Obilježja funkcije snage. Funkcija stepena, njezina svojstva i graf. Funkcija potencije s negativnim eksponentom p

Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstvena svojstva i odgovarajući grafovi jedna su od osnova matematičkog znanja, po važnosti slična tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova, oslonac za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Članak u nastavku pruža ključni materijal o temi osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

stalna funkcija (konstanta);
n-ti korijen;
funkcija snage;
eksponencijalna funkcija;
logaritamska funkcija;
trigonometrijske funkcije;
bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija definirana je formulom: y = C (C je određeni realni broj) i također ima naziv: konstanta. Ova funkcija određuje podudarnost bilo koje stvarne vrijednosti nezavisne varijable x s istom vrijednošću varijable y - vrijednosti C.

Graf konstante je pravac koji je paralelan s apscisnom osi i prolazi točkom s koordinatama (0, C). Radi jasnoće prikazujemo grafove konstantnih funkcija y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na crtežu označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija definirana je formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Razmotrimo dvije varijante funkcije.

n-ti korijen, n – paran broj

Radi jasnoće, označavamo crtež koji prikazuje grafove takvih funkcija: y = x, y = x 4 i y = x8. Ove značajke označene su bojama: crna, crvena i plava.

Grafikoni funkcije parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Definicija 3

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je paran broj

domena definicije – skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
dano funkcija-funkcija opći oblik (nije ni paran ni neparan);
raspon: [ 0 , + ∞) ;
ova funkcija y = x n s parnim korijenskim eksponentima raste kroz cijelu domenu definicije;
funkcija ima konveksnost usmjerenu prema gore kroz cijelo područje definicije;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
graf funkcije za parno n prolazi kroz točke (0; 0) i (1; 1).

n-ti korijen, n – neparan broj

Takva je funkcija definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i plava su boje krivulja.

Ostale neparne vrijednosti eksponenta korijena funkcije y = x n dat će graf sličnog tipa.

Definicija 4

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je neparan broj

domena definicije – skup svih realnih brojeva;
ova funkcija je neparna;
raspon vrijednosti - skup svih realnih brojeva;
funkcija y = x n za eksponente neparnih korijena raste u cijeloj domeni definicije;
funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞);
točka infleksije ima koordinate (0; 0);
nema asimptota;
Graf funkcije za neparno n prolazi kroz točke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) i (1 ; 1).

Funkcija snage

Definicija 5

Funkcija potencije definirana je formulom y = x a.

Izgled grafova i svojstva funkcije ovise o vrijednosti eksponenta.

kada potencna funkcija ima cjelobrojni eksponent a, tada vrsta grafa potencne funkcije i njezina svojstva ovise o tome je li eksponent paran ili neparan, kao i kakav predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
eksponent može biti frakcijski ili iracionalan - ovisno o tome, vrsta grafova i svojstva funkcije također variraju. Analizirat ćemo posebne slučajeve postavljanjem nekoliko uvjeta: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcija potencije može imati eksponent nula, pa ćemo i ovaj slučaj detaljnije analizirati u nastavku.

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1, 3, 5...

Radi jasnoće, označavamo grafove takvih funkcija snage: y = x (crna grafička boja), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (grafička boja zelena). Kada je a = 1, dobivamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva funkcije potencije kada je eksponent neparan pozitivan

funkcija je rastuća za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
točka infleksije ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
nema asimptota;
točke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2, 4, 6...

Radi jasnoće, označavamo grafove takvih funkcija snage: y = x 2 (grafička boja crna), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafa). Kada je a = 2, dobivamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak i pozitivan:

domena definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
opadajući za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
točke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Donja slika prikazuje primjere grafova funkcija snage y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (crna grafička boja); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (grafička boja zelena). Kada je a = - 1, dobivamo obrnutu proporcionalnost čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x = 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, jer je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x);
funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
nema točaka infleksije;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kada je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

točke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Donja slika prikazuje primjere grafova funkcije snage y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafička boja crna); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafa).

Definicija 9

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak i negativan:

domena definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x = 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, jer je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

funkcija je parna jer je y(-x) = y(x);
funkcija je rastuća za x ∈ (- ∞ ; 0) i padajuća za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0, jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

točke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pažnju na sljedeći aspekt: u slučaju kada je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domenu definiranja ove funkcije snage; + ∞ , uz uvjet da je eksponent a nesvodivi razlomak. U ovom trenutku, autori mnogih obrazovnih publikacija o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. U nastavku ćemo se držati upravo ovog stava: uzet ćemo skup [ 0 ; + ∞) . Preporuka za učenike: saznajte učiteljev stav o ovoj točki kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju snage y = x a , kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj, pod uvjetom da je 0< a < 1 .

Ilustrirajmo funkcije snage grafovima y = x a kada je a = 11 12 (grafička boja crna); a = 5 7 (crvena boja grafa); a = 1 3 (plava boja grafa); a = 2 5 (zelena boja grafa).

Ostale vrijednosti eksponenta a (uz uvjet 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija je rastuća za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
nema točaka infleksije;
nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je eksponent necijeli racionalni ili iracionalni broj, pod uvjetom da je a > 1.

Ilustrirajmo grafovima funkciju snage y = x a pod zadanim uvjetima koristeći sljedeće funkcije kao primjer: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena boja grafova, odnosno).

Ostale vrijednosti eksponenta a, pod uvjetom da je a > 1, dat će sličan graf.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

domena definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
funkcija je rastuća za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
prolazne točke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Napominjemo!Kada je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji mišljenje da je domena definicije u tom slučaju interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) uz napomenu da je eksponent a nesvodivi razlomak. Trenutno autori obrazovni materijali u algebri i načelima analize NE ODREĐUJTE potencne funkcije s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Nadalje, držimo se upravo ovog stajališta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu definiranja funkcija potencije s razlomačkim negativnim eksponentima. Preporuka za učenike: Razjasnite viziju svog učitelja na ovom mjestu kako biste izbjegli nesuglasice.

Nastavimo temu i analizirajmo funkciju snage y = x a pod uvjetom: - 1< a < 0 .

Predstavimo crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (crna, crvena, plava, zelena boja linije, odnosno).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ 0 ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
nema točaka infleksije;

Donji crtež prikazuje grafove funkcija snage y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelene boje krivulje odnosno).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
funkcija je padajuća za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0;
točka prolaza funkcije: (1; 1) .

Kada je a = 0 i x ≠ 0, dobivamo funkciju y = x 0 = 1, koja definira liniju iz koje se isključuje točka (0; 1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 neće pridavati nikakvo značenje ).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x, gdje je a > 0 i a ≠ 1, a graf ove funkcije izgleda drugačije ovisno o vrijednosti baze a. Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, pogledajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nula do jedan (0< a < 1) . Dobar primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krivulje) i a = 5 6 (crvena boja krivulje).

Grafikoni eksponencijalne funkcije imat će sličan izgled za ostale vrijednosti baze pod uvjetom 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan pada u cijeloj domeni definicije;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0 s varijablom x koja teži + ∞;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrirajmo ovaj poseban slučaj grafom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krivulje) i y = e x (crvena boja grafa).

Ostale vrijednosti baze, veće jedinice, dat će sličan izgled grafu eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

domena definicije – cijeli skup realnih brojeva;
raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste s x ∈ - ∞; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ - ∞; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0 s varijablom x koja teži - ∞;
točka prolaza funkcije: (0; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x), gdje je a > 0, a ≠ 1.

Takva je funkcija definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritamske funkcije ima drugačija vrsta, na temelju vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ostale vrijednosti baze, a ne veće jedinice, dat će sličan tip grafikona.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže +∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
logaritamski
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;

Pogledajmo sada poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Na donjem crtežu prikazani su grafovi logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafova).

Ostale vrijednosti baze veće od jedan dat će sličan tip grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
logaritamska funkcija je rastuća za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
točka prolaza funkcije: (1; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Pogledajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuće grafike.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcije ponavljaju na različita značenja argumenti koji se međusobno razlikuju za period f (x + T) = f (x) (T – period). Tako se na popis svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka “najmanji pozitivni period”. Osim toga, naznačit ćemo vrijednosti argumenta pri kojima odgovarajuća funkcija postaje nula.

Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

domena definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funkcija nestaje kada je x = π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
funkcija je rastuća za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i opadajuća za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
funkcija sinusa ima lokalne maksimume u točkama π 2 + 2 π · k; 1 i lokalni minimumi u točkama - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
funkcija sinusa je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nema asimptota.

Kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
najmanji pozitivni period: T = 2 π;
raspon vrijednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
ova funkcija je parna, jer je y (- x) = y (x);
funkcija je rastuća za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i opadajuća za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u točkama 2 π · k ; 1, k ∈ Z i lokalni minimumi u točkama π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
funkcija kosinus je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
točke infleksije imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
nema asimptota.

Tangentna funkcija: y = t g (x)

Graf ove funkcije zove se tangens.

Definicija 20

Svojstva funkcije tangente:

domena definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
Ponašanje funkcije tangente na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, pravci x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
funkcija nestaje kada je x = π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste kao - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
funkcija tangente je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
točke infleksije imaju koordinate π · k ; 0, k ∈ Z;

Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

domena definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje funkcije kotangensa na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, pravci x = π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

najmanji pozitivni period: T = π;
funkcija nestaje kada je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
funkcija kotangens je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
točke infleksije imaju koordinate π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Nema kosih i horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Često se, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju lučnim funkcijama .

Arkus sinus funkcija: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva funkcije arksinus:

ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija arksinusa ima konkavnost za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
točke infleksije imaju koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
nema asimptota.

Arkus kosinusna funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva ark kosinusne funkcije:

domena definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
raspon: y ∈ 0 ; π;
ova funkcija je općeg oblika (niti parna niti neparna);
funkcija je opadajuća u cijeloj domeni definicije;
arc kosinusna funkcija ima konkavnost na x ∈ - 1; 0 i konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
točke infleksije imaju koordinate 0; π 2;
nema asimptota.

Funkcija arktangens: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva funkcije arktangensa:

domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon vrijednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste u cijeloj domeni definicije;
funkcija arktangensa ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
točka infleksije ima koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
horizontalne asimptote su ravne linije y = - π 2 kao x → - ∞ i y = π 2 kao x → + ∞ (na slici su asimptote zelene linije).

Arkus tangens funkcija: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva arkotangens funkcije:

domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon: y ∈ (0; π) ;
ova funkcija je općeg oblika;
funkcija je opadajuća u cijeloj domeni definicije;
funkcija arc kotangens ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
točka infleksije ima koordinate 0; π 2;
vodoravne asimptote su ravne linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Funkcije y = ax, y = ax 2, y = a/x posebne su vrste funkcija snage na n = 1, n = 2, n = -1 .

Ako n razlomački broj str/ q s parnim nazivnikom q i neparni brojnik R, zatim vrijednost može imati dva predznaka, a graf ima još jedan dio na dnu x-osi x, a simetričan je u odnosu na gornji dio.

Vidimo graf dvoznačne funkcije y = ±2x 1/2, tj. predstavljena parabolom s vodoravnom osi.

Funkcijski grafikoni y = xn na n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ovi grafovi prolaze točkom (1; 1).

Kada n = -1 dobivamo hiperbola. Na n < - 1 Graf funkcije potencije najprije se nalazi iznad hiperbole, tj. između x = 0 I x = 1, a zatim niže (at x > 1). Ako n> -1 graf ide obrnuto. Negativne vrijednosti x i frakcijske vrijednosti n slično za pozitivno n.

Svi grafikoni su neograničeno aproksimirani prema x-osi X, a na ordinatnu os na ne dodirujući ih. Zbog sličnosti s hiperbolom, ti se grafikoni nazivaju hiperbolama n th narudžba.

10. razred

FUNKCIJA SNAGE

Vlast nazvaofunkcija dana formulomGdje, str – neki realni broj.

ja . Indeks- paran prirodan broj. Zatim funkcija snage Gdjen

D ( g )= (−; +).

2) Raspon vrijednosti funkcije je skup nenegativnih brojeva, ako:

skup nepozitivnih brojeva ako:

3) ) . Dakle funkcijaJoj .

4) Ako, tada funkcija opada kaox (- ; 0] i raste sx a smanjuje se nax \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije $f\lijevo(x\desno)=x^(2n)$

Svojstva funkcije potencije s prirodnim neparnim eksponentom

Domena definicije su svi realni brojevi.

$f\lijevo(-x\desno)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funkcija je neparna.

$f(x)$ je neprekidan u cijeloj domeni definicije.

Raspon su svi realni brojevi.

$f"\lijevo(x\desno)=\lijevo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija raste preko cijele domene definicije.

$f\lijevo(x\desno)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\lijevo(x\desno))=(\lijevo(\lijevo(2n-1\desno)\cdot x^(2\lijevo(n-1\desno))\desno))"=2 \lijevo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\lijevo(x\desno)=x^(2n-1)$

Funkcija potencije s cjelobrojnim eksponentom

Prvo, uvedimo koncept stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Potencija realnog broja $a$ s cjelobrojnim eksponentom $n$ određena je formulom:

Slika 4.

Razmotrimo sada funkciju potencije s cjelobrojnim eksponentom, njezina svojstva i graf.

Definicija 4

$f\lijevo(x\desno)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija potencije s cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stupanj veći od nule, tada dolazimo do slučaja potencne funkcije s prirodnim eksponentom. Već smo o tome raspravljali gore. Za $n=0$ dobivamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepustit ćemo čitatelju. Preostaje razmotriti svojstva funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom

Svojstva funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom

Domena definicije je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je i funkcija parna, ako je neparan, onda je i funkcija neparna.

$f(x)$ je neprekidan u cijeloj domeni definicije.

Opseg:

Ako je eksponent paran, tada $(0,+\infty)$; ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Za neparan eksponent, funkcija opada kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ako je eksponent paran, funkcija opada kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \lijevo(-\infty ,0\desno)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene definicije

Jeste li upoznati s funkcijama y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage tj. funkcije y=x str, gdje je p zadani realni broj. Svojstva i graf potencije značajno ovise o svojstvima potencije s realnim eksponentom, a posebno o vrijednostima za koje x I str stupanj ima smisla x str. Prijeđimo na slično razmatranje različitih slučajeva ovisno o eksponentu str.

Indeks p=2n-parni prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x 2n, Gdje n- prirodni broj, ima sljedeće

Svojstva:

domena definicije - svi realni brojevi, tj. skup R;

skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;

funkcija y=x 2nčak, jer x 2n =(-x) 2n

funkcija je opadajuća na intervalu x<0 i raste na intervalu x>0.

Graf funkcije y=x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- neparan prirodan broj U ovom slučaju funkcija potencije y=x 2n-1, gdje je prirodni broj, ima sljedeća svojstva:

domena definiranja - skup R;

skup vrijednosti - skup R;

funkcija y=x 2n-1čudno jer (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Graf funkcije y=x2n-1 ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x3.

3.Pokazatelj p=-2n, Gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x -2n =1/x 2n ima sljedeća svojstva:

skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;

funkcija y =1/x 2nčak, jer 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funkcija raste na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graf funkcije y =1/x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y =1/x 2 .

4. Indikator p=-(2n-1), Gdje n- prirodni broj. U ovom slučaju, funkcija snage y=x -(2n-1) ima sljedeća svojstva:

domena definicije - skup R, osim x=0;

skup vrijednosti - skup R, osim y=0;

funkcija y=x -(2n-1)čudno jer (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funkcija je opadajuća na intervalima x<0 I x>0.

Graf funkcije y=x -(2n-1) ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=1/x 3 .

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

arcsin funkcija

Graf funkcije .

Arksinus brojevima m ova vrijednost kuta se zove x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena duž cijele brojevne crte. Funkcija je u strogom porastu.

[Uredi]Svojstva funkcije arcsin

[Uredi]Dohvaćanje funkcije arcsin

S obzirom na funkciju Throughout its whole domena definicije slučajno je po komadu monoton, i, prema tome, inverzna korespondencija nije funkcija. Stoga ćemo razmotriti segment na kojem ona striktno raste i poprima sve vrijednosti raspon vrijednosti- . Budući da za funkciju na intervalu svaka vrijednost argumenta odgovara jednoj vrijednosti funkcije, tada na tom intervalu postoji inverzna funkcija čiji je graf simetričan grafu funkcije na odsječku u odnosu na ravnu liniju