Ako sa môžete spamätať z školské osnovy v geometrii je trojuholník obrazec vytvorený z troch segmentov spojených tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Trojuholník tvorí tri uhly, odtiaľ názov obrázku. Definícia môže byť iná. Trojuholník možno nazvať aj mnohouholníkom s tromi rohmi, odpoveď bude rovnako pravdivá. Trojuholníky sú rozdelené podľa počtu rovnakých strán a veľkosti uhlov na obrázkoch. Takže rozlišujte také trojuholníky, ako sú rovnoramenné, rovnostranné a šupinové, ako aj pravouhlé, s ostrým uhlom a tupým uhlom.
Existuje veľa vzorcov na výpočet plochy trojuholníka. Vyberte, ako nájsť oblasť trojuholníka, t.j. ktorý vzorec použiť, len vy. Za zmienku však stojí len niektoré zo zápisov, ktoré sa používajú v mnohých vzorcoch na výpočet plochy trojuholníka. Takže pamätajte:
S je plocha trojuholníka,
a, b, c sú strany trojuholníka,
h je výška trojuholníka,
R je polomer kružnice opísanej,
p je polobvod.
Tu sú základné zápisy, ktoré sa môžu hodiť, ak ste úplne zabudli na kurz geometrie. Najzrozumiteľnejšie a nie komplikované možnosti na výpočet neznámej a tajomnej oblasti trojuholníka budú uvedené nižšie. Nie je to ťažké a príde vhod ako pre potreby vašej domácnosti, tak aj pre pomoc vašim deťom. Pripomeňme si, ako vypočítať plochu trojuholníka tak ľahko ako lúskanie hrušiek:
V našom prípade je plocha trojuholníka: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 cm2. Pamätajte, že plocha sa meria v štvorcových centimetroch (cm2).
Pravý trojuholník a jeho plocha.
Pravouhlý trojuholník je trojuholník s jedným uhlom rovným 90 stupňom (preto sa nazýva pravouhlý trojuholník). Pravý uhol tvoria dve na seba kolmé priamky (v prípade trojuholníka dva na seba kolmé úsečky). V pravouhlom trojuholníku môže byť iba jeden pravý uhol, pretože súčet všetkých uhlov ktoréhokoľvek trojuholníka je 180 stupňov. Ukazuje sa, že 2 ďalšie uhly by mali medzi sebou rozdeliť zvyšných 90 stupňov, napríklad 70 a 20, 45 a 45 atď. Takže, zapamätali ste si hlavnú vec, zostáva zistiť, ako nájsť oblasť správny trojuholník. Predstavte si, že máme pred sebou takýto pravouhlý trojuholník a potrebujeme nájsť jeho plochu S.
1. Najjednoduchší spôsob určenia plochy pravouhlého trojuholníka sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:
V našom prípade je plocha pravouhlého trojuholníka: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.
V zásade už nie je potrebné overovať oblasť trojuholníka inými spôsobmi, pretože v beznom zivote pride vhod a pomoze len toto. Existujú však aj možnosti merania plochy trojuholníka cez ostré uhly.
2. Pre iné metódy výpočtu musíte mať tabuľku kosínusov, sínusov a dotyčníc. Posúďte sami, tu je niekoľko možností na výpočet plôch pravouhlého trojuholníka, ktoré môžete ešte použiť:
Rozhodli sme sa použiť prvý vzorec a s malými bodkami (kreslili sme do zošita a použili sme staré pravítko a uhlomer), ale dostali sme správny výpočet:
S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Dostali sme také výsledky 3,6=3,7, ale ak vezmeme do úvahy posun buniek, môžeme túto nuanciu odpustiť.
Rovnoramenný trojuholník a jeho plocha.
Ak stojíte pred úlohou vypočítať vzorec rovnoramenného trojuholníka, potom je najjednoduchším spôsobom použiť hlavný vzorec a ako sa považuje za klasický vzorec pre oblasť trojuholníka.
Ale predtým, ako nájdeme oblasť rovnoramenného trojuholníka, zistíme, o aký druh postavy ide. Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnako dlhé. Tieto dve strany sa nazývajú strany, tretia strana sa nazýva základňa. Nemýľte si rovnoramenný trojuholník s rovnostranným, t.j. rovnostranný trojuholník so všetkými tromi stranami rovnakými. V takomto trojuholníku nie sú žiadne špeciálne tendencie k uhlom, alebo skôr k ich veľkosti. Avšak uhly v základni v rovnoramennom trojuholníku sú rovnaké, ale líšia sa od uhla medzi rovnakými stranami. Takže už poznáte prvý a hlavný vzorec, zostáva zistiť, aké ďalšie vzorce na určenie oblasti rovnoramenného trojuholníka sú známe.
Cieľ:
- Definujte pojem oblasti trojuholníka.
- Odvoďte vzorec S trojuholníka.
- Zopakujte si základné matematické pojmy (nohy, prepona, výška...)
- Precvičte si zručnosti rýchleho počítania
- Rozvoj mentálnych operácií: (analýza, syntéza, porovnávanie, zovšeobecňovanie)
Počas vyučovania
jaštádium: sebaurčenie k činnosti.
Dnes máme veľké množstvo hostí, pozdravme ich. (Deti pozdravia a posadia sa).
Čo myslíte, koľko hostí je prítomných na našej lekcii? (Deti, ktoré nepočítajú, odpovedzte a uveďte približný výsledok).
1/6 z celkového počtu tvoria učitelia našej školy. Koľko?
Čo sme teraz robili? (Počítaní hostia).
Boli vaše odpovede vždy presné? (Nie).
Používame túto techniku v triede? (Áno).
V akých situáciách? (Nedostatok času, žiadny iný postup).
Ale matematika je exaktná veda, dokonca už staroveký filozof Platón povedal: "Matematika približuje myseľ k pravde." Takže odpovede musia byť stále správne.
A tu moderné príslovie hovorí: "Matematika sa nedá študovať...".
Súhlasíte s týmto tvrdením? (Nie, čo potom robíme v triede?)
Faktom je, že táto fráza má pokračovanie, ktoré zavádza iný význam, ale na konci hodiny sa dozvieme, aké a aké pokračovanie frázy.
IIetapa: Aktualizácia vedomostí a fixácia ťažkostí v činnostiach.
- Rýchly účet. (Deti opravia na tablete konečnú odpoveď reťazca príkladov).
- Pozor na obrazovku. Ktoré zo slov môže byť nadbytočné a prečo?
(Počasie, lebo to nemá nič spoločné s matematikou).
Ale nie všetky zostávajúce slová budú relevantné pre dnešnú hodinu matematiky. Definujte kruh Kľúčové slová Lekcia nám pomôže aritmetický diktát.
Aritmetický diktát:(1 pri tabuli, zvyšok pracuje v zošite)
Tretia časť 18 6, 15, 7, 70, 24
1% číslo 700
1/6 čísla je 4, nájdite celé číslo
(Pri kontrole číselného radu zmiznú na obrazovke ďalšie slová a čísla).
Čo spája zvyšné čísla? (Celé, prírodné).
Na aké dve skupiny možno rozdeliť? (Deti ponúkajú možnosti).
Ale zvyšné slová spája téma dnešnej lekcie. Aby sme to čo najpresnejšie sformulovali, pripomeňme si základné matematické pojmy a zahrajte si na matematické loto.
(Deti dostanú karty dvoch farieb, otázky a odpovede).
Základňa trojuholníka je tzv |
Strana, na ktorej je nakreslená kolmica |
Strana trojuholníka oproti pravému uhlu sa nazýva... |
hypotenzia |
Námestie… |
Toto je miesto, ktoré postava zaberá v lietadle |
Toto je rovnosť, ktorá určuje vzťah medzi veličinami |
|
Tupý trojuholník je trojuholník, ktorý má |
Jeden z rohov je tupý |
Strany trojuholníka, ktoré zvierajú pravý uhol, sa nazývajú |
nohy |
Kolmé čiary sú |
Čiary, ktoré pri pretínaní zvierajú pravý uhol |
Výška trojuholníka |
Kolmica spadnutá z ľubovoľného vrcholu na opačnú stranu |
Ostrý trojuholník sa nazýva |
Ktorý má ostré rohy |
Trojuholníky sú klasifikované podľa dĺžky strán. |
Rovnostranné, všestranné, rovnoramenné |
Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorý má |
Jeden z pravých uhlov |
Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, potrebujete |
Vynásobte dĺžku šírkou |
Navrhujem zahrať si ďalšiu hru, ktorú vymysleli Číňania, ktorí boli vždy známi ako dobrí matematici. To sa nazýva "Tangram".
Jeho podstatou je zbierať figúrky z menších geometrických tvarov. Budeme pracovať vo dvojiciach. Otvorte obálku číslo 1 a rozložte všetky figúrky pred seba. Uveďte všetko, čo máte pred sebou. (4 malé a 2 veľké pravouhlé trojuholníky rôznych farieb).
Zbierajte zo všetkých figúrok:
1 riadok - štvorec
2 riadok - obdĺžnik
3 riadok - trojuholník
(Praktická práca vo dvojici, kontrola konštrukcií pomocou počítača).
Čo spája všetky výsledné čísla? (Mnohouholníky pozostávajú z rovnakého počtu figúrok).
Porovnajte ich podľa oblasti. (Rovnaké, pretože pozostávajú z rovnakých častí).
Ako sa tieto postavy volajú? (Ekvivalent).
Dá sa povedať, že tieto figúry sú rovnako veľké? (nie, iná situácia, iný spôsob konania).
Využite svoje znalosti a porovnajte čísla podľa oblastí).
(Deti pomocou vzorca ľahko nájdu S štvorca a obdĺžnika, problém však nastáva pri práci s trojuholníkom).
IIIEtapa: Stanovenie problému, formulácia témy vyučovacej hodiny.
Prečo sa vyskytol problém? (Nevieme nájsť S trojuholníka, vieme nájsť len nepresný výsledok).
Aký je teda účel dnešnej lekcie? (naučte sa nájsť S trojuholníka).
Na základe cieľa a kľúčových slov vyučovacej hodiny sa snažte čo najpresnejšie sformulovať tému dnešnej hodiny.
(S pravouhlý trojuholník).
IVetapa: Navrhovanie a upevňovanie nových poznatkov.
Povedz mi všetko o trojuholníku pred tebou. (Obdĺžnikové, všestranné).
V skupinách sa pokúste nájsť spôsob, ako nájsť S pravouhlého trojuholníka, vytvorte vzorec a okomentujte svoje činy.
(Výsledky sú vyvesené na tabuli, spôsob akcie sa vyslovuje hlasným prejavom).
Aké sú strany A A V ? (Katety).
Svoje závery formulujte v symbolickej a verbálnej forme.
S \u003d (a c): 2, plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho nôh).
Porovnajme naše znenie s tým, ktoré je navrhnuté v učebnici (s. 95).
Obsah ktorého trojuholníka sme našli? (Obdĺžnikový).
A pre ostatné trojuholníky bude tento vzorec platiť? (Nie, pretože tam nie sú žiadne nohy).
Potom urobme algoritmus našich akcií.
Algoritmus.
- Vyberte pravý uhol
- Zmerajte dĺžku nôh
- Nájdite S podľa vzorca.
Vštádium: Primárna konsolidácia vo vonkajšej reči.
Úloha z učebnice sa plní vo dvojiciach (s. 95 č. 5).
VIetapa: Samostatná práca so samokontrolou.
Porovnajte tvary podľa oblasti.
(Objavujú sa v zošitoch:
S = (4 * 3): 2 = 6 štvorcových.cm
S = (2 * 6): 2 = 6 štvorcových.cm
S=S
VIIEtapa: Zaradenie do systému vedomostí a opakovanie.
Vráťme sa k problému, ktorý spôsobil ťažkosti. Vykonajte výpočty v notebooku a porovnajte oblasti týchto obrázkov.
S=2*2=4 štvorec.cm
S=1*3=3 štvorec.cm
S = (3 * 2): 2 = 3 štvorcových..cm
Čo môžete povedať o S obdĺžnika a trojuholníka? (Je to rovnaké, takže čísla sú rovnako veľké).
Čo môžete povedať o tomto trojuholníku?
(Všestranné, tupé uhly).
Môžeme použiť náš algoritmus na nájdenie jeho oblasti?
(Nie, pretože trojuholník musí byť pravouhlý).
Je však možné pomocou konštrukcií vyrobiť dva pravouhlé trojuholníky?
(Môžete, musíte nakresliť výšku).
Aká bude plocha celého trojuholníka?
(Súčet S dvoch pravouhlých trojuholníkov, môžeme nájsť ich S).
S = (a*h): 2
S = (a *h): 2
S = ((a + a) *h): 2
(a + a)- základný prostriedok
S= (a * b): 2, Kde A
- základňa nohy; V
- výška nôh
- Dokončime algoritmus.
Algoritmus.
VIIštádium: Odraz činnosti.
Aký bol účel lekcie?
Podarilo sa nám to dokončiť?
A teraz sa dozvieme koniec vety „Matematika sa nedá naučiť sledovaním, ako to robí sused“.
Súhlasíte s týmto tvrdením? (áno, v lekcii sme si všetko robili sami, nielen pozerali)
Čo bolo na lekcii hlavné a čo bolo zaujímavé?
D/W:(Voliteľné). - Nájdite tvary S a porovnajte tvary podľa S.
(Zadanie v obálkach, na základe ukážky si deti vyberú, čo pre seba potrebujú, pričom zistia úroveň pochopenia témy na tejto fáze a prevziať úlohu z obálky)
Plochy trojuholníkov.
Aby pomohli vlastnému dieťaťu s lekciami, samotní predkovia musia vedieť obrovské množstvo vecí. Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholník, ako sa líši participiálny obrat od participa, aké je zrýchlenie voľného pádu?
Lekcia matematiky 8 Oblasť trojuholníka
S ktoroukoľvek z týchto otázok môže mať váš potomok alebo dcéra ťažkosti a obrátia sa špeciálne na vás, aby im to vysvetlili. Aby ste nespadli tvárou do blata a zachovali si svoju autoritu v detských očiach, oplatí sa osviežiť si niektoré prvky školského programu v pamäti.
Vezmime si napríklad otázku rovnoramenného trojuholníka. Geometria v škole je pre mnohých ťažká a po škole sa na ňu najrýchlejšie zabúda.
Ale keď vaše detičky idú o 8 Trieda, budete si musieť zapamätať vzorce týkajúce sa geometrických tvarov. Rovnoramenný trojuholník je jedným z najbežnejších tvarov z hľadiska hľadania jeho charakteristík.
Začnime objasnením definícií.
Ak je všetko, čo ste sa kedysi naučili o trojuholníkoch, zabudnuté, spomeňme si. Rovnoramenný trojuholník je taký, ktorý má dve strany rovnakej dĺžky. Tieto rovnaké hrany sa nazývajú strany rovnoramenného trojuholníka. Tretia strana je jej základňou.
Existuje taká možnosť, v ktorej sú všetky 3 strany navzájom rovnaké. Nazýva sa to rovnostranný trojuholník. Podlieha všetkým vzorcom používaným pre rovnoramenné, a ak je to potrebné, ktorúkoľvek z jeho strán možno nazvať základňou.
Aby sme našli oblasť, musíme rozdeliť základňu na polovicu. Hladký, spustený do získaného bodu zhora spájajúceho strany, prekročí základňu v pravom uhle.
Takáto je vlastnosť podobných trojuholníkov: medián, inými slovami, dokonca aj zhora do stredu opačnej strany, v rovnoramennom trojuholníku je jeho stred (priamka deliaca uhol na polovicu) a jeho výška (kolmá na zadná strana).
Ak chcete nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka, musíte vynásobiť jeho výšku základňou a potom rozdeliť tento produkt na polovicu.
Na nájdenie oblasti trojuholníka je vzorec obyčajný: S \u003d ah / 2, kde a je dĺžka základne, h je výška.
Dá sa to jasne vysvetliť nasledujúcim spôsobom. Vystrihnite podobnú postavu z papiera, nájdite stred základne, nakreslite výšku do tohto bodu a opatrne odrežte pozdĺž tejto výšky. Získate dva pravouhlé trojuholníky.
Ak ich k sebe pripojíte preponami (dlhé strany), vytvorí sa obdĺžnik, ktorého jedna strana sa bude rovnať výške našej postavy a druhá polovica jej základne. Inými slovami, vzorec sa potvrdí.
Najlepší žiak v triede nie je memorujúci, ale premýšľajúci a hlavne chápavý žiak.
Ako Nájsť plocha obrázku, ak je jeden uhol pravý?
Môže sa ukázať, že uhol medzi stranami tohto trojuholníkového útvaru je 90°. Potom sa tento trojuholník bude nazývať pravouhlý trojuholník, jeho strany - nohy a základňa - prepona.
Námestie takýto údaj možno vypočítať vyššie uvedeným spôsobom (nájdeme stred prepony, nakreslíme k nemu výšku, vynásobíme preponu, rozdelíme na polovicu). Ale problém sa dá vyriešiť ešte jednoduchšie.
Začnime viditeľnosťou. Pravý rovnoramenný trojuholník má pri diagonálnom reze presne polovicu štvorca. A ak sa plocha štvorca nájde obvyklou konštrukciou na druhú mocninu jeho strany, potom bude plocha pre nás vhodnej postavy polovičná.
S \u003d a 2 / 2, kde a je dĺžka nohy.
Plocha rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici štvorca jeho strany. Ukázalo sa, že problém nie je taký závažný, ako sa na prvý pohľad zdalo.
Geometria je jasná veda. Ak sa zamyslíte nad jeho základmi, potom s ním bude málo problémov a konzistentnosť dôkazov môže byť pre vaše dieťa veľmi podmanivá. Chce to len malú pomoc. Bez ohľadu na to, akého dobrého učiteľa dostane, pomoc rodičov nebude zbytočná.
A v prípade štúdia geometrie bude veľmi užitočná metóda uvedená vyššie - viditeľnosť a jednoduchosť vysvetlenia.
Pri tom všetkom by sme nemali zabúdať na presnosť formulácií, inak môže byť táto veda ešte komplikovanejšia, než je v podstate.
Abstrakty
Ako nájsť oblasť trojuholníka. Ako nájsť oblasť trojuholníka. 4 spôsoby: Podľa základne a výšky Po stranách Jedným z. Ako nájsť oblasť trojuholník. Ako nájsť oblasť trojuholníka trieda formule 4. Odpoveď na otázku Ako nájsť oblasť trojuholník trieda formule 4? - Plocha trojuholníka. Odpovede@Mail. En: ako nájsť oblasť obdĺžnika. Ako nájdite oblasť obdĺžnika, trojuholník? 4. ročník Irina Maštaková (Hudba) Žiačka. Vzorce a príklady oblasti trojuholníka. Oblasť trojuholníka. Nájsť oblasť trojuholník. Stupeň 3 - obvod a plocha trojuholníka. 3 trieda, obvodová a oblasť trojuholníka, matematické príklady pre vzorec 4 TRIEDA. Oblasť trojuholníka na troch stranách - vzorec, príklad. Môžete nájsť oblasť trojuholníka rôzne cesty. Samozrejme, v závislosti od. (Nájdite obsah trojuholníka ABC; AB = 2CM. (Nájdite obsah trojuholníka. Používatelia ho presne označili ako. Ako Nájsť obvod a plocha trojuholníka. Ako nájdite oblasť obdĺžnika? Nájsť námestie obdĺžnik, je potrebné jeho dĺžku vynásobiť šírkou, S=ab. Vzorce, teória.
Pojem oblasti
Pojem plochy akéhokoľvek geometrického útvaru, najmä trojuholníka, bude spojený s takým útvarom ako štvorec. Pre jednotku plochy akéhokoľvek geometrického útvaru vezmeme plochu štvorca, ktorého strana sa rovná jednej. Pre úplnosť pripomíname dve základné vlastnosti pre pojem plochy geometrických útvarov.
Vlastnosť 1: Ak sú geometrické útvary rovnaké, potom sú rovnaké aj ich plochy.
Vlastnosť 2:Ľubovoľnú figúrku je možné rozdeliť na niekoľko figúrok. Okrem toho sa plocha pôvodnej figúry rovná súčtu hodnôt plôch všetkých figúrok, ktoré ju tvoria.
Zvážte príklad.
Príklad 1
Je zrejmé, že jedna zo strán trojuholníka je uhlopriečka obdĺžnika , ktorý má jednu stranu dĺžku $5$ (od $5$ buniek) a druhú $6$ (od $6$ buniek). Preto sa plocha tohto trojuholníka bude rovnať polovici takého obdĺžnika. Plocha obdĺžnika je
Potom je plocha trojuholníka
Odpoveď: 15 $.
Ďalej zvážte niekoľko metód na nájdenie oblastí trojuholníkov, konkrétne pomocou výšky a základne, pomocou Heronovho vzorca a plochy rovnostranného trojuholníka.
Ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou výšky a základne
Veta 1
Plochu trojuholníka možno nájsť ako polovicu súčinu dĺžky strany krát výšky nakreslenej na túto stranu.
Matematicky to vyzerá takto
$S=\frac(1)(2)αh$
kde $a$ je dĺžka strany, $h$ je výška k nej nakreslená.
Dôkaz.
Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $AC=α$. Výška $BH$ je nakreslená na túto stranu a rovná sa $h$. Postavme to do štvorca $AXYC$ ako na obrázku 2.
Plocha obdĺžnika $AXBH$ je $h\cdot AH$ a plocha obdĺžnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Potom
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Preto sa požadovaná oblasť trojuholníka podľa vlastnosti 2 rovná
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Veta bola dokázaná.
Príklad 2
Nájdite oblasť trojuholníka na obrázku nižšie, ak má bunka plochu rovnú jednej
Základňa tohto trojuholníka je 9 $ (pretože 9 $ sú bunky 9 $). Výška je tiež 9 $. Potom podľa vety 1 dostaneme
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odpoveď: 40,5 $.
Heronov vzorec
Veta 2
Ak dostaneme tri strany trojuholníka $α$, $β$ a $γ$, potom jeho obsah možno nájsť takto
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
tu $ρ$ znamená polovicu obvodu tohto trojuholníka.
Dôkaz.
Zvážte nasledujúci obrázok:
Pytagorovou vetou získame z trojuholníka $ABH$
Z trojuholníka $CBH$ podľa Pytagorovej vety máme
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Z týchto dvoch vzťahov získame rovnosť
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Keďže $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potom $α+β+γ=2ρ$, teda
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Podľa vety 1 dostaneme
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
