Dnes budeme uvažovať o geometrickom útvare - štvoruholníku. Už z názvu tohto obrázku je zrejmé, že tento obrázok má štyri rohy. Ale zvyšok charakteristík a vlastností tohto obrázku zvážime nižšie.
Čo je štvoruholník
Štvoruholník je mnohouholník pozostávajúci zo štyroch bodov (vrcholov) a štyroch segmentov (strany), ktoré tieto body spájajú v pároch. Plocha štvoruholníka je polovicou súčinu jeho uhlopriečok a uhla medzi nimi.
Štvoruholník je mnohouholník so štyrmi vrcholmi, z ktorých tri neležia na tej istej priamke.
Typy štvoruholníkov
- Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva rovnobežník.
- Štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú, sa nazýva lichobežník.
- Štvoruholník so všetkými pravými uhlami je obdĺžnik.
- Štvoruholník so všetkými stranami rovnakými je kosoštvorec.
- Štvoruholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú pravé, sa nazýva štvorec.
Štvoruholník môže byť:
sebapretínanie
nekonvexné
konvexné
Samopretínajúci sa štvoruholník je štvoruholník, v ktorom má ktorákoľvek z jeho strán priesečník (na obrázku modrou farbou).
Nekonvexný štvoruholník je štvoruholník, v ktorom je jeden z vnútorných uhlov väčší ako 180 stupňov (na obrázku je vyznačený oranžovou farbou).
Súčet uhlov každý štvoruholník, ktorý sa nepretína, sa vždy rovná 360 stupňom.
Špeciálne typy štvoruholníkov
Štvoruholníky môžu mať ďalšie vlastnosti, ktoré tvoria špeciálne typy geometrických tvarov:
- Paralelogram
- Obdĺžnik
- Námestie
- Hrazda
- Deltoidný
- Protiparalelogram
Štvoruholník a kruh
Štvoruholník vpísaný okolo kruhu (kruh vpísaný do štvoruholníka).
Hlavná vlastnosť ohraničeného štvoruholníka:
Štvoruholník môže byť opísaný okolo kruhu vtedy a len vtedy, ak sú súčty dĺžok protiľahlých strán rovnaké.
Štvoruholník vpísaný do kruhu (kruh vpísaný okolo štvoruholníka)
Hlavná vlastnosť vpísaného štvoruholníka:
Štvoruholník môže byť vpísaný do kruhu práve vtedy, ak súčet protiľahlých uhlov je 180 stupňov.
Vlastnosti dĺžky štvorstrannej strany
Diferenčný modul ľubovoľných dvoch strán štvoruholníka nepresahuje súčet jeho ostatných dvoch strán.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|b - c| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
Dôležité. Nerovnosť platí pre akúkoľvek kombináciu strán štvoruholníka. Obrázok je poskytnutý len pre ľahšie pochopenie.
V akomkoľvek štvoruholníku súčet dĺžok jeho troch strán nie je menší ako dĺžka štvrtej strany.
Dôležité. Pri riešení problémov vo vnútri školské osnovy možno použiť prísnu nerovnosť (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
Aby bolo možné vykonávať výpočty, musia byť povolené ovládacie prvky ActiveX!
Jednou z najzaujímavejších tém v geometrii zo školského kurzu sú „štvoruholníky“ (8. ročník). Aké typy takýchto figúrok existujú, aké majú špeciálne vlastnosti? Čo je jedinečné na štvoruholníkoch s deväťdesiatstupňovými rohmi? Pozrime sa na to všetko.
Aký geometrický útvar sa nazýva štvoruholník
Mnohouholníky, ktoré sa skladajú zo štyroch strán a podľa toho aj zo štyroch vrcholov (rohov), sa v euklidovskej geometrii nazývajú štvoruholníky.
História názvu tohto typu figúrok je zaujímavá. V ruskom jazyku je podstatné meno "štvoruholníkový" tvorené frázou "štyri rohy" (rovnako ako "trojuholník" - tri rohy, "päťuholník" - päť rohov atď.).
V latinčine (prostredníctvom ktorej sa mnohé geometrické výrazy dostali do väčšiny jazykov sveta) sa však nazýva štvoruholník. Toto slovo je utvorené z číslovky quadri (štyri) a podstatného mena latus (strana). Môžeme teda konštatovať, že medzi starcami bol tento mnohouholník označovaný iba ako „štvorstranný“.
Mimochodom, takýto názov (s dôrazom na prítomnosť štyroch strán a nie rohov u figúrok tohto typu) sa zachoval v niektorých moderných jazykoch. Napríklad v angličtine - quadrilateral a vo francúzštine - quadrilatère.
Zároveň je vo väčšine slovanských jazykov uvažovaný typ figúr stále identifikovaný počtom uhlov a nie strán. Napríklad v slovenčine (štvoruholník), v bulharčine („chetirigalnik“), v bieloruštine („chatyrokhkutnik“), v ukrajinčine („chotirikutnik“), v češtine (čtyřúhelník), ale v poľštine sa štvoruholník nazýva počtom strán – czworoboczny.
Aké typy štvoruholníkov sa študujú v školských osnovách
V modernej geometrii existujú 4 typy polygónov so štyrmi stranami.
Kvôli príliš zložitým vlastnostiam niektorých z nich sa však školáci na hodinách geometrie zoznamujú len s dvomi typmi.
- Paralelogram. Protiľahlé strany takého štvoruholníka sú po pároch navzájom rovnobežné, a preto sú v pároch rovnaké.
- Trapéz (lichobežník alebo lichobežník). Tento štvoruholník pozostáva z dvoch protiľahlých strán, ktoré sú navzájom rovnobežné. Druhá dvojica strán však túto vlastnosť nemá.
Typy štvoruholníkov, ktoré sa neštudovali v školskom kurze geometrie
Okrem vyššie uvedeného existujú ešte dva typy štvoruholníkov, s ktorými sa školáci na hodinách geometrie nezoznamujú pre ich osobitnú zložitosť.
- Deltoid (draka)- obrazec, v ktorom má každá z dvoch susedných strán rovnakú dĺžku. Takýto štvoruholník dostal svoje meno vďaka tomu, že vzhľadom dosť silne pripomína písmeno gréckej abecedy - „delta“.
- Antiparalelogram- tento údaj je rovnako zložitý ako jeho názov. V ňom sú dve protiľahlé strany rovnaké, ale zároveň nie sú navzájom rovnobežné. Navyše, dlhé protiľahlé strany tohto štvoruholníka sa navzájom pretínajú, rovnako ako predĺženia ďalších dvoch, kratších strán.
Druhy rovnobežníka
Po tom, čo sme sa zaoberali hlavnými typmi štvoruholníkov, stojí za to venovať pozornosť jeho poddruhom. Všetky rovnobežníky sú teda rozdelené do štyroch skupín.
- Klasický rovnobežník.
- kosoštvorec (kosoštvorec)- štvorhranná postava s rovnakými stranami. Jeho uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle a rozdeľujú kosoštvorec na štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky.
- Obdĺžnik. Názov hovorí sám za seba. Keďže ide o štvoruholník s pravými uhlami (každý z nich sa rovná deväťdesiatim stupňom). Jeho protiľahlé strany sú nielen navzájom rovnobežné, ale aj rovnaké.
- Štvorec (štvorec). Ako obdĺžnik je to štvoruholník s pravými uhlami, ale má všetky strany rovnaké. Toto číslo je blízko kosoštvorca. Dá sa teda tvrdiť, že štvorec je kríženec medzi kosoštvorcom a obdĺžnikom.
Špeciálne vlastnosti obdĺžnika
Ak vezmeme do úvahy čísla, v ktorých sa každý z uhlov medzi stranami rovná deväťdesiatim stupňom, stojí za to sa bližšie zaoberať obdĺžnikom. Aké špeciálne vlastnosti ho teda odlišujú od iných rovnobežníkov?
Aby sa potvrdilo, že uvažovaný rovnobežník je obdĺžnik, jeho uhlopriečky sa musia navzájom rovnať a každý z uhlov musí byť pravý. Okrem toho štvorec jeho uhlopriečok musí zodpovedať súčtu štvorcov dvoch susedných strán tohto obrazca. Inými slovami, klasický obdĺžnik pozostáva z dvoch pravouhlých trojuholníkov a v nich, ako je známe, uhlopriečka posudzovaného štvoruholníka pôsobí ako prepona.
Posledným z uvedených znakov tejto figúry je aj jej zvláštna vlastnosť. Okrem tohto existujú aj ďalšie. Napríklad skutočnosť, že všetky strany skúmaného štvoruholníka s pravými uhlami sú zároveň jeho výškami.
Okrem toho, ak je kruh nakreslený okolo akéhokoľvek obdĺžnika, jeho priemer sa bude rovnať uhlopriečke vpísaného obrázku.
Medzi ďalšie vlastnosti tohto štvoruholníka patrí, že je plochý a neexistuje v neeuklidovskej geometrii. Je to spôsobené tým, že v takomto systéme neexistujú žiadne štvoruholníkové postavy, ktorých súčet uhlov sa rovná tristo šesťdesiatim stupňom.
Štvorec a jeho vlastnosti
Keď sme sa zaoberali znakmi a vlastnosťami obdĺžnika, stojí za to venovať pozornosť druhému štvoruholníku známemu vede s pravými uhlami (toto je štvorec).
Keďže ide v skutočnosti o rovnaký obdĺžnik, ale s rovnakými stranami, tento obrázok má všetky svoje vlastnosti. Ale na rozdiel od neho je štvorec prítomný v neeuklidovskej geometrii.
Okrem toho má táto figúrka ďalšie charakteristické črty. Napríklad to, že uhlopriečky štvorca nie sú len rovnaké, ale sa aj pretínajú v pravom uhle. Štvorec teda podobne ako kosoštvorec pozostáva zo štyroch pravouhlých trojuholníkov, na ktoré je rozdelený uhlopriečkami.
Okrem toho je tento údaj najsymetrickejší spomedzi všetkých štvoruholníkov.
Aký je súčet uhlov štvoruholníka
Vzhľadom na vlastnosti štvoruholníkov euklidovskej geometrie stojí za to venovať pozornosť ich uhlom.
Takže v každom z vyššie uvedených obrázkov, bez ohľadu na to, či má pravé uhly alebo nie, ich celkový súčet je vždy rovnaký - tristošesťdesiat stupňov. To je jedinečný rozlišovací znak tohto typu postavy.
Obvod štvoruholníkov
Keď sme zistili, aký je súčet uhlov štvoruholníka a ďalšie špeciálne vlastnosti obrázkov tohto typu, stojí za to vedieť, aké vzorce sa najlepšie používajú na výpočet ich obvodu a plochy.
Na určenie obvodu akéhokoľvek štvoruholníka stačí spočítať dĺžku všetkých jeho strán.
Napríklad na obrázku KLMN možno jeho obvod vypočítať pomocou vzorca: P \u003d KL + LM + MN + KN. Ak tu dosadíte čísla, dostanete: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).
V prípade, že je príslušným číslom kosoštvorec alebo štvorec, môžete na nájdenie obvodu zjednodušiť vzorec jednoduchým vynásobením dĺžky jednej z jeho strán štyrmi: P \u003d KL x 4. Napríklad: 6 x 4 \u003d 24 (cm).
Plošné štvoruholníkové vzorce
Keď sme zistili, ako nájsť obvod ľubovoľnej postavy so štyrmi rohmi a stranami, stojí za to zvážiť najobľúbenejšie a najjednoduchšie spôsoby, ako nájsť jej oblasť.
Ďalšie vlastnosti štvoruholníkov: vpísaná a opísaná kružnica
Po zvážení vlastností a vlastností štvoruholníka ako figúry euklidovskej geometrie stojí za to venovať pozornosť schopnosti opísať okolo alebo vpísať do neho kruhy:
- Ak súčty protiľahlých uhlov obrazca sú každý stoosemdesiat stupňov a sú po pároch rovnaké, potom možno okolo takého štvoruholníka voľne opísať kruh.
- Podľa Ptolemaiovej vety, ak je kružnica opísaná mimo mnohouholníka so štyrmi stranami, súčin jej uhlopriečok sa rovná súčtu súčinov protiľahlých strán daného útvaru. Vzorec teda bude vyzerať takto: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
- Ak zostrojíte štvoruholník, v ktorom sa súčty protiľahlých strán navzájom rovnajú, potom doň možno vpísať kruh.
Po zistení, čo je štvoruholník, aké typy existujú, ktoré z nich majú iba pravé uhly medzi stranami a aké vlastnosti majú, stojí za to pamätať si všetok tento materiál. Najmä vzorce na nájdenie obvodu a plochy uvažovaných polygónov. Koniec koncov, postavy tejto formy sú jedným z najbežnejších a tieto znalosti môžu byť užitočné pre výpočty v reálnom živote.
Konvexný štvoruholník je obrazec pozostávajúci zo štyroch strán navzájom spojených vo vrcholoch, ktoré spolu so stranami zvierajú štyri uhly, pričom samotný štvoruholník je vždy v rovnakej rovine vzhľadom na priamku, na ktorej leží jedna z jeho strán. Inými slovami, celá postava je na jednej strane ktorejkoľvek z jej strán.
V kontakte s
Ako vidíte, definícia je celkom ľahko zapamätateľná.
Základné vlastnosti a typy
Takmer všetky postavy, ktoré sú nám známe, pozostávajúce zo štyroch rohov a strán, možno pripísať konvexným štvoruholníkom. Možno rozlíšiť nasledovné:
- rovnobežník;
- námestie;
- obdĺžnik;
- lichobežník;
- kosoštvorec.
Všetky tieto obrazce spája nielen to, že sú štvoruholníkové, ale aj to, že sú aj vypuklé. Stačí sa pozrieť na schému:
Na obrázku je znázornený konvexný lichobežník. Tu môžete vidieť, že lichobežník je v rovnakej rovine alebo na jednej strane segmentu. Ak vykonáte podobné akcie, môžete zistiť, že v prípade všetkých ostatných strán je lichobežník konvexný.
Je rovnobežník konvexný štvoruholník?
Hore je obrázok rovnobežníka. Ako je možné vidieť z obrázku, rovnobežník je tiež konvexný. Ak sa pozriete na obrázok vzhľadom na čiary, na ktorých ležia segmenty AB, BC, CD a AD, je zrejmé, že je vždy v rovnakej rovine z týchto čiar. Hlavnými znakmi rovnobežníka sú, že jeho strany sú párovo rovnobežné a rovnaké rovnakým spôsobom, ako sa navzájom rovnajú protiľahlé uhly.
Teraz si predstavte štvorec alebo obdĺžnik. Podľa ich hlavných vlastností sú tiež rovnobežníky, to znamená, že všetky ich strany sú usporiadané v pároch paralelne. Len v prípade obdĺžnika môže byť dĺžka strán rôzna a uhly sú pravé (rovnajúce sa 90 stupňom), štvorec je obdĺžnik, v ktorom sú všetky strany rovnaké a uhly sú tiež pravé, pričom dĺžky strán a uhly rovnobežníka môžu byť rôzne.
Výsledkom je súčet všetkých štyroch rohov štvoruholníka musí byť rovný 360 stupňom. Najjednoduchší spôsob, ako to určiť, je obdĺžnik: všetky štyri rohy obdĺžnika sú správne, to znamená, že sa rovnajú 90 stupňom. Súčet týchto 90-stupňových uhlov dáva 360 stupňov, inými slovami, ak pridáte 90 stupňov 4-krát, dostanete požadovaný výsledok.
Vlastnosť uhlopriečok konvexného štvoruholníka
Uhlopriečky konvexného štvoruholníka sa pretínajú. Tento jav možno skutočne pozorovať vizuálne, stačí sa pozrieť na obrázok:
Obrázok vľavo zobrazuje nekonvexný štvoruholník alebo štvoruholník. Ako si praješ. Ako vidíte, uhlopriečky sa nepretínajú, teda aspoň nie všetky. Na pravej strane je konvexný štvoruholník. Tu je už pozorovaná vlastnosť uhlopriečok pretínať sa. Rovnakú vlastnosť možno považovať za znak konvexnosti štvoruholníka.
Ďalšie vlastnosti a znaky konvexnosti štvoruholníka
Konkrétne podľa tohto pojmu je veľmi ťažké pomenovať nejaké konkrétne vlastnosti a vlastnosti. Jednoduchšie je izolovať podľa rôznych druhov štvoruholníkov tohto typu. Môžete začať s rovnobežníkom. Už vieme, že ide o štvoruholníkový obrazec, ktorého strany sú párovo rovnobežné a rovnaké. Zároveň to zahŕňa aj vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka navzájom sa pretínať, ako aj znak konvexnosti samotného obrazca: rovnobežník je vždy v rovnakej rovine a na jednej strane vzhľadom na ktorúkoľvek z jeho strán.
takže, hlavné vlastnosti a vlastnosti sú známe:
- súčet uhlov štvoruholníka je 360 stupňov;
- diagonály obrazcov sa pretínajú v jednom bode.
Obdĺžnik. Tento obrazec má všetky rovnaké vlastnosti a vlastnosti ako rovnobežník, ale všetky jeho uhly sú rovné 90 stupňom. Odtiaľ názov, obdĺžnik.
Štvorec, rovnaký rovnobežník, ale jeho rohy sú správne, ako obdĺžnik. Z tohto dôvodu sa štvorec zriedka nazýva obdĺžnik. Ale hlavným rozlišovacím znakom štvorca, okrem tých, ktoré už boli uvedené vyššie, je, že všetky jeho štyri strany sú rovnaké.
Lichobežník je veľmi zaujímavá postava.. Toto je tiež štvoruholník a tiež konvexný. V tomto článku sa už lichobežník zvažoval pomocou príkladu výkresu. Je jasné, že je tiež vypuklá. Hlavným rozdielom, a teda aj znakom lichobežníka, je to, že jeho strany sa nemôžu navzájom absolútne rovnať v dĺžke, ako aj v hodnote jeho uhlov. V tomto prípade zostáva obrazec vždy v rovnakej rovine vzhľadom na ktorúkoľvek z priamych čiar, ktoré spájajú akékoľvek dva jeho vrcholy pozdĺž segmentov tvoriacich obrazec.
Rovnako zaujímavou postavou je kosoštvorec. Čiastočne kosoštvorec možno považovať za štvorec. Znakom kosoštvorca je skutočnosť, že jeho uhlopriečky sa nielen pretínajú, ale aj rozdeľujú rohy kosoštvorca na polovicu a samotné uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle, to znamená, že sú kolmé. Ak sú dĺžky strán kosoštvorca rovnaké, potom sú uhlopriečky tiež rozdelené na polovicu v priesečníku.
Deltoidy alebo konvexné kosoštvorce (košoštvorce) môžu mať rôzne dĺžky strán. Zároveň sa však stále zachovávajú hlavné vlastnosti a vlastnosti samotného kosoštvorca, ako aj vlastnosti a vlastnosti konvexnosti. To znamená, že môžeme pozorovať, že uhlopriečky pretínajú rohy a pretínajú sa v pravých uhloch.
Dnešnou úlohou bolo zvážiť a pochopiť, čo sú konvexné štvoruholníky, čo sú a aké sú ich hlavné znaky a vlastnosti. Pozor! Ešte raz je potrebné pripomenúť, že súčet uhlov konvexného štvoruholníka je 360 stupňov. Obvod obrázkov sa napríklad rovná súčtu dĺžok všetkých segmentov tvoriacich obrázok. Vzorce na výpočet obvodu a plochy štvoruholníkov sa budú diskutovať v nasledujúcich článkoch.
Typy konvexných štvoruholníkov
Definícia. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.
Nehnuteľnosť. V rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké a opačné uhly sú rovnaké.
Nehnuteľnosť. Uhlopriečky rovnobežníka sú rozpolené priesečníkom.
1 znak rovnobežníka. Ak sú dve strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je štvoruholník rovnobežník.
2 znak rovnobežníka. Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké v pároch, potom je štvoruholník rovnobežník.
3 znak rovnobežníka. Ak sa v štvoruholníku pretínajú uhlopriečky a priesečník je rozpoltený, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.
Definícia. Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné. Paralelné strany sú tzv dôvodov.
Lichobežník je tzv rovnoramenný (rovnoramenný) ak sú jeho strany rovnaké. V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na základniach rovnaké.
Lichobežník s jedným pravým uhlom sa nazýva pravouhlý.
Segment spájajúci stredy strán sa nazýva stredová čiara lichobežníka. Stredná čiara je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.
Definícia. Obdĺžnik je rovnobežník so všetkými pravými uhlami.
Nehnuteľnosť. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.
Obdĺžnikový znak. Ak sú uhlopriečky v rovnobežníku rovnaké, potom je tento rovnobežník obdĺžnik.
Definícia. Kosoštvorec je rovnobežník, v ktorom sú všetky strany rovnaké.
Nehnuteľnosť. Uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé a jeho uhly pretínajú.
Definícia.Štvorec je obdĺžnik, v ktorom sú všetky strany rovnaké.
Štvorec je určitý druh obdĺžnika a tiež určitý druh kosoštvorca. Preto má všetky ich vlastnosti.
Vlastnosti:
1. Všetky rohy štvorca sú správne
2. Uhlopriečky štvorca sú rovnaké, vzájomne kolmé, priesečník je rozdelený na polovicu a rohy štvorca sú rozdelené na polovicu.
