Працюючи у школі з підготовками, зайшов до кабінету шостого класу та побачив на стіні плакат «Ознаки ділимості чисел». Там були ознаки подільності для чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, а числа 7 такого ознаки був. Я запитав у вчителя математики:
— Чому немає ознак ділимості на сім?
Мені відповіли, що вона є, але дуже складна. Навів довідки в Інтернеті. Знайшов три ознаки.
Ознака 1 : число поділяється на тоді й лише тоді, коли потрійне число десятків, складене з числом одиниць, ділиться на 7. Наприклад, 154 ділиться на 7, тому що на 7 ділиться 15*3+4=49.
Інший приклад - число 1001 ділиться на 7, тому що на 7 діляться 100 * 3 +1 = 301, 30 * 3 +1 = 91, 9 * 3 +1 = 28, 2 * 3 +8 = 14.
Ознака 2 . число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли модуль алгебраїчної суми чисел, що утворюють непарні групи по три цифри (починаючи з одиниць), взятих зі знаком «+», і парних зі знаком «-» ділиться на 7. Наприклад, 138689257 7, оскільки 7 ділиться |138-689+257|=294.
Ознака 3 . Число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли результат віднімання подвоєної останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7 (наприклад, 259 ділиться на 7, тому що 25 - (2 · 9) = 7 ділиться на 7).
Перевіримо подільність числа 86 576 (вісімдесят шість тисяч п'ятсот сімдесят шість). У тому числі 8 657 (вісім тисяч шістсот п'ятдесят сім) десятків і 6 (шість) одиниць. Приступаємо до перевірки подільності цього числа на 7 (сім):
8657 - 6 х 2 = 8657 - 12 = 8645
Знову перевіряємо подільність на 7
(сім), тепер уже отриманого нами числа 8 645
(вісім тисяч шістсот сорок п'ять). Тепер у нас 864
(вісім шістдесят чотири) десятка і 5
(п'ять) одиниць:
864 - 5 х 2 = 864 - 10 = 854
Знову повторюємо наші дії для числа 854
(вісімсот п'ятдесят чотири), в якому 85
(вісімдесят п'ять) десятків і 4
(чотири) одиниці:
85 - 4 х 2 = 85 - 8 = 77
У принципі, вже неозброєним оком видно, що число 77 (сімдесят сім) ділиться на 7 (сім) і в результаті виходить 11 (одинадцять). Подібний результат ми вже розглядали вище.
Як бачите, ознаки справді складні. Користуватися ними в голові важко через велику кількість операцій. Найбільш проста – третя ознака, але теж дві дії, спочатку множення, а потім віднімання, а для чисел за 700 уже треба робити кілька циклів.
Поставив завдання:
"Знайти ознаку поділу на 7 з меншою кількістю математичних дій".
Застосував інструмент ТРВЗ – ІКР (ідеальний кінцевий результат).
Саме число має давати ресурс для обчислення.
І цей ресурс знайшовся. Якщо подивитися таблицю множення на 7, його твори мають відмінне властивість – кінцева цифра не повторюється: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. На перший погляд, це ускладнює завдання, т .к. число, що перевіряється, з будь-яким закінченням може ділитися на 7. Але ж за правилом ТРВЗ: "Хто заважає, той і допомагає".Потрібно використовувати цю властивість на користь.
Дивлячись на останню цифру в числі, що перевіряється, ми вже знаємо одну ознаку відповіді – це число з таблиці множення, що дає цей кінчик. Наприклад, якщо число 154, що перевіряється, то якщо воно ділиться на 7, остання цифра у відповіді повинна бути 2 (7х2=14), а якщо число 259, то остання цифра відповіді повинна бути 7 (7х7=49).
Ось він необхідний ресурс - це таблиця множення на 7 - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
Припускаємо, що він у нас є у пам'яті. Тепер використовуємо дію з третьої (найпростішої) ознаки – віднімання.Отримуємо нову ознаку подільності на 7.
Число ділиться на 7, коли результат віднімання першої цифри відомого творуіз цього числа без останньої цифри ділиться на 7.
А тепер простими словами.
— Дивимося на число, що перевіряється, наприклад, уже відоме 259.
— Воно закінчується на 9. Беремо ресурс із таблиці множення 49 . Її перша цифра – 4.
— Віднімаємо з 25 цю цифру. 25 – 4 = 21
— Відповідь 21. Значить, число ділиться на 7. Це так: 259: 7 = 37. Остання цифра 7, як ми й припускали.
Ще кілька прикладів. 756 поділяється на 7?
Воно закінчується на 6. Ресурс – 56. Віднімаємо 75 – 5 = 70. Число ділиться 756: 7 = 108
Число 392. Закінчується на 2. Ресурс - 42. Віднімаємо 39 -4 = 35. Ділиться 392: 7 = 56.
Число 571. Закінчується на 1. Ресурс - 21. Віднімаємо 57 - 2 = 55. Не ділиться.
Число 574. Закінчується на 4. Ресурс – 14. Віднімаємо 57 – 1 = 56. Ділиться 574: 7 = 82
У цьому вся ознакі ми виключили одне математичне дію – множення.
Доповнення.
Для чисел, що перевіряються більше 700, щоб уникнути повторних циклів, як в ознакі 3, використовуйте для віднімання кратні десятки і сотні сімки.
Розглянемо, наприклад, число 973. Воно закінчується на 3. Ресурс - 63. Віднімаємо 97 - 6 = 91. Можна йти на другий цикл, а можна віднімати не 6, а 76. 97 - 76 = 21. Ділиться.
Добавки йдуть системою числення семи: 70, 140, 210 тощо. в залежності від числа, що перевіряється.
1. Цю ознаку можна застосовувати в умі без особливих труднощів для чисел до 1000. Він допоможе шукати кратні для поділу.
2. Колеги, використовуйте ТРВЗ для вирішення своїх завдань! Це заощаджує час. Мені, щоб знайти цю ознаку ділимості, знадобилося 3 години з урахуванням пошуку аналогів в інтернеті.
Радий, якщо ця ознака комусь знадобиться.
Математика в 6 класі починається з вивчення поняття ділимості та ознак ділимості. Часто обмежуються ознаками подільності на такі числа:
- на 2 : остання цифра має бути 0, 2, 4, 6 або 8;
- на 3 : сума цифр числа має ділитися на 3;
- на 4 : число, утворене останніми двома цифрами, має ділитися на 4;
- на 5 : остання цифра має бути 0 або 5;
- на 6 : число повинно мати ознаки ділимості на 2 і 3;
- Ознака ділимості на 7 часто пропускається;
- Рідко також розповідають і про ознаку подільності на 8 , хоча він аналогічний ознакам ділимості на 2 і 4. Щоб число ділилося на 8, необхідно достатньо, щоб трехцифреное закінчення ділилося на 8.
- Ознака ділимості на 9 знають усі: сума цифр числа має ділитися на 9. Що, щоправда, не розвиває імунітет проти усіляких трюків із датами, які використовують нумерологи.
- Ознака ділимості на 10 , мабуть, найпростіший: число має закінчуватися нулем.
- Іноді шестикласникам розповідають і про ознаку подільності на 11 . Потрібно цифри числа, що стоять на парних місцях скласти, від результату відняти цифри, що стоять на непарних місцях. Якщо результат ділитися на 11, те й саме число ділиться на 11.
Беремо число. Розбиваємо його на блоки по 3 цифри в кожному (найлівіший блок може містити одну або 2 цифри) і поперемінно складаємо/віднімаємо ці блоки.
Якщо результат ділиться на 7, 13 (або 11), то й саме число ділиться на 7, 13 (ілb 11).
Заснований цей спосіб, як і ряд математичних фокусів на тому, що 7х11х13 = 1001. Однак що робити з трицифровими числами, для яких питання ділимості, буває, теж не вирішити без поділу.
Використовуючи універсальну ознаку ділимості, можна побудувати відносно прості алгоритми визначення, чи ділиться число на 7 та інші "незручні" числа.
Удосконалена ознака подільності на 7
Щоб перевірити, чи ділиться число на 7, треба від числа відкинути останню цифру і від результату цю цифру двічі відібрати. Якщо результат ділиться на 7, те саме число ділиться на 7.
Приклад 1:
Чи ділиться на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Отже, число 238 поділяється на 7.
Справді, 238 = 34х7
Цю дію можна проводити багаторазово.
Приклад 2:
Чи ділиться на 7 число 65 835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 ділиться на 7 (якби ми цього не помітили, то могли б зробити ще 1 крок: 6-3-3 = 0, а 0 точно ділиться на 7).
Отже, число 65835 ділиться на 7.
На основі універсальної ознаки ділимості, можна вдосконалити ознаки ділимості на 4 та 8.
Удосконалена ознака подільності на 4
Якщо половина числа одиниць у сумі з числом десятків – парне число, то число ділиться на 4.
Приклад 3
Чи ділиться число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число парне, отже, число 4 ділиться.
Приклад 4
Чи ділиться число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число непарне, отже, 134 на 4 не ділиться.
Удосконалена ознака подільності на 8
Якщо скласти подвоєне число сотень, число десятків і половину числа одиниць, і результат ділитися на 4, то число ділиться на 8.
Приклад 5
Чи ділиться число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число ділиться на 4, отже, 512 ділиться на 8.
Приклад 6
Чи ділиться число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число ділиться на 4, отже, 1984 ділиться на 8.
Ознака ділимості на 12- це об'єднання ознак ділимсоті на 3 і на 4. Це ж працює і для будь-яких n, що є твором взаємнопростих p і q. Щоб число ділилося на n (яке дорівнює добутку pq,актих, що НОД(p,q)=1), одне має ділитися одночасно на p і q.
Однак будьте уважні! Щоб працювали складові ознаки ділимості, множники числа повинні бути взаємнопростими. Не можна сказати, що число ділиться на 8, якщо воно ділиться на 2 і на 4.
Удосконалена ознака подільності на 13
Щоб перевірити, чи ділиться число на 13, треба від числа відкинути останню цифру і до результату, що вийшов, її чотири рази додати. Якщо результат ділиться на 13, те саме число ділиться на 13.
Приклад 7
Чи ділиться на 8 число 65 835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Число 43 не ділиться на 13, отже, число 65835 не ділиться на 13.
Приклад 8
Чи ділиться на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 ділиться на 13, отже, число 715 ділиться на 13.
Ознаки подільності на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28та інші складові числа, що не є ступенями простих, аналогічні ознакам ділимості на 12. Ми перевіряємо ділимість на взаємно-простими множники цих чисел.
- Для14: на 2 та на 7;
- Для 15: на 3 та на 5;
- Для 18: на 2 та на 9;
- Для 21: на 3 та на 7;
- Для 20: на 4 та на 5 (або, по-іншому, остання цифра має бути нулем, а передостання – парною);
- Для 24: на 3 та на 8;
- Для 26: на 2 та на 13;
- Для 28: на 4 та на 7.
Замість того, щоб перевіряти, чи ділиться 4-циферне закінчення числа на 16, можна скласти цифру одиниць зі збільшеною в 10 разів цифрою десятків, з чотириточковою цифрою сотень і з
збільшеною у вісім разів цифрою тисяч, та перевірити, чи ділиться результат на 16.
Приклад 9
Чи ділиться число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не ділиться на 16, отже, і 1984 не ділиться на 16.
Приклад 10
Чи ділиться число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не ділиться на 16, отже, і 1526 ділиться на 16.
Удосконалена ознака подільності на 17.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 17, треба від числа відкинути останню цифру і від результату цю цифру п'ять разів відібрати. Якщо результат ділиться на 13, те саме число ділиться на 13.
Приклад 11
Чи ділиться число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 ділиться на 17, отже, і число 59772 ділиться на 17.
Приклад 12
Чи ділиться число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 ділиться на 17, отже, і число 4913 ділиться на 17.
Удосконалена ознака подільності на 19.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 19, треба подвоєну останню цифру додати до числа, що залишився після відкидання останньої цифри.
Приклад 13
Чи ділиться число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 ділиться на 19, отже, і число 9044 ділиться на 19.
Удосконалена ознака подільності на 23.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 23, треба останню цифру, збільшену в 7 разів, додати до числа, що залишився після відкидання останньої цифри.
Приклад 14
Чи ділиться число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Взагалі вже можна помітити, що 253 - це 23,
Правило
Ознака ділимості на 7
Щоб визначити, чи ділиться число на \(\displaystyle 7\), треба:
1. Взяти вихідне число без останньої цифри.
2. До отриманого на першому кроці числа додати останню цифру вихідного числа, помножену на \(\displaystyle 5\).
Число ділиться на \(\displaystyle 7\) тоді і лише тоді, коли сума, отримана на другому кроці, ділиться на \(\displaystyle 7\).
Пояснення
Ознака ділимості на 7 для двоцифрових чисел
Для двозначного числа ознаку ділимості на \(\displaystyle 7\) можна сформулювати наступним чином:
1. \(\displaystyle (\color(blue)X)(\color(red)Y)\rightarrow (\color(blue)X)\).
2. \(\displaystyle (\color(blue)X)+5\cdot(\color(red)Y)\).
Число \(\displaystyle (\color(blue)X)(\color(red)Y)\) ділиться на \(\displaystyle 7\) тоді і тільки тоді, коли число \(\displaystyle (\color(blue)X) )+5\cdot(\color(red)Y)\) ділиться на \(\displaystyle 7\).
Дано число \(\displaystyle 78\). Зробимо обчислення відповідно до описаного вище правила.
1. Відкидаємо останню цифру у вихідного числа:
\(\displaystyle (\color(blue)7)(\color(red)8) \rightarrow (\color(blue)7)\).
2. Обчислюємо:
\(\displaystyle (\color(blue)7)+5 \cdot (\color(red)8) = 47\).
Число \(\displaystyle 78\) ділиться на \(\displaystyle 7\) тоді і тільки тоді, коли число \(\displaystyle 47\) ділиться на \(\displaystyle 7\).
Але оскільки \(\displaystyle 47\) не ділиться на \(\displaystyle 7\), то і \(\displaystyle 78\) також не ділитьсяна \(\displaystyle 7\).
Відповідь: ні, не ділиться на (displaystyle 7).
Добридень!
Сьогодні ми продовжимо розглядати ознаки подільності.
І почнемо ми ось із чого:
Беремо останню цифру числа, подвоює її і віднімаємо з числа, що залишилося без цієї останньої цифри. Якщо різниця ділиться на 7, отже, все число ділиться на 7. Це дію можна продовжувати скільки завгодно багато разів до того моменту, поки не стане зрозуміло: ділиться чи ні число на 7.
Приклад: 298109.
1-й крок. Беремо 9, множимо її на 2 і робимо віднімання:
29810-18=29792.
2 крок. 29792. Беремо 2, множимо її на 2 і робимо віднімання:
2979-4 = 2975.
3 крок. 2975. Беремо 5, множимо на 2 і робимо віднімання: 297-10 = 287.
4 крок. 287. Беремо 7, множимо на 2 і робимо віднімання 28-14=14. Ділиться на 7.
Значить, все число 298109 ділиться на 7.
Ще приклад. Число 1102283.
1-й крок. 110228-3 * 2 = 110222
2 крок. 11022-2 * 2 = 11018.
3 крок. 1101-8 * 2 = 1085.
4 крок. 108-5 * 2 = 98.
5 крок. 9-8 * 2 = -7. Поділяється на 7. Значить, 1102283 поділяється на 7.
Ознака ділимості на 13.Беремо останню цифру числа, множимо її на 4 та складаємо з числом без останньої цифри. Якщо сума ділиться на 13, то все число ділиться на 13.
Цю дію можна продовжувати скільки завгодно багато разів до того моменту, поки не стане зрозуміло: чи ділиться чи ні число на 13.
Приклад: Число 595166.
1-й крок. 59516 + 6 * 4 = 59540
2 крок. 5954 + 0 * 4 = 5954
3 крок. 595 + 4 * 4 = 611
4 крок. 61 + 1 * 4 = 65
5 крок. 6 + 5 * 4 = 26. Ділиться на 13.
Значить, число 595 166 ділиться націло на 13.
Ще приклад. Число 10221224.
1-й крок. 1022122 + 4 * 4 = 1022138
2 крок. 102213 + 8 * 4 = 102245
3 крок. 10224 + 5 * 4 = 10244
4 крок. 1024 + 4 * 4 = 1040
5 крок. 104 + 0 * 4 = 104
6 крок. 10 + 4 * 4 = 26. Ділиться на 13.
Значить число 10221224 ділиться націло на 13.
Тепер я хотів би показати кілька інших ознак ділимості і не тільки на прості числа, а й на складові.
Ознака ділимості на 11.Візьмемо число та складемо всі цифри, які стоять на непарних місцях. Потім складемо всі цифри числа, що стоять на парних місцях.
Якщо різниця між першою сумою і другою кратна 11, то число ділиться на 11.
При цьому різниця може бути як позитивною, так і негативною.
Приклади: 160369(Сума цифр, які стоять на непарних місцях
1+0+6 = 7.
Сума цифр, що стоять на парних місцях, 6+3+9 = 18.
18 - 7 = 11. Ділиться на 11. Значить, число 160369 ділиться на 11).
Ще приклад: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
Число 7527927 ділиться на 11).
Ознака ділимості на 15.Число 15 - складове. Його можна подати у вигляді твору простих множників, а саме 5 та 3.
А ми вже знаємо Значить число ділиться на 15, якщо
1. - воно закінчується на 0 або 5;
Приклад: 36840(Кількість закінчується на 0; сума цифр його дорівнює 3+6+8+4 = 21. Діляється на 3.) Отже, все число ділиться на 15.
Ще приклад: 113445Число закінчується на 5; сума цифр його дорівнює 1+1+3+4+4+5 = 18. Діляється на 3.) Отже, все число поділяється на 15.
Ознака ділимості на 12.Число 12 - складове. Його можна подати у вигляді твору наступних множників: 4 та 3.
Значить, число ділиться на 12, якщо
1. - 2 останні цифри його діляться на 4;
2. сума цифр його ділиться на 3.
Приклади: 78864(Дві останні цифри - 64. Число, складене з них, ділиться на 4; сума цифр дорівнює 7 +8 +8 +6 +4 = 33. Діляється на 3.) Отже, все число ділиться на 12.
Ще приклад: 943908(Дві останні цифри - 08. Число, складене з цих цифр, ділиться на 4; сума цифр дорівнює 9+4+3+9+0+8 = 33).
Діляється на 3.) Отже, все число поділяється на 12.
З шкільної програмибагато хто пам'ятає, що існують ознаки подільності. Під цим словосполученням розуміють правила, які дозволяють досить швидко визначити, чи число кратним заданому, не здійснюючи при цьому безпосередню арифметичну операцію. Цей спосіб заснований на діях, що здійснюються з частиною цифр із запису в позиційному
Найпростіші ознаки ділимості багато хто пам'ятає зі шкільної програми. Наприклад, те, що на 2 діляться всі числа, остання цифра запису яких парна. Дана ознака найлегше запам'ятати та застосовувати на практиці. Якщо говорити про спосіб розподілу на 3, то для багатозначних чисел застосовується таке правило, яке можна показати на такому прикладі. Необхідно дізнатися, чи буде 273 разів трьом. Для цього виконуємо таку операцію: 2+7+3=12. Отримана сума ділиться на 3, отже, і 273 ділитися на 3 таким чином, що в результаті вийде ціле число.
Ознаки подільності на 5 та 10 будуть наступними. У першому випадку запис буде закінчуватися на цифри 5 або 0, у другому випадку тільки на 0. Для того щоб дізнатися, чи ділене кратно кратне, слід вчинити наступним чином. Необхідно вичленувати дві останні цифри. Якщо це два нулі або число, яке ділиться на 4 без залишку, то і все ділимо буде кратно дільнику. Слід зазначити, що ці ознаки застосовуються лише у десятковій системі. Вони не застосовуються в інших способах числення. У таких випадках виводяться свої правила, які залежать від основи системи.
Ознаки розподілу на 6 наступні. 6 у разі, якщо воно кратно і 2, і 3. Щоб визначити, чи ділиться число на 7, потрібно подвоїти останню цифру у його записи. Отриманий результат віднімається від початкового числа, в якому не враховується остання цифра. Це правило можна розглянути на наступному прикладі. Необхідно дізнатися, чи кратно 364. Для цього 4 множиться на 2, виходить 8. Далі виконується така дія: 36-8 = 28. Отриманий результат кратний 7, отже, і початкове число 364 можна розділити на 7.
Ознаки ділимості на 8 звучать так. Якщо три останні цифри в записі числа утворюють число, яке кратно восьми, то й саме число буде ділитися заданий дільник.
Дізнатися, чи багатозначне число ділиться на 12, можна наступним чином. За перерахованими вище ознаками ділимості необхідно дізнатися, чи кратно число 3 і 4. Якщо можуть виступати одночасно дільниками для числа, то із заданим ділимим можна проводити операцію поділу на 12. Подібне правилозастосовується й інших складних чисел, наприклад, п'ятнадцяти. При цьому дільниками повинні виступати 5 і 3. Щоб дізнатися, чи ділиться число на 14, слід подивитися, чи воно 7 і 2. Так, можна розглянути це на наступному прикладі. Необхідно визначити, чи можна розділити 658 на 14. Остання цифра в записі парна, отже, число кратно двом. Далі ми 8 множимо на 2, отримуємо 16. З 65 потрібно відняти 16. Результат 49 ділиться на 7, як і вся кількість. Отже, 658 можна розділити на 14.
Якщо дві останні цифри у заданому числі діляться на 25, то й усе воно буде кратне цьому дільнику. Для багатозначних чисел ознака ділимості на 11 звучатиме так. Необхідно дізнатися, чи кратна заданому дільнику різницю сум цифр, які стоять на непарних та парних місцях у його записі.
Слід зазначити, що ознаки ділимості чисел та його знання дуже часто значно спрощує багато завдань, які зустрічаються у математиці, а й у повсякденному житті. Завдяки вмінню визначити, чи кратне число іншому, можна швидко виконувати різні завдання. Крім цього, застосування даних способів на заняттях математики допоможе розвивати у студентів чи школярів, сприятиме розвитку певних здібностей.
