Vannak, akik óvatosan kezelik a „progresszió” szót, mint egy nagyon összetett kifejezést a magasabb matematika ágaiból. És mégis a legegyszerűbb aritmetikai progresszió- a taxióra működése (ahol még mindig vannak). És egy számtani sorozat lényegének megértése (és a matematikában nincs fontosabb, mint a „lényeg megértése”) nem is olyan nehéz, néhány elemi fogalom elemzése után.
Matematikai számsor
A numerikus sorozatot általában számsorozatnak nevezik, amelyek mindegyikének saját száma van.
a 1 a sorozat első tagja;
és 2 a sorozat második tagja;
és 7 a sorozat hetedik tagja;
és n a sorozat n-edik tagja;
Azonban nem bármilyen tetszőleges szám- és számhalmaz érdekel bennünket. Figyelmünket egy olyan numerikus sorozatra összpontosítjuk, amelyben az n-edik tag értéke matematikailag egyértelműen megfogalmazható összefüggéssel kapcsolódik a sorszámához. Más szóval: az n-edik szám számértéke n valamilyen függvénye.
a egy numerikus sorozat egy tagjának értéke;
n a sorozatszáma;
f(n) egy függvény, ahol az n numerikus sorozat sorszáma az argumentum.
Meghatározás
Az aritmetikai progressziót általában olyan numerikus sorozatnak nevezik, amelyben minden következő tag azonos számmal nagyobb (kisebb), mint az előző. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete a következő:
a n - az aritmetikai sorozat aktuális tagjának értéke;
a n+1 - a következő szám képlete;
d - különbség (bizonyos szám).
Könnyen megállapítható, hogy ha a különbség pozitív (d>0), akkor a vizsgált sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, és ez a számtani progresszió növekszik.
Az alábbi grafikonon jól látható, hogy miért nevezik a számsort „növekvőnek”.
Azokban az esetekben, amikor a különbség negatív (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Megadott tagérték
Néha meg kell határozni egy aritmetikai sorozat tetszőleges a n tagjának értékét. Ezt úgy lehet megtenni, hogy az aritmetikai progresszió összes tagjának értékét szekvenciálisan kiszámítjuk, az elsőtől a kívántig. Ez az út azonban nem mindig elfogadható, ha például meg kell találni az ötezredik vagy nyolcmilliomodik tag értékét. A hagyományos számítások sok időt vesznek igénybe. Egy adott aritmetikai progresszió azonban tanulmányozható bizonyos képletekkel. Van egy képlet az n-edik tagra is: egy aritmetikai sorozat bármely tagjának értéke meghatározható a progresszió első tagjának összegeként a progresszió különbségével, szorozva a kívánt tag számával, csökkentve egy.
A képlet univerzális a progresszió növelésére és csökkentésére.
Példa egy adott kifejezés értékének kiszámítására
Oldjuk meg a következő feladatot egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának értékének meghatározására.
Feltétel: van egy aritmetikai progresszió a következő paraméterekkel:
A sorozat első tagja 3;
A számsor különbsége 1,2.
Feladat: meg kell találni 214 kifejezés értékét
Megoldás: egy adott tag értékének meghatározásához a következő képletet használjuk:
a(n) = a1 + d(n-1)
A problémafelvetés adatait a kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Válasz: A sorozat 214. tagja egyenlő 258,6-tal.
Ennek a számítási módszernek az előnyei nyilvánvalóak - a teljes megoldás legfeljebb 2 sort vesz igénybe.
Adott számú kifejezés összege
Nagyon gyakran egy adott számtani sorozatban meg kell határozni egyes szegmenseinek értékeinek összegét. Ehhez nincs szükség az egyes kifejezések értékeinek kiszámítására, majd összeadására. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha kevés azon kifejezések száma, amelyek összegét meg kell találni. Más esetekben kényelmesebb a következő képlet használata.
Az 1-től n-ig terjedő aritmetikai haladás tagjainak összege egyenlő az első és az n-edik tag összegével, megszorozva az n tag számával és elosztva kettővel. Ha a képletben az n-edik tag értékét a cikk előző bekezdésében szereplő kifejezéssel helyettesítjük, a következőt kapjuk:
Számítási példa
Például oldjunk meg egy problémát a következő feltételekkel:
A sorozat első tagja nulla;
A különbség 0,5.
A probléma megoldásához meg kell határozni az 56-tól 101-ig terjedő sorozat tagjainak összegét.
Megoldás. Használjuk a képletet a progresszió mértékének meghatározásához:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Először meghatározzuk a progresszió 101 tagjának értékeinek összegét úgy, hogy a feladatunk adott feltételeit behelyettesítjük a képletbe:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Nyilvánvalóan ahhoz, hogy megtudjuk az 56-tól a 101-ig terjedő haladás tagjainak összegét, ki kell vonni S 55-öt S 101-ből.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Így ennek a példának az aritmetikai progressziójának összege:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Példa az aritmetikai progresszió gyakorlati alkalmazására
A cikk végén térjünk vissza az első bekezdésben megadott számtani sorozat példájához - egy taxióra (taxi mérő). Tekintsük ezt a példát.
A taxiba való beszállás (amely 3 km-es utazást tartalmaz) 50 rubelbe kerül. Minden további kilométert 22 rubel/km áron kell fizetni. Az utazási távolság 30 km. Számolja ki az utazás költségét.
1. Dobjuk el az első 3 km-t, aminek az árát a leszállás költsége tartalmazza.
30 - 3 = 27 km.
2. A további számítás nem más, mint egy számtani számsor elemzése.
Tagszám - a megtett kilométerek száma (mínusz az első három).
A tag értéke az összeg.
Ebben a feladatban az első tag 1 = 50 rubel lesz.
Progressziós különbség d = 22 r.
a minket érdeklő szám a számtani progresszió (27+1) tagjának értéke - a mérőállás a 27. kilométer végén 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
A tetszőlegesen hosszú időszakra vonatkozó naptári adatok számításai bizonyos numerikus sorozatokat leíró képleteken alapulnak. A csillagászatban a pálya hossza geometriailag függ az égitest távolságától a csillagtól. Emellett a különböző számsorokat sikeresen alkalmazzák a statisztikában és a matematika egyéb alkalmazott területein.
A számsorok másik típusa a geometriai
A geometriai progressziót nagyobb változási sebesség jellemzi, mint az aritmetikai progresszió. Nem véletlen, hogy a politikában, a szociológiában, az orvostudományban egy adott jelenség, például egy járvány idején előforduló betegség nagy sebességű terjedésének kimutatására azt mondják, hogy a folyamat geometriai progresszióban fejlődik ki.
A geometriai számsor N-edik tagja abban különbözik az előzőtől, hogy megszorozzák valamilyen állandó számmal - a nevező például az első tag 1, a nevező ennek megfelelően egyenlő 2-vel, majd:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - a geometriai progresszió aktuális tagjának értéke;
b n+1 - a geometriai progresszió következő tagjának képlete;
q a geometriai progresszió nevezője (konstans szám).
Ha egy aritmetikai sorozat grafikonja egy egyenes, akkor a geometriai haladás kissé eltérő képet fest:
Akárcsak az aritmetika esetében, a geometriai progressziónak is van egy képlete egy tetszőleges tag értékére. Egy geometriai progresszió bármely n-edik tagja egyenlő az első tag és az n eggyel csökkentett hatványának nevezőjének szorzatával:
Példa. Van egy geometriai progressziónk, amelynek első tagja 3, a progresszió nevezője pedig 1,5. Keressük meg a progresszió 5. tagját
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Adott számú tag összegét is egy speciális képlet segítségével számítjuk ki. Egy geometriai sorozat első n tagjának összege egyenlő a haladás n-edik tagjának és nevezőjének szorzata, valamint a haladás első tagja közötti különbséggel, osztva az eggyel csökkentett nevezővel:
Ha b n-t a fentebb tárgyalt képlettel helyettesítjük, akkor a szóban forgó számsor első n tagjának összege a következőképpen alakul:
Példa. A geometriai haladás az 1-gyel egyenlő első taggal kezdődik. A nevezőt 3-ra állítjuk. Határozzuk meg az első nyolc tag összegét.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Mi a képlet fő lényege?
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja Bármi SZÁMA SZERINT " n" .
Természetesen az első kifejezést is ismerni kell egy 1és progressziós különbség d, nos, ezek nélkül a paraméterek nélkül nem lehet leírni egy konkrét progressziót.
Ennek a képletnek a memorizálása (vagy lesiklása) nem elég. Meg kell értenie a lényegét, és alkalmaznia kell a képletet különféle problémákban. És azt is, hogy a megfelelő pillanatban ne felejtsük el, igen...) Hogyan ne felejtsd- Nem tudom. És itt hogyan kell emlékezni Ha kell, mindenképpen tanácsot adok. Azoknak, akik a leckét a végéig befejezik.)
Tehát nézzük meg az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét.
Mi a képlet általában? Egyébként nézd meg, ha nem olvastad. Ott minden egyszerű. Még ki kell deríteni, mi az n-edik tag.
A haladás általában számsorként írható fel:
1, 2, 3, 4, 5, .....
egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagját jelöli, a 3- harmadik tag, egy 4- a negyedik és így tovább. Ha érdekel minket az ötödik ciklus, mondjuk, hogy dolgozunk egy 5, ha százhuszad - s egy 120.
Hogyan határozhatjuk meg általánosságban? Bármi egy aritmetikai sorozat tagja, azzal Bármi szám? Nagyon egyszerű! Mint ez:
a n
Az az ami egy aritmetikai sorozat n-edik tagja. Az n betű egyszerre elrejti az összes tagszámot: 1, 2, 3, 4 stb.
És mit ad nekünk egy ilyen rekord? Gondolj csak bele, szám helyett egy betűt írtak le...
Ez a jelölés hatékony eszközt ad az aritmetikai progresszióval való munkához. A jelölés használata a n, gyorsan megtaláljuk Bármi tag Bármi aritmetikai progresszió. És megoldjon egy csomó további progressziós problémát. Majd meglátod magad a továbbiakban.
Az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletében:
| a n = a 1 + (n-1)d |
egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagja;
n- tag szám.
A képlet összekapcsolja bármely progresszió fő paramétereit: a n; a 1; dÉs n. Minden progressziós probléma ezen paraméterek körül forog.
Az n-edik tag képlete egy adott progresszió írásához is használható. Például a probléma azt mondhatja, hogy a progressziót a következő feltétel határozza meg:
a n = 5 + (n-1) 2.
Egy ilyen probléma zsákutca lehet... Nincs se sorozat, se különbség... De a feltételt a képlettel összevetve könnyen érthető, hogy ebben a progresszióban a 1 = 5 és d = 2.
És lehet még rosszabb is!) Ha ugyanazt a feltételt vesszük: a n = 5 + (n-1) 2, Igen, nyisd ki a zárójelet és hozz hasonlókat? Kapunk egy új képletet:
a n = 3 + 2n.
Ez Csak nem általános, hanem egy konkrét előrehaladásra. Itt lapul a buktató. Vannak, akik úgy gondolják, hogy az első tag egy három. Bár a valóságban az első tag öt... Kicsit lejjebb egy ilyen módosított képlettel fogunk dolgozni.
A progressziós problémáknál van egy másik jelölés - a n+1. Ez, ahogy sejtette, a progresszió „n plusz első” tagja. Jelentése egyszerű és ártalmatlan.) Ez a progresszió olyan tagja, amelynek száma eggyel nagyobb, mint n. Például ha valamilyen problémában vesszük a n akkor az ötödik ciklus a n+1 lesz a hatodik tagja. Stb.
Leggyakrabban a megnevezés a n+1 ismétlődési képletekben található. Ne félj ettől az ijesztő szótól!) Ez csak egy számtani sorozat tagjának kifejezése. az előzőn keresztül. Tegyük fel, hogy kapunk egy aritmetikai progressziót ebben a formában, egy ismétlődő képlet segítségével:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
A negyedik - a harmadikon keresztül, az ötödik - a negyediken keresztül, és így tovább. Hogyan számolhatjuk azonnal mondjuk a huszadik tagot? egy 20? De nincs rá mód!) Amíg meg nem találjuk a 19. tagot, addig nem számolhatjuk a 20-at. Ez az alapvető különbség a visszatérő képlet és az n-edik tag képlete között. Ismétlődő működik csak keresztül előző tag, és az n-edik tag képlete végig elsőés megengedi azonnal megtalálja bármelyik tagot a száma alapján. Anélkül, hogy a teljes számsort sorban kiszámolnánk.
A aritmetikai sorozatban könnyű egy ismétlődő képletet szabályossá alakítani. Számoljon meg egy pár egymást követő tagot, számolja ki a különbséget d, keresse meg, ha szükséges, az első kifejezést egy 1, írja le a képletet a szokásos formában, és dolgozzon vele. Ilyen feladatokkal gyakran találkoznak az Állami Tudományos Akadémián.
Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletének alkalmazása.
Először nézzük meg a képlet közvetlen alkalmazását. Az előző óra végén volt egy probléma:
Adott egy aritmetikai progresszió (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.
Ezt a feladatot képletek nélkül is meg lehet oldani, egyszerűen egy aritmetikai sorozat jelentése alapján. Add és add... Egy-két óra.)
És a képlet szerint a megoldás kevesebb mint egy percet vesz igénybe. Időzítheti.) Döntsük el.
A feltételek megadják a képlet használatához szükséges összes adatot: a 1 = 3, d = 1/6. Azt kell kitalálni, mi az egyenlő n. Nincs mit! Meg kell találnunk egy 121. Tehát ezt írjuk:
Kérjük figyeljen oda! Index helyett n konkrét szám jelent meg: 121. Ami egészen logikus.) A számtani progresszió tagja érdekel minket. százhuszonegy. Ez a miénk lesz n. Ez a jelentése n= 121 behelyettesítjük a képletbe, zárójelben. Az összes számot behelyettesítjük a képletbe, és kiszámítjuk:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Ez az. Ugyanilyen gyorsan meg lehet találni az ötszáztizedik tagot, és az ezerharmadik tagot is. Helyette tesszük n a kívánt szám a betű indexében a"és zárójelben, és számolunk.
Hadd emlékeztesselek a lényegre: ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtaláld Bármi aritmetikai progressziós tag SZÁMA SZERINT " n" .
Oldjuk meg a problémát ravaszabb módon. Találkozzunk a következő problémával:
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat első tagját (a n), ha a 17 =-2; d=-0,5.
Ha nehézségei vannak, elmondom az első lépést. Írja fel egy számtani sorozat n-edik tagjának képletét! Igen igen. Írd le a kezeddel, közvetlenül a füzetedbe:
| a n = a 1 + (n-1)d |
És most, a képlet betűit nézve, megértjük, milyen adatokkal rendelkezünk és mi hiányzik? Elérhető d=-0,5, van egy tizenhetedik tag... Ez az? Ha úgy gondolja, hogy ez az, akkor nem oldja meg a problémát, igen...
Még mindig van számunk n! Állapotban a 17 =-2 rejtett két paraméter. Ez egyben a tizenhetedik tag értéke (-2) és száma (17). Azok. n=17. Ez az „apróság” sokszor elsiklik a fej mellett, és enélkül (az „apróság” nélkül, nem a fej!) nem lehet megoldani a problémát. Bár... és fej nélkül is.)
Most egyszerűen behelyettesíthetjük adatainkat a képletbe:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ó, igen, egy 17 tudjuk, hogy -2. Oké, cseréljük ki:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Lényegében ennyi. Marad a képletből az aritmetikai progresszió első tagjának kifejezése és kiszámítása. A válasz a következő lesz: a 1 = 6.
Ez a technika - egy képlet felírása és az ismert adatok egyszerű helyettesítése - nagy segítség az egyszerű feladatokban. Hát persze, hogy egy változót képletből kell tudni kifejezni, de mit tegyek!? E készség nélkül a matematikát egyáltalán nem lehet tanulni...
Egy másik népszerű rejtvény:
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat (a n) különbségét, ha a 1 =2; a 15 =12.
Mit csinálunk? Meg fogsz lepődni, mi írjuk a képletet!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Gondoljuk át, mit tudunk: a 1=2; a 15 = 12; és (különösen kiemelem!) n=15. Bátran cserélje be ezt a képletbe:
12=2 + (15-1)d
Mi számolunk.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ez a helyes válasz.
Tehát a feladatok a n, a 1És d határozott. Nincs más hátra, mint megtanulni, hogyan találja meg a számot:
A 99-es szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 =12; d=3. Keresse meg ennek a tagnak a számát.
Az általunk ismert mennyiségeket behelyettesítjük az n-edik tag képletébe:
a n = 12 + (n-1) 3
Első pillantásra két ismeretlen mennyiség található itt: a n és n. De a n- ez a progresszió néhány tagja egy számmal n...És ismerjük a progressziónak ezt a tagját! 99. Nem tudjuk a számát. n, Tehát ezt a számot kell megtalálnia. A 99-es progresszió tagját behelyettesítjük a képletbe:
99 = 12 + (n-1) 3
A képletből fejezzük ki n, azt gondoljuk. Megkapjuk a választ: n=30.
És most egy probléma ugyanabban a témában, de kreatívabb):
Határozza meg, hogy a 117-es szám tagja-e az aritmetikai sorozatnak (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Írjuk fel újra a képletet. Mi van, nincsenek paraméterek? Hm... Miért kapunk szemet?) Látjuk a progresszió első tagját? Látjuk. Ez -3,6. Nyugodtan írhatod: a 1 = -3,6. Különbség d Meg tudod mondani a sorozatból? Könnyű, ha tudja, mi a különbség az aritmetikai progresszió között:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Tehát a legegyszerűbb dolgot csináltuk. Már csak az ismeretlen számmal kell foglalkozni nés az érthetetlen 117-es szám. Az előző feladatnál legalább lehetett tudni, hogy a progresszió tagját adták meg. De itt nem is tudjuk... Mit tegyünk!? Nos, hogy legyen, hogyan legyen... Kapcsolja be kreatív képességeit!)
Mi tegyük fel hogy a 117 végül is a fejlődésünk tagja. Ismeretlen számmal n. És az előző feladathoz hasonlóan próbáljuk meg megtalálni ezt a számot. Azok. felírjuk a képletet (igen, igen!)) és behelyettesítjük a számainkat:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ismét a képletből fejezzük kin, megszámoljuk és megkapjuk:
Hoppá! Kiderült a szám töredékes! Százegy és fél. És törtszámok progresszióban nem lehet. Milyen következtetést vonhatunk le? Igen! 117. szám nem fejlődésünk tagja. Valahol a százelső és a százmásodik kifejezés között van. Ha a szám természetesnek bizonyult, pl. pozitív egész szám, akkor a szám a talált számmal rendelkező progresszió tagja lenne. És esetünkben a probléma válasza a következő lesz: Nem.
A GIA valós verzióján alapuló feladat:
Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja:
a n = -4 + 6,8n
Keresse meg a progresszió első és tizedik tagját.
Itt a progresszió szokatlan módon van beállítva. Valamiféle képlet... Előfordul.) Ez a képlet azonban (ahogy fentebb írtam) - egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét is! Azt is megengedi keresse meg a progresszió bármely tagját a száma alapján.
Keressük az első tagot. Aki gondolkodik. hogy az első tag mínusz négy, végzetesen téved!) Mivel a feladatban szereplő képlet módosul. A számtani sorozat első tagja benne rejtett. Rendben van, most megkeressük.)
Csakúgy, mint az előző problémáknál, helyettesítjük n=1 ebbe a képletbe:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Itt! Az első tag 2,8, nem -4!
Ugyanígy keressük a tizedik tagot:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Ez az.
És most azoknak, akik elolvasták ezeket a sorokat, a beígért bónusz.)
Tegyük fel, hogy az államvizsga vagy az egységes államvizsga nehéz harci helyzetében elfelejtette az aritmetikai sorozat n-edik tagjának hasznos képletét. Emlékszem valamire, de valahogy bizonytalanul... Illetve n ott, ill n+1, vagy n-1... Hogyan legyen!?
Nyugodt! Ez a képlet könnyen levezethető. Nem túl szigorú, de a magabiztossághoz és a helyes döntéshez mindenképpen elég!) A következtetés levonásához elég emlékezni a számtani sorozat elemi jelentésére, és van néhány percnyi időnk. Csak egy képet kell rajzolnia. Az egyértelműség kedvéért.
Rajzolj egy számegyenest, és jelöld meg rajta az elsőt. második, harmadik stb. tagjai. És megjegyezzük a különbséget d tagok között. Mint ez:
Nézzük a képet, és elgondolkodunk: mit jelent a második tag? Második egy d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mi a harmadik kifejezés? Harmadik kifejezés egyenlő az első tag plusz kettő d.
a 3 =a 1 + 2 d
Érted? Nem hiába emelek ki néhány szót félkövérrel. Oké, még egy lépés).
Mi a negyedik kifejezés? Negyedik kifejezés egyenlő az első tag plusz három d.
a 4 =a 1 + 3 d
Ideje belátni, hogy a hézagok száma, i.e. d, Mindig eggyel kevesebb, mint a keresett tag száma n. Vagyis a számra n, szóközök száma akarat n-1. Ezért a képlet a következő lesz (változatok nélkül!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Általában véve a vizuális képek nagyon hasznosak számos matematikai probléma megoldásában. Ne hagyja figyelmen kívül a képeket. De ha nehéz képet rajzolni, akkor... csak egy képlet!) Ezenkívül az n-edik tag képlete lehetővé teszi, hogy a matematika teljes hatalmas arzenálját összekapcsolja a megoldással - egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek stb. Nem lehet képet beilleszteni az egyenletbe...
Önálló megoldási feladatok.
Bemelegíteni:
1. Számtani folyamatban (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Keress egy 3-ast.
Tipp: a kép szerint 20 másodperc alatt megoldható a probléma... A képlet szerint nehezebbnek bizonyul. De a képlet elsajátításához hasznosabb.) Az 555. szakaszban ezt a problémát a kép és a képlet segítségével is megoldjuk. Érezd a különbséget!)
És ez már nem bemelegítés.)
2. Számtani folyamatban (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Keressen egy 3-at.
Mi van, nem akarsz képet rajzolni?) Természetesen! A képlet szerint jobb, igen...
3. Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja meg:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg ennek a progressziónak a százhuszonötödik tagját.
Ebben a feladatban a progresszió ismétlődő módon van megadva. De a százhuszonötödik tagig számolva... Ilyen bravúrra nem mindenki képes.) De az n-edik tag képlete mindenkinek megvan!
4. Adott egy aritmetikai sorozat (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Keresse meg a progresszió legkisebb pozitív tagjának számát!
5. A 4. feladat feltételei szerint keresse meg a haladás legkisebb pozitív és legnagyobb negatív tagjának összegét!
6. Egy növekvő aritmetikai sorozat ötödik és tizenkettedik tagjának szorzata -2,5, a harmadik és tizenegyedik tag összege pedig nulla. Keress egy 14-et.
Nem a legkönnyebb feladat, igen...) Az „ujjbegy” módszer itt nem fog működni. Képleteket kell írnia és egyenleteket kell megoldania.
Válaszok (rendetlenségben):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Megtörtént? Ez szép!)
Nem minden sikerül? Megtörténik. Egyébként van egy finom pont az utolsó feladatban. Óvatosságra lesz szükség a probléma olvasásakor. És logika.
Mindezen problémák megoldását az 555. szakasz tárgyalja részletesen. És a fantázia eleme a negyediknél, a finom pont a hatodiknál, valamint az n-edik tag képletével kapcsolatos problémák megoldásának általános megközelítései - minden le van írva. Ajánlom.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
A matematikának megvan a maga szépsége, akárcsak a festészetnek és a költészetnek.
Orosz tudós, szerelő N.E. Zsukovszkij
A matematikai felvételi vizsgákon nagyon gyakori problémák a számtani progresszió fogalmával kapcsolatos problémák. Az ilyen problémák sikeres megoldásához jól ismernie kell az aritmetikai progresszió tulajdonságait, és bizonyos ismeretekkel kell rendelkeznie azok alkalmazásában.
Először idézzük fel az aritmetikai sorozat alapvető tulajdonságait, és mutassuk be a legfontosabb képleteket, kapcsolódik ehhez a fogalomhoz.
Meghatározás. Számsorozat, amelyben minden következő tag azonos számmal tér el az előzőtől, aritmetikai sorozatnak nevezzük. Ebben az esetben a számprogressziós különbségnek nevezzük.
A számtani progresszióhoz a következő képletek érvényesek:
, (1)
Ahol . Az (1) képletet egy aritmetikai sorozat általános tagjának képletének nevezzük, a (2) képlet pedig a számtani sorozat fő tulajdonságát jelenti: a progresszió minden tagja egybeesik a szomszédos tagok számtani átlagával és.
Vegyük észre, hogy a vizsgált progressziót éppen ezen tulajdonság miatt nevezik „aritmetikának”.
A fenti (1) és (2) képlet a következőképpen általánosítható:
(3)
Az összeg kiszámításához első egy aritmetikai progresszió feltételeiáltalában a képletet használják
(5) hol és .
Ha figyelembe vesszük az (1), akkor az (5) képletből az következik
Ha jelöljük, akkor
Ahol . Mivel a (7) és (8) képlet a megfelelő (5) és (6) képlet általánosítása.
Különösen , az (5) képletből az következik, Mit
A legtöbb diák számára kevéssé ismert az aritmetikai progresszió tulajdonsága, amelyet a következő tétellel fogalmazunk meg.
Tétel. Ha akkor
Bizonyíték. Ha akkor
A tétel bizonyítást nyert.
Például , tétel segítségével, ez kimutatható
Nézzük meg a tipikus példákat az „Aritmetikai progresszió” témával kapcsolatos problémák megoldására.
1. példa Hadd legyen. Megtalálja .
Megoldás. A (6) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy . Mivel és , akkor vagy .
2. példa Legyen háromszor nagyobb, és ha elosztjuk a hányadossal, az eredmény 2, a maradék pedig 8. Határozza meg és .
Megoldás. A példa feltételeiből az egyenletrendszer következik
Mivel , , és , akkor a (10) egyenletrendszerből kapjuk
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása és .
3. példa Keresse meg, ha és .
Megoldás. Az (5) képlet szerint van vagy . A (9) tulajdonság használatával azonban megkapjuk a .
Mivel és , majd az egyenlőségből az egyenlet következik vagy .
4. példa Keresse meg, ha.
Megoldás.Az (5) képlet szerint megvan
A tétel segítségével azonban írhatunk
Innen és a (11) képletből kapjuk.
5. példa. Adott: . Megtalálja .
Megoldás. Azóta. Azonban ezért.
6. példa. Hagyjuk , és . Megtalálja .
Megoldás. A (9) képlet segítségével megkapjuk. Ezért ha , akkor vagy .
Mivel és akkor itt van egy egyenletrendszerünk
Amelyik megoldásával kapjuk és .
Az egyenlet természetes gyöke van .
7. példa. Keresse meg, ha és .
Megoldás. Mivel a (3) képlet szerint megvan, hogy , akkor a feladatfeltételekből következik az egyenletrendszer
Ha behelyettesítjük a kifejezésta rendszer második egyenletébe, akkor kapunk vagy .
A másodfokú egyenlet gyökerei a következőkÉs .
Vegyünk két esetet.
1. Hagyja, majd . Azóta és akkor .
Ebben az esetben a (6) képlet szerint megvan
2. Ha , akkor , és
Válasz: és.
8. példa. Ismeretes, hogy és. Megtalálja .
Megoldás. Az (5) képletet és a példa feltételét figyelembe véve írunk és -t.
Ez magában foglalja az egyenletrendszert
Ha a rendszer első egyenletét megszorozzuk 2-vel, majd hozzáadjuk a második egyenlethez, akkor azt kapjuk,
A (9) képlet szerint megvan. Ebből a szempontból a (12) vagy .
Azóta és akkor .
Válasz: .
9. példa. Keresse meg, ha és .
Megoldás. Mivel , és feltétel szerint , akkor vagy .
Az (5) képletből ismert, Mit . Azóta.
Ennélfogva , itt van egy lineáris egyenletrendszer
Innen kapunk és . A (8) képlet figyelembevételével írjuk.
10. példa. Oldja meg az egyenletet.
Megoldás. A megadott egyenletből az következik, hogy . Tegyük fel, hogy , , és . Ebben az esetben .
Az (1) képlet szerint írhatunk vagy -t.
Mivel , akkor a (13) egyenletnek van az egyetlen megfelelő gyöke.
11. példa. Keresse meg a maximális értéket, feltéve, hogy és .
Megoldás. Mivel , akkor a figyelembe vett számtani progresszió csökken. Ebben a tekintetben a kifejezés akkor veszi fel a maximális értékét, ha ez a progresszió minimális pozitív tagjának száma.
Használjuk az (1) képletet és a tényt, hogy és . Akkor azt kapjuk, hogy ill.
Azóta, akkor ill . Ebben az egyenlőtlenségben azonbanlegnagyobb természetes szám, Ezért .
Ha a , és értékeit behelyettesítjük a (6) képletbe, akkor azt kapjuk, hogy .
Válasz: .
12. példa. Határozza meg mindazon kétjegyű természetes számok összegét, amelyeket 6-tal elosztva 5 marad.
Megoldás. Jelöljük az összes kétjegyű természetes szám halmazával, azaz. . Ezután megszerkesztünk egy részhalmazt, amely a halmaz azon elemeiből (számaiból) áll, amelyek 6-tal osztva 5-ös maradékot adnak.
Könnyen telepíthető, Mit . Magától értetődően , hogy a halmaz elemeiszámtani sorozatot alkotnak, amelyben és .
A halmaz számosságának (elemszámának) megállapításához feltételezzük, hogy . Mivel és az (1) képletből vagy az következik. Az (5) képlet figyelembevételével megkapjuk.
A problémamegoldás fenti példái semmiképpen sem mondhatók kimerítőnek. Ez a cikk egy adott témakör tipikus problémáinak megoldására szolgáló modern módszerek elemzésén alapul. Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák megoldási módszereinek alaposabb tanulmányozásához célszerű az ajánlott irodalom jegyzékére hivatkozni.
1. Matematikai feladatgyűjtemény főiskolára jelentkezők számára / Szerk. M.I. Scanavi. – M.: Béke és oktatás, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika középiskolásoknak: az iskolai tananyag további részei. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Az elemi matematika teljes kurzusa feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorozatok és előrehaladások. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Van még kérdése?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :) Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső zárójelek azt sugallják, hogy még nem tudjátok, mi az a számtani progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bevezetőkkel, és rögtön a lényegre térek.
Először is egy-két példa. Nézzünk meg néhány számkészletet:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.
Ítélje meg maga. Az első halmaz egyszerűen egymást követő számokból áll, mindegyik következő eggyel több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már öt, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben gyökerek vannak. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, és $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. és ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne félj attól, hogy ez a szám irracionális).
Tehát: minden ilyen sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:
Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.
Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.
És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe elrendelte számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.
Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha leírsz valamit a szellemben (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen fejlődés. A négy utáni ellipszis arra utal, hogy még jó néhány szám jön. Például végtelenül sok. :)
Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekedhet vagy csökkenhet. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:
Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:
- növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
- csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.
Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok - ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).
Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:
- Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
- Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
- Végül ott van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progresszió azonos számok stacionárius sorozatára redukálódik: (1; 1; 1; 1; ...) stb.
Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fent megadott három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Amint látjuk, a különbség mindhárom esetben negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziót, és milyen tulajdonságaik vannak.
Progressziós tagok és ismétlődési képlet
Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobb\)\]
Ennek a halmaznak az egyes elemeit egy progresszió tagjainak nevezzük. Egy szám jelzi őket: első tag, második tag stb.
Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Röviden, egy progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Ezt a képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármely számot csak az előző (és valójában az összes korábbi) ismeretében találhat meg. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy ravaszabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Valószínűleg már találkoztál ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben, megoldási könyvekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők között van.
Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.
1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.
Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progresszió különbségét a $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]
Válasz: (8; 3; -2)
Ez minden! Figyelem: fejlődésünk csökken.
Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egységet helyettesítve azonban meggyőződtünk arról, hogy a képletünk már az első ciklusban is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.
2. feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha hetedik tagja -40, tizenhetedik tagja pedig -50.
Megoldás. Írjuk le a probléma feltételét ismerős kifejezésekkel:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobb.\]
Azért tettem fel a rendszerjelet, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell teljesülniük. Most jegyezzük meg, hogy ha kivonjuk az elsőt a második egyenletből (jogunk van erre, hiszen van rendszerünk), ezt kapjuk:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]
Így könnyű megtalálni a haladási különbséget! Nem marad más hátra, mint behelyettesíteni a talált számot a rendszer bármely egyenletébe. Például az elsőben:
\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]
Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]
Kész! A probléma megoldódott.
Válasz: (-34; -35; -36)
Figyeljük meg a progresszió érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha vesszük a $n$-edik és a $m$-edik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Egy egyszerű, de nagyon hasznos tulajdonság, amit feltétlenül ismerned kell - segítségével jelentősen felgyorsíthatod számos progressziós probléma megoldását. Íme egy világos példa erre:
3. feladat. Egy aritmetikai sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.
Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]
De feltétellel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$, amiből a következő:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]
Válasz: 20.4
Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert létrehoznunk, és kiszámolni az első tagot és a különbséget - minden csak néhány sorban megoldódott.
Most nézzünk meg egy másik típusú problémát – keressük a progresszió negatív és pozitív feltételeit. Nem titok, hogy ha egy progresszió növekszik, és az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.
Ugyanakkor nem mindig lehet „fejjel” megtalálni ezt a pillanatot úgy, hogy egymás után végigjárjuk az elemeket. A feladatokat gyakran úgy írják le, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több papírlapot vennének igénybe – egyszerűen elalszunk, miközben megtaláljuk a választ. Ezért próbáljuk meg gyorsabban megoldani ezeket a problémákat.
4. feladat. Hány negatív tag van a számtani sorozatban −38,5; −35,8; ...?
Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, ahonnan azonnal megtaláljuk a különbséget:
Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, így a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.
Próbáljuk meg kideríteni, meddig (azaz hány $n$ természetes számig) marad meg a tagok negativitása:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]
Az utolsó sor némi magyarázatot igényel. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt megelégszünk a számnak csak egész értékeivel (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16 .
5. feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.
Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:
Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az elsőn és a különbséget a standard képlettel:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]
Most az előző feladat analógiájával folytatjuk. Nézzük meg, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]
Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész számú megoldása az 56.
Figyelem: az utolsó feladatban minden a szigorú egyenlőtlenséghez vezetett, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.
Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először tanulmányozzuk az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amellyel sok időt és egyenlőtlen cellákat takaríthatunk meg a jövőben. :)
Számtani átlag és egyenlő behúzások
Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket a számegyenesen:
A számegyenes számtani sorozatának feltételeiKifejezetten tetszőleges kifejezéseket jelöltem meg $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, és nem néhány $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amelyről most elmondom, ugyanúgy működik minden „szegmensre”.
És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk az ismétlődő képletre, és írjuk le az összes megjelölt kifejezésre:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]
Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]
Nos, akkor mi van? És az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő: $d$. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságban, mint $2d$. A végtelenségig folytathatjuk, de a jelentést jól szemlélteti a kép
A progresszió feltételei azonos távolságra vannak a középponttól Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy a $((a)_(n))$ megtalálható, ha a szomszédos számok ismertek:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Kiváló állítást kaptunk: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt: a $((a)_(n))$-unkból balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel visszaléphetünk - és a képlet továbbra is helyes lesz:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladatot kifejezetten a számtani átlag használatára szabnak. Nézd meg:
6. feladat. Keresse meg a $x$ összes olyan értékét, amelyeknél a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és a $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (a jelzett sorrendben).
Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]
Az eredmény egy klasszikus másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.
Válasz: −3; 2.
7. feladat. Keresse meg a $$ azon értékeit, amelyeknél a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok aritmetikai sorozatot alkotnak (ebben a sorrendben).
Megoldás. A középső tagot ismét fejezzük ki a szomszédos tagok számtani átlagán keresztül:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]
Megint másodfokú egyenlet. És megint két gyök van: $x=6$ és $x=1$.
Válasz: 1; 6.
Ha egy probléma megoldása során brutális számokat talál ki, vagy nem vagy teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos technika, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze: helyesen oldottuk meg a problémát?
Tegyük fel, hogy a 6. feladatban −3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy három számunk van ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani sorozatot kell alkotniuk. Helyettesítsük $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]
Megkaptuk a −54 számokat; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:
\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]
Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldódott. Aki szeretné, a második problémát saját maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.
Általánosságban elmondható, hogy az utolsó feladatok megoldása során egy másik érdekes ténnyel találkoztunk, amelyet szintén emlékezni kell:
Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó számtani átlaga, akkor ezek a számok számtani sorozatot alkotnak.
A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már tárgyaltakból.
Elemek csoportosítása és összegzése
Térjünk vissza ismét a számtengelyhez. Jegyezzük meg ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:
A számegyenesen 6 elem találhatóPróbáljuk meg kifejezni a „bal farkát” $((a)_(n))$ és $d$, a „jobb farok” pedig $((a)_(k))$ és $d$ között. Nagyon egyszerű:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]
Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]
Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezektől az elemektől ellentétes irányban (egymás felé vagy fordítva távolodni) kezdünk lépni, akkor azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ez a legvilágosabban grafikusan ábrázolható:
Az egyenlő behúzások egyenlő összegeket adnak Ennek a ténynek a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy alapvetően magasabb szintű bonyolultságú problémákat oldjunk meg, mint amelyeket fentebb vizsgáltunk. Például ezek:
8. feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!
Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]
Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbséget. Valójában a teljes megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]
A tankban lévőknek: a második zárójelből kivettem a 11-es teljes szorzót. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kibővítjük a zárójeleket, a következőket kapjuk:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Mint látható, a legmagasabb tag együtthatója 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:
egy másodfokú függvény grafikonja - parabola
Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma segítségével is kiszámíthatjuk (van a $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, ezért a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]
Éppen ezért nem siettem különösebben a zárójelek kinyitásával: eredeti formájukban a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő a -66 és -6 számok számtani átlagával:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Mit ad nekünk a felfedezett szám? Vele a szükséges szorzat felveszi a legkisebb értéket (egyébként soha nem számoltunk $((y)_(\min ))$ - ezt nem követelik meg tőlünk). Ugyanakkor ez a szám az eredeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ. :)
Válasz: −36
9. számú feladat. A $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé illesszen be három számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.
Megoldás. Lényegében öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelöljük a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk „közepe” - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1) (6) $. És ha jelenleg nem tudjuk megkapni az $y$-t a $x$ és a $z$ számokból, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzünk a számtani átlagra:
Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy $x$ a $-\frac(1)(2)$ és az általunk talált $y=-\frac(1)(3)$ számok között található. Ezért
Hasonló érveléssel megtaláljuk a fennmaradó számot:
Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. Írjuk be őket a válaszba abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kerüljenek.
Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
10. feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha tudja, hogy a beszúrt számok első, második és utolsó összege 56.
Megoldás. Egy még összetettebb probléma, amelyet azonban az előzőekkel megegyező séma szerint oldanak meg - a számtani átlagon keresztül. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért tegyük fel, hogy minden beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a szükséges aritmetikai progresszió a következő formában ábrázolható:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk egymás felé egy lépéssel az éleken, azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
De akkor a fent írt kifejezés a következőképpen írható át:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]
$((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]
Már csak a fennmaradó feltételeket kell megtalálni:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]
Így már a 9. lépésnél elérkezünk a sorozat bal végéhez - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Szóproblémák progressziókkal
Befejezésül néhány viszonylag egyszerű problémát szeretnék megvizsgálni. Nos, ilyen egyszerű: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a problémák nehéznek tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a matematika egységes államvizsgájában ilyen típusú problémák jelennek meg, ezért javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.
11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előző hónapban. Hány alkatrészt gyártott a csapat novemberben?
Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a hónaponként felsorolt részek száma növekvő számtani progressziót jelent. Ráadásul:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Ezért novemberben 202 alkatrész készül.
12. feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, minden további hónapban pedig 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?
Megoldás. Minden a régi:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.
Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen elvégezted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan továbbléphet a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a haladás összegének képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.
