Idag kommer vi att överväga en geometrisk figur - en fyrhörning. Från namnet på denna figur blir det redan klart att denna figur har fyra hörn. Men vi kommer att överväga de återstående egenskaperna och egenskaperna hos denna figur nedan.
Vad är en fyrhörning
En fyrhörning är en polygon som består av fyra punkter (hörn) och fyra segment (sidor) som förbinder dessa punkter i par. Arean av en fyrhörning är lika med hälften av produkten av dess diagonaler och vinkeln mellan dem.
En fyrhörning är en polygon med fyra hörn, varav tre inte ligger på en rät linje.
Typer av fyrhörningar
- En fyrhörning vars motsatta sidor är parallella i par kallas ett parallellogram.
- En fyrhörning där två motsatta sidor är parallella och de andra två inte är det kallas en trapets.
- En fyrhörning med alla räta vinklar är en rektangel.
- En fyrhörning med alla sidor lika är en romb.
- En fyrhörning där alla sidor är lika och alla vinklar är räta kallas en kvadrat.
En fyrhörning kan vara:
Självkorsande
Icke-konvex
Konvex
Självkorsande fyrhörningär en fyrhörning där någon av dess sidor har en skärningspunkt (i blått i figuren).
Icke-konvex fyrhörningär en fyrhörning där en av de inre vinklarna är mer än 180 grader (anges med orange i figuren).
Summan av vinklar en fyrhörning som inte skär sig själv är alltid lika med 360 grader.
Speciella typer av fyrhörningar
Fyrkanter kan ha ytterligare egenskaper och bildar speciella typer av geometriska former:
- Parallellogram
- Rektangel
- Fyrkant
- Trapets
- Deltoid
- Counterparallelogram
Fyrkant och cirkel
En fyrhörning omskriven runt en cirkel (en cirkel inskriven i en fyrhörning).
Huvudegenskapen för den beskrivna fyrhörningen:
En fyrhörning kan omskrivas runt en cirkel om och bara om summan av längderna på motsatta sidor är lika.
Fyrhörning inskriven i en cirkel (cirkel omskriven runt en fyrhörning)
Huvudegenskapen för en inskriven fyrhörning:
En fyrhörning kan inskrivas i en cirkel om och endast om summan av de motsatta vinklarna är lika med 180 grader.
Egenskaper för längderna på sidorna av en fyrhörning
Modul för skillnaden mellan två sidor av en fyrhörning inte överstiger summan av dess andra två sidor.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|b - c| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
Viktig. Olikheten gäller för alla kombinationer av sidor av en fyrhörning. Ritningen tillhandahålls endast för att underlätta uppfattningen.
I vilken fyrhörning som helst summan av längderna av dess tre sidor är inte mindre än längden på den fjärde sidan.
Viktig. När man löser problem inom Läroplanen du kan använda strikt ojämlikhet (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
För att utföra beräkningar måste du aktivera ActiveX-kontroller!
Ett av de mest intressanta ämnena inom geometri från skolkursen är "Quadrilaterals" (8:e klass). Vilka typer av sådana figurer finns, vilka speciella egenskaper har de? Vad är unikt med fyrhörningar med nittio graders vinklar? Låt oss ta reda på allt.
Vilken geometrisk figur kallas en fyrhörning?
Polygoner som består av fyra sidor och följaktligen fyra hörn (vinklar) kallas fyrhörningar i euklidisk geometri.
Historien om namnet på denna typ av figur är intressant. På det ryska språket bildas substantivet "fyrkant" från frasen "fyra hörn" (precis som "triangel" - tre hörn, "femhörn" - fem hörn, etc.).
Men på latin (genom vilken många geometriska termer kom till de flesta språk i världen) kallas det fyrsidig. Detta ord bildas av siffran quadri (fyra) och substantivet latus (sida). Så vi kan dra slutsatsen att de gamla kallade denna polygon inget annat än en "fyrhörning".
Förresten, detta namn (med betoning på närvaron av fyra sidor, snarare än hörn, i figurer av denna typ) har bevarats på vissa moderna språk. Till exempel på engelska - quadrilateral och på franska - quadrilatère.
Dessutom, i de flesta slaviska språk, identifieras typen av figur i fråga fortfarande av antalet vinklar, inte sidor. Till exempel på slovakiska (štvoruholník), på bulgariska ("chetirigalnik"), på vitryska ("chatyrokhkutnik"), på ukrainska ("chotirikutnik"), på tjeckiska (čtyřúhelník), men på polska kallas fyrhörningen med antalet sidor - czworoboczny.
Vilka typer av fyrhörningar studeras i skolans läroplan?
I modern geometri finns det 4 typer av polygoner med fyra sidor.
Men på grund av de alltför komplexa egenskaperna hos några av dem introduceras skolbarn för endast två typer i geometrilektioner.
- Parallellogram. De motsatta sidorna av en sådan fyrhörning är parallella med varandra i par och är följaktligen också lika i par.
- Trapes (trapez eller trapets). Denna fyrhörning består av två motsatta sidor parallella med varandra. Det andra paret av sidor har dock inte denna funktion.
Typer av fyrhörningar som inte studeras i skolans geometrikurs
Utöver ovanstående finns det ytterligare två typer av fyrhörningar som skolbarn inte introduceras för i geometrilektioner på grund av deras speciella komplexitet.
- Deltoid (drake)- en figur där vart och ett av två par intilliggande sidor är lika långa. Denna fyrhörning fick sitt namn på grund av det faktum att den till utseendet ganska liknar bokstaven i det grekiska alfabetet - "delta".
- Antiparallelogram- den här figuren är lika komplex som dess namn. I den är två motsatta sidor lika, men samtidigt är de inte parallella med varandra. Dessutom skär de långa motsatta sidorna av denna fyrhörning varandra, liksom förlängningarna av de andra två, kortare sidorna.
Typer av parallellogram
Efter att ha behandlat huvudtyperna av fyrkanter är det värt att uppmärksamma dess undertyper. Så alla parallellogram är i sin tur också indelade i fyra grupper.
- Klassisk parallellogram.
- Romb- en fyrkantig figur med lika sidor. Dess diagonaler skär varandra i räta vinklar och delar romben i fyra lika rätvinkliga trianglar.
- Rektangel. Namnet talar för sig självt. Eftersom det är en fyrhörning med räta vinklar (var och en av dem är lika med nittio grader). Dess motsatta sidor är inte bara parallella med varandra, utan också lika.
- Fyrkant. Liksom en rektangel är den en fyrhörning med räta vinklar, men alla dess sidor är lika. På så sätt är denna figur nära en romb. Så vi kan säga att en kvadrat är en korsning mellan en romb och en rektangel.
Särskilda egenskaper hos en rektangel
När man överväger figurer där var och en av vinklarna mellan sidorna är lika med nittio grader, är det värt att titta närmare på rektangeln. Så, vilka speciella egenskaper har den som skiljer den från andra parallellogram?
För att hävda att parallellogrammet i fråga är en rektangel måste dess diagonaler vara lika med varandra, och var och en av vinklarna måste vara räta. Dessutom måste kvadraten på dess diagonaler motsvara summan av kvadraterna på två intilliggande sidor av denna figur. En klassisk rektangel består med andra ord av två räta trianglar, och i dem fungerar som bekant diagonalen på fyrhörningen i fråga som hypotenusan.
Den sista av de listade egenskaperna hos denna figur är också dess speciella egenskap. Förutom detta finns det andra. Till exempel är det faktum att alla sidor av fyrhörningen som studeras med räta vinklar också dess höjder.
Dessutom, om en cirkel ritas runt en rektangel, kommer dess diameter att vara lika med diagonalen på den inskrivna figuren.
Bland andra egenskaper hos denna fyrhörning är att den är platt och inte existerar i icke-euklidisk geometri. Detta beror på det faktum att det i ett sådant system inte finns några fyrkantiga figurer, vars vinklar är lika med trehundrasextio grader.
Square och dess funktioner
Efter att ha förstått tecknen och egenskaperna hos en rektangel är det värt att uppmärksamma den andra fyrhörningen som är känd för vetenskapen med räta vinklar (detta är en kvadrat).
Eftersom den i själva verket är samma rektangel, men med lika sidor, har denna figur alla sina egenskaper. Men till skillnad från det är torget närvarande i icke-euklidisk geometri.
Dessutom har denna figur andra särdrag. Till exempel det faktum att diagonalerna i en kvadrat inte bara är lika med varandra, utan också skär varandra i räta vinklar. Liksom en romb består alltså en kvadrat av fyra rätvinkliga trianglar i vilka diagonaler delar upp den.
Dessutom är denna figur den mest symmetriska bland alla fyrhörningar.
Vad är summan av vinklarna på en fyrhörning?
När man överväger egenskaperna hos fyrhörningar i euklidisk geometri är det värt att uppmärksamma deras vinklar.
Så, i var och en av ovanstående figurer, oavsett om den har räta vinklar eller inte, är deras totala summa alltid densamma - trehundrasextio grader. Detta är en unik utmärkande egenskap hos denna typ av figur.
Omkrets av fyrhörningar
Efter att ha räknat ut vad summan av vinklarna på en fyrhörning är lika med och andra speciella egenskaper hos figurer av denna typ, är det värt att ta reda på vilka formler som bäst används för att beräkna deras omkrets och area.
För att bestämma omkretsen av en fyrhörning behöver du bara lägga till längderna på alla dess sidor tillsammans.
Till exempel, i KLMN-figuren, kan dess omkrets beräknas med formeln: P = KL + LM + MN + KN. Om du byter ut siffrorna här får du: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).
I fallet när figuren i fråga är en romb eller en kvadrat, för att hitta omkretsen kan du förenkla formeln genom att helt enkelt multiplicera längden på en av dess sidor med fyra: P = KL x 4. Till exempel: 6 x 4 = 24 (cm).
Formler för fyrhörningar med area
Efter att ha listat ut hur man hittar omkretsen av en figur med fyra hörn och sidor, är det värt att överväga de mest populära och enkla sätten att hitta sitt område.
Andra egenskaper hos fyrhörningar: incirklar och omslutna cirklar
Efter att ha övervägt egenskaperna och egenskaperna hos en fyrhörning som en figur av euklidisk geometri, är det värt att uppmärksamma förmågan att beskriva cirklar runt eller inskriva cirklar inuti den:
- Om summan av en figurs motsatta vinklar är hundraåttio grader och är lika parvis, kan en cirkel fritt beskrivas runt en sådan fyrhörning.
- Enligt Ptolemaios teorem, om en cirkel är omskriven utanför en polygon med fyra sidor, så är produkten av dess diagonaler lika med summan av produkterna av de motsatta sidorna av den givna figuren. Således kommer formeln att se ut så här: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
- Om du bygger en fyrhörning där summan av motsatta sidor är lika med varandra, kan du skriva in en cirkel i den.
Efter att ha tagit reda på vad en fyrhörning är, vilka typer av den finns, vilka av dem har bara räta vinklar mellan sidorna och vilka egenskaper de har, är det värt att komma ihåg allt detta material. Särskilt formler för att hitta omkretsen och arean av de övervägda polygonerna. Trots allt är figurer av denna form bland de vanligaste, och denna kunskap kan vara användbar för beräkningar i verkliga livet.
En konvex fyrhörning är en figur som består av fyra sidor som är förbundna med varandra vid hörnen och bildar fyra vinklar tillsammans med sidorna, medan själva fyrhörningen alltid är i samma plan relativt den räta linje som en av dess sidor ligger på. Med andra ord, hela figuren är på samma sida av någon av dess sidor.
I kontakt med
Som du kan se är definitionen ganska lätt att komma ihåg.
Grundläggande egenskaper och typer
Nästan alla kända figurer som består av fyra hörn och sidor kan klassificeras som konvexa fyrhörningar. Följande kan särskiljas:
- parallellogram;
- fyrkant;
- rektangel;
- trapetsoid;
- romb.
Alla dessa figurer förenas inte bara av det faktum att de är fyrkantiga, utan också av det faktum att de också är konvexa. Titta bara på diagrammet:
Figuren visar en konvex trapets. Här kan du se att trapetsen är på samma plan eller på ena sidan av segmentet. Om du utför liknande åtgärder kan du ta reda på att trapetsen är konvex för alla andra sidor.
Är ett parallellogram en konvex fyrhörning?
Ovan är en bild av ett parallellogram. Som framgår av figuren, parallellogram är också konvext. Om man tittar på figuren relativt linjerna som segmenten AB, BC, CD och AD ligger på så blir det tydligt att den alltid är på samma plan från dessa linjer. De huvudsakliga egenskaperna hos ett parallellogram är att dess sidor är parvis parallella och lika, precis som motsatta vinklar är lika med varandra.
Föreställ dig nu en kvadrat eller rektangel. Enligt deras grundläggande egenskaper är de också parallellogram, det vill säga alla deras sidor är placerade i parallella par. Endast i fallet med en rektangel kan längderna på sidorna vara olika, och vinklarna är räta (lika med 90 grader), en kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika och vinklarna också är räta, och i en parallellogram kan längderna på sidorna och vinklarna vara olika.
Som ett resultat, summan av alla fyra vinklarna på en fyrhörning bör vara lika med 360 grader. Det enklaste sättet att avgöra detta är genom att titta på en rektangel: alla fyra hörn av rektangeln är rätta, det vill säga lika med 90 grader. Summan av dessa 90 graders vinklar ger 360 grader, med andra ord, lägger man till 90 grader 4 gånger får man önskat resultat.
Egenskapen för diagonaler av en konvex fyrhörning
Diagonalerna på en konvex fyrhörning skär varandra. Faktum är att detta fenomen kan observeras visuellt, titta bara på figuren:
Bilden till vänster visar en icke-konvex fyrhörning eller fyrhörning. Som du önskar. Som du kan se skär diagonalerna inte varandra, åtminstone inte alla. Till höger är en konvex fyrhörning. Här observeras redan diagonalernas egenskap att skära varandra. Samma egenskap kan betraktas som ett tecken på konvexitet hos en fyrhörning.
Andra egenskaper och tecken på konvexitet hos en fyrhörning
Det är mycket svårt att nämna några specifika egenskaper och egenskaper med denna term. Det är lättare att skilja på olika typer av fyrhörningar av denna typ. Du kan börja med ett parallellogram. Vi vet redan att detta är en fyrkantig figur, vars sidor är parallella och lika i par. Samtidigt inkluderar detta också egenskapen hos ett parallellograms diagonaler att skära varandra, såväl som själva tecknet på figurens konvexitet: parallellogrammet är alltid i samma plan och på samma sida i förhållande till någon av dess sidor.
Så, huvuddragen och egenskaperna är kända:
- summan av vinklarna för en fyrhörning är 360 grader;
- Diagonalerna på figurerna skär varandra vid en punkt.
Rektangel. Denna figur har alla samma egenskaper och egenskaper som ett parallellogram, men samtidigt är alla dess vinklar lika med 90 grader. Därav namnet - rektangel.
Kvadratisk, samma parallellogram, men dess vinklar är rätta som en rektangel. På grund av detta kallas en kvadrat sällan en rektangel. Men det främsta utmärkande kännetecknet för en kvadrat, utöver de som redan listats ovan, är att alla fyra sidorna är lika.
Trapets är en mycket intressant figur. Detta är också en fyrkant och även konvex. I den här artikeln har trapetsen redan diskuterats med exemplet på en ritning. Det är tydligt att det också är konvext. Den största skillnaden, och därför ett tecken på en trapets, är att dess sidor kan vara absolut ojämlika med varandra i längd, såväl som dess vinklar i värde. I detta fall förblir figuren alltid på samma plan i förhållande till någon av linjerna som förbinder två av dess hörn längs segmenten som bildar figuren.
En romb är en lika intressant figur. Delvis kan en romb betraktas som en kvadrat. Ett tecken på en romb är det faktum att dess diagonaler inte bara korsar varandra, utan delar också hörnen på romben i hälften, och diagonalerna själva skär varandra i räta vinklar, det vill säga de är vinkelräta. Om längderna på sidorna på en romb är lika, delas diagonalerna också på mitten när de skär varandra.
Deltoider eller konvexa romboider (rombusar) kan ha olika sidolängder. Men samtidigt är både de grundläggande egenskaperna och egenskaperna hos själva romben, såväl som konvexitetens egenskaper och egenskaper, fortfarande bevarade. Det vill säga, vi kan observera att diagonalerna delar vinklarna och skär varandra i räta vinklar.
Dagens uppgift var att överväga och förstå vad konvexa fyrhörningar är, hur de är och deras huvuddrag och egenskaper. Uppmärksamhet! Det är värt att återigen komma ihåg att summan av vinklarna för en konvex fyrhörning är 360 grader. Omkretsen av figurer är till exempel lika med summan av längderna av alla segment som bildar figuren. Formler för att beräkna omkretsen och arean av fyrhörningar kommer att diskuteras i följande artiklar.
Typer av konvexa fyrhörningar
Definition. Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parallella i par.
Fast egendom. I ett parallellogram är motsatta sidor lika och motsatta vinklar lika.
Fast egendom. Diagonalerna i ett parallellogram delas på mitten av skärningspunkten.
1 tecken på ett parallellogram. Om två sidor av en fyrhörning är lika och parallella, så är fyrhörningen ett parallellogram.
2 tecken på ett parallellogram. Om i en fyrhörning de motsatta sidorna är lika i par, så är denna fyrhörning ett parallellogram.
3 tecken på ett parallellogram. Om diagonalerna på en fyrhörning skär varandra och delas av skärningspunkten, är fyrhörningen ett parallellogram.
Definition. En trapets är en fyrhörning där två sidor är parallella och de andra två sidorna inte är parallella. Parallella sidor kallas skäl.
Trapets kallas likbent (liksidig), om dess sidor är lika. I en likbent trapets är vinklarna vid baserna lika.
En trapets, vars ena vinklar är rät, kallas rektangulär.
Segmentet som förbinder sidornas mittpunkter kallas mittlinjen av trapets. Mittlinjen är parallell med baserna och lika med deras halvsumma.
Definition. En rektangel är ett parallellogram vars vinklar är okej.
Fast egendom. Diagonalerna i en rektangel är lika.
Rektangel tecken. Om diagonalerna i ett parallellogram är lika, är detta parallellogram en rektangel.
Definition. En romb är ett parallellogram där alla sidor är lika.
Fast egendom. Diagonalerna på en romb är inbördes vinkelräta och delar dess vinklar.
Definition. En kvadrat är en rektangel vars sidor är lika.
En kvadrat är en speciell typ av en rektangel, såväl som en speciell typ av en romb. Därför har den alla sina egenskaper.
Egenskaper:
1. Alla vinklar i en kvadrat är räta
2. Kvadratens diagonaler är lika, inbördes vinkelräta, skärningspunkten halverar och halverar kvadratens hörn.
