När jag arbetade på en skola med förberedande elever gick jag in på kontoret i sjätte klass och såg en affisch på väggen "Signs of Divisibility of Numbers". Det fanns tecken på delbarhet för siffrorna 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, men för siffran 7 fanns inget sådant tecken. Jag frågade matteläraren:
- Varför finns det inga tecken på delbarhet med sju?
Jag fick höra att det är det, men väldigt svårt. Gjorde referenser på Internet. Hittade tre ledtrådar.
Funktion 1 : talet är delbart med om och bara om det trippeltalet tiotal som adderas till antalet enheter är delbart med 7. Till exempel är 154 delbart med 7, eftersom 15*3+4=49 är delbart med 7.
Ett annat exempel är att talet 1001 är delbart med 7, eftersom 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14 är delbara med 7.
Funktion 2 . ett tal är delbart med 7 om och endast om modulen för den algebraiska summan av tal som bildar udda grupper med tre siffror (som börjar med ettor), tagna med ett "+"-tecken, och jämna de med ett "-"-tecken är delbart med 7. Till exempel är 138689257 delbart med 7, eftersom |138-689+257|=294 är delbart med 7.
Funktion 3 . Ett tal är delbart med 7 om och endast om resultatet av att subtrahera två gånger den sista siffran från detta tal utan den sista siffran är delbart med 7 (till exempel är 259 delbart med 7, eftersom 25 - (2 9) = 7 är delbart av 7).
Låt oss kontrollera delbarheten av ett tal 86 576 (åttiosex tusen femhundrasjuttiosex). I detta nummer 8 657 (åtta tusen sexhundrafemtiosju) tiotal och 6 (sex) enheter. Vi fortsätter att kontrollera delbarheten av detta tal med 7 (sju):
8657 - 6 x 2 = 8657 - 12 = 8645
Återigen kontrollerar vi delbarheten med 7
(sju), nu numret vi redan har fått 8 645
(åtta tusen sex hundra fyrtiofem). Nu har vi 864
(åtta sextiofyra) tio och 5
(fem) enheter:
864 - 5 x 2 = 864 - 10 = 854
Upprepa våra steg för numret igen 854
(åttahundrafemtiofyra), i vilken 85
(åttiofem) tior och 4
(fyra) enheter:
85 - 4 x 2 = 85 - 8 = 77
I princip kan man redan med blotta ögat se att numret 77 (sjuttiosju) är delbart med 7 (sju) och resultatet är 11 (elva). Vi har redan övervägt ett liknande resultat ovan.
Som du kan se är tecknen riktigt komplexa. Att använda dem i sinnet är svårt på grund av det stora antalet operationer. Det enklaste är det tredje tecknet, men också två handlingar, först multiplikation och sedan subtraktion, och för tal över 700 måste flera cykler redan göras.
Ställ in uppgiften:
"Hitta ett tecken för att dividera med 7 med mindre matematik."
Tillämpade TRIZ-verktyget - IFR (idealt slutresultat).
Siffran i sig bör ge en resurs för beräkningen.
Och denna resurs hittades. Om du tittar på multiplikationstabellen för 7, så har dess produkter en distinkt egenskap - den sista siffran upprepas inte: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. Vid första anblicken , detta komplicerar uppgiften, t .To. talet som kontrolleras med valfri ändelse kan vara delbart med 7. Men enligt TRIZ-regeln: "Vem hindrar, han hjälper." Vi måste använda denna fastighet till vår fördel.
Om vi tittar på den sista siffran i numret som testas vet vi redan ett tecken på svaret - det här är talet från multiplikationstabellen som ger detta tips. Till exempel, om numret som kontrolleras är 154, om det är delbart med 7, ska den sista siffran i svaret vara 2 (7x2=14), och om siffran är 259, ska den sista siffran i svaret vara 7 (7x7=49).
Här är det den nödvändiga resursen - det här är multiplikationstabellen med 7 - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
Vi antar att vi har den i minnet. Nu använder vi åtgärden från den tredje (enklaste) funktionen - subtraktion. Vi får ett nytt tecken på delbarhet med 7.
Ett tal är delbart med 7 när resultatet av att subtrahera den första siffran berömt verk av detta tal utan den sista siffran är delbart med 7.
Och nu med enkla ord.
– Vi tittar på antalet som kontrolleras, till exempel de redan kända 259.
– Den slutar på 9. Vi tar resursen från multiplikationstabellen 49 . Dess första nummer är 4.
Subtrahera detta tal från 25. 25 – 4 = 21
- Svaret är 21. Så talet är delbart med 7. Det är så: 259: 7 \u003d 37. Den sista siffran är 7, som vi förväntade oss.
Några fler exempel. 756 är delbart med 7?
Det slutar på 6. Resursen är 56. Subtrahera 75 - 5 = 70. Talet är delbart med 756: 7 = 108
Tal 392. Slutar på 2. Resurs - 42. Subtrahera 39 -4 = 35. Delar 392: 7 = 56.
Nummer 571. Slutar på 1. Resurs - 21. Subtrahera 57 - 2 = 55. Ej delbart.
Siffran 574. Slutar på 4. Resurs - 14. Subtrahera 57 - 1 \u003d 56. Dividerar 574: 7 \u003d 82
I den här funktionen har vi uteslutit en matematisk operation - multiplikation.
Tillägg.
För siffror som ska kontrolleras större än 700, för att undvika upprepade cykler, som i tecken 3, använd multiplar av tiotals och hundratals sjuor för subtrahenden.
Tänk till exempel på talet 973. Det slutar på 3. Resursen är 63. Subtrahera 97 - 6 = 91. Du kan gå till den andra cykeln, eller så kan du subtrahera inte 6, utan 76. 97 - 76 = 21. Delbar.
Tillsatser går enligt nummersystemet på sju: 70, 140, 210, etc. beroende på numret som kontrolleras.
1. Detta tecken kan användas mentalt utan större svårighet, för nummer upp till 1000. Det hjälper dig att leta efter multiplar för division.
2. Kollegor, använd TRIZ för att lösa dina problem! Detta sparar tid. Det tog mig 3 timmar att hitta detta tecken på delbarhet, med hänsyn till sökningen efter analoger på Internet.
Jag skulle vara glad om detta tecken är användbart för någon.
Matematik i årskurs 6 börjar med att studera begreppet delbarhet och delbarhetstecken. Ofta begränsad till tecken på delbarhet med sådana siffror:
- På 2 : sista siffran måste vara 0, 2, 4, 6 eller 8;
- På 3 : summan av siffrorna i numret måste vara delbar med 3;
- På 4 : talet som bildas av de två sista siffrorna måste vara delbart med 4;
- På 5 : sista siffran måste vara 0 eller 5;
- På 6 : talet måste ha tecken på delbarhet med 2 och 3;
- Tecken på delbarhet med 7 ofta hoppade över;
- Sällan pratar man också om testet för delbarhet i 8 , även om det liknar tecknen på delbarhet med 2 och 4. För att ett tal ska vara delbart med 8 är det nödvändigt och tillräckligt att den tresiffriga ändelsen är delbar med 8.
- Tecken på delbarhet med 9 alla vet: summan av siffrorna i ett tal måste vara delbart med 9. Vilket dock inte utvecklar immunitet mot alla möjliga knep med datum som numerologer använder.
- Tecken på delbarhet med 10 , förmodligen det enklaste: talet måste sluta på noll.
- Ibland får sjätteklassare också höra om tecknet på delbarhet i 11 . Du måste lägga till siffrorna i numret på jämna platser, subtrahera siffrorna på udda platser från resultatet. Om resultatet är delbart med 11, är talet i sig delbart med 11.
Vi tar ett nummer. Vi delar upp det i block med 3 siffror vardera (blocket längst till vänster kan innehålla en eller 2 siffror) och växelvis adderar/subtraherar dessa block.
Om resultatet är delbart med 7, 13 (eller 11), så är själva talet delbart med 7, 13 (eller b 11).
Denna metod är baserad, såväl som ett antal matematiska trick, på det faktum att 7x11x13 \u003d 1001. Men vad man ska göra med tresiffriga tal, för vilka frågan om delbarhet ibland inte kan lösas utan själva divisionen.
Med hjälp av det universella delbarhetstestet kan man bygga relativt enkla algoritmer för att avgöra om ett tal är delbart med 7 och andra "obekväma" tal.
Förbättrat test för delbarhet med 7
För att kontrollera om ett tal är delbart med 7 måste du ta bort den sista siffran från talet och subtrahera denna siffra två gånger från resultatet. Om resultatet är delbart med 7, är talet i sig delbart med 7.
Exempel 1:
Är 238 delbart med 7?
23-8-8 \u003d 7. Så talet 238 är delbart med 7.
Faktum är att 238 = 34x7
Denna åtgärd kan utföras flera gånger.
Exempel 2:
Är 65835 delbart med 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 är delbart med 7 (om vi inte märkte detta skulle vi kunna ta ytterligare ett steg: 6-3-3 = 0, och 0 är definitivt delbart med 7).
Så talet 65835 är också delbart med 7.
Baserat på det universella delbarhetstestet är det möjligt att förbättra delbarhetstesten med 4 och 8.
Förbättrat test för delbarhet med 4
Om halva antalet enheter plus antalet tior är ett jämnt tal, är talet delbart med 4.
Exempel 3
Är talet 52 delbart med 4?
5+2/2 = 6, talet är jämnt, så talet är delbart med 4.
Exempel 4
Är talet 134 delbart med 4?
3+4/2 = 5, udda tal, så 134 är inte delbart med 4.
Förbättrat test för delbarhet med 8
Om du lägger till två gånger antalet hundra, antalet tiotal och halva antalet enheter, och resultatet är delbart med 4, så är själva talet delbart med 8.
Exempel 5
Är talet 512 delbart med 8?
5*2+1+2/2 = 12, talet är delbart med 4, så 512 är delbart med 8.
Exempel 6
Är talet 1984 delbart med 8?
9*2+8+4/2 = 28, talet är delbart med 4, så 1984 är delbart med 8.
Tecken på delbarhet med 12är föreningen av delbarhetstecken med 3 och med 4. Detsamma fungerar för alla n som är produkten av coprime p och q. För att ett tal ska vara delbart med n (som är lika med produkten av pq, så att gcd(p,q)=1), måste man vara delbart med både p och q samtidigt.
Var dock försiktig! För att de sammansatta tecknen på delbarhet ska fungera måste talets faktorer vara exakt coprime. Du kan inte säga att ett tal är delbart med 8 om det är delbart med 2 och 4.
Förbättrat test för delbarhet med 13
För att kontrollera om ett tal är delbart med 13 måste du ta bort den sista siffran från numret och lägga till den fyra gånger till resultatet. Om resultatet är delbart med 13, är talet i sig delbart med 13.
Exempel 7
Är 65835 delbart med 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Talet 43 är inte delbart med 13, vilket betyder att talet 65835 inte heller är delbart med 13.
Exempel 8
Är 715 delbart med 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 är delbart med 13, så 715 är också delbart med 13.
Tecken på delbarhet med 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 och andra sammansatta tal som inte är primpotenser liknar kriterierna för delbarhet med 12. Vi kontrollerar delbarheten med samprimfaktorer för dessa tal.
- För 14: för 2 och för 7;
- För 15: med 3 och med 5;
- För 18:2 och 9;
- För 21: på 3 och på 7;
- För 20: med 4 och med 5 (eller, med andra ord, den sista siffran måste vara noll, och den näst sista måste vara jämn);
- För 24: 3 och 8;
- För 26: 2 och 13;
- För 28:4 och 7.
Istället för att kontrollera om den 4-siffriga ändelsen är delbar med 16, kan du lägga till enhetssiffran med tio gånger tiotalssiffran, fyrdubbla hundratalssiffran och
åtta gånger tusensiffran och kontrollera om resultatet är delbart med 16.
Exempel 9
Är 1984 delbart med 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 är inte delbart med 16, så 1984 är inte delbart med 16 heller.
Exempel 10
Är talet 1526 delbart med 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 är inte delbart med 16, så 1526 är också delbart med 16.
Förbättrat test för delbarhet med 17.
För att kontrollera om ett tal är delbart med 17 måste du kassera den sista siffran från talet och subtrahera denna siffra fem gånger från resultatet. Om resultatet är delbart med 13, är talet i sig delbart med 13.
Exempel 11
Är talet 59772 delbart med 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 är delbart med 17, så 59772 är också delbart med 17.
Exempel 12
Är 4913 delbart med 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 är delbart med 17, så 4913 är också delbart med 17.
Förbättrat test för delbarhet med 19.
För att kontrollera om ett tal är delbart med 19, måste du lägga till två gånger den sista siffran till numret som återstår efter att ha kasserat den sista siffran.
Exempel 13
Är talet 9044 delbart med 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 är delbart med 19, så 9044 är också delbart med 19.
Förbättrat test för delbarhet med 23.
För att kontrollera om ett tal är delbart med 23, måste du lägga till den sista siffran, ökad med 7 gånger, till siffran som återstår efter att den sista siffran kasserats.
Exempel 14
Är talet 208012 delbart med 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Du kan faktiskt redan se att 253 är 23,
regel
Tecken på delbarhet med 7
För att avgöra om ett tal är delbart med \(\displaystyle 7\), måste du:
1. Ta det ursprungliga numret utan den sista siffran.
2. Till talet som erhölls i det första steget, lägg till den sista siffran i det ursprungliga numret, multiplicerat med \(\displaystyle 5\).
Talet är delbart med \(\displaystyle 7\) om och endast om summan som erhålls i det andra steget är delbar med \(\displaystyle 7\).
Förklaring
Delbarhet med 7 tecken för tvåsiffriga tal
För ett tvåsiffrigt tal kan testet för delbarhet med \(\displaystyle 7\) formuleras enligt följande:
1. \(\displaystyle (\färg(blå)X)(\färg(röd)Y)\högerpil (\färg(blå)X)\).
2. \(\displaystyle (\color(blue)X)+5\cdot(\color(red)Y)\).
Talet \(\displaystyle (\color(blue)X)(\color(red)Y)\) är delbart med \(\displaystyle 7\) om och endast om talet \(\displaystyle (\color(blue) X )+5\cdot(\färg(röd)Y)\) är delbart med \(\displaystyle 7\).
Givet ett nummer \(\displaystyle 78\). Låt oss göra beräkningar enligt regeln som beskrivs ovan.
1. Vi kasserar den sista siffran i det ursprungliga numret:
\(\displaystyle (\färg(blå)7)(\färg(röd)8) \högerpil (\färg(blå)7)\).
2. Vi beräknar:
\(\displaystyle (\color(blue)7)+5 \cdot (\color(red)8) = 47\).
Talet \(\displaystyle 78\) är delbart med \(\displaystyle 7\) om och endast om talet \(\displaystyle 47\) är delbart med \(\displaystyle 7\).
Men eftersom \(\displaystyle 47\) inte är delbart med \(\displaystyle 7\), så är \(\displaystyle 78\) inte delad till \(\displaystyle 7\).
Svar: nej, det är inte delbart med \(\displaystyle 7\).
God eftermiddag
Idag kommer vi att fortsätta att överväga tecknen på delbarhet.
Och vi börjar med detta:
Vi tar den sista siffran i talet, dubblar den och subtraherar från talet som är kvar utan denna sista siffra. Om skillnaden är delbar med 7, så är hela talet delbart med 7. Denna åtgärd kan fortsätta hur många gånger du vill tills det blir klart om talet är delbart med 7 eller inte.
Exempel: 298109.
1:a steget. Vi tar 9, multiplicerar det med 2 och subtraherar:
29810-18=29792.
2:a steget. 29792. Ta 2, multiplicera det med 2 och subtrahera:
2979-4 = 2975.
3:e steget. 2975. Vi tar 5, multiplicerar med 2 och subtraherar: 297-10=287.
4:e steget. 287. Ta 7, multiplicera med 2 och subtrahera 28-14=14. Delbart med 7.
Så hela talet 298109 är delbart med 7.
Ett annat exempel. Nummer 1102283.
1:a steget. 110228-3*2 = 110222
2:a steget. 11022-2*2 = 11018.
3:e steget. 1101-8*2 = 1085.
4:e steget. 108-5*2 = 98.
5:e steget. 9-8*2 = -7. Delbart med 7. Så 1102283 är delbart med 7.
Tecken på delbarhet med 13. Vi tar den sista siffran i numret, multiplicerar den med 4 och lägger till den till talet utan den sista siffran. Om summan är delbar med 13 så är hela talet delbart med 13.
Denna åtgärd kan fortsätta så många gånger du vill tills det blir klart om talet är delbart med 13 eller inte.
Exempel: nummer 595166.
1:a steget. 59516 + 6*4 = 59540
2:a steget. 5954 + 0*4 = 5954
3:e steget. 595 + 4*4 = 611
4:e steget. 61 + 1*4 = 65
5:e steget. 6 + 5*4 = 26. Delbart med 13.
Så talet 595166 är delbart med 13.
Ett annat exempel. Numret är 10221224.
1:a steget. 1022122 + 4*4 = 1022138
2:a steget. 102213 + 8*4 = 102245
3:e steget. 10224 + 5*4 = 10244
4:e steget. 1024 + 4*4 = 1040
5:e steget. 104 + 0*4 = 104
6:e steget. 10 + 4*4 = 26. Delbart med 13.
Så talet 10221224 är delbart med 13.
Nu skulle jag vilja visa flera andra kriterier för delbarhet, och inte bara för primtal, utan även för sammansatta.
Tecken på delbarhet med 11. Ta ett nummer och summera alla siffror som står på udda platser. Lägg sedan ihop alla siffror i numret som står på jämna ställen.
Om skillnaden mellan den första summan och den andra är en multipel av 11, är hela talet delbart med 11.
I det här fallet kan skillnaden vara både positiv och negativ.
Exempel: 160369(Summan av siffrorna som är på udda ställen
1+0+6 = 7.
Summan av talen på jämna platser är 6+3+9 = 18.
18 - 7 \u003d 11. Delbart med 11. Så talet 160369 är delbart med 11).
Ett annat exempel: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
Talet 7527927 är delbart med 11).
Tecken på delbarhet med 15. Siffran 15 är sammansatt. Det kan representeras som en produkt av primtalsfaktorer, nämligen 5 och 3.
Och vi vet redan. Så, talet är delbart med 15, om
1. - det slutar med 0 eller 5;
Exempel: 36840(Talet slutar på 0; summan av dess siffror är 3+6+8+4 = 21. Delbart med 3.) Så hela talet är delbart med 15.
Ett annat exempel: 113445 Siffran slutar på 5; summan av dess siffror är 1+1+3+4+4+5 = 18. Delbart med 3.) Så hela talet är delbart med 15.
Tecken på delbarhet med 12. Siffran 12 är sammansatt. Det kan representeras som produkten av följande faktorer: 4 och 3.
Så ett tal är delbart med 12 if
1. - 2 sista siffrorna är delbara med 4;
2. - summan av dess siffror är delbar med 3.
Exempel: 78864(De sista två siffrorna är 64. Talet som består av dem är delbart med 4; summan av siffrorna är 7+8+8+6+4 = 33. Delbart med 3.) Så hela talet är delbart med 12 .
Ett annat exempel: 943908(De sista två siffrorna är 08. Antalet som består av dessa siffror är delbart med 4; summan av siffrorna är 9+4+3+9+0+8 = 33.
Delbart med 3.) Så hela talet är delbart med 12.
Från Läroplanen många minns att det finns tecken på delbarhet. Denna fras förstås som regler som gör att du snabbt kan avgöra om ett tal är en multipel av en given, utan att utföra en direkt aritmetisk operation. Denna metod är baserad på åtgärder som utförs med en del av siffrorna från posten i positionen
Många minns de enklaste tecknen på delbarhet från skolans läroplan. Till exempel det faktum att alla tal är delbara med 2, vars sista siffra i posten är jämn. Denna funktion är den enklaste att komma ihåg och tillämpa i praktiken. Om vi talar om metoden att dividera med 3, gäller följande regel för flersiffriga tal, som kan visas i ett sådant exempel. Du måste ta reda på om 273 är en multipel av tre. För att göra detta, utför följande operation: 2+7+3=12. Den resulterande summan är delbar med 3, därför kommer 273 att vara delbar med 3 på ett sådant sätt att resultatet är ett heltal.
Tecknen på delbarhet med 5 och 10 kommer att vara som följer. I det första fallet kommer posten att sluta med siffrorna 5 eller 0, i det andra fallet endast med 0. För att ta reda på om den delbara är en multipel av fyra, fortsätt enligt följande. Det är nödvändigt att isolera de två sista siffrorna. Om det är två nollor eller ett tal som är delbart med 4 utan rest, så blir allt delbart en multipel av divisorn. Det bör noteras att de listade tecknen endast används i decimalsystemet. De gäller inte för andra räknemetoder. I sådana fall härleds deras egna regler, som beror på systemets bas.
Tecken på division med 6 är följande. 6 om det är en multipel av både 2 och 3. För att avgöra om ett tal är delbart med 7 måste du dubbla den sista siffran i dess inmatning. Det erhållna resultatet subtraheras från det ursprungliga numret, där den sista siffran inte beaktas. Denna regel kan ses i följande exempel. Det är nödvändigt att ta reda på om 364 är en multipel. För att göra detta multipliceras 4 med 2, det visar sig 8. Därefter utförs följande åtgärd: 36-8=28. Det erhållna resultatet är en multipel av 7, och därför kan det ursprungliga talet 364 delas med 7.
Tecknen på delbarhet med 8 är följande. Om de tre sista siffrorna i ett tal bildar ett tal som är en multipel av åtta, kommer själva talet att vara delbart med den givna divisorn.
Du kan ta reda på om ett flersiffrigt tal är delbart med 12 enligt följande. Med hjälp av delbarhetskriterierna som anges ovan måste du ta reda på om talet är en multipel av 3 och 4. Om de samtidigt kan fungera som divisorer för ett tal, kan du med en given delbar också dividera med 12. Liknande regel gäller andra komplexa tal, till exempel femton. I det här fallet bör divisorerna vara 5 och 3. För att ta reda på om ett tal är delbart med 14 bör du se om det är en multipel av 7 och 2. Så du kan överväga detta i följande exempel. Det är nödvändigt att avgöra om 658 kan delas med 14. Den sista siffran i posten är jämn, därför är talet en multipel av två. Därefter multiplicerar vi 8 med 2, vi får 16. Från 65 måste du subtrahera 16. Resultatet 49 är delbart med 7, som hela talet. Därför kan 658 också delas med 14.
Om de två sista siffrorna i ett givet tal är delbara med 25, så blir allt en multipel av denna divisor. För flersiffriga tal kommer tecknet på delbarhet med 11 att låta som följer. Det är nödvändigt att ta reda på om skillnaden mellan summorna av siffror som är på udda och jämna platser i dess post är en multipel av en given divisor.
Det bör noteras att tecknen på delbarhet av siffror och deras kunskap mycket ofta förenklar många uppgifter som man möter inte bara i matematik, utan också i vardagen. Tack vare möjligheten att avgöra om ett tal är en multipel av ett annat kan du snabbt utföra olika uppgifter. Dessutom kommer användningen av dessa metoder i matematikklasser att hjälpa till att utveckla elever eller skolbarn, kommer att bidra till utvecklingen av vissa förmågor.
