Anong formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection ng displacement ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na linear na paggalaw? Pagdaragdag ng mga vector na patayo sa bawat isa

Pahina 8 ng 12

§ 7. Paggalaw sa ilalim ng pare-parehong acceleration
tuwid na galaw

1. Gamit ang isang graph ng bilis kumpara sa oras, maaari kang makakuha ng isang formula para sa displacement ng isang katawan sa panahon ng pare-parehong rectilinear motion.

Ipinapakita ng Figure 30 ang isang graph ng velocity projection pare-parehong galaw bawat axis X mula sa panahon. Kung ibabalik natin ang patayo sa axis ng oras sa isang punto C, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang parihaba OABC. Ang lugar ng parihaba na ito ay katumbas ng produkto ng mga gilid O.A. At O.C.. Ngunit ang haba ng gilid O.A. katumbas ng v x, at ang haba ng gilid O.C. - t, mula rito S = v x t. Produkto ng projection ng velocity papunta sa isang axis X at ang oras ay katumbas ng projection ng displacement, i.e. s x = v x t.

kaya, ang projection ng displacement sa panahon ng pare-parehong rectilinear motion ay numerong katumbas ng lugar ng rectangle na nililimitahan ng mga coordinate axes, ang velocity graph at ang perpendicular sa time axis.

2. Nakukuha namin sa katulad na paraan ang formula para sa projection ng displacement para sa isang rectilinear pantay na pinabilis na paggalaw. Upang gawin ito, gagamitin namin ang graph ng velocity projection papunta sa axis X paminsan-minsan (Larawan 31). Pumili tayo ng maliit na lugar sa graph ab at i-drop ang mga patayo mula sa mga puntos a At b sa axis ng oras. Kung ang pagitan ng oras D t, naaayon sa site CD sa oras na axis ay maliit, pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na ang bilis ay hindi nagbabago sa panahong ito at ang katawan ay gumagalaw nang pantay. Sa kasong ito ang figure cabd maliit ang pagkakaiba sa isang parihaba at ang lugar nito ay katumbas ng numero sa projection ng paggalaw ng katawan sa paglipas ng panahon na tumutugma sa segment CD.

Ang buong figure ay maaaring nahahati sa naturang mga piraso OABC, at ang lugar nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga piraso. Samakatuwid, ang projection ng paggalaw ng katawan sa paglipas ng panahon t katumbas ng numero sa lugar ng trapezoid OABC. Mula sa iyong kurso sa geometry alam mo na ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas nito: S= (O.A. + B.C.)O.C..

Tulad ng makikita mula sa Figure 31, O.A. = v 0x , B.C. = v x, O.C. = t. Ito ay sumusunod na ang displacement projection ay ipinahayag ng formula: s x= (v x + v 0x)t.

Sa pantay na pinabilis na rectilinear motion, ang bilis ng katawan sa anumang sandali ng oras ay katumbas ng v x = v 0x + isang x t, samakatuwid, s x = (2v 0x + isang x t)t.

Mula rito:

Upang makuha ang equation ng paggalaw ng isang katawan, pinapalitan namin ang expression nito sa mga tuntunin ng pagkakaiba sa mga coordinate sa displacement projection formula s x = x – x 0 .

Nakukuha namin: x – x 0 = v 0x t+ , o

x = x 0 + v 0x t + .

Gamit ang equation ng paggalaw, maaari mong matukoy ang coordinate ng isang katawan anumang oras kung ang paunang coordinate, paunang bilis at acceleration ng katawan ay kilala.

3. Sa pagsasagawa, madalas na may mga problema kung saan kinakailangan upang mahanap ang displacement ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na rectilinear motion, ngunit ang oras ng paggalaw ay hindi alam. Sa mga kasong ito, ginagamit ang ibang displacement projection formula. Kunin natin.

Mula sa formula para sa projection ng velocity ng uniformly accelerated rectilinear motion v x = v 0x + isang x t Ipahayag natin ang oras:

t = .

Ang pagpapalit ng expression na ito sa formula ng displacement projection, makuha namin ang:

s x = v 0x + .

Mula rito:

s x = , o
–= 2isang x s x.

Kung ang paunang bilis ng katawan ay zero, kung gayon:

2isang x s x.

4. Halimbawa ng solusyon sa problema

Ang isang skier ay dumudulas sa isang dalisdis ng bundok mula sa isang estado ng pahinga na may acceleration na 0.5 m/s 2 sa 20 s at pagkatapos ay gumagalaw sa isang pahalang na seksyon, na naglakbay ng 40 m hanggang sa isang paghinto ibabaw? Ano ang haba ng dalisdis ng bundok?

Ibinigay:

Solusyon

v 01 = 0

a 1 = 0.5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Ang paggalaw ng skier ay binubuo ng dalawang yugto: sa unang yugto, pababa mula sa dalisdis ng bundok, ang skier ay gumagalaw nang may pagtaas ng bilis; sa ikalawang yugto, kapag gumagalaw sa pahalang na ibabaw, bumababa ang bilis nito. Isinulat namin ang mga halaga na nauugnay sa unang yugto ng paggalaw na may index 1, at ang mga nauugnay sa pangalawang yugto na may index 2.

a 2?

s 1?

Ikonekta natin ang reference frame sa Earth, ang axis X ituro natin ang skier sa direksyon ng bilis sa bawat yugto ng kanyang paggalaw (Larawan 32).

Isulat natin ang equation para sa bilis ng skier sa dulo ng pagbaba mula sa bundok:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Sa mga projection papunta sa axis X makuha namin: v 1x = a 1x t. Dahil ang mga projection ng velocity at acceleration papunta sa axis X ay positibo, ang speed modulus ng skier ay katumbas ng: v 1 = a 1 t 1 .

Sumulat tayo ng isang equation na nagkokonekta sa mga projection ng bilis, acceleration at displacement ng skier sa ikalawang yugto ng paggalaw:

–= 2a 2x s 2x .

Isinasaalang-alang na ang unang bilis ng skier sa yugtong ito ng paggalaw ay katumbas ng kanyang huling bilis sa unang yugto

v 02 = v 1 , v 2x= 0 ang nakukuha natin

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Mula rito a 2 = ;

a 2 == 0.125 m/s 2 .

Ang module ng paggalaw ng skier sa unang yugto ng paggalaw ay katumbas ng haba ng slope ng bundok. Isulat natin ang equation para sa displacement:

s 1x = v 01x t + .

Kaya ang haba ng dalisdis ng bundok ay s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Sagot: a 2 = 0.125 m/s 2 ; s 1 = 100 m.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1. Tulad ng sa graph ng projection ng bilis ng pare-parehong rectilinear motion papunta sa axis X

2. Tulad ng sa graph ng projection ng bilis ng pare-parehong pinabilis na rectilinear motion papunta sa axis X matukoy ang projection ng paggalaw ng katawan paminsan-minsan?

3. Anong formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection ng displacement ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na linear na paggalaw?

4. Anong formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection ng displacement ng isang katawan na gumagalaw na pare-parehong pinabilis at rectilinearly kung ang paunang bilis ng katawan ay zero?

Gawain 7

1. Ano ang module ng paggalaw ng kotse sa loob ng 2 minuto, kung sa panahong ito ang bilis nito ay nagbago mula 0 hanggang 72 km/h? Ano ang coordinate ng kotse sa sandaling oras t= 2 min? Ang paunang coordinate ay itinuturing na katumbas ng zero.

2. Gumagalaw ang tren na may paunang bilis na 36 km/h at isang acceleration na 0.5 m/s 2 . Ano ang displacement ng tren sa 20 s at ang coordinate nito sa sandali ng oras? t= 20 s kung ang inisyal na coordinate ng tren ay 20 m?

3. Ano ang displacement ng siklista sa 5 s pagkatapos ng pagsisimula ng pagpepreno, kung ang kanyang paunang bilis habang nagpepreno ay 10 m/s at ang acceleration ay 1.2 m/s 2? Ano ang coordinate ng siklista sa sandali ng oras? t= 5 s, kung sa unang sandali ng oras ito ay nasa pinanggalingan?

4. Ang isang kotse na gumagalaw sa bilis na 54 km/h ay humihinto kapag nagpepreno ng 15 s. Ano ang modulus ng paggalaw ng isang kotse habang nagpepreno?

5. Dalawang kotse ang gumagalaw patungo sa isa't isa mula sa dalawang pamayanan na matatagpuan sa layong 2 km mula sa isa't isa. Ang unang bilis ng isang kotse ay 10 m/s at ang acceleration ay 0.2 m/s 2 , ang unang bilis ng isa ay 15 m/s at ang acceleration ay 0.2 m/s 2 . Tukuyin ang oras at mga coordinate ng lugar ng pagpupulong ng mga kotse.

Laboratory work No. 1

Pag-aaral ng uniformly accelerated
paggalaw ng rectilinear

Layunin ng gawain:

matutong sukatin ang acceleration sa panahon ng pantay na pinabilis na linear na paggalaw; upang eksperimento na itatag ang ratio ng mga landas na dinadaanan ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na rectilinear motion sa magkakasunod na pantay na pagitan ng oras.

Mga aparato at materyales:

trench, tripod, metal na bola, segundometro, measuring tape, metal cylinder.

Order sa trabaho

1. I-secure ang isang dulo ng chute sa tripod leg upang makagawa ito ng bahagyang anggulo sa ibabaw ng mesa Sa kabilang dulo ng chute, maglagay ng metal na silindro dito.

2. Sukatin ang mga landas na dinaanan ng bola sa 3 magkakasunod na yugto ng panahon na katumbas ng 1 s bawat isa. Ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan. Maaari kang maglagay ng mga marka ng chalk sa kanal na nagtatala ng mga posisyon ng bola sa mga oras na katumbas ng 1 s, 2 s, 3 s, at sinusukat ang mga distansya s_ sa pagitan ng mga markang ito. Maaari mong, sa pamamagitan ng pagpapakawala ng bola mula sa parehong taas sa bawat oras, sukatin ang landas s, unang nilakbay nito sa loob ng 1 s, pagkatapos ay sa 2 s at sa 3 s, at pagkatapos ay kalkulahin ang landas na nilakbay ng bola sa ikalawa at ikatlong segundo. Itala ang mga resulta ng pagsukat sa talahanayan 1.

3. Hanapin ang ratio ng landas na nilakbay sa ikalawang segundo sa landas na nilakbay sa unang segundo, at ang landas na nilakbay sa ikatlong segundo sa landas na nilakbay sa unang segundo. Gumuhit ng konklusyon.

4. Sukatin ang oras na gumagalaw ang bola sa kahabaan ng chute at ang distansya na tinatahak nito. Kalkulahin ang acceleration ng paggalaw nito gamit ang formula s = .

5. Gamit ang eksperimento na nakuhang acceleration value, kalkulahin ang mga distansya na dapat ilakbay ng bola sa una, pangalawa at pangatlong segundo ng paggalaw nito. Gumuhit ng konklusyon.

Talahanayan 1

Karanasan no.

Pang-eksperimentong data

Teoretikal na mga resulta

Oras t , Sa

Paraan s , cm

Oras t , Sa

Daan

s, cm

Pagpapabilis a, cm/s2

Orast, Sa

Paraan s , cm

Ang bilis (v) ay isang pisikal na dami, ayon sa bilang na katumbas ng (mga) landas na nilakbay ng katawan sa bawat yunit ng oras (t).

Daan

Landas (S) - ang haba ng trajectory kung saan gumagalaw ang katawan, ayon sa numero ay katumbas ng produkto ng bilis (v) ng katawan at ang oras (t) ng paggalaw.

Oras ng pagmamaneho

Ang oras ng paggalaw (t) ay katumbas ng ratio ng distansya (S) na nilakbay ng katawan sa bilis (v) ng paggalaw.

average na bilis

Ang average na bilis (vср) ay katumbas ng ratio ng kabuuan ng mga seksyon ng landas (s 1 s 2, s 3, ...) na nilakbay ng katawan sa tagal ng panahon (t 1 + t 2 + t 3 + . ..) kung saan tinahak ang landas na ito .

average na bilis- ito ang ratio ng haba ng landas na nilakbay ng katawan sa oras kung saan natakpan ang landas na ito.

average na bilis para sa hindi pantay na paggalaw sa isang tuwid na linya: ito ang ratio ng buong landas sa buong oras.

Dalawang magkakasunod na yugto sa magkaibang bilis: kung saan

Kapag nilulutas ang mga problema - kung gaano karaming mga yugto ng paggalaw ang magkakaroon ng napakaraming bahagi:

Mga projection ng displacement vector sa mga coordinate axes

Projection ng displacement vector papunta sa OX axis:

Projection ng displacement vector papunta sa OY axis:

Ang projection ng isang vector sa isang axis ay zero kung ang vector ay patayo sa axis.

Mga palatandaan ng projection ng displacement: ang isang projection ay itinuturing na positibo kung ang paggalaw mula sa projection ng simula ng vector hanggang sa projection ng dulo ay nangyayari sa direksyon ng axis, at negatibo kung laban sa axis. Sa halimbawang ito

Modyul ng paggalaw ay ang haba ng displacement vector:

Ayon sa Pythagorean theorem:

Mga projection ng paggalaw at anggulo ng pagtabingi

Sa halimbawang ito:

Coordinate equation (sa pangkalahatang anyo):

Radius vector- isang vector na ang simula ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, at ang pagtatapos sa posisyon ng katawan sa isang naibigay na sandali sa oras. Tinutukoy ng mga projection ng radius vector sa mga coordinate axes ang mga coordinate ng katawan sa isang partikular na oras.

Ang radius vector ay nagpapahintulot sa iyo na tukuyin ang posisyon ng isang materyal na punto sa isang ibinigay sistema ng sanggunian:

Uniform linear motion - kahulugan

Uniform linear na paggalaw- isang kilusan kung saan ang isang katawan ay gumagawa ng pantay na paggalaw sa anumang pantay na yugto ng panahon.

Bilis sa pare-parehong linear na paggalaw. Ang bilis ay isang vector na pisikal na dami na nagpapakita kung gaano karaming paggalaw ang ginagawa ng isang katawan sa bawat yunit ng oras.

Sa anyo ng vector:

Sa mga projection papunta sa OX axis:

Mga karagdagang unit ng bilis:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0.01 m/s,

1 m/min =1 m/60 s.

Ang aparato sa pagsukat - speedometer - ay nagpapakita ng module ng bilis.

Ang tanda ng velocity projection ay depende sa direksyon ng velocity vector at ang coordinate axis:

Ang velocity projection graph ay kumakatawan sa dependence ng velocity projection sa oras:

Velocity graph para sa pare-parehong linear na paggalaw- tuwid na linya parallel sa axis ng oras (1, 2, 3).

Kung ang graph ay nasa itaas ng time axis (.1), ang katawan ay gumagalaw sa direksyon ng OX axis. Kung ang graph ay matatagpuan sa ilalim ng time axis, ang katawan ay gumagalaw laban sa OX axis (2, 3).

Geometric na kahulugan ng paggalaw.

Sa pare-parehong linear na paggalaw, ang displacement ay tinutukoy ng formula. Nakukuha namin ang parehong resulta kung kinakalkula namin ang lugar ng figure sa ilalim ng graph ng bilis sa mga axes. Nangangahulugan ito na upang matukoy ang landas at modulus ng displacement sa panahon ng linear na paggalaw, kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng figure sa ilalim ng velocity graph sa mga axes:

Displacement Projection Graph- pagtitiwala sa projection ng displacement sa oras.

Displacement projection graph sa pare-parehong rectilinear na paggalaw- isang tuwid na linya na nagmumula sa pinagmulan ng mga coordinate (1, 2, 3).

Kung ang tuwid na linya (1) ay nasa itaas ng axis ng oras, ang katawan ay gumagalaw sa direksyon ng axis ng OX, at kung nasa ilalim ng axis (2, 3), pagkatapos ay laban sa axis ng OX.

Kung mas malaki ang tangent ng slope (1) ng graph, mas malaki ang velocity module.

Mga coordinate ng graph- pag-asa ng mga coordinate ng katawan sa oras:

Graph ng mga coordinate para sa pare-parehong rectilinear motion - mga tuwid na linya (1, 2, 3).

Kung ang coordinate ay tumaas sa paglipas ng panahon (1, 2), pagkatapos ay ang katawan ay gumagalaw sa direksyon ng OX axis; kung bumababa ang coordinate (3), pagkatapos ay gumagalaw ang katawan laban sa direksyon ng axis ng OX.

Kung mas malaki ang tangent ng anggulo ng pagkahilig (1), mas malaki ang module ng bilis.

Kung ang mga coordinate graph ng dalawang katawan ay nagsalubong, pagkatapos ay mula sa intersection point perpendiculars ay dapat ibaba sa time axis at coordinate axis.

Relativity ng mekanikal na paggalaw

Sa pamamagitan ng relativity naiintindihan natin ang pagdepende ng isang bagay sa pagpili ng frame of reference. Halimbawa, ang kapayapaan ay kamag-anak; relatibo ang paggalaw at relatibo ang posisyon ng katawan.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga displacement. Vector kabuuan ng mga displacement

kung saan ang paggalaw ng katawan na may kaugnayan sa gumagalaw na frame of reference (MSF); - paggalaw ng PSO na may kaugnayan sa fixed reference system (FRS); - paggalaw ng katawan na may kaugnayan sa isang nakapirming frame of reference (FFR).

Pagdaragdag ng vector:

Pagdaragdag ng mga vector na nakadirekta sa isang tuwid na linya:

Pagdaragdag ng mga vector na patayo sa bawat isa

Ayon sa Pythagorean theorem

Kumuha tayo ng formula kung saan maaari mong kalkulahin ang projection ng displacement vector ng isang katawan na gumagalaw nang rectilinearly at pare-parehong pinabilis para sa anumang yugto ng panahon. Upang gawin ito, buksan natin ang Figure 14. Pareho sa Figure 14, a, at sa Figure 14, b, ang segment AC ay isang graph ng projection ng velocity vector ng isang katawan na gumagalaw na may pare-pareho ang acceleration a (sa isang paunang bilis v 0).

kanin. 14. Ang projection ng displacement vector ng isang katawan na gumagalaw nang rectilinearly at pare-parehong pinabilis ay numerong katumbas ng lugar S sa ilalim ng graph

Alalahanin natin na sa kaso ng rectilinear uniform motion ng isang katawan, ang projection ng displacement vector na ginawa ng katawan na ito ay tinutukoy ng parehong formula bilang ang area ng rectangle na nakapaloob sa ilalim ng graph ng projection ng velocity vector. (tingnan ang Fig. 6). Samakatuwid, ang projection ng displacement vector ay numerong katumbas ng lugar ng rectangle na ito.

Patunayan natin na sa kaso ng rectilinear uniformly accelerated motion, ang projection ng displacement vector s x ay maaaring matukoy ng parehong formula bilang ang area ng figure na nakapaloob sa pagitan ng graph AC, ang Ot axis at ang mga segment na OA at BC , ibig sabihin, tulad ng sa kasong ito, ang projection ng displacement vector ay numerong katumbas ng lugar ng figure sa ilalim ng velocity graph. Upang gawin ito, sa Ot axis (tingnan ang Fig. 14, a) pumili kami ng isang maliit na yugto ng panahon db. Mula sa mga puntos na d at b gumuhit kami ng mga patayo sa Ot axis hanggang sa mag-intersect sila sa graph ng projection ng velocity vector sa mga puntos a at c.

Kaya, sa loob ng isang panahon na tumutugma sa segment na db, ang bilis ng katawan ay nagbabago mula sa v ax hanggang v cx.

Sa loob ng medyo maikling panahon, bahagyang nagbabago ang projection ng velocity vector. Samakatuwid, ang paggalaw ng katawan sa panahong ito ay naiiba nang kaunti sa pare-parehong paggalaw, iyon ay, mula sa paggalaw sa patuloy na bilis.

Ang buong lugar ng OASV figure, na isang trapezoid, ay maaaring nahahati sa mga naturang piraso. Dahil dito, ang projection ng displacement vector sx para sa tagal ng panahon na tumutugma sa segment na OB ay numerong katumbas ng lugar S ng trapezoid OASV at tinutukoy ng parehong formula bilang lugar na ito.

Ayon sa tuntuning ibinigay sa mga kurso sa paaralan geometry, ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito at taas nito. Mula sa Figure 14, b malinaw na ang mga base ng trapezoid OASV ay ang mga segment OA = v 0x at BC = v x, at ang taas ay ang segment OB = t. Kaya naman,

Dahil v x = v 0x + a x t, a S = s x, maaari nating isulat ang:

Kaya, nakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng projection ng displacement vector sa panahon ng pantay na pinabilis na paggalaw.

Gamit ang parehong formula, ang projection ng displacement vector ay kinakalkula din kapag ang katawan ay gumagalaw nang may bumababang bilis, tanging sa kasong ito ang velocity at acceleration vectors ay ididirekta sa magkasalungat na direksyon, kaya ang kanilang mga projection ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan.

Mga tanong

Gamit ang Figure 14, a, patunayan na ang projection ng displacement vector sa panahon ng pantay na pinabilis na paggalaw ay numerong katumbas ng lugar ng figure OASV.
Sumulat ng isang equation upang matukoy ang projection ng displacement vector ng isang katawan sa panahon ng rectilinear na pantay na pinabilis na paggalaw.

Pagsasanay 7

Pahina 8 ng 12

§ 7. Paggalaw sa ilalim ng pare-parehong acceleration
tuwid na galaw

1. Gamit ang isang graph ng bilis kumpara sa oras, maaari kang makakuha ng isang formula para sa displacement ng isang katawan sa panahon ng pare-parehong rectilinear motion.

Ipinapakita ng Figure 30 ang isang graph ng projection ng bilis ng pare-parehong paggalaw papunta sa axis X mula sa panahon. Kung ibabalik natin ang patayo sa axis ng oras sa isang punto C, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang parihaba OABC. Ang lugar ng parihaba na ito ay katumbas ng produkto ng mga gilid O.A. At O.C.. Ngunit ang haba ng gilid O.A. katumbas ng v x, at ang haba ng gilid O.C. - t, mula rito S = v x t. Produkto ng projection ng velocity papunta sa isang axis X at ang oras ay katumbas ng projection ng displacement, i.e. s x = v x t.

2. Nakukuha namin sa katulad na paraan ang formula para sa projection ng displacement sa rectilinear uniformly accelerated motion. Upang gawin ito, gagamitin namin ang graph ng velocity projection papunta sa axis X paminsan-minsan (Larawan 31). Pumili tayo ng maliit na lugar sa graph ab at i-drop ang mga patayo mula sa mga puntos a At b sa axis ng oras. Kung ang pagitan ng oras D t, naaayon sa site CD sa oras na axis ay maliit, pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na ang bilis ay hindi nagbabago sa panahong ito at ang katawan ay gumagalaw nang pantay. Sa kasong ito ang figure cabd maliit ang pagkakaiba sa isang parihaba at ang lugar nito ay katumbas ng numero sa projection ng paggalaw ng katawan sa paglipas ng panahon na tumutugma sa segment CD.

Tulad ng makikita mula sa Figure 31, O.A. = v 0x , B.C. = v x, O.C. = t. Ito ay sumusunod na ang displacement projection ay ipinahayag ng formula: s x= (v x + v 0x)t.

Sa pantay na pinabilis na rectilinear motion, ang bilis ng katawan sa anumang sandali ng oras ay katumbas ng v x = v 0x + isang x t, samakatuwid, s x = (2v 0x + isang x t)t.

Upang makuha ang equation ng paggalaw ng isang katawan, pinapalitan namin ang expression nito sa mga tuntunin ng pagkakaiba sa mga coordinate sa displacement projection formula s x = x – x 0 .

Nakukuha namin: x – x 0 = v 0x t+ , o

x = x 0 + v 0x t + .

Gamit ang equation ng paggalaw, maaari mong matukoy ang coordinate ng isang katawan anumang oras kung ang paunang coordinate, paunang bilis at acceleration ng katawan ay kilala.

Mula sa formula para sa projection ng velocity ng uniformly accelerated rectilinear motion v x = v 0x + isang x t Ipahayag natin ang oras:

Ang pagpapalit ng expression na ito sa displacement projection formula, makuha namin ang:

s x = v 0x + .

s x = , o
–= 2isang x s x.

Kung ang paunang bilis ng katawan ay zero, kung gayon:

2isang x s x.

4. Halimbawa ng solusyon sa problema

Ang isang skier ay dumudulas sa isang dalisdis ng bundok mula sa isang estado ng pahinga na may acceleration na 0.5 m/s 2 sa 20 s at pagkatapos ay gumagalaw sa isang pahalang na seksyon, na naglakbay ng 40 m hanggang sa huminto ibabaw? Ano ang haba ng dalisdis ng bundok?

Ibinigay:

v 01 = 0

a 1 = 0.5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Ikonekta natin ang reference frame sa Earth, ang axis X ituro natin ang skier sa direksyon ng bilis sa bawat yugto ng kanyang paggalaw (Larawan 32).

Isulat natin ang equation para sa bilis ng skier sa dulo ng pagbaba mula sa bundok:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Sumulat tayo ng isang equation na nagkokonekta sa mga projection ng bilis, acceleration at displacement ng skier sa ikalawang yugto ng paggalaw:

–= 2a 2x s 2x .

Isinasaalang-alang na ang unang bilis ng skier sa yugtong ito ng paggalaw ay katumbas ng kanyang huling bilis sa unang yugto

v 02 = v 1 , v 2x= 0 ang nakukuha natin

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Mula rito a 2 = ;

a 2 == 0.125 m/s 2 .

Ang module ng paggalaw ng skier sa unang yugto ng paggalaw ay katumbas ng haba ng slope ng bundok. Isulat natin ang equation para sa displacement:

s 1x = v 01x t + .

Kaya ang haba ng dalisdis ng bundok ay s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Sagot: a 2 = 0.125 m/s 2 ; s 1 = 100 m.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1. Tulad ng sa graph ng projection ng bilis ng pare-parehong rectilinear motion papunta sa axis X

2. Tulad ng sa graph ng projection ng bilis ng pare-parehong pinabilis na rectilinear motion papunta sa axis X matukoy ang projection ng paggalaw ng katawan paminsan-minsan?

3. Anong formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection ng displacement ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na linear na paggalaw?

4. Anong formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection ng displacement ng isang katawan na gumagalaw na pare-parehong pinabilis at rectilinearly kung ang paunang bilis ng katawan ay zero?

Gawain 7

4. Ang isang kotse na gumagalaw sa bilis na 54 km/h ay humihinto kapag nagpepreno ng 15 s. Ano ang modulus ng paggalaw ng isang kotse habang nagpepreno?

Laboratory work No. 1

Pag-aaral ng uniformly accelerated
paggalaw ng rectilinear

Layunin ng gawain:

Mga aparato at materyales:

trench, tripod, metal na bola, segundometro, measuring tape, metal cylinder.

Order sa trabaho

1. I-secure ang isang dulo ng chute sa tripod leg upang makagawa ito ng bahagyang anggulo sa ibabaw ng mesa Sa kabilang dulo ng chute, maglagay ng metal na silindro dito.

4. Sukatin ang oras na gumagalaw ang bola sa kahabaan ng chute at ang distansya na tinatahak nito. Kalkulahin ang acceleration ng paggalaw nito gamit ang formula s = .

5. Gamit ang eksperimento na nakuhang acceleration value, kalkulahin ang mga distansya na dapat ilakbay ng bola sa una, pangalawa at pangatlong segundo ng paggalaw nito. Gumuhit ng konklusyon.

Talahanayan 1

Karanasan no.

Pang-eksperimentong data

Teoretikal na mga resulta

Oras t , Sa

Paraan s , cm

Oras t , Sa

Daan

s, cm

Pagpapabilis a, cm/s2

Orast, Sa

Paraan s , cm

Paano, alam ang distansya ng pagpepreno, matukoy ang paunang bilis ng kotse at kung paano, alam ang mga katangian ng paggalaw, tulad ng paunang bilis, acceleration, oras, matukoy ang paggalaw ng kotse? Makukuha natin ang mga sagot pagkatapos nating makilala ang paksa ng aralin ngayon: "Paggalaw sa panahon ng pantay na pinabilis na paggalaw, pag-asa ng mga coordinate sa oras sa panahon ng pare-parehong pinabilis na paggalaw"

Sa pantay na pinabilis na paggalaw, ang graph ay mukhang isang tuwid na linya na pataas, dahil ang projection ng acceleration nito ay mas malaki kaysa sa zero.

Sa pare-parehong rectilinear na paggalaw, ang lugar ay magiging katumbas ng numero sa module ng projection ng paggalaw ng katawan. Ito ay lumalabas na ang katotohanang ito ay maaaring pangkalahatan para sa kaso ng hindi lamang pare-parehong paggalaw, kundi pati na rin para sa anumang paggalaw, iyon ay, maaari itong ipakita na ang lugar sa ilalim ng graph ay numerong katumbas ng modulus ng displacement projection. Ginagawa ito nang mahigpit sa matematika, ngunit gagamit kami ng graphical na paraan.

kanin. 2. Graph ng bilis laban sa oras para sa pare-parehong pinabilis na paggalaw ()

Hatiin natin ang graph ng projection ng velocity versus time para sa pantay na pinabilis na paggalaw sa maliliit na pagitan ng oras Δt. Ipagpalagay natin na ang mga ito ay napakaliit na ang bilis ay halos hindi nagbabago sa kabuuan nila, iyon ay, kondisyon na gagawin natin ang graph ng linear dependence sa figure sa isang hagdan. Sa bawat hakbang, naniniwala kami na ang bilis ay halos hindi nagbabago. Isipin natin na ginagawa nating Δt infinitesimal ang mga agwat ng oras. Sa matematika sinasabi nila: ginagawa namin ang paglipat sa limitasyon. Sa kasong ito, ang lugar ng naturang hagdan ay magkakasabay nang walang katiyakan malapit sa lugar ng trapezoid, na nililimitahan ng graph V x (t). Nangangahulugan ito na para sa kaso ng pare-parehong pinabilis na paggalaw masasabi natin na ang module ng displacement projection ay numerong katumbas ng lugar na nililimitahan ng graph V x (t): ang abscissa at ordinate axes at ang perpendikular na ibinababa sa abscissa, na ay, ang lugar ng trapezoid OABC na nakikita natin sa Figure 2.

Ang problema ay lumiliko mula sa isang pisikal sa isang problema sa matematika - paghahanap ng lugar ng isang trapezoid. Ito ay isang karaniwang sitwasyon kapag mga pisiko lumikha sila ng isang modelo na naglalarawan sa ito o sa hindi pangkaraniwang bagay na iyon, at pagkatapos ay ang matematika ay naglaro, na nagpapayaman sa modelong ito ng mga equation, mga batas - kung ano ang nagiging modelo sa isang teorya.

Nahanap namin ang lugar ng trapezoid: ang trapezoid ay hugis-parihaba, dahil ang anggulo sa pagitan ng mga axes ay 90 0, hinati namin ang trapezoid sa dalawang figure - isang rektanggulo at isang tatsulok. Obvious naman yun kabuuang lugar ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga figure na ito (Larawan 3). Hanapin natin ang kanilang mga lugar: ang lugar ng rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga gilid, iyon ay, V 0x t, lugar kanang tatsulok ay magiging katumbas ng kalahati ng produkto ng mga binti - 1/2AD·BD, na pinapalitan ang mga halaga ng mga projection, nakuha namin: 1/2t·(V x - V 0x), at, pag-alala sa batas ng mga pagbabago sa bilis sa paglipas ng panahon sa pare-parehong pinabilis na paggalaw: V x (t) = V 0x + a x t, medyo halata na ang pagkakaiba sa velocity projection ay katumbas ng produkto ng acceleration projection a x sa oras t, iyon ay, V x - V 0x = isang x t.

kanin. 3. Pagpapasiya ng lugar ng trapezoid ( Pinagmulan)

Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang lugar ng trapezoid ay katumbas ng numero sa module ng displacement projection, nakuha namin:

S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2

Nakuha namin ang batas ng pag-asa ng projection ng displacement sa oras sa pantay na pinabilis na paggalaw sa scalar form ay magiging ganito ang hitsura:

(t) = t + t 2/2

Kumuha tayo ng isa pang formula para sa displacement projection, na hindi magsasama ng oras bilang variable. Lutasin natin ang sistema ng mga equation, inaalis ang oras mula dito:

S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2

V x (t) = V 0 x + a x t

Isipin natin na ang oras ay hindi natin alam, pagkatapos ay ipahayag natin ang oras mula sa pangalawang equation:

t = V x - V 0x / a x

Palitan natin ang nagresultang halaga sa unang equation:

Kunin natin ang masalimuot na expression na ito, parisukat ito at magbigay ng mga katulad:

Nakuha namin ang isang napaka-maginhawang expression para sa projection ng paggalaw para sa kaso kapag hindi namin alam ang oras ng paggalaw.

Hayaan ang aming unang bilis ng kotse, kapag nagsimula ang pagpepreno, ay V 0 = 72 km/h, huling bilis V = 0, acceleration a = 4 m/s 2 . Alamin ang haba ng distansya ng pagpepreno. Ang pag-convert ng mga kilometro sa metro at pagpapalit ng mga halaga sa formula, nalaman namin na ang distansya ng pagpepreno ay magiging:

S x = 0 - 400(m/s) 2 / -2 4 m/s 2 = 50 m

Suriin natin ang sumusunod na formula:

S x = (V 0 x + V x) / 2 t

Ang displacement projection ay ang kalahating kabuuan ng mga projection ng mga inisyal at huling bilis, na pinarami ng oras ng paggalaw. Alalahanin natin ang formula ng displacement para sa average na bilis

S x = V av t

Sa kaso ng pantay na pinabilis na paggalaw, ang average na bilis ay magiging:

V av = (V 0 + V k) / 2

Malapit na nating malutas ang pangunahing problema ng mga mekanika ng pantay na pinabilis na paggalaw, iyon ay, ang pagkuha ng batas ayon sa kung saan nagbabago ang coordinate sa oras:

x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2

Upang matutunan kung paano gamitin ang batas na ito, suriin natin ang isang karaniwang problema.

Ang isang kotse, na gumagalaw mula sa pahinga, ay nakakakuha ng isang acceleration ng 2 m/s 2 . Hanapin ang distansya na nilakbay ng kotse sa loob ng 3 segundo at sa ikatlong segundo.

Ibinigay: V 0 x = 0

Isulat natin ang batas ayon sa kung saan nagbabago ang displacement sa oras sa

pare-parehong pinabilis na paggalaw: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s

Masasagot namin ang unang tanong ng problema sa pamamagitan ng pag-plug sa data:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - ito ang landas na dinaanan

c kotse sa loob ng 3 segundo.

Alamin natin kung gaano kalayo ang kanyang nilakbay sa loob ng 2 segundo:

S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

Kaya, alam mo at ko na sa loob ng dalawang segundo ang sasakyan ay naglakbay ng 4 na metro.

Ngayon, alam ang dalawang distansyang ito, mahahanap natin ang landas na kanyang nilakbay sa ikatlong segundo:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Uniformly accelerated motion tinatawag na ganoong paggalaw kung saan ang acceleration vector ay nananatiling hindi nagbabago sa magnitude at direksyon. Ang isang halimbawa ng naturang paggalaw ay ang paggalaw ng isang bato na itinapon sa isang tiyak na anggulo sa abot-tanaw (nang hindi isinasaalang-alang ang paglaban ng hangin). Sa anumang punto sa trajectory, ang acceleration ng bato ay katumbas ng acceleration of gravity. Kaya, ang pag-aaral ng pare-parehong pinabilis na paggalaw ay nabawasan sa pag-aaral ng rectilinear uniformly accelerated motion. Sa kaso ng rectilinear motion, ang velocity at acceleration vectors ay nakadirekta sa tuwid na linya ng paggalaw. Samakatuwid, ang bilis at acceleration sa mga projection patungo sa direksyon ng paggalaw ay maaaring ituring na algebraic na dami. Sa pare-parehong pinabilis na rectilinear motion, ang bilis ng katawan ay tinutukoy ng formula (1)

Sa formula na ito, ay ang bilis ng katawan sa t = 0 (bilis ng pagsisimula ), = const – acceleration. Sa projection sa napiling x axis, ang equation (1) ay isusulat bilang: (2). Sa graph ng velocity projection υ x ( t) ang dependence na ito ay mukhang isang tuwid na linya.

Maaaring matukoy ang acceleration mula sa slope ng graph ng bilis a mga katawan. Ang kaukulang mga konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. para sa graph I Ang pagbilis ay ayon sa bilang na katumbas ng ratio ng mga gilid ng tatsulok ABC: .

Kung mas malaki ang anggulo β na nabuo ng velocity graph sa axis ng oras, ibig sabihin, mas malaki ang slope ng graph ( pagiging matarik), mas malaki ang acceleration ng katawan.

Para sa graph I: υ 0 = –2 m/s, a= 1/2 m/s 2. Para sa iskedyul II: υ 0 = 3 m/s, a= –1/3 m/s 2 .

Ang velocity graph ay nagpapahintulot din sa iyo na matukoy ang projection ng displacement ng katawan sa loob ng ilang oras t. I-highlight natin ang isang tiyak na maliit na yugto ng panahon Δt sa axis ng oras. Kung ang yugtong ito ng oras ay sapat na maikli, kung gayon ang pagbabago sa bilis sa panahong ito ay maliit, iyon ay, ang paggalaw sa panahong ito ay maaaring ituring na pare-pareho sa ilang average na bilis, na katumbas ng agarang bilis υ ng katawan sa gitna ng pagitan Δt. Samakatuwid, ang displacement Δs sa oras na Δt ay magiging katumbas ng Δs = υΔt. Ang paggalaw na ito ay katumbas ng may kulay na lugar sa Fig. mga guhitan. Sa pamamagitan ng paghahati ng agwat ng oras mula 0 hanggang sa isang tiyak na sandali t sa maliliit na agwat Δt, maaari nating makuha na ang displacement para sa isang takdang oras t na may pantay na pinabilis na rectilinear motion ay katumbas ng lugar ng trapezoid ODEF. Ang kaukulang mga konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. para sa iskedyul II. Ang oras t ay ipinapalagay na 5.5 s.

(3) – ang resultang formula ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang displacement sa panahon ng pantay na pinabilis na paggalaw kung ang acceleration ay hindi alam.

Kung papalitan natin ang expression para sa bilis (2) sa equation (3), makuha natin ang (4) - ang formula na ito ay ginagamit upang isulat ang equation ng paggalaw ng katawan: (5).

Kung ipahayag natin ang oras ng paggalaw (6) mula sa equation (2) at papalitan ito ng pagkakapantay-pantay (3), kung gayon

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang paggalaw na may hindi kilalang oras ng paggalaw.

Isaalang-alang natin kung paano kinakalkula ang projection ng displacement vector ng isang katawan na gumagalaw na pare-parehong pinabilis kung ang paunang bilis nito na v 0 ay zero. Sa kasong ito, ang equation

magiging ganito ang hitsura:

Muli nating isulat ang equation na ito sa pamamagitan ng pagpapalit dito sa halip na ang mga projection na s x at a x ang mga module ng s at a vectors

paggalaw at pagbilis. Dahil sa kasong ito ang mga sua vector ay nakadirekta sa parehong direksyon, ang kanilang mga projection ay may parehong mga palatandaan. Samakatuwid, ang equation para sa moduli ng mga vectors ay maaaring isulat:

Mula sa formula na ito ay sumusunod na sa kaso ng rectilinear uniformly accelerated motion na walang paunang bilis, ang magnitude ng displacement vector ay direktang proporsyonal sa square ng time interval kung saan natapos ang displacement na ito. Nangangahulugan ito na kapag ang oras ng paggalaw (binibilang mula sa sandaling magsimula ang paggalaw) ay tumaas ng n beses, ang displacement ay tataas ng n 2 beses.

Halimbawa, kung sa isang arbitrary na tagal ng panahon t 1 mula sa simula ng paggalaw ang katawan ay gumalaw

pagkatapos sa tagal ng panahon t 2 = 2t 1 (binibilang mula sa parehong sandali bilang t 1) ito ay lilipat

para sa isang yugto ng panahon t n = nt l - paggalaw s n = n 2 s l (kung saan ang n ay isang natural na numero).

Ang pag-asa na ito ng displacement vector modulus sa oras para sa rectilinear uniformly accelerated motion na walang paunang bilis ay malinaw na makikita sa Figure 15, kung saan ang mga segment na OA, OB, OS, OD at OE ay kumakatawan sa displacement vector moduli (s 1, s 2, s 3, s 4 at s 5), na ginagawa ng katawan ayon sa pagkakabanggit sa mga agwat ng oras t 1, t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 at t 5 = 5t 1.

kanin. 15. Mga regularidad ng pare-parehong pinabilis na paggalaw: OA:OV:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Mula sa figure na ito ay malinaw na

OA:OV:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

ibig sabihin, na may pagtaas sa mga agwat ng oras na binibilang mula sa simula ng paggalaw sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng beses kumpara sa t 1, ang mga module ng kaukulang displacement vectors ay tumataas bilang isang serye ng mga parisukat ng magkakasunod na natural na mga numero.

Mula sa Figure 15 isa pang pattern ang makikita:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

ibig sabihin, ang mga module ng mga vector ng mga displacement na ginawa ng katawan sa sunud-sunod na pantay na mga yugto ng panahon (bawat isa ay katumbas ng t 1) ay nauugnay bilang isang serye ng magkakasunod na kakaibang numero.

Ang mga regularidad (1) at (2) ay likas lamang sa pare-parehong pinabilis na paggalaw. Samakatuwid, maaari silang magamit kung kinakailangan upang matukoy kung ang paggalaw ay pantay na pinabilis o hindi.

Tukuyin natin, halimbawa, kung pare-parehong pinabilis ang paggalaw ng isang suso; sa unang 20 s ng paggalaw ay gumagalaw ito ng 0.5 cm, sa pangalawang 20 s ng 1.5 cm, sa ikatlong 20 s ng 2.5 cm.

Upang gawin ito, alamin natin kung gaano karaming beses ang mga paggalaw na ginawa sa pangalawa at pangatlong yugto ng panahon ay mas malaki kaysa noong una:

Nangangahulugan ito na 0.5 cm: 1.5 cm: 2.5 cm = 1: 3: 5. Dahil ang mga ratio na ito ay kumakatawan sa isang serye ng magkakasunod na kakaibang numero, ang paggalaw ng katawan ay pantay na pinabilis.

Sa kasong ito, natukoy ang pare-parehong pinabilis na katangian ng kilusan batay sa regularidad (2).

Mga tanong

Anong mga formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection at magnitude ng displacement vector ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na paggalaw nito mula sa isang estado ng pahinga?
Ilang beses tataas ang module ng displacement vector ng katawan kapag ang oras ng paggalaw nito mula sa pahinga ay tumaas ng n beses?
Isulat kung paano ang mga module ng displacement vectors ng isang katawan na gumagalaw na pare-parehong pinabilis mula sa isang estado ng pahinga ay nauugnay sa isa't isa kapag ang oras ng paggalaw nito ay tumaas ng integer na bilang ng beses kumpara sa t 1 .
Isulat kung paano ang mga module ng mga vectors ng mga displacement na ginawa ng isang katawan sa sunud-sunod na pantay na pagitan ng oras ay nauugnay sa isa't isa kung ang katawan na ito ay gumagalaw nang pantay na pinabilis mula sa isang estado ng pahinga.
Para sa anong layunin natin magagamit ang mga pattern (1) at (2)?

Pagsasanay 8

Sa unang 20 s, ang isang tren na umaalis sa istasyon ay gumagalaw nang patagilid at pare-parehong pinabilis. Ito ay kilala na sa ikatlong segundo mula sa simula ng paggalaw ang tren ay naglakbay ng 2 m Tukuyin ang laki ng displacement vector na ginawa ng tren sa unang segundo, at ang magnitude ng acceleration vector kung saan ito gumagalaw.
Ang isang kotse, na gumagalaw nang pare-parehong pinabilis mula sa isang estado ng pahinga, ay naglalakbay ng 6.3 m sa ikalimang segundo ng acceleration Ano ang bilis na nabuo ng kotse sa pagtatapos ng ikalimang segundo mula sa pagsisimula ng paggalaw?
Ang isang tiyak na katawan ay gumagalaw ng 2 mm sa unang 0.03 s ng paggalaw nang walang paunang bilis, ng 8 mm sa unang 0.06 s, at ng 18 mm sa unang 0.09 s. Batay sa regularidad (1), patunayan na sa buong 0.09 s ang paggalaw ng katawan ay pantay na pinabilis.

Mga tanong.

1. Anong mga formula ang ginagamit upang kalkulahin ang projection at magnitude ng displacement vector ng isang katawan sa panahon ng pantay na pinabilis na paggalaw nito mula sa isang estado ng pahinga?

2. Ilang beses tataas ang module ng displacement vector ng katawan kapag ang oras ng paggalaw nito mula sa pahinga ay tumaas ng n beses?

3. Isulat kung paano nauugnay sa isa't isa ang mga module ng displacement vectors ng isang katawan na gumagalaw na pare-parehong pinabilis mula sa isang estado ng pahinga kapag ang oras ng paggalaw nito ay tumaas ng integer na bilang ng beses kumpara sa t 1.

4. Isulat kung paano ang mga module ng mga vectors ng mga displacement na ginawa ng isang katawan sa sunud-sunod na pantay na pagitan ng oras ay nauugnay sa isa't isa, kung ang katawan na ito ay gumagalaw nang pantay na pinabilis mula sa isang estado ng pahinga.

5. Para sa anong layunin maaaring gamitin ang mga batas (3) at (4)?

Ang mga regularidad (3) at (4) ay ginagamit upang matukoy kung ang paggalaw ay pare-parehong pinabilis o hindi (tingnan ang p. 33).

Mga ehersisyo.

1. Ang isang tren na umaalis sa istasyon ay gumagalaw nang patagilid at pare-parehong pinabilis sa unang 20 s. Ito ay kilala na sa ikatlong segundo mula sa simula ng paggalaw ang tren ay naglakbay ng 2 m Tukuyin ang laki ng displacement vector na ginawa ng tren sa unang segundo, at ang magnitude ng acceleration vector kung saan ito gumagalaw.