Lekcia a prezentácia na tému: "Funkcie mocnin. Záporný celočíselný exponent. Graf mocninovej funkcie"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Interaktívna príručka „Pravidlá a cvičenia z algebry“ pre 9. ročník
Multimediálna učebnica pre ročník 9 "Algebra za 10 minút"
Druh mocninnej funkcie so záporným exponentom
Chlapci, pokračujeme v štúdiu číselných funkcií. Témou dnešnej hodiny budú aj mocninné funkcie, nie však s prirodzeným exponentom, ale so záporným celým číslom.vyzerá takto: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Jednou z týchto funkcií, ktorú veľmi dobre poznáme, je hyperbola. Chlapci, pamätáte sa na hyperbolický graf? Postavte si ho sami.
Pozrime sa na jednu pre nás vhodnú funkciu a definujme jej vlastnosti. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Začnime paritou. Stojí za zmienku, že vlastnosť parity značne zjednodušuje konštrukciu funkčných grafov, pretože môžeme zostaviť polovicu grafu a potom to len reflektovať.
Oblasťou našej funkcie je množina reálnych čísel, okrem nuly všetci dobre vieme, že nulou sa deliť nedá. Definičný obor je symetrická množina, pristúpime k výpočtu hodnoty funkcie zo záporného argumentu.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Naša funkcia je rovnomerná. Môžeme teda vytvoriť graf pre $x≥0$ a potom ho premietnuť pozdĺž osi y.
Chlapci, tentoraz navrhujem zostaviť funkčný graf spoločne, ako to robia v matematike pre dospelých. Najprv definujeme vlastnosti našej funkcie a potom na základe nich zostavíme graf. Budeme brať do úvahy, že $ x> 0 $.
1. Doména D(y)=(0;+∞).
2. Funkcia sa znižuje. Poďme sa na to pozrieť. Nechaj $ x 1
3. Funkcia je obmedzená zdola. Je zrejmé, že $\frac(1)(x^2)>0$, čo znamená, že je ohraničený zdola.
Neexistuje žiadna horná hranica, pretože ak vezmeme hodnotu argumentu veľmi malú, blízkou nule, potom bude hodnota funkcie smerovať k plus nekonečnu.
4. Neexistuje žiadna maximálna ani minimálna hodnota. Najväčšia hodnota nie, keďže funkcia nie je zhora ohraničená. Čo s najmenšou hodnotou, veď funkcia je ohraničená zdola.
Čo znamená, že funkcia má najmenšiu hodnotu?
Existuje bod x0 taký, že pre všetky x z domény $f(x)≥f(x0)$, ale naša funkcia je klesajúca na celej doméne, existuje také číslo $х1>x0$, ale $f(x1) Grafy mocninných funkcií so zápornými exponentmi
Zostavme graf našej funkcie podľa bodov. 
Graf našej funkcie je veľmi podobný grafu hyperboly.
Použime vlastnosť parity a premietnime graf pozdĺž osi y. 
Napíšme vlastnosti našej funkcie pre všetky hodnoty x.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Rovnomerná funkcia.
3) Zvýšenie o (-∞;0], zníženie o .
Riešenie. Funkcia klesá v celej doméne definície, potom dosiahne svoje maximálne a minimálne hodnoty na koncoch segmentu. Najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu $f(1)=1$, najmenšia na pravom konci $f(3)=\frac(1)(27)$.
Odpoveď: Najväčšia hodnota je 1, najmenšia je 1/27.
Príklad. Nakreslite funkciu $y=(x+2)^(-4)+1$.
Riešenie. Graf našej funkcie získame z grafu funkcie $y=x^(-4)$ posunutím o dve jednotky doľava a jednu jednotku nahor.
Zostavme si graf: 
Úlohy na samostatné riešenie
1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie $y=\frac(1)(x^4)$ na segmente .2. Nakreslite funkciu $y=(x-3)^(-5)+2$.
Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko je založené na nich, všetko sa z nich stavia a všetko na nich spočíva.
V tomto článku uvádzame všetky hlavné elementárne funkcie, uvádzame ich grafy a uvádzame ich bez odvodzovania a dôkazov. vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:
- správanie funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri členenie klasifikácie bodov zlomu funkcie);
- párne a nepárne;
- konvexnosť (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosť (konvexnosť smerom nadol) intervaly, inflexné body (v prípade potreby pozri článok funkcia konvexita, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
- šikmé a horizontálne asymptoty;
- singulárne body funkcií;
- špeciálne vlastnosti niektorých funkcií (napríklad najmenšia kladná perióda pre goniometrické funkcie).
Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.
Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), odmocnina n-tého stupňa, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.
Navigácia na stránke.
Trvalá funkcia.
Konštantná funkcia je daná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia priraďuje každej reálnej hodnote nezávislej premennej x rovnakú hodnotu závisle premennej y - hodnotu С. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.
Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C) . Ukážme si napríklad grafy konštantných funkcií y=5 , y=-2 a , ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.
Vlastnosti konštantnej funkcie.
- Oblasť definície: celá množina reálnych čísel.
- Konštantná funkcia je rovnomerná.
- Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jedného čísla C .
- Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
- O konvexnosti a konkávnosti konštanty nemá zmysel hovoriť.
- Neexistuje žiadna asymptota.
- Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.
Koreň n-tého stupňa.
Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.
Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.
Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n .
Napríklad dávame obrázok s obrázkami grafov funkcií 
a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.
Grafy funkcií koreňa párneho stupňa majú podobnú formu pre iné hodnoty ukazovateľa.
Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre párne n .
Odmocnina n-tého stupňa, n je nepárne číslo.
Odmocnina n-tého stupňa s nepárnym exponentom odmocniny n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Napríklad uvádzame grafy funkcií 
a korešpondujú s nimi čierne, červené a modré krivky.
Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.
Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre nepárne n .
Funkcia napájania.
Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .
Zvážte typ grafov mocninnej funkcie a vlastnosti mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.
Začnime mocninou s celočíselným exponentom a . V tomto prípade forma grafov mocninných funkcií a vlastnosti funkcií závisia od párneho alebo nepárneho exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv uvažujeme mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.
Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé, keď a je od nuly do jedna, po druhé, keď a je väčšie ako jedna, po tretie, keď a je od mínus jedna do nuly, a po štvrté, keď a je menšie ako mínus jedna.
Na záver tohto pododdielu si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.
Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.
Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a=1,3,5,… .
Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.
Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.
Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.
Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a=2,4,6,… .
Ako príklad si zoberme grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.
Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.
Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.
Pozrite sa na grafy exponenciálnej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponentu, to znamená pre \u003d -1, -3, -5, ....
Na obrázku sú ako príklady znázornené grafy exponenciálnych funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.
Vlastnosti výkonovej funkcie s nepárnym negatívny ukazovateľ.
Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.
Prejdime na mocninovú funkciu pri a=-2,-4,-6,….
Na obrázku sú znázornené grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara.
Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.
Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.
Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú interval za definičný obor mocninnej funkcie. Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takého názoru, to znamená, že za množinu budeme považovať definičné obory mocninných funkcií so zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.
Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a , a .
Uvádzame grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).
Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.
Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a , a .
Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami 
(čierne, červené, modré a zelené čiary).
Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.
Vlastnosti výkonovej funkcie pre .
Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.
Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú do úvahy interval 
. Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa pridržiavať práve takéhoto pohľadu, teda za množinu mocninných funkcií s zlomkovými zápornými exponentmi budeme považovať množinu, resp. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.
Prejdeme k mocninovej funkcii , kde .
Aby sme mali dobrú predstavu o type grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií 
(čierne, červené, modré a zelené krivky).
Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a , .
Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.
Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre 
, sú zobrazené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.
Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.
Keď a=0 a máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0; 1) (výraz 0 0 bol dohodnutý tak, že neprikladá žiadnu dôležitosť).
Exponenciálna funkcia.
Jednou zo základných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.
Graf exponenciálnej funkcie , kde a berie iný druh v závislosti od hodnoty základu a. Poďme na to.
Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .
Napríklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 - modrá čiara, a = 5/6 - červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.
Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom menším ako jedna.
Obrátime sa na prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .
Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre iné hodnoty základu, väčšie ako jedna, budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.
Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.
Logaritmická funkcia.
Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia , kde , . Logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu, teda pre .
Graf logaritmickej funkcie nadobúda rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a.
Začnime prípadom, keď .
Napríklad uvádzame grafy logaritmickej funkcie pre a = 1/2 - modrá čiara, a = 5/6 - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základu, ktoré nepresahujú jednu, budú mať grafy logaritmickej funkcie podobný vzhľad.
Vlastnosti logaritmickej funkcie so základom menším ako jedna.
Prejdime k prípadu, keď je základ logaritmickej funkcie väčší ako jedna ().
Ukážme si grafy logaritmických funkcií - modrá čiara, - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základu, väčšie ako jedna, budú mať grafy logaritmickej funkcie podobný vzhľad.
Vlastnosti logaritmickej funkcie so základom väčším ako jedna.
Goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy.
Všetky goniometrické funkcie (sínus, kosínus, tangens a kotangens) sú základné elementárne funkcie. Teraz zvážime ich grafy a uvedieme ich vlastnosti.
Goniometrické funkcie majú koncept periodicita(opakovanie funkčných hodnôt pre rôzne hodnoty argumentu, ktoré sa navzájom líšia hodnotou obdobia 
, kde T je bodka), preto do zoznamu vlastností goniometrických funkcií pribudla položka "najmenšie pozitívne obdobie". Pre každú goniometrickú funkciu tiež uvedieme hodnoty argumentu, pri ktorých príslušná funkcia zmizne.
Teraz sa poďme zaoberať všetkými goniometrickými funkciami v poradí.
Funkcia sínus y = sin(x) .
Nakreslíme si graf funkcie sínus, nazýva sa to „sínusoida“.
Vlastnosti funkcie sínus y = sinx .
Kosínusová funkcia y = cos(x) .
Graf funkcie kosínus (nazýva sa "kosínus") vyzerá takto:
Vlastnosti kosínusovej funkcie y = cosx .
Funkcia dotyčnice y = tg(x) .
Graf funkcie dotyčnice (nazýva sa to "tangentoid") vyzerá takto:
Vlastnosti funkcie dotyčnica y = tgx .
Funkcia kotangens y = ctg(x) .
Nakreslíme graf funkcie kotangens (nazýva sa to "kotangentoid"):
Vlastnosti funkcie kotangens y = ctgx .
Inverzné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy.
Základnými elementárnymi funkciami sú inverzné goniometrické funkcie (arkusínus, arkkozín, arkustangens a arkkotangens). Inverzné goniometrické funkcie sa často kvôli predpone „oblúk“ nazývajú oblúkové funkcie. Teraz zvážime ich grafy a uvedieme ich vlastnosti.
Arcsine funkcia y = arcsin(x) .
Nakreslíme funkciu arcsínus:
Vlastnosti funkcie arckotangens y = arcctg(x) .Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra a začiatky analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Vygodsky M.Ya. Príručka elementárnej matematiky.
- Novoselov S.I. Algebra a elementárne funkcie.
- Tumanov S.I. Elementárna algebra. Sprievodca pre sebavzdelávanie.
Ste oboznámení s funkciami y=x, y=x 2 , y=x 3 y = 1/x atď. Všetky tieto funkcie sú špeciálnymi prípadmi výkonovej funkcie, t.j. funkcie y=x p, kde p je dané reálne číslo. Vlastnosti a graf mocninovej funkcie v podstate závisia od vlastností mocniny s reálnym exponentom a najmä od hodnôt, pre ktoré X A p dáva zmysel X p. Pristúpme k podobnej úvahe o rôznych prípadoch v závislosti od exponentu p.
Index p=2n je párne prirodzené číslo.
V tomto prípade funkcia napájania y=x 2n, Kde n je prirodzené číslo, má nasledovné
vlastnosti:
definičný obor sú všetky reálne čísla, t.j. množina R;
množina hodnôt - nezáporné čísla, t.j. y je väčšie alebo rovné 0;
funkciu y=x 2n dokonca, pretože X 2n =(-x) 2n
funkcia na intervale klesá X<0 a zvyšuje sa v intervale x>0.
Graf funkcií y=x 2n má rovnaký tvar ako napríklad graf funkcie y=x 4 .
2. Indikátor p=2n-1- nepárne prirodzené číslo V tomto prípade mocninná funkcia y=x 2n-1, kde je prirodzené číslo, má tieto vlastnosti:
doména definície - množina R;
množina hodnôt - množina R;
funkciu y=x 2n-1 zvláštne, pretože (- X) 2n-1 =X 2n-1 ;
funkcia je rastúca na celej reálnej osi.
Graf funkcií y=x2n-1 má rovnaký tvar ako napríklad graf funkcie y=x3.
3. Indikátor p = -2n, Kde n- prirodzené číslo.
V tomto prípade funkcia napájania y=x -2n = 1/x 2n má nasledujúce vlastnosti:
množina hodnôt - kladné čísla y>0;
funkcia y = 1/x 2n dokonca, pretože 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
funkcia je rastúca na intervale x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Graf funkcie y = 1/x 2n má rovnaký tvar ako napríklad graf funkcie y = 1/x 2 .
4. Indikátor p=-(2n-1), Kde n- prirodzené číslo. V tomto prípade funkcia napájania y=x -(2n-1) má nasledujúce vlastnosti:
doména definície - množina R, okrem x=0;
množina hodnôt - množina R, okrem y=0;
funkciu y=x -(2n-1) zvláštne, pretože (- X) -(2n-1) =-X -(2n-1) ;
funkcia je v intervaloch klesajúca X<0 A x>0.
Graf funkcií y=x -(2n-1) má rovnaký tvar ako napríklad graf funkcie y = 1/x 3 .
Inverzné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy.
Inverzné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy.Inverzné goniometrické funkcie (kruhové funkcie, oblúkové funkcie) sú matematické funkcie, ktoré sú inverzné k goniometrickým funkciám.
funkcia arcsin
Graf funkcií 
.
arkzínčísla m sa nazýva takýto uhol X, pre ktoré
Funkcia je spojitá a ohraničená celou svojou reálnou čiarou. Funkcia 
sa prísne zvyšuje.
[Upraviť] Vlastnosti funkcie arcsin
[Edit] Získanie funkcie arcsin
Daná funkcia v celom jeho domén náhodou je po častiach monotónne, a teda inverzná korešpondencia 
nie je funkcia. Preto berieme do úvahy interval, v ktorom sa striktne zvyšuje a nadobúda všetky hodnoty rozsahy- . Keďže pre funkciu na intervale každá hodnota argumentu zodpovedá jedinej hodnote funkcie, potom na tomto segmente existuje inverzná funkcia 
ktorého graf je symetrický ku grafu funkcie na úsečke vzhľadom na priamku
Funkcia napájania je funkciou formy y = xp, kde p je dané reálne číslo.
Vlastnosti funkcie napájania
- Ak indikátor p = 2n- párne prirodzené číslo:
- definičný obor sú všetky reálne čísla, t.j. množina R;
- množina hodnôt - nezáporné čísla, t.j. y ≥ 0;
- funkcia je párna;
- funkcia je klesajúca na intervale x ≤ 0 a rastúca na intervale x ≥ 0.
- Ak indikátor p = 2n - 1- nepárne prirodzené číslo:
- doména definície - množina R;
- množina hodnôt - množina R;
- funkcia je nepárna;
- funkcia je rastúca na celej reálnej osi.
- Ak indikátor p = -2n, Kde n- prirodzené číslo:
- množina hodnôt - kladné čísla y > 0;
- funkcia je párna;
- funkcia rastie na intervale x 0.
- Ak indikátor p = -(2n - 1), Kde n- prirodzené číslo:
- doménou definície je množina R, okrem x = 0;
- množina hodnôt - množina R, okrem y = 0;
- funkcia je nepárna;
- funkcia je klesajúca v intervaloch x 0.
- Ak indikátor p je kladné skutočné necelé číslo:
- doména definície - nezáporné čísla x ≥ 0;
- množina hodnôt - nezáporné čísla y ≥ 0;
- funkcia je rastúca na intervale x ≥ 0.
- Ak indikátor p je záporné skutočné necelé číslo:
- doména definície - kladné čísla x > 0;
- množina hodnôt - kladné čísla y > 0;
- funkcia je klesajúca na intervale x > 0.
10. ročník
FUNKCIA NAPÁJANIA
Moc volalfunkcia daná vzorcomKde, p – nejaké reálne číslo.
ja . Indexje párne prirodzené číslo. Potom funkcia napájania Kden
D ( r )= (−; +).
2) Rozsah funkcie je množina nezáporných čísel, ak:
množina nekladných čísel, ak:
3) ) . Takže funkciaOj .
4) Ak, potom funkcia klesá akoX (- ; 0] a zvyšuje sa sX a klesá priX }
