész szám legyen.
Az 5-tel és 10-zel való oszthatóság jelei a következők lesznek. Az első esetben a bejegyzés 5-tel vagy 0-val végződik, a második esetben csak 0-val. Annak megállapításához, hogy az osztalék a négy többszöröse, a következőképpen járjon el. Az utolsó két számjegyet el kell különíteni. Ha ez két nulla vagy egy olyan szám, amely maradék nélkül osztható 4-gyel, akkor minden osztva az osztó többszöröse lesz. Megjegyzendő, hogy a felsorolt jellemzők csak decimális rendszerben használatosak. Más számmódszerekben nem használják őket. Ilyenkor saját szabályaikat vezetik le, amelyek a rendszer alapjától függenek.
A 6-tal való osztás jelei a következők. 6, ha 2 és 3 többszöröse is. Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 7-tel, meg kell duplázni a jelölés utolsó számjegyét. A kapott eredményt kivonjuk az eredeti számból, amely nem veszi figyelembe az utolsó számjegyet. Ez a szabály a következő példában látható. Ki kell deríteni, hogy 364 többszöröse-e. Ehhez 4-et megszorozunk 2-vel, így 8-at kapunk. Ezután a következő műveletet hajtjuk végre: 36-8 = 28. A kapott eredmény 7 többszöröse, ezért az eredeti 364-es szám osztható 7-tel.
A 8-cal való oszthatóság jelei a következők. Ha egy szám utolsó három számjegye nyolcszoros számot alkot, akkor maga a szám osztható lesz az adott osztóval.
Az alábbiak szerint megtudhatja, hogy egy többjegyű szám osztható-e 12-vel. A fent felsorolt oszthatósági kritériumok segítségével ki kell deríteni, hogy a szám többszöröse-e a 3-nak és a 4-nek. Ha ezek egyidejűleg a szám osztóiként is működhetnek, akkor adott osztalékkal a 12-vel való osztás műveletét is elvégezheti. Hasonló szabály más komplex számokra is vonatkozik, például tizenötre. Ebben az esetben az osztóknak 5-nek és 3-nak kell lenniük. Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 14-gyel, meg kell néznie, hogy 7 és 2 többszöröse-e. Tehát a következő példában ezt figyelembe veheti. Meg kell határozni, hogy 658 osztható-e 14-gyel. A bejegyzés utolsó számjegye páros, ezért a szám kettő többszöröse. Ezután megszorozzuk 8-at 2-vel, 16-ot kapunk. 65-ből ki kell vonnunk 16-ot. A 49-et elosztjuk 7-tel, mint az egész számot. Ezért 658 osztható 14-gyel.
Ha egy adott szám utolsó két számjegye osztható 25-tel, akkor az egész szám ennek az osztónak a többszöröse lesz. Többjegyű számok esetén a 11-gyel osztható jel a következőképpen hangzik. Ki kell deríteni, hogy egy adott osztó többszöröse-e a jelölésében páratlan és páros helyen lévő számjegyek összege közötti különbségnek.
Meg kell jegyezni, hogy a számok oszthatóságának jelei és ismereteik nagyon gyakran nagymértékben leegyszerűsítenek számos olyan problémát, amelyek nemcsak a matematikában, hanem a mindennapi életben is előfordulnak. Azáltal, hogy meg tudja állapítani, hogy egy szám többszöröse-e egy másik számnak, gyorsan végrehajthat különféle feladatokat. Ezen túlmenően ezeknek a módszereknek a matematikaórákon történő alkalmazása segíti a diákok vagy iskolások fejlődését, és hozzájárul bizonyos képességek fejlesztéséhez.
