Постановка задачі: Ми вже багато знаємо про механічні коливання: вільні та вимушені коливання, автоколивання, резонанс тощо. Приступаємо до вивчення електричних вагань. Тема сьогодення: отримання вільних електромагнітних коливань.
Згадаймо спочатку: Яким умовам має відповідати коливальна система, система, де можуть виникати вільні коливання. Відповідь: у коливальній системі повинна виникати сила, що повертає, і відбуватися перетворення енергії з одного виду в інший.
(Розбір нового матеріалу з презентації з докладним поясненням всіх процесів та записом у зошитах перших двох чвертей періоду, 3 та 4-і чверті описати вдома, за зразком).
Коливальний контур - це електричний ланцюг, в якому можна отримати вільні електромагнітні коливання. К.К. складається всього з двох приладів: котушки індуктивністю L та конденсатора електроємністю С. Ідеальний коливальний контур не має опору.
Щоб повідомити енергію К.К., тобто. вивести його із положення рівноваги, потрібно тимчасово розімкнути його ланцюг і поставити ключ із двома положеннями. Коли ключ замкнутий на джерело струму, конденсатор заряджається до максимального заряду. Цим подають у К.К. енергію як енергії електричного поля. Коли ключ замкнений у праве положення, то джерело струму вимкнено, К.К. наданий самому собі.
Такий стан К.К. відповідає положенню математичного маятника у крайньому правому становищі, коли його вивели зі стану спокою. Коливальний контур виведений із положення рівноваги Заряд конденсатора – максимальний та енергія зарядженого конденсатора – енергія електричного поля максимальна. Розглянемо весь процес, який відбувається в ньому по чвертях періоду.
У перший момент конденсатор заряджений до максимального заряду (нижня обкладка позитивно заряджена), енергія в ньому зосереджена у вигляді енергії електричного поля. Конденсатор замкнутий сам на себе, і він починає розряджатися. Позитивні заряди згідно із законом Кулона притягуються до негативних, і виникає струм розрядки, спрямований проти годинникової стрілки. Якби на шляху струму не було б котушки індуктивності, то все сталося б миттєво: конденсатор просто розрядився б. Накопичені заряди компенсували б один одного, електрична енергія перетворилася б на теплову. Але в котушці виникає магнітне поле, напрямок якого можна визначити за правилом свердловина – «вгору». Магнітне поле - зростаюче і виникає явище самоіндукції, що перешкоджає зростанню струму в ньому. Струм росте не миттєво, а поступово, протягом усієї першої чверті періоду. За цей час струм зростатиме доти, доки його підтримує конденсатор. Як тільки конденсатор розрядиться, струм більше не росте, він на цей момент досягне максимального значення. Конденсатор розрядився, заряд дорівнює 0, отже, енергія електричного поля дорівнює 0. Але в котушці тече максимальний струм, навколо котушки існує магнітне поле, отже, сталося перетворення енергії електричного поля в енергію магнітного поля. До кінця 1-ої чверті періоду К.К.ток максимальний, енергія зосереджена в котушці у вигляді енергії магнітного поля. Це відповідає тому положенню маятника, коли він проходить положення рівноваги.
На початку 2-ої чверті періоду, конденсатор розряджений, а струм досяг максимального значення і він мав би миттєво зникнути, адже конденсатор його не підтримує. І струм дійсно починає різко спадати, але він тече по котушці, і в ній виникає явище самоіндукції, яке перешкоджає будь-якій зміні магнітного поля, що викликає це явище. ЕРС самоіндукції підтримує магнітне поле, що зникає, індукційний струм має той же напрям, що і існуючий. У К.К. Струм тече проти годинникової стрілки - в порожній конденсатор. У конденсаторі накопичується електричний заряд – на верхній обкладці – позитивний заряд. Струм тече до тих пір, поки його підтримує магнітне поле, до кінця другої чверті періоду. Конденсатор зарядиться до максимального заряду (якщо не буде витоку енергії), але протилежного напрямку. Кажуть, конденсатор перезарядився. До кінця 2-ої чверті періоду струм зникає, отже, енергія магнітного поля дорівнює 0. Конденсатор перезарядився, його заряд дорівнює (- максимальному). Енергія зосереджена як енергії електричного поля. Протягом цієї чверті відбулося перетворення енергії магнітного поля на енергію електричного поля. Стан коливального контуру відповідає такому положенню маятника, коли він відхиляється в крайнє ліве положення.
У третій чверті періоду відбувається все також, що і в 1-ій чверті, лише протилежного напряму. Конденсатор починає розряджатися. Струм розрядки росте поступово, протягом усієї чверті, т.к. швидкому зростанню його перешкоджає явище самоіндукції. Струм зростає до максимальної величини, поки конденсатор не розрядиться. До кінця третьої чверті енергія електричного поля перетвориться на енергію магнітного поля, повністю, якщо не буде витоку. Це відповідає такому положенню маятника, коли він знову проходить положення рівноваги, але у протилежному напрямку.
У четвертій чверті періоду відбувається так само, як і в другій чверті, тільки в протилежному напрямку. Струм, підтримуваний магнітним полем, поступово зменшується, підтримуваний ЕРС самоіндукції і перезаряджає конденсатор, тобто. повертає його до початкового положення. Енергія магнітного поля перетворюється на енергію електричного поля. Що відповідає поверненню математичного маятника у початкове становище.
Аналіз розглянутого матеріалу:
1. Чи можна коливальний контур розглядати як коливальну систему? Відповідь: 1. У коливальному контурі відбувається перетворення енергії електричного поля на енергію магнітного поля і навпаки. 2. Явище самоіндукції відіграє роль сили, що повертає. Тому коливальний контур розглядатиме як коливальну систему. 3. Коливання К.К. можна вважати вільними.
2. Чи можна коливання К.К. розглядати, як гармонійні? Аналізуємо зміну величини та знаку заряду на обкладках конденсатора та миттєвого значення струму та його напрямку в ланцюзі.
На графіку видно:
3. Що в коливальному контурі коливається? Які фізичні тіла здійснюють коливальні рухи? Відповідь: коливаються електрони, вони вільні коливання.
4. Які фізичні величини змінюються під час роботи коливального контуру? Відповідь: змінюються сила струму в ланцюзі, заряд у конденсаторі, напруга на обкладках конденсатора, енергія електричного поля та енергія магнітного поля.
5. Період коливань у коливальному контурі залежить тільки від індуктивності котушки L та ємності конденсатора C. Формула Томсона: Т = 2π можна порівняти і з формулами для механічних коливань.
У статті розповімо, що таке коливальний контур. Послідовний та паралельний коливальний контур.
Коливальний контурпристрій або електричний ланцюг, який містить необхідні радіоелектронні елементи для створення електромагнітних коливань. Розділяється на два типи залежно від з'єднання елементів: послідовнийі паралельний.
Основна радіоелементна база коливального контуру: Конденсатор, джерело живлення та котушка індуктивності.
Послідовний коливальний контур є найпростішим резонансним (коливальним) ланцюгом. Складається послідовний коливальний контур, з послідовно включених котушки індуктивності та конденсатора. При дії на такий ланцюг змінної (гармонічної) напруги через котушку і конденсатор протікатиме змінний струм, величина якого обчислюється за законом Ома:I = U / Х Σ, де Х Σ- сума реактивних опорів послідовно включених котушки та конденсатора (використовується модуль суми).
Для освіження пам'яті, згадаємо як залежать реактивні опори конденсатора і котушки індуктивності від частоти змінної напруги. Для котушки індуктивності, ця залежність матиме вигляд:
З формули видно, що зі збільшенням частоти, реактивний опір котушки індуктивності збільшується. Для конденсатора залежність його реактивного опору від частоти виглядатиме так:
На відміну від індуктивності, у конденсатора все відбувається навпаки - зі збільшенням частоти, реактивний опір зменшується. На наступному малюнку графічно представлені залежності реактивних опорів котушки X Lта конденсатора Х Cвід циклічної (кругової) частоти ω , а також графік залежності від частоти ω їх алгебраїчної суми Х Σ. Графік, власне, показує залежність від частоти загального реактивного опору послідовного коливального контуру.
З графіка видно, що на деякій частоті ω=ω р, де реактивні опору котушки і конденсатора рівні по модулю (рівні за значенням, але протилежні за знаком), загальний опір ланцюга звертається в нуль. На цій частоті в ланцюзі спостерігається максимум струму, який обмежений тільки омічними втратами в котушці індуктивності (тобто активним опором обмотки котушки котушки) і внутрішнім опором джерела струму (генератора). Таку частоту, коли він спостерігається розглянуте явище, зване у фізиці резонансом, називають резонансною частотою чи власною частотою коливань ланцюга. Також з графіка видно, що на частотах нижче частоти резонансу реактивний опір послідовного коливального контуру носить ємнісний характер, а на більш високих частотах індуктивний. Що стосується найрезонанснішої частоти, то вона може бути обчислена за допомогою формули Томсона, яку ми можемо вивести з формул реактивних опорів котушки індуктивності та конденсатора, прирівнявши їх реактивні опори один до одного:
На малюнку праворуч, зображено еквівалентну схему послідовного резонансного контуру з урахуванням омічних втрат R, підключеного до ідеального генератора гармонійної напруги з амплітудою U. Повний опір (імпеданс) такого ланцюга визначається: Z = √(R 2 +X Σ 2), де X Σ = ω L-1/ωC. На резонансній частоті, коли величини реактивних опорів котушки X L = ωLта конденсатора Х С = 1/?рівні за модулем, величина X Σзвертається в нуль (отже, опір ланцюга чисто активний), а струм в ланцюзі визначаться ставленням амплітуди напруги генератора до опору омічних втрат: I= U/R. При цьому на котушці та на конденсаторі, в яких запасена реактивна електрична енергія, падає однакова напруга U L = U С = IX L = IX С.
На будь-якій іншій частоті, відмінній від резонансної, напруги на котушці та конденсаторі неоднакові - вони визначаються амплітудою струму в ланцюгу та величинами модулів реактивних опорів X Lі X З.Тому резонанс у послідовному коливальному контурі прийнято називати резонансом напруг. Резонансною частотою контуру називають таку частоту, де опір контуру має суто активний (резистивний) характер. Умова резонансу - це рівність реактивних опорів котушки індуктивності і ємності.
Одними з найважливіших параметрів коливального контуру (крім, зрозуміло, резонансної частоти) є його характеристичний (або хвильовий) опір ρ і добротність контуру Q. Характеристичним (хвильовим) опором контуру ρ називається величина реактивного опору ємності та індуктивності контуру на резонансній частоті: ρ = Х L = Х Cпри ω =ω р. Характеристичний опір може бути обчислено наступним чином: ρ = √(L/C). Характеристичний опір ρ є кількісним заходом оцінки енергії, запасеної реактивними елементами контуру - котушкою (енергія магнітного поля) W L = (LI 2)/2та конденсатором (енергія електричного поля) W C = (CU 2)/2. Відношення енергії, запасеної реактивними елементами контуру, до енергії омічних (резистивних) втрат за період прийнято називати добротністю Qконтуру, що у буквальному перекладі з англійської означає «якість».
Добротність коливального контуру- Характеристика, що визначає амплітуду і ширину АЧХ резонансу і показує, у скільки разів запаси енергії в контурі більше, ніж втрати енергії за один період коливань. Добротність враховує наявність активного опору навантаження R.
Для послідовного коливального контуру RLC ланцюгах, в якому всі три елементи включені послідовно, добротність обчислюється:
де R, Lі C
Величину, зворотну добротності d = 1/Qназивають згасанням контуру. Для визначення добротності зазвичай користуються формулою Q = ρ/R, де R-опір омічних втрат контуру, що характеризує потужність резистивних (активних втрат) контуру Р = I 2 R. Добротність реальних коливальних контурів, виконаних на дискретних котушках індуктивності та конденсаторах, становить від кількох одиниць до сотні та більше. Добротність різних коливальних систем, побудованих на принципі п'єзоелектричних та інших ефектів (наприклад, кварцові резонатори), може досягати кількох тисяч і більше.
Частотні властивості різних ланцюгів у техніці прийнято оцінювати за допомогою амплітудно-частотних характеристик (АЧХ), при цьому самі ланцюги розглядають як чотириполюсники. На рисунках нижче представлені два найпростіші чотириполюсники, що містять послідовний коливальний контур та АЧХ цих ланцюгів, які наведені (показані суцільними лініями). По вертикальній осі графіків АЧХ відкладено величину коефіцієнта передачі ланцюга за напругою К, що показує відношення вихідної напруги ланцюга до вхідного.
Для пасивних ланцюгів (тобто не містять підсилювальних елементів та джерел енергії), величина Доніколи не перевищує одиниці. Опір змінному струму, зображеного на малюнку ланцюга, буде мінімальним при частоті впливу, що дорівнює резонансній частоті контуру. У цьому випадку коефіцієнт передачі ланцюга близький до одиниці (визначається омічні втрати в контурі). На частотах, що сильно відрізняються від резонансної, опір контуру змінному струму досить великий, а отже, і коефіцієнт передачі ланцюга падатиме практично до нуля.
При резонансі в цьому ланцюзі, джерело вхідного сигналу виявляється фактично замкнутим коротко малим опором контуру, завдяки чому коефіцієнт передачі такого ланцюга на резонансній частоті падає практично до нуля (знов-таки в силу наявності кінцевого опору втрат). Навпаки, при частотах вхідного впливу, що значно віддаляються від резонансної, коефіцієнт передачі ланцюга виявляється близьким до одиниці. Властивість коливального контуру значною мірою змінювати коефіцієнт передачі на частотах, близьких до резонансної, широко використовується на практиці, коли потрібно виділити сигнал з конкретною частотою з безлічі непотрібних сигналів, розташованих на інших частотах. Так, у будь-якому радіоприймачі за допомогою коливальних ланцюгів забезпечується налаштування на частоту потрібної радіостанції. Властивість коливального контуру виділяти з множини частот одну прийнято називати селективністю або вибірковістю. При цьому інтенсивність зміни коефіцієнта передачі ланцюга при відбудові частоти впливу резонансу прийнято оцінювати за допомогою параметра, званого смугою пропускання. За смугу пропускання приймається діапазон частот, у якого зменшення (чи збільшення — залежно від виду ланцюга) коефіцієнта передачі щодо його значення на резонансної частоті, перевищує величини 0,7 (3дБ).
Пунктирними лініями на графіках показані АЧХ точно таких же ланцюгів, коливальні контури яких мають такі ж резонансні частоти, як і для випадку розглянутого вище, але мають меншу добротність (наприклад, котушка індуктивності намотана проводом, що має великий опір постійному струму). Як видно з малюнків, при цьому розширюється смуга пропускання ланцюга та погіршуються її селективні (виборчі) властивості. Виходячи з цього, при розрахунку та конструюванні коливальних контурів необхідно прагнути до підвищення їх добротності. Однак, у ряді випадків, добротність контуру, навпаки, доводиться занижувати (наприклад, включаючи послідовно з котушкою індуктивності резистор невеликої опору), що дозволяє уникнути спотворень широкосмугових сигналів. Хоча, якщо на практиці потрібно виділити досить широкосмуговий сигнал, селективні ланцюги, як правило, будуються не на одиночних коливальних контурах, а на складніших пов'язаних (багатоконтурних) коливальних системах, в т.ч. багатоланкових фільтрах.
Паралельний коливальний контур
У різних радіотехнічних пристроях поряд з послідовними коливальними контурами часто (навіть частіше, ніж послідовні) застосовують паралельні коливальні контури На малюнку наведено принципову схему паралельного коливального контуру. Тут паралельно включено два реактивні елементи з різним характером реактивності Як відомо, при паралельному включенні елементів складати їх опору не можна — можна лише складати провідності. На малюнку наведено графічні залежності реактивних провідностей котушки індуктивності B L = 1/ωL, конденсатора C = -ωC, а також сумарної провідності У Σцих двох елементів, що є реактивною провідністю паралельного коливального контуру. Аналогічно, як і для послідовного коливального контуру, є деяка частота, звана резонансною, на якій реактивні опори (а значить і провідності) котушки та конденсатора однакові. На цій частоті сумарна провідність паралельного коливального контуру без втрат перетворюється на нуль. Це означає, що на цій частоті коливальний контур має нескінченно великий опір змінному струму.
Якщо побудувати залежність реактивного опору контуру від частоти X Σ = 1/B Σця крива, зображена на наступному малюнку, в точці ω = ω рматиме розрив другого роду. Опір реального паралельного коливального контуру (тобто з втратами), зрозуміло, не дорівнює нескінченності - воно тим менше, чим більший омічний опір втрат у контурі, тобто зменшується прямо пропорційно зменшенню добротності контуру. В цілому, фізичний зміст понять добротності, характеристичного опору та резонансної частоти коливального контуру, а також їх розрахункові формули, справедливі як для послідовного, так і для паралельного коливального контуру.
Для паралельного коливального контуру, в якому індуктивність, ємність та опір включені паралельно, добротність обчислюється:
де R, Lі C- Опір, індуктивність та ємність резонансного ланцюга, відповідно.
Розглянемо ланцюг, що складається з генератора гармонійних коливань та паралельного коливального контуру. У разі коли частота коливань генератора збігається з резонансною частотою контуру його індуктивна і ємнісна гілки надають рівний опір змінному струму, внаслідок чого струми в гілках контуру будуть однаковими. У цьому випадку кажуть, що в ланцюзі має місце резонанс струмів. Як і у разі послідовного коливального контуру, реактивності котушки і конденсатора компенсують один одного, і опір контуру струму, що протікає через нього, стає суто активним (резистивним). Величина цього опору, що часто називається в техніці еквівалентним, визначається твором добротності контуру на його характеристичний опір R екв = Q·ρ. На частотах, відмінних від резонансної, опір контуру зменшується і набуває реактивного характеру на нижчих частотах - індуктивний (оскільки реактивний опір індуктивності падає при зменшенні частоти), а на більш високих - навпаки, ємнісний (т до реактивний опір ємності падає зі зростанням частоти .
Розглянемо, як залежить коефіцієнти передачі четырехполюсников від частоти, при включенні у яких не послідовних коливальних контурів, а паралельних.
Чотириполюсник, зображений на малюнку, на резонансній частоті контуру являє собою величезний опір струму, тому при ω=ω рйого коефіцієнт передачі буде близьким до нуля (з урахуванням омічних втрат). На частотах, відмінних від резонансної, опір контуру зменшаться, а коефіцієнт передачі чотириполюсника — зростатиме.
Для чотириполюсника, наведеного на малюнку вище, ситуація буде протилежною — на резонансній частоті контур являтиме дуже великий опір і практично вся вхідна напруга надійде на вихідні клеми (тобто коефіцієнт передачі буде максимальний і близький до одиниці). При значній відмінності частоти вхідного впливу від резонансної частоти контуру, джерело сигналу, що підключається до вхідних клем чотириполюсника, виявиться практично закороченим коротко, а коефіцієнт передачі буде близький до нуля.
Коливальний контур- електричний ланцюг, в якому можуть виникати коливання з частотою, яка визначається параметрами ланцюга.
Найпростіший коливальний контур складається з конденсатора та котушки індуктивності, з'єднаних паралельно або послідовно.
Конденсатор C- Реактивний елемент. Має здатність накопичувати і віддавати електричну енергію.
- Котушка індуктивності L- Реактивний елемент. Має здатність накопичувати і віддавати магнітну енергію.
Вільні електричні коливання у паралельному контурі.
Основні властивості індуктивності:
Струм, що протікає в котушці індуктивності, створює магнітне поле з енергією.
- Зміна струму в котушці викликає зміну магнітного потоку в її витках, створюючи в них ЕРС, що перешкоджає зміні струму та магнітного потоку.
Період вільних коливань контуру LCможна описати так:
Якщо конденсатор ємністю Cзаряджений до напруги U, потенційна енергія його заряду становитиме 
.
Якщо паралельно зарядженому конденсатору підключити котушку індуктивності L, в ланцюзі піде струм його розряду, створюючи магнітне поле в котушці.
Магнітний потік, збільшуючись від нуля, створить ЕРС у протилежному напрямі струму в котушці, що перешкоджатиме наростанню струму в ланцюгу, тому конденсатор розрядиться не миттєво, а через час t 1 , яке визначається індуктивністю котушки та ємністю конденсатора з розрахунку t 1 = .
По закінченню часу t 1 коли конденсатор розрядиться до нуля, струм у котушці і магнітна енергія будуть максимальні.
Нагромаджена котушкою магнітна енергія в цей момент становитиме.
В ідеальному розгляді, за повної відсутності втрат у контурі, E Cбуде рівна E L. Таким чином, електрична енергія конденсатора перейде в магнітну енергію котушки.
Зміна (зменшення) магнітного потоку накопиченої енергії котушки створить у ній ЕРС, яка продовжить струм у тому напрямку і почнеться процес заряду конденсатора індукційним струмом. Зменшуючись від максимуму до нуля протягом часу t 2 = t 1 він перезарядить конденсатор від нуля до максимального негативного значення ( -U).
Так магнітна енергія котушки перейде в електричну енергію конденсатора.
Описані інтервали t 1 і t 2 складуть половину періоду повного коливання контурі.
У другій половині процеси аналогічні, тільки конденсатор розряджатиметься від негативного значення, а струм і магнітний потік змінять напрямок. Магнітна енергія знову накопичуватиметься в котушці протягом часу t 3, змінивши полярність полюсів.
Протягом заключного етапу коливання ( t 4), накопичена магнітна енергія котушки зарядить конденсатор до початкового значення U(у разі відсутності втрат) та процес коливання повториться.
Насправді, за наявності втрат енергії на активному опорі провідників, фазових і магнітних втрат, коливання будуть загасаючими за амплітудою.
Час t 1 + t 2 + t 3 + t 4 складе період коливань 
.
Частота вільних коливань контуру ƒ = 1 / T
Частота вільних коливань є частотою резонансу контуру, де реактивний опір індуктивності X L =2πfLдорівнює реактивному опору ємності X C =1/(2πfC).
Розрахунок частоти резонансу LC-контуру:
Пропонується простий онлайн-калькулятор для розрахунку резонансної частоти коливального контуру.
Основним пристроєм, що визначає робочу частоту будь-якого генератора змінного струму, є коливальний контур. Коливальний контур (рис.1) складається з котушки індуктивності L(Розглянемо ідеальний випадок, коли котушка не має омічного опору) і конденсатора Cі називається замкнутим. Характеристикою котушки є індуктивність, вона позначається Lта вимірюється в Генрі (Гн), конденсатор характеризують ємністю C, що вимірюють у фарадах (Ф).
Нехай у початковий момент часу конденсатор заряджений так (рис.1), що на одній з його обкладок є заряд + Q 0 , а на інший - заряд - Q 0 . При цьому між пластинами конденсатора утворюється електричне поле, що має енергію.
де - амплітудна (максимальна) напруга або різниця потенціалів на обкладинках конденсатора.
Після замикання контуру конденсатор починає розряджатися і ланцюгом піде електричний струм (рис.2), величина якого збільшується від нуля до максимального значення . Так як в ланцюзі протікає змінний за величиною струм, то в котушці індукується ЕРС самоіндукції, яка перешкоджає розрядженню конденсатора. Тому процес розрядки конденсатора відбувається миттєво, а поступово. У кожний момент часу різниця потенціалів на обкладинках конденсатора
(де - заряд конденсатора у час) дорівнює різниці потенціалів на котушці, тобто. дорівнює ЕРС самоіндукції
 |
 |
| Рис.1 | Рис.2 |
Коли конденсатор повністю розрядиться і сила струму в котушці досягне максимального значення (рис.3). Індукція магнітного поля котушки в цей момент також максимальна, а енергія магнітного поля дорівнюватиме
Потім сила струму починає зменшуватися, а заряд накопичуватиметься на пластинах конденсатора (рис.4). Коли сила струму зменшиться до нуля, заряд конденсатора досягне максимального значення Q 0 , але обкладка, насамперед позитивно заряджена, тепер буде заряджена негативно (рис. 5). Потім конденсатор знову починає розряджатися, причому струм у ланцюзі потече у протилежному напрямку.
Так процес перетікання заряду з однієї обкладки конденсатора в іншу через котушку індуктивності повторюється знову і знову. Кажуть, що у контурі відбуваються електромагнітні коливання. Цей процес пов'язаний не тільки з коливаннями величини заряду та напруги на конденсаторі, сили струму в котушці, а й перекачуванням енергії з електричного поля в магнітне та назад.
 |
 |
| Рис.3 | Рис.4 |
Перезаряджання конденсатора до максимальної напруги відбудеться лише в тому випадку, коли в коливальному контурі немає втрат енергії. Такий контур називається ідеальним.
У реальних контурах мають місце такі втрати енергії:
1) теплові втрати, т.к. R ¹ 0;
2) втрати у діелектриці конденсатора;
3) гістерезисні втрати у сердечнику котушці;
4) втрати випромінювання та інших. Якщо знехтувати цими втратами енергії, можна написати, що , тобто.
Коливання, що відбуваються в ідеальному коливальному контурі, в якому виконується ця умова, називаються вільними, або власними, коливання контуру.
У цьому випадку напруга U(і заряд Q) на конденсаторі змінюється за гармонічним законом:
де n – власна частота коливального контуру, w 0 = 2pn – власна (кругова) частота коливального контуру. Частота електромагнітних коливань у контурі визначається як
Період T- час, протягом якого відбувається одне повне коливання напруги на конденсаторі та струму в контурі, визначається формулою Томсона
Сила струму в контурі також змінюється за гармонічним законом, але відстає від напруги фазою на . Тому залежність сили струму в ланцюзі від часу матиме вигляд
. (9)
На рис.6 представлені графіки зміни напруги Uна конденсаторі та струму Iв котушці для ідеального коливального контуру.
У реальному контурі енергія з кожним ваганням зменшуватиметься. Амплітуди напруги на конденсаторі і струму в контурі зменшуватимуться, такі коливання називаються загасаючими. У генераторах, що задають, їх застосовувати не можна, т.к. прилад працюватиме в кращому разі в імпульсному режимі.
 |
 |
| Рис.5 | Рис.6 |
Для отримання незагасаючих коливань необхідно компенсувати втрати енергії при найрізноманітніших робочих частотах приладів, у тому числі й у медицині.
Теми кодифікатора ЄДІ: вільні електромагнітні коливання, коливальний контур, вимушені електромагнітні коливання, резонанс, гармонійні електромагнітні коливання.
Електромагнітні коливання- це періодичні зміни заряду, сили струму та напруги, що відбуваються в електричному ланцюзі. Найпростішою системою для спостереження електромагнітних коливань є коливальний контур.
Коливальний контур
Коливальний контур- це замкнутий контур, утворений послідовно з'єднаними конденсатором та котушкою.
Зарядимо конденсатор, підключимо до нього котушку і замкнемо ланцюг. Почнуть відбуватися вільні електромагнітні коливання- періодичні зміни заряду на конденсаторі та струму в котушці. Вільними, нагадаємо, ці коливання називаються оскільки вони відбуваються без будь-якого зовнішнього впливу - лише рахунок енергії, запасеної в контурі.
Період коливань у контурі позначимо, як завжди, через . Опір котушки вважатимемо рівним нулю.
Розглянемо докладно усі важливі стадії процесу коливань. Для більшої наочності проводимо аналогію з коливаннями горизонтального пружинного маятника.
Початковий момент: . Заряд конденсатора дорівнює струму через котушку відсутня (рис. 1). Конденсатор зараз почне розряджатися.
Мал. 1.
Незважаючи на те, що опір котушки дорівнює нулю, струм не зросте миттєво. Як тільки струм почне збільшуватися, в котушці виникне ЕРС самоіндукції, що перешкоджає зростанню струму.
Аналогія. Маятник відтягнутий праворуч на величину і в початковий момент відпущено. Початкова швидкість маятника дорівнює нулю.
Перша чверть періоду: . Конденсатор розряджається, його заряд зараз дорівнює . Струм через котушку наростає (рис. 2).
Мал. 2.
Збільшення струму відбувається поступово: вихрове електричне поле котушки перешкоджає наростанню струму і спрямоване проти струму.
Аналогія. Маятник рухається вліво до положення рівноваги; швидкість маятника поступово збільшується. Деформація пружини (вона ж – координата маятника) зменшується.
Кінець першої чверті: . Конденсатор повністю розрядився. Сила струму досягла максимального значення (рис. 3). Зараз почнеться перезаряджання конденсатора.
Мал. 3.
Напруга на котушці дорівнює нулю, але струм не зникне миттєво. Як тільки струм почне зменшуватися, в котушці виникне ЕРС самоіндукції, що перешкоджає зменшенню струму.
Аналогія. Маятник проходить положення рівноваги. Його швидкість досягає максимального значення. Деформація пружини дорівнює нулю.
Друга чверть: . Конденсатор перезаряджається - з його обкладках з'являється заряд протилежного знака проти тим, що був спочатку (рис. 4 ).
Мал. 4.
Сила струму поступово зменшується: вихрове електричне поле котушки, підтримуючи спадаючий струм, сонаправлено зі струмом.
Аналогія. Маятник продовжує рухатися вліво - від положення рівноваги до правої крайньої точки. Швидкість його поступово зменшується, деформація пружини збільшується.
Кінець другої чверті. Конденсатор повністю перезарядився, його заряд знову дорівнює (але полярність інша). Сила струму дорівнює нулю (рис. 5). Зараз почнеться зворотне перезаряджання конденсатора.
Мал. 5.
Аналогія. Маятник досяг крайньої правої точки. Швидкість маятника дорівнює нулю. Деформація пружини максимальна і дорівнює.
Третя чверть: . Почалася друга половина періоду коливань; процеси пішли у зворотному напрямку. Конденсатор розряджається (рис. 6).
Мал. 6.
Аналогія. Маятник рухається назад: від правої крайньої точки до положення рівноваги.
Кінець третьої чверті: . Конденсатор повністю розрядився. Струм максимальний і знову дорівнює, але цього разу має інший напрямок (рис. 7).
Мал. 7.
Аналогія. Маятник знову проходить положення рівноваги з максимальною швидкістю, але цього разу у зворотному напрямку.
Четверта чверть: . Струм зменшується, конденсатор заряджається (рис. 8).
Мал. 8.
Аналогія. Маятник продовжує рухатися праворуч - від положення рівноваги до крайньої лівої точки.
Кінець четвертої чверті та всього періоду: . Зворотне перезарядження конденсатора завершено, струм дорівнює нулю (рис. 9).
Мал. 9.
Цей момент ідентичний моменту , а цей рисунок - рисунку 1 . Здійснилося одне повне вагання. Зараз почнеться наступне коливання, протягом якого процеси відбуватимуться так само, як описано вище.
Аналогія. Маятник повернувся у вихідне становище.
Розглянуті електромагнітні коливання є незатухаючими- вони продовжуватимуться нескінченно довго. Адже ми припустили, що опір котушки дорівнює нулю!
Так само будуть незагасаючими коливання пружинного маятника за відсутності тертя.
Насправді котушка має деякий опір. Тому коливання в реальному коливальному контурі будуть загасаючими. Так, через одне повне коливання заряд на конденсаторі виявиться меншим за вихідне значення. З часом коливання зовсім зникнуть: вся енергія, запасена спочатку в контурі, виділиться у вигляді тепла на опорі котушки і сполучних проводів.
Так само будуть загасаючими коливання реального пружинного маятника: вся енергія маятника поступово перетвориться на тепло через неминучу наявність тертя.
Енергетичні перетворення в коливальному контурі
Продовжуємо розглядати незагасаючі коливання в контурі, вважаючи опір котушки нульовим. Конденсатор має ємність, індуктивність котушки дорівнює.
Оскільки теплових втрат немає, енергія з контуру не йде: вона постійно перерозподіляється між конденсатором та котушкою.
Візьмемо момент часу, коли заряд конденсатора максимальний і дорівнює, а струм відсутня. Енергія магнітного поля котушки в цей момент дорівнює нулю. Вся енергія контуру зосереджена в конденсаторі:
Тепер, навпаки, розглянемо момент, коли струм максимальний і дорівнює, а конденсатор розряджений. Енергія конденсатора дорівнює нулю. Вся енергія контуру запасена в котушці:
У довільний момент часу, коли заряд конденсатора дорівнює і через котушку тече струм, енергія контуру дорівнює:
Таким чином,
(1)
Співвідношення (1) застосовується під час вирішення багатьох завдань.
Електромеханічні аналогії
У попередньому листку про самоіндукцію ми відзначили аналогію між індуктивністю та масою. Тепер ми можемо встановити ще кілька відповідностей між електродинамічних та механічних величин.
Для пружинного маятника ми маємо співвідношення, аналогічне (1) :
(2)
Тут, як ви вже зрозуміли, - жорсткість пружини, - маса маятника, - поточні значення координати і швидкості маятника, і - їх найбільші значення.
Порівнюючи один з одним рівності (1) і (2) , бачимо такі відповідності:
(3)
(4)
(5)
(6)
Маючи ці електромеханічні аналогії, ми можемо передбачити формулу для періоду електромагнітних коливань в коливальному контурі.
Насправді, період коливань пружинного маятника, як ми знаємо, дорівнює:
B відповідно до аналогій (5) і (6) замінюємо тут масу на індуктивність, а жорсткість на зворотну ємність. Отримаємо:
(7)
Електромеханічні аналогії не підводять: формула (7) дає правильний вираз для періоду коливань у коливальному контурі. Вона називається формулою Томсона. Ми незабаром наведемо її суворіший висновок.
Гармонічний закон коливань у контурі
Нагадаємо, що коливання називаються гармонійними, якщо величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Якщо ви встигли забути, обов'язково повторіть листок «Механічні коливання».
Коливання заряду на конденсаторі та сили струму в контурі виявляються гармонійними. Ми зараз це доведемо. Але перш нам треба встановити правила вибору знака для заряду конденсатора і для сили струму - адже при коливаннях ці величини прийматимуть як позитивні, так і негативні значення.
Спочатку ми вибираємо позитивний напрямок обходуконтуру. Вибір ролі не грає; нехай це буде напрямок проти годинникової стрілки(Рис. 10).
Мал. 10. Позитивний напрямок обходу
Сила струму вважається позитивною class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .!}
Заряд конденсатора - це заряд його пластини, на котрутече позитивний струм (т. е. тієї пластини, яку вказує стрілка напрями обходу). В даному випадку – заряд лівийпластини конденсатора.
При такому виборі символів струму і заряду справедливе співвідношення: (при іншому виборі символів могло статися). Справді, знаки обох частин збігаються: якщо class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому !} class="tex" alt="\dot(q) > 0"> !}.
Величини і змінюються згодом, але енергія контуру залишається незмінною:
(8)
Отже, похідна енергії за часом перетворюється на нуль: . Беремо похідну за часом від обох частин співвідношення (8); не забуваємо, що зліва диференціюються складні функції (Якщо - функція від , то за правилом диференціювання складної функції похідна від квадрата нашої функції дорівнюватиме: ):
Підставляючи сюди і отримаємо:
Але сила струму перестав бути функцією, тотожно рівної нулю; тому
Перепишемо це у вигляді:
(9)
Ми отримали диференціальне рівняння гармонійних коливань виду де . Це доводить, що заряд конденсатора коливається за гармонійним законом (тобто за законом синуса чи косинуса). Циклічна частота цих коливань дорівнює:
(10)
Ця величина називається ще власною частотоюконтуру; саме з цією частотою в контурі відбуваються вільні (або, як ще кажуть, власніколивання). Період коливань дорівнює:
Ми знову прийшли до формули Томсона.
Гармонійна залежність заряду від часу в загальному випадку має вигляд:
(11)
Циклічна частота знаходиться за формулою (10); амплітуда та початкова фаза визначаються з початкових умов.
Ми розглянемо ситуацію, детально вивчену на початку цього аркуша. Нехай при заряді конденсатора максимальний і дорівнює (як на рис. 1); струм у контурі відсутня. Тоді початкова фаза, так що заряд змінюється за законом косинуса з амплітудою:
(12)
Знайдемо закон зміни сили струму. Для цього диференціюємо за часом співвідношення (12), знову-таки не забуваючи про правило знаходження похідної складної функції:
Ми бачимо, що й сила струму змінюється за гармонічним законом, цього разу - за законом синуса:
(13)
Амплітуда сили струму дорівнює:
Наявність мінусу в законі зміни струму (13) зрозуміти не складно. Візьмемо, наприклад, інтервал часу (рис. 2).
Струм тече у негативному напрямі: . Оскільки , фаза коливань перебуває у першій чверті: . Синус у першій чверті позитивний; Отже, синус в (13) буде позитивним на розглянутому інтервалі часу. Тому для забезпечення негативності струму дійсно потрібний знак «мінус» у формулі (13) .
А тепер подивіться на рис. 8 . Струм тече в позитивному напрямку. Як же працює наш мінус у цьому випадку? Розберіться, в чому тут справа!
Зобразимо графіки коливань заряду та струму, тобто. графіки функцій (12) та (13) . Для наочності представимо ці графіки в одних координатних осях (рис. 11).
Мал. 11. Графіки коливань заряду та струму
Зверніть увагу: нулі заряду припадають на максимуми чи мінімуми струму; і навпаки, нулі струму відповідають максимуму або мінімуму заряду.
Використовуючи формулу наведення
запишемо закон зміни струму (13) у вигляді:
Зіставляючи це вираз із законом зміни заряду , бачимо, що фаза струму, рівна , більше фази заряду на величину . У такому разі кажуть, що струм випереджає по фазізаряд на; або зрушення фазміж струмом і зарядом дорівнює; або різницю фазміж струмом і зарядом дорівнює.
Випередження струмом заряду по фазі графічно проявляється в тому, що графік струму зрушений влівощодо графіка заряду. Сила струму досягає, наприклад, свого максимуму на чверть періоду раніше, ніж досягає максимуму заряд (а чверть періоду якраз і відповідає різниці фаз).
Вимушені електромагнітні коливання
Як ви пам'ятаєте, вимушені коливаннявиникають у системі під дією періодичної сили, що змушує. Частота вимушених коливань збігається з частотою сили, що змушує.
Вимушені електромагнітні коливання відбуватимуться в контурі, що входить до джерела синусоїдальної напруги (рис. 12).
Мал. 12. Вимушені коливання
Якщо напруга джерела змінюється згідно із законом:
то в контурі відбуваються коливання заряду та струму з циклічною частотою (і з періодом, відповідно, ). Джерело змінної напруги як би "нав'язує" контуру свою частоту коливань, змушуючи забути про свою частоту.
Амплітуда вимушених коливань заряду і струму залежить від частоти: амплітуда тим більше, чим ближче до власної частоти контуру. резонанс- різке зростання амплітуди коливань. Ми поговоримо про резонанс докладніше в наступному листку, присвяченому змінному струму.
