Vissa människor behandlar ordet "progression" med försiktighet, som en mycket komplex term från grenarna av högre matematik. Och ändå det enklaste aritmetisk progression- taxameterns arbete (där de fortfarande finns kvar). Och att förstå essensen (och i matematik finns det inget viktigare än att "förstå essensen") i en aritmetisk sekvens är inte så svårt, efter att ha analyserat några elementära begrepp.
Matematisk nummerföljd
En numerisk sekvens brukar kallas en serie av tal, som vart och ett har sitt eget nummer.
a 1 är den första medlemmen av sekvensen;
och 2 är den andra termen i sekvensen;
och 7 är den sjunde medlemmen av sekvensen;
och n är den n:te medlemmen av sekvensen;
Men ingen godtycklig uppsättning siffror och siffror intresserar oss. Vi kommer att fokusera vår uppmärksamhet på en numerisk sekvens där värdet av den n:e termen är relaterad till dess ordningsnummer genom ett samband som kan formuleras tydligt matematiskt. Med andra ord: det numeriska värdet för det n:e talet är någon funktion av n.
a är värdet av en medlem av en numerisk sekvens;
n är dess serienummer;
f(n) är en funktion, där ordningstalet i den numeriska sekvensen n är argumentet.
Definition
En aritmetisk progression brukar kallas en numerisk sekvens där varje efterföljande term är större (mindre) än den föregående med samma siffra. Formeln för den n:e termen i en aritmetisk sekvens är följande:
a n - värdet av den aktuella medlemmen av den aritmetiska progressionen;
en n+1 - formel för nästa nummer;
d - skillnad (visst antal).
Det är lätt att avgöra att om skillnaden är positiv (d>0), så kommer varje efterföljande medlem av serien i fråga att vara större än den föregående och en sådan aritmetisk progression kommer att öka.
I grafen nedan är det lätt att se varför nummerföljden kallas för "ökande".
I fall där skillnaden är negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Angivet medlemsvärde
Ibland är det nödvändigt att bestämma värdet av en godtycklig term a n för en aritmetisk progression. Detta kan göras genom att sekventiellt beräkna värdena för alla medlemmar av den aritmetiska progressionen, från den första till den önskade. Den här vägen är dock inte alltid acceptabel om det till exempel är nödvändigt att hitta värdet av den femtusende eller åtta miljonte termen. Traditionella beräkningar kommer att ta mycket tid. En specifik aritmetisk progression kan dock studeras med hjälp av vissa formler. Det finns också en formel för den n:e termen: värdet av vilken term som helst i en aritmetisk progression kan bestämmas som summan av den första termen av progressionen med skillnaden i progressionen, multiplicerad med numret på den önskade termen, reducerad med ett.
Formeln är universell för att öka och minska progression.
Ett exempel på att beräkna värdet av en given term
Låt oss lösa följande problem med att hitta värdet på den n:e termen i en aritmetisk progression.
Villkor: det finns en aritmetisk progression med parametrar:
Den första termen i sekvensen är 3;
Skillnaden i nummerserien är 1,2.
Uppgift: du måste hitta värdet på 214 termer
Lösning: för att bestämma värdet på en given term använder vi formeln:
a(n) = a1 + d(n-1)
Genom att ersätta data från problemformuleringen med uttrycket har vi:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Svar: Den 214:e termen i sekvensen är lika med 258,6.
Fördelarna med denna beräkningsmetod är uppenbara - hela lösningen tar inte mer än 2 rader.
Summan av ett givet antal termer
Mycket ofta, i en given aritmetisk serie, är det nödvändigt att bestämma summan av värdena för några av dess segment. För att göra detta behöver du inte heller beräkna värdena för varje term och sedan lägga ihop dem. Denna metod är tillämplig om antalet termer vars summa behöver hittas är litet. I andra fall är det bekvämare att använda följande formel.
Summan av termerna för en aritmetisk progression från 1 till n är lika med summan av den första och n:e termen, multiplicerad med numret på termen n och dividerad med två. Om i formeln värdet på den n:e termen ersätts med uttrycket från föregående stycke i artikeln får vi:
Räkneexempel
Låt oss till exempel lösa ett problem med följande villkor:
Den första termen i sekvensen är noll;
Skillnaden är 0,5.
Problemet kräver att man bestämmer summan av termerna i serien från 56 till 101.
Lösning. Låt oss använda formeln för att bestämma graden av progression:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Först bestämmer vi summan av värdena för 101 termer av progressionen genom att ersätta de givna villkoren för vårt problem i formeln:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Uppenbarligen, för att ta reda på summan av villkoren för progressionen från den 56:e till den 101:a, är det nödvändigt att subtrahera S 55 från S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Således är summan av den aritmetiska progressionen för detta exempel:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Exempel på praktisk tillämpning av aritmetisk progression
I slutet av artikeln, låt oss återgå till exemplet på en aritmetisk sekvens som ges i första stycket - en taxameter (taxibilmätare). Låt oss överväga detta exempel.
Att gå ombord på en taxi (som inkluderar 3 km resor) kostar 50 rubel. Varje efterföljande kilometer betalas med en hastighet av 22 rubel/km. Reseavståndet är 30 km. Beräkna kostnaden för resan.
1. Låt oss kassera de första 3 km, vars pris ingår i kostnaden för landning.
30 - 3 = 27 km.
2. Ytterligare beräkning är inget annat än att analysera en aritmetisk talserie.
Medlemsnummer - antal tillryggalagda kilometer (minus de tre första).
Medlemmens värde är summan.
Den första termen i detta problem kommer att vara lika med en 1 = 50 rubel.
Progressionsskillnad d = 22 r.
talet vi är intresserade av är värdet på den (27+1):e termen i den aritmetiska progressionen - mätarställningen i slutet av den 27:e kilometern är 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Kalenderdataberäkningar för en godtyckligt lång period baseras på formler som beskriver vissa numeriska sekvenser. Inom astronomi är banans längd geometriskt beroende av himlakroppens avstånd till stjärnan. Dessutom används olika nummerserier framgångsrikt inom statistik och andra tillämpade områden inom matematiken.
En annan typ av talföljd är geometrisk
Geometrisk progression kännetecknas av större förändringshastigheter jämfört med aritmetisk progression. Det är ingen slump att man inom politik, sociologi och medicin, för att visa den höga spridningshastigheten för ett visst fenomen, till exempel en sjukdom under en epidemi, säger att processen utvecklas i geometrisk progression.
Den N:te termen i den geometriska talserien skiljer sig från den föregående genom att den multipliceras med något konstant tal - nämnaren, till exempel, den första termen är 1, nämnaren är på motsvarande sätt lika med 2, sedan:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - värdet av den aktuella termen för den geometriska progressionen;
b n+1 - formeln för nästa term i den geometriska progressionen;
q är nämnaren för den geometriska progressionen (ett konstant tal).
Om grafen för en aritmetisk progression är en rät linje, målar en geometrisk progression en något annorlunda bild:
Liksom i fallet med aritmetik har geometrisk progression en formel för värdet av en godtycklig term. Varje n:te term i en geometrisk progression är lika med produkten av den första termen och nämnaren för progressionen i potensen av n reducerat med ett:
Exempel. Vi har en geometrisk progression med den första termen lika med 3 och nämnaren för progressionen lika med 1,5. Låt oss hitta den femte termen av progressionen
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Summan av ett givet antal termer beräknas också med hjälp av en speciell formel. Summan av de första n termerna av en geometrisk progression är lika med skillnaden mellan produkten av den n:te termen av progressionen och dess nämnare och den första termen av progressionen, dividerat med nämnaren reducerad med ett:
Om b n ersätts med formeln som diskuterats ovan, kommer värdet av summan av de första n termerna i den aktuella nummerserien att ha formen:
Exempel. Den geometriska progressionen börjar med den första termen lika med 1. Nämnaren sätts till 3. Låt oss hitta summan av de första åtta termerna.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Vad är huvudessensen i formeln?
Denna formel låter dig hitta några EFTER HANS NUMMER " n" .
Självklart måste du också kunna första terminen en 1 och progressionsskillnad d, ja, utan dessa parametrar kan du inte skriva ner en specifik progression.
Att memorera (eller skriva) denna formel är inte tillräckligt. Du måste förstå dess väsen och tillämpa formeln i olika problem. Och inte heller att glömma i rätt ögonblick, ja...) Hur inte glömma- Jag vet inte. Och här hur man minns Om det behövs kommer jag definitivt att ge dig råd. För dem som slutför lektionen till slutet.)
Så låt oss titta på formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression.
Vad är en formel i allmänhet? Förresten, ta en titt om du inte har läst den. Allt är enkelt där. Det återstår att ta reda på vad det är n:e terminen.
Progression i allmänhet kan skrivas som en serie tal:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....
en 1- betecknar den första termen i en aritmetisk progression, en 3- tredje medlem, en 4- den fjärde och så vidare. Om vi är intresserade av den femte terminen, låt oss säga att vi jobbar med en 5, om hundra och tjugonde - s en 120.
Hur kan vi definiera det i allmänna termer? några term av en aritmetisk progression, med några siffra? Väldigt enkelt! Så här:
en
Det är vad det är n:e termen av en aritmetisk progression. Bokstaven n döljer alla medlemsnummer på en gång: 1, 2, 3, 4 och så vidare.
Och vad ger en sådan skiva oss? Tänk bara, istället för en siffra skrev de ner en bokstav...
Denna notation ger oss ett kraftfullt verktyg för att arbeta med aritmetisk progression. Använda notationen en, kan vi snabbt hitta några medlem några aritmetisk progression. Och lösa en massa andra progressionsproblem. Du får se själv längre.
I formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression:
| a n = ai + (n-1)d |
en 1- den första termen i en aritmetisk progression;
n- medlemsnummer.
Formeln kopplar samman nyckelparametrarna för varje progression: en ; a 1; d Och n. Alla progressionsproblem kretsar kring dessa parametrar.
Den n:e termformeln kan också användas för att skriva en specifik progression. Till exempel kan problemet säga att progressionen specificeras av villkoret:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ett sådant problem kan vara en återvändsgränd... Det finns varken en serie eller skillnad... Men, om man jämför tillståndet med formeln, är det lätt att förstå att i denna progression a1=5 och d=2.
Och det kan bli ännu värre!) Om vi tar samma villkor: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, öppna parentesen och ta med liknande? Vi får en ny formel:
a n = 3 + 2n.
Detta Bara inte generellt, utan för en specifik progression. Det är här fallgropen lurar. Vissa tror att den första termen är en trea. Även om den första termen i verkligheten är fem... Lite lägre kommer vi att arbeta med en sådan modifierad formel.
I progressionsproblem finns det en annan notation - a n+1. Detta är, som du gissat, "n plus first"-termen för progressionen. Dess betydelse är enkel och ofarlig.) Detta är en medlem av progressionen vars antal är större än nummer n med en. Till exempel, om i något problem vi tar en femte terminen alltså a n+1 blir den sjätte medlemmen. Etc.
Oftast beteckningen a n+1 finns i återfallsformler. Var inte rädd för detta läskiga ord!) Detta är bara ett sätt att uttrycka en medlem av en aritmetisk progression genom den föregående. Låt oss säga att vi får en aritmetisk progression i denna form, med hjälp av en återkommande formel:
a n+1 = a n+3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Den fjärde - genom den tredje, den femte - genom den fjärde, och så vidare. Hur kan vi omedelbart räkna, säg, den tjugonde termen? en 20:a? Men det går inte!) Tills vi får reda på den 19:e terminen kan vi inte räkna den 20:e. Detta är den grundläggande skillnaden mellan den återkommande formeln och formeln för den n:e termen. Återkommande fungerar bara igenom tidigare term, och formeln för den n:e termen är genom först och tillåter direkt hitta vilken medlem som helst efter dess nummer. Utan att räkna ut hela talserien i ordning.
I en aritmetisk progression är det lätt att förvandla en återkommande formel till en vanlig. Räkna ett par på varandra följande termer, beräkna skillnaden d, hitta vid behov den första termen en 1, skriv formeln i dess vanliga form och arbeta med den. Sådana uppgifter stöter man ofta på i Statens vetenskapsakademi.
Tillämpning av formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression.
Låt oss först titta på den direkta tillämpningen av formeln. I slutet av föregående lektion uppstod ett problem:
En aritmetisk progression (a n) ges. Hitta en 121 om a 1 =3 och d=1/6.
Detta problem kan lösas utan några formler, helt enkelt baserat på betydelsen av en aritmetisk progression. Lägg till och lägg till... En timme eller två.)
Och enligt formeln tar lösningen mindre än en minut. Du kan tajma det.) Låt oss bestämma.
Villkoren ger all data för att använda formeln: ai=3, d=1/6. Det återstår att ta reda på vad som är lika n. Inga problem! Vi måste hitta en 121. Så vi skriver:
Var uppmärksam! Istället för ett index n ett specifikt nummer dök upp: 121. Vilket är ganska logiskt.) Vi är intresserade av medlemmen av den aritmetiska progressionen nummer etthundratjugoett. Det här blir vårt n. Detta är meningen n= 121 kommer vi att ersätta längre in i formeln, inom parentes. Vi ersätter alla siffror i formeln och beräknar:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Det är allt. Lika snabbt kunde man hitta den femhundrationde termen, och den tusen och tredje, vilken som helst. Vi lägger istället nönskat nummer i indexet för bokstaven " en" och inom parentes, och vi räknar.
Låt mig påminna dig om poängen: denna formel låter dig hitta några aritmetisk progressionsterm EFTER HANS NUMMER " n" .
Låt oss lösa problemet på ett mer listigt sätt. Låt oss stöta på följande problem:
Hitta den första termen i den aritmetiska progressionen (a n), om a 17 =-2; d=-0,5.
Om du har några svårigheter kommer jag att berätta det första steget. Skriv ner formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression! Jaja. Skriv ner med händerna, direkt i din anteckningsbok:
| a n = ai + (n-1)d |
Och nu, när vi tittar på bokstäverna i formeln, förstår vi vilka data vi har och vad som saknas? Tillgängliga d=-0,5, det finns en sjuttonde medlem... Är det det? Om du tror att det är det, kommer du inte att lösa problemet, ja...
Vi har fortfarande ett nummer n! I skick a 17 =-2 dold två parametrar. Detta är både värdet på den sjuttonde termen (-2) och dess nummer (17). De där. n=17. Denna "bagatell" glider ofta förbi huvudet, och utan den, (utan "bagatell", inte huvudet!) kan problemet inte lösas. Fast... och utan huvud också.)
Nu kan vi helt enkelt dumt ersätta våra data med formeln:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Åh ja, en 17 vi vet att det är -2. Okej, låt oss ersätta:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Det är i princip allt. Det återstår att uttrycka den första termen i den aritmetiska progressionen från formeln och beräkna den. Svaret blir: a 1 = 6.
Denna teknik - att skriva ner en formel och helt enkelt ersätta kända data - är till stor hjälp vid enkla uppgifter. Jo, visst måste man kunna uttrycka en variabel från en formel, men vad ska man göra!? Utan denna färdighet kanske matematik inte studeras alls...
Ett annat populärt pussel:
Hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen (a n), om a 1 =2; a 15 =12.
Vad gör vi? Du kommer att bli förvånad, vi skriver formeln!)
| a n = ai + (n-1)d |
Låt oss överväga vad vi vet: ai=2; a15=12; och (jag ska särskilt lyfta fram!) n=15. Ersätt gärna detta med formeln:
12=2 + (15-1)d
Vi räknar.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Detta är det korrekta svaret.
Så, uppgifterna för ett n, en 1 Och d bestämt. Allt som återstår är att lära sig hur man hittar numret:
Siffran 99 är en medlem av den aritmetiska progressionen (a n), där a 1 =12; d=3. Hitta denna medlemsnummer.
Vi ersätter de kvantiteter som är kända för oss med formeln för den n:e termen:
a n = 12 + (n-1) 3
Vid första anblicken finns det två okända kvantiteter här: ett n och n. Men en- det här är en medlem av progressionen med ett nummer n...Och vi känner denna medlem av progressionen! Det är 99. Vi vet inte dess nummer. n, Så det här numret är vad du behöver hitta. Vi ersätter termen för progressionen 99 med formeln:
99 = 12 + (n-1) 3
Vi uttrycker från formeln n, Vi tror. Vi får svaret: n=30.
Och nu ett problem om samma ämne, men mer kreativt):
Bestäm om talet 117 är en medlem av den aritmetiska progressionen (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Låt oss skriva formeln igen. Vadå, det finns inga parametrar? Hm... Varför får vi ögon?) Ser vi den första termen av progressionen? Vi ser. Detta är -3,6. Du kan lugnt skriva: a 1 = -3,6. Skillnad d Kan du berätta från serien? Det är enkelt om du vet vad skillnaden mellan en aritmetisk progression är:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Så vi gjorde det enklaste. Det återstår att ta itu med det okända numret n och det obegripliga talet 117. I det förra problemet var det åtminstone känt att det var terminen för progressionen som gavs. Men här vet vi inte ens... Vad ska vi göra!? Tja, hur man är, hur man är... Sätt på dina kreativa förmågor!)
Vi anta att 117 trots allt är en medlem av vår progression. Med ett okänt nummer n. Och precis som i föregående problem, låt oss försöka hitta detta nummer. De där. vi skriver formeln (ja, ja!)) och ersätter våra siffror:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Återigen uttrycker vi från formelnn, vi räknar och får:
hoppsan! Numret visade sig fraktionerad! Hundra och ett och ett halvt. Och bråktal i förlopp kan inte vara. Vilken slutsats kan vi dra? Ja! Nummer 117 är inte medlem av vår progression. Det är någonstans mellan etthundra och första och hundra och andra termerna. Om antalet visade sig naturligt, dvs. är ett positivt heltal, då skulle talet vara en medlem av progressionen med det hittade numret. Och i vårt fall kommer svaret på problemet att vara: Nej.
En uppgift baserad på en riktig version av GIA:
En aritmetisk progression ges av villkoret:
an = -4 + 6,8n
Hitta den första och tionde termen i progressionen.
Här sätts utvecklingen på ett ovanligt sätt. Någon form av formel... Det händer.) Men den här formeln (som jag skrev ovan) - även formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression! Hon tillåter också hitta en medlem av progressionen efter dess nummer.
Vi söker den första medlemmen. Den som tänker. att den första termen är minus fyra är fatalt felaktigt!) Eftersom formeln i problemet är modifierad. Den första termen i den aritmetiska progressionen i den dold. Det är okej, vi hittar det nu.)
Precis som i tidigare problem ersätter vi n=1 i denna formel:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Här! Den första termen är 2,8, inte -4!
Vi söker den tionde terminen på samma sätt:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Det är allt.
Och nu, för dem som har läst till dessa rader, den utlovade bonusen.)
Anta att du i en svår stridssituation med State Examination eller Unified State Examination har glömt den användbara formeln för den n:e termen av en aritmetisk progression. Jag minns något, men på något sätt osäkert... Eller n där, eller n+1, eller n-1... Hur man är!?
Lugna! Denna formel är lätt att härleda. Det är inte särskilt strikt, men det är definitivt tillräckligt för självförtroende och rätt beslut!) För att göra en slutsats räcker det att komma ihåg den grundläggande betydelsen av en aritmetisk progression och ha ett par minuter av tid. Du behöver bara rita en bild. För tydlighets skull.
Rita en tallinje och markera den första på den. andra, tredje osv. medlemmar. Och vi noterar skillnaden d mellan medlemmarna. Så här:
Vi tittar på bilden och tänker: vad motsvarar den andra termen? Andra ett d:
a 2 =a 1+ 1 d
Vad är den tredje termen? Tredje term är lika med första term plus två d.
a 3 =a 1+ 2 d
Förstår du? Det är inte för inte som jag lyfter fram några ord i fetstil. Okej, ett steg till).
Vad är den fjärde termen? Fjärde term är lika med första term plus tre d.
a 4 =a 1+ 3 d
Det är dags att inse att antalet luckor, d.v.s. d, Alltid en mindre än numret på den medlem du letar efter n. Det vill säga till numret n, antal utrymmen kommer n-1. Därför blir formeln (utan variationer!):
| a n = ai + (n-1)d |
I allmänhet är visuella bilder till stor hjälp för att lösa många problem i matematik. Försumma inte bilderna. Men om det är svårt att rita en bild, då ... bara en formel!) Dessutom låter formeln för den n:e termen dig koppla hela den kraftfulla arsenalen av matematik till lösningen - ekvationer, ojämlikheter, system, etc. Du kan inte infoga en bild i ekvationen...
Uppgifter för självständig lösning.
Att värma upp:
1. I aritmetisk progression (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Hitta en 3:a.
Tips: enligt bilden kan problemet lösas på 20 sekunder... Enligt formeln blir det svårare. Men för att behärska formeln är den mer användbar.) I avsnitt 555 löses detta problem med både bilden och formeln. Känn skillnaden!)
Och det här är inte längre en uppvärmning.)
2. I aritmetisk progression (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Hitta en 3 .
Vadå, du vill inte rita en bild?) Självklart! Bättre enligt formeln, ja...
3. Den aritmetiska progressionen ges av villkoret:ai = -5,5; a n+1 = an+0,5. Hitta den hundra och tjugofemte termen i denna progression.
I denna uppgift specificeras progressionen på ett återkommande sätt. Men om man räknar till den hundra tjugofemte termen... Alla är inte kapabla till en sådan bedrift.) Men formeln för den n:e termen ligger inom allas makt!
4. Givet en aritmetisk progression (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Hitta numret på den minsta positiva termen i progressionen.
5. Enligt villkoren för uppgift 4, hitta summan av de minsta positiva och största negativa termerna i progressionen.
6. Produkten av de femte och tolfte termerna av en ökande aritmetisk progression är lika med -2,5, och summan av de tredje och elfte termerna är lika med noll. Hitta en 14 .
Inte den lättaste uppgiften, ja...) "Fingertoppsmetoden" fungerar inte här. Du kommer att behöva skriva formler och lösa ekvationer.
Svar (i oordning):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Hände? Det är bra!)
Allt löser sig inte? Händer. Förresten, det finns en subtil punkt i den sista uppgiften. Försiktighet kommer att krävas när du läser problemet. Och logik.
Lösningen på alla dessa problem diskuteras i detalj i avsnitt 555. Och elementet av fantasi för den fjärde, och den subtila punkten för den sjätte, och allmänna tillvägagångssätt för att lösa eventuella problem som involverar formeln för den n:te termen - allt beskrivs. Jag rekomenderar.
Om du gillar den här sidan...
Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)
Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.
Matematik har sin egen skönhet, precis som måleri och poesi.
Rysk vetenskapsman, mekaniker N.E. Zjukovsky
Mycket vanliga problem vid inträdesprov i matematik är problem relaterade till begreppet aritmetisk progression. För att framgångsrikt lösa sådana problem måste du ha goda kunskaper om egenskaperna hos aritmetisk progression och ha vissa färdigheter i deras tillämpning.
Låt oss först komma ihåg de grundläggande egenskaperna för en aritmetisk progression och presentera de viktigaste formlerna, relaterat till detta koncept.
Definition. Nummerföljd, där varje efterföljande term skiljer sig från den föregående med samma siffra, kallas en aritmetisk progression. I det här fallet numretkallas progressionsskillnaden.
För en aritmetisk progression är följande formler giltiga:
, (1)
Var . Formel (1) kallas formeln för den allmänna termen för en aritmetisk progression, och formel (2) representerar huvudegenskapen för en aritmetisk progression: varje term av progressionen sammanfaller med det aritmetiska medelvärdet av dess närliggande termer och .
Observera att det är just på grund av denna egenskap som progressionen i fråga kallas "aritmetisk".
Ovanstående formler (1) och (2) är generaliserade enligt följande:
(3)
För att beräkna beloppet först termer av en aritmetisk progressionformeln används vanligtvis
(5) var och .
Om vi tar hänsyn till formeln (1), sedan följer det från formel (5).
Om vi betecknar då
Var . Eftersom formlerna (7) och (8) är en generalisering av motsvarande formler (5) och (6).
Särskilt , av formel (5) följer det, Vad
Lite känd för de flesta studenter är egenskapen hos aritmetisk progression, formulerad genom följande sats.
Sats. Om då
Bevis. Om då
Teoremet har bevisats.
Till exempel , med hjälp av satsen, det kan man visa att
Låt oss gå vidare och överväga typiska exempel på att lösa problem i ämnet "Aritmetisk progression".
Exempel 1. Låt det vara. Hitta .
Lösning. Genom att tillämpa formel (6) får vi . Sedan och , då eller .
Exempel 2. Låt det vara tre gånger större, och dividerat med kvoten blir resultatet 2 och resten är 8. Bestäm och .
Lösning. Av exemplets villkor följer ekvationssystemet
Eftersom , , och , sedan från ekvationssystemet (10) får vi
Lösningen på detta ekvationssystem är och .
Exempel 3. Hitta om och .
Lösning. Enligt formel (5) har vi eller . Men med hjälp av egenskap (9) får vi .
Sedan och , då från jämställdheten ekvationen följer eller .
Exempel 4. Hitta om .
Lösning.Enligt formel (5) har vi
Men med hjälp av satsen kan vi skriva
Härifrån och från formel (11) får vi .
Exempel 5. Givet: . Hitta .
Lösning. Sedan dess. Dock alltså.
Exempel 6. Låt , och . Hitta .
Lösning. Med formel (9) får vi . Därför, om , då eller .
Sedan och då har vi här ett ekvationssystem
Löser vi vilka, vi får och .
Ekvationens naturliga rotär .
Exempel 7. Hitta om och .
Lösning. Eftersom vi enligt formel (3) har det , så följer ekvationssystemet av problemförhållandena
Om vi ersätter uttrycketin i systemets andra ekvation, då får vi eller .
Rötterna till en andragradsekvation är Och .
Låt oss överväga två fall.
1. Låt då . Sedan och , då .
I det här fallet, enligt formel (6), har vi
2. Om , då , och
Svar: och.
Exempel 8. Det är känt att och. Hitta .
Lösning. Med hänsyn till formel (5) och exemplets tillstånd skriver vi och .
Detta innebär ekvationssystemet
Om vi multiplicerar den första ekvationen i systemet med 2 och sedan adderar den till den andra ekvationen får vi
Enligt formel (9) har vi. I detta avseende följer det av (12) eller .
Sedan och , då .
Svar: .
Exempel 9. Hitta om och .
Lösning. Sedan , och efter villkor , då eller .
Från formel (5) är det känt, Vad . Sedan dess.
Därav , här har vi ett system av linjära ekvationer
Härifrån får vi och . Med hänsyn till formel (8) skriver vi .
Exempel 10. Lös ekvationen.
Lösning. Av den givna ekvationen följer att . Låt oss anta att , och . I detta fall .
Enligt formel (1) kan vi skriva eller .
Sedan har ekvation (13) den enda lämpliga roten .
Exempel 11. Hitta det maximala värdet förutsatt att och .
Lösning. Sedan minskar den aritmetiska utvecklingen som övervägs. I detta avseende får uttrycket sitt maximala värde när det är numret på den minsta positiva termen i progressionen.
Låt oss använda formel (1) och faktum, det och . Då får vi det eller .
Sedan , då eller . Dock i denna ojämlikhetstörsta naturliga talet, Det är därför .
Om värdena för , och ersätts med formel (6), får vi .
Svar: .
Exempel 12. Bestäm summan av alla tvåsiffriga naturliga tal som, när de divideras med talet 6, lämnar en rest av 5.
Lösning. Låt oss beteckna med mängden av alla tvåsiffriga naturliga tal, dvs. . Därefter kommer vi att konstruera en delmängd som består av de element (tal) i mängden som, när de divideras med talet 6, ger en återstod av 5.
Lätt att installera, Vad . Självklart , att elementen i uppsättningenbilda ett aritmetiskt fortskridande, där och .
För att fastställa kardinalitet (antal element) av mängden, antar vi att . Eftersom och , det följer av formel (1) eller . Med hänsyn till formel (5) får vi .
Ovanstående exempel på problemlösning kan inte på något sätt göra anspråk på att vara uttömmande. Den här artikeln är skriven utifrån en analys av moderna metoder för att lösa typiska problem inom ett givet ämne. För en mer djupgående studie av metoder för att lösa problem relaterade till aritmetisk progression är det lämpligt att hänvisa till listan med rekommenderad litteratur.
1. Samling av problem i matematik för sökande till högskolor / Ed. MI. Scanavi. – M.: Fred och utbildning, 2013. – 608 sid.
2. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: ytterligare avsnitt i skolans läroplan. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 sid.
3. Medynsky M.M. En komplett kurs i elementär matematik i problem och övningar. Bok 2: Nummersekvenser och progressioner. – M.: Editus, 2015. – 208 sid.
Har du fortfarande frågor?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.
Ja, ja: aritmetisk progression är ingen leksak för dig :) Tja, vänner, om ni läser den här texten, då säger de interna cap-bevisen mig att ni ännu inte vet vad en aritmetisk progression är, men ni vill verkligen (nej, sådär: SÅÅÅÅ!) veta. Därför kommer jag inte att plåga dig med långa introduktioner och kommer rakt på sak.
Först ett par exempel. Låt oss titta på flera uppsättningar siffror:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Vad har alla dessa uppsättningar gemensamt? Vid första anblicken ingenting. Men det finns faktiskt något. Nämligen: varje nästa element skiljer sig från det föregående med samma nummer.
Döm själv. Den första uppsättningen är helt enkelt på varandra följande nummer, vart och ett är ett mer än det föregående. I det andra fallet är skillnaden mellan intilliggande nummer redan fem, men denna skillnad är fortfarande konstant. I det tredje fallet finns det rötter helt och hållet. Men $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, och $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. och i det här fallet ökar varje nästa element helt enkelt med $\sqrt(2)$ (och var inte rädd att detta nummer är irrationellt).
Alltså: alla sådana sekvenser kallas aritmetiska progressioner. Låt oss ge en strikt definition:
Definition. En sekvens av tal där varje nästa skiljer sig från den föregående med exakt samma mängd kallas en aritmetisk progression. Själva summan med vilken siffrorna skiljer sig kallas progressionsskillnaden och betecknas oftast med bokstaven $d$.
Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ är själva progressionen, $d$ är dess skillnad.
Och bara ett par viktiga anteckningar. För det första beaktas bara progression beordrade nummersekvens: de får läsas strikt i den ordning som de är skrivna - och inget annat. Nummer kan inte ordnas om eller bytas.
För det andra kan sekvensen i sig vara antingen finit eller oändlig. Till exempel är mängden (1; 2; 3) uppenbarligen en ändlig aritmetisk progression. Men om du skriver något i anden (1; 2; 3; 4; ...) - är detta redan en oändlig utveckling. Ellipsen efter de fyra tycks antyda att det finns en hel del fler nummer att komma. Oändligt många, till exempel. :)
Jag skulle också vilja notera att utvecklingen kan vara ökande eller minskande. Vi har redan sett ökande - samma uppsättning (1; 2; 3; 4; ...). Här är exempel på minskande progressioner:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Okej, okej: det sista exemplet kan verka alltför komplicerat. Men resten tror jag du förstår. Därför introducerar vi nya definitioner:
Definition. En aritmetisk progression kallas:
- ökar om varje nästa element är större än det föregående;
- minskar om, tvärtom, varje efterföljande element är mindre än det föregående.
Dessutom finns det så kallade "stationära" sekvenser - de består av samma repeterande nummer. Till exempel (3; 3; 3; ...).
Bara en fråga återstår: hur skiljer man en ökande progression från en minskande? Som tur är beror allt här bara på tecknet för talet $d$, d.v.s. progressionsskillnader:
- Om $d \gt 0$, så ökar progressionen;
- Om $d \lt 0$, så minskar uppenbarligen progressionen;
- Slutligen finns det fallet $d=0$ - i detta fall reduceras hela progressionen till en stationär sekvens av identiska tal: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Låt oss försöka beräkna skillnaden $d$ för de tre minskande progressionerna ovan. För att göra detta räcker det att ta två intilliggande element (till exempel det första och det andra) och subtrahera talet till vänster från talet till höger. Det kommer att se ut så här:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Som vi kan se visade sig skillnaden i alla tre fallen faktiskt vara negativ. Och nu när vi mer eller mindre har listat ut definitionerna är det dags att ta reda på hur progressioner beskrivs och vilka egenskaper de har.
Progressionstermer och återfallsformel
Eftersom elementen i våra sekvenser inte kan bytas ut kan de numreras:
\[\vänster(((a)_(n)) \höger)=\vänster\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \höger\)\]
De individuella elementen i denna uppsättning kallas medlemmar av en progression. De indikeras med ett nummer: första medlem, andra medlem, etc.
Dessutom, som vi redan vet, är angränsande termer för progressionen relaterade med formeln:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\högerpil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Kort sagt, för att hitta den $n$:te termen i en progression, måste du känna till $n-1$:e termen och skillnaden $d$. Den här formeln kallas återkommande, för med dess hjälp kan du bara hitta vilket nummer som helst genom att känna till den föregående (och faktiskt alla tidigare). Detta är väldigt obekvämt, så det finns en mer listig formel som reducerar alla beräkningar till den första termen och skillnaden:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\vänster(n-1 \höger)d\]
Du har förmodligen redan stött på denna formel. De ger det gärna i alla möjliga uppslagsböcker och lösningsböcker. Och i alla vettiga läroböcker i matematik är den en av de första.
Jag föreslår dock att du tränar lite.
Uppgift nr 1. Skriv ner de tre första termerna i den aritmetiska progressionen $\left(((a)_(n)) \right)$ om $((a)_(1))=8,d=-5$.
Lösning. Så vi känner till den första termen $((a)_(1))=8$ och skillnaden i progressionen $d=-5$. Låt oss använda den nyss angivna formeln och ersätta $n=1$, $n=2$ och $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vänster(2-1 \höger)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vänster(3-1 \höger)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Svar: (8; 3; −2)
Det är allt! Observera: vår utveckling minskar.
Naturligtvis kunde $n=1$ inte ersättas - den första termen är redan känd för oss. Men genom att ersätta enhet var vi övertygade om att vår formel fungerar även under den första mandatperioden. I andra fall handlade allt om banal aritmetik.
Uppgift nr 2. Skriv ner de tre första termerna i en aritmetisk progression om dess sjunde term är lika med -40 och dess sjuttonde term är lika med -50.
Lösning. Låt oss skriva problemtillståndet i bekanta termer:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \höger.\]
Jag sätter systemtecknet eftersom dessa krav måste uppfyllas samtidigt. Låt oss nu notera att om vi subtraherar den första från den andra ekvationen (vi har rätt att göra detta, eftersom vi har ett system), får vi detta:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Så enkelt är det att hitta progressionsskillnaden! Allt som återstår är att ersätta det hittade talet i någon av systemets ekvationer. Till exempel, i den första:
\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]
Nu, med att känna till den första termen och skillnaden, återstår det att hitta den andra och tredje termen:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Redo! Problemet är löst.
Svar: (−34; −35; −36)
Lägg märke till den intressanta egenskapen för progression som vi upptäckte: om vi tar termerna $n$th och $m$th och subtraherar dem från varandra, får vi skillnaden i progressionen multiplicerad med $n-m$-talet:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \höger)\]
En enkel men mycket användbar egenskap som du definitivt behöver känna till - med dess hjälp kan du avsevärt påskynda lösningen av många progressionsproblem. Här är ett tydligt exempel på detta:
Uppgift nr 3. Den femte termen i en aritmetisk progression är 8,4 och dess tionde term är 14,4. Hitta den femtonde termen i denna progression.
Lösning. Eftersom $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, och vi behöver hitta $((a)_(15))$, noterar vi följande:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Men enligt villkoret $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, alltså $5d=6$, från vilket vi har:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Svar: 20.4
Det är allt! Vi behövde inte skapa några ekvationssystem och beräkna den första termen och skillnaden - allt löstes på bara ett par rader.
Låt oss nu titta på en annan typ av problem - att söka efter negativa och positiva termer för en progression. Det är ingen hemlighet att om en progression ökar och dess första term är negativ, så kommer förr eller senare positiva termer att dyka upp i den. Och vice versa: villkoren för en minskande progression kommer förr eller senare att bli negativa.
Samtidigt är det inte alltid möjligt att hitta detta ögonblick "head-on" genom att sekventiellt gå igenom elementen. Ofta är problem skrivna på ett sådant sätt att utan att känna till formlerna skulle beräkningarna ta flera pappersark — vi skulle helt enkelt somna medan vi hittade svaret. Låt oss därför försöka lösa dessa problem på ett snabbare sätt.
Uppgift nr 4. Hur många negativa termer finns det i den aritmetiska progressionen −38,5; −35,8; ...?
Lösning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, varifrån vi omedelbart finner skillnaden:
Observera att skillnaden är positiv, så progressionen ökar. Den första termen är negativ, så någon gång kommer vi verkligen att stöta på positiva siffror. Frågan är bara när detta kommer att hända.
Låt oss försöka ta reda på hur länge (dvs. upp till vilket naturligt tal $n$) termernas negativitet kvarstår:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Högerpil ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Högerpil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Den sista raden kräver viss förklaring. Så vi vet att $n \lt 15\frac(7)(27)$. Å andra sidan nöjer vi oss med endast heltalsvärden av talet (desutom: $n\in \mathbb(N)$), så det största tillåtna talet är just $n=15$, och i inget fall 16 .
Uppgift nr 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hitta numret på den första positiva termen i denna progression.
Detta skulle vara exakt samma problem som det föregående, men vi känner inte till $((a)_(1))$. Men närliggande termer är kända: $((a)_(5))$ och $((a)_(6))$, så vi kan enkelt hitta skillnaden i progressionen:
Dessutom, låt oss försöka uttrycka den femte termen genom den första och skillnaden med standardformeln:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Nu fortsätter vi analogt med föregående uppgift. Låt oss ta reda på vid vilken tidpunkt i vår sekvens positiva tal kommer att visas:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Högerpil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Den lägsta heltalslösningen för denna ojämlikhet är talet 56.
Observera: i den sista uppgiften kom allt till strikt ojämlikhet, så alternativet $n=55$ kommer inte att passa oss.
Nu när vi har lärt oss hur man löser enkla problem, låt oss gå vidare till mer komplexa. Men först, låt oss studera en annan mycket användbar egenskap hos aritmetiska progressioner, som kommer att spara oss mycket tid och ojämlika celler i framtiden. :)
Aritmetiskt medelvärde och lika indrag
Låt oss betrakta flera på varandra följande termer av den ökande aritmetiska progressionen $\left(((a)_(n)) \right)$. Låt oss försöka markera dem på nummerraden:
Termer för en aritmetisk progression på tallinjenJag markerade specifikt godtyckliga termer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, och inte några $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Eftersom regeln som jag ska berätta om nu fungerar på samma sätt för alla "segment".
Och regeln är väldigt enkel. Låt oss komma ihåg den återkommande formeln och skriva ner den för alla markerade termer:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Dessa likheter kan dock skrivas om på olika sätt:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Vadå då? Och det faktum att termerna $((a)_(n-1))$ och $((a)_(n+1))$ ligger på samma avstånd från $((a)_(n)) $ . Och detta avstånd är lika med $d$. Detsamma kan sägas om termerna $((a)_(n-2))$ och $((a)_(n+2))$ - de är också borttagna från $((a)_(n) )$ på samma avstånd lika med $2d$. Vi kan fortsätta i det oändliga, men innebörden illustreras väl av bilden
Villkoren för progressionen ligger på samma avstånd från centrum Vad betyder detta för oss? Detta betyder att $((a)_(n))$ kan hittas om närliggande siffror är kända:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Vi har härlett ett utmärkt uttalande: varje term i en aritmetisk progression är lika med det aritmetiska medelvärdet av dess närliggande termer! Dessutom: vi kan ta ett steg tillbaka från vår $((a)_(n))$ till vänster och till höger inte med ett steg, utan med $k$ steg - och formeln kommer fortfarande att vara korrekt:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]
De där. vi kan lätt hitta några $((a)_(150))$ om vi känner till $((a)_(100))$ och $((a)_(200))$, eftersom $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Vid första anblicken kan det tyckas att detta faktum inte ger oss något användbart. Men i praktiken är många problem speciellt anpassade för att använda det aritmetiska medelvärdet. Ta en titt:
Uppgift nr 6. Hitta alla värden för $x$ för vilka talen $-6((x)^(2))$, $x+1$ och $14+4((x)^(2))$ är på varandra följande termer av en aritmetisk progression (i den ordning som anges).
Lösning. Eftersom dessa tal är medlemmar av en progression, är det aritmetiska medelvärdet uppfyllt för dem: det centrala elementet $x+1$ kan uttryckas i termer av angränsande element:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Resultatet är en klassisk andragradsekvation. Dess rötter: $x=2$ och $x=-3$ är svaren.
Svar: −3; 2.
Uppgift nr 7. Hitta värdena på $$ för vilka talen $-1;4-3;(()^(2))+1$ bildar en aritmetisk progression (i den ordningen).
Lösning. Låt oss återigen uttrycka mellantermen genom det aritmetiska medelvärdet av angränsande termer:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Andragradsekvationen igen. Och återigen finns det två rötter: $x=6$ och $x=1$.
Svar: 1; 6.
Om du i processen med att lösa ett problem kommer på några brutala siffror, eller om du inte är helt säker på att svaren är korrekta, så finns det en underbar teknik som låter dig kontrollera: har vi löst problemet korrekt?
Låt oss säga att vi i uppgift nr 6 fick svaren −3 och 2. Hur kan vi kontrollera att dessa svar är korrekta? Låt oss bara koppla in dem i originalskicket och se vad som händer. Låt mig påminna dig om att vi har tre tal ($-6(()^(2))$, $+1$ och $14+4(()^(2))$), som måste bilda en aritmetisk progression. Låt oss ersätta $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Högerpil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Vi fick siffrorna −54; −2; 50 som skiljer sig med 52 är utan tvekan en aritmetisk progression. Samma sak händer för $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Högerpil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Återigen en progression, men med en skillnad på 27. Därmed löstes problemet korrekt. De som vill kan kontrollera det andra problemet på egen hand, men jag säger genast: allt är korrekt där också.
I allmänhet, när vi löste de sista problemen, stötte vi på ett annat intressant faktum som också måste komma ihåg:
Om tre siffror är sådana att det andra är det aritmetiska medelvärdet av det första och det sista, så bildar dessa tal en aritmetisk progression.
I framtiden kommer förståelsen av detta uttalande att tillåta oss att bokstavligen "konstruera" de nödvändiga utvecklingen baserat på problemets villkor. Men innan vi ägnar oss åt en sådan "konstruktion", bör vi uppmärksamma ytterligare ett faktum, som direkt följer av det som redan har diskuterats.
Gruppering och summering av element
Låt oss återgå till nummeraxeln igen. Låt oss där notera flera medlemmar av progressionen, mellan vilka kanske. är värt många andra medlemmar:
Det finns 6 element markerade på talradenLåt oss försöka uttrycka "vänster svans" genom $((a)_(n))$ och $d$, och "höger svans" genom $((a)_(k))$ och $d$. Det är väldigt enkelt:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Observera nu att följande belopp är lika:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Enkelt uttryckt, om vi som en början betraktar två element av progressionen, som totalt är lika med något tal $S$, och sedan börjar gå från dessa element i motsatta riktningar (mot varandra eller vice versa för att flytta bort), sedan summan av de element som vi kommer att snubbla över kommer också att vara lika$S$. Detta kan tydligast representeras grafiskt:
Lika indrag ger lika mycket Att förstå detta faktum kommer att tillåta oss att lösa problem med en fundamentalt högre komplexitetsnivå än de vi ansåg ovan. Till exempel dessa:
Uppgift nr 8. Bestäm skillnaden för en aritmetisk progression där den första termen är 66, och produkten av den andra och tolfte termen är den minsta möjliga.
Lösning. Låt oss skriva ner allt vi vet:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Så vi vet inte progressionsskillnaden $d$. Egentligen kommer hela lösningen att byggas kring skillnaden, eftersom produkten $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrivas om enligt följande:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
För dem i tanken: Jag tog den totala multiplikatorn på 11 från den andra konsolen. Den önskade produkten är alltså en kvadratisk funktion med avseende på variabeln $d$. Tänk därför på funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dess graf kommer att vara en parabel med grenar uppåt, eftersom om vi utökar parenteserna får vi:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Som du kan se är koefficienten för den högsta termen 11 - detta är ett positivt tal, så vi har verkligen att göra med en parabel med uppåtgående grenar:
graf av en kvadratisk funktion - parabel
Observera: denna parabel tar sitt lägsta värde vid sin spets med abskissan $((d)_(0))$. Naturligtvis kan vi beräkna denna abskissa med standardschemat (det finns formeln $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det skulle vara mycket mer rimligt att notera att den önskade vertexen ligger på parabelns axelsymmetri, därför är punkten $((d)_(0))$ på samma avstånd från rötterna till ekvationen $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Det var därför jag inte hade särskilt bråttom att öppna fästena: i sin ursprungliga form var rötterna väldigt, väldigt lätta att hitta. Därför är abskissan lika med det aritmetiska medelvärdet av talen −66 och −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Vad ger det upptäckta numret oss? Med den får den erforderliga produkten det minsta värdet (förresten, vi har aldrig beräknat $((y)_(\min ))$ - detta krävs inte av oss). Samtidigt är detta nummer skillnaden mellan den ursprungliga progressionen, dvs. vi hittade svaret :)
Svar: −36
Uppgift nr 9. Mellan talen $-\frac(1)(2)$ och $-\frac(1)(6)$ infogas tre tal så att de tillsammans med dessa tal bildar en aritmetisk fortsättning.
Lösning. I huvudsak måste vi göra en sekvens av fem nummer, med det första och sista numret redan kända. Låt oss beteckna de saknade talen med variablerna $x$, $y$ och $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Observera att talet $y$ är "mitten" i vår sekvens - det är lika långt från talen $x$ och $z$, och från talen $-\frac(1)(2)$ och $-\frac (1)(6)$. Och om vi för närvarande inte kan få $y$ från siffrorna $x$ och $z$, så är situationen annorlunda med ändarna av progressionen. Låt oss komma ihåg det aritmetiska medelvärdet:
Nu, när vi känner till $y$, kommer vi att hitta de återstående siffrorna. Observera att $x$ ligger mellan talen $-\frac(1)(2)$ och $y=-\frac(1)(3)$ vi just hittade. Det är därför
Med liknande resonemang hittar vi det återstående antalet:
Redo! Vi hittade alla tre siffrorna. Låt oss skriva dem i svaret i den ordning som de ska infogas mellan de ursprungliga siffrorna.
Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Uppgift nr 10. Mellan siffrorna 2 och 42, infoga flera siffror som tillsammans med dessa siffror bildar en aritmetisk progression, om du vet att summan av det första, andra och sista av de infogade talen är 56.
Lösning. Ett ännu mer komplext problem, som dock löses enligt samma schema som de tidigare - genom det aritmetiska medelvärdet. Problemet är att vi inte vet exakt hur många siffror som behöver infogas. Låt oss därför anta för bestämdhet att efter att ha infogat allt kommer det att finnas exakt $n$-tal, och det första av dem är 2, och det sista är 42. I det här fallet kan den nödvändiga aritmetiska progressionen representeras i formen:
\[\vänster(((a)_(n)) \höger)=\vänster\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \höger\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Observera dock att siffrorna $((a)_(2))$ och $((a)_(n-1))$ erhålls från siffrorna 2 och 42 vid kanterna med ett steg mot varandra, dvs. till mitten av sekvensen. Och detta betyder det
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Men då kan uttrycket skrivet ovan skrivas om på följande sätt:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Genom att känna till $((a)_(3))$ och $((a)_(1))$, kan vi enkelt hitta skillnaden i progressionen:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\vänster(3-1 \höger)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Högerpil d=5. \\ \end(align)\]
Allt som återstår är att hitta de återstående termerna:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Redan vid det 9:e steget kommer vi alltså till den vänstra änden av sekvensen - siffran 42. Totalt behövde endast 7 siffror infogas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Ordproblem med progressioner
Avslutningsvis skulle jag vilja överväga ett par relativt enkla problem. Tja, så enkelt är det: för de flesta elever som läser matematik i skolan och inte har läst det som står ovan kan dessa problem tyckas vara svåra. Ändå är dessa typer av problem som förekommer i OGE och Unified State Exam i matematik, så jag rekommenderar att du bekantar dig med dem.
Uppgift nr 11. Teamet producerade 62 delar i januari, och varje efterföljande månad producerade de 14 fler delar än föregående månad. Hur många delar producerade teamet i november?
Lösning. Uppenbarligen kommer antalet delar listade per månad att representera en ökande aritmetisk progression. Dessutom:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\vänster(n-1 \höger)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November är den 11:e månaden på året, så vi måste hitta $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Därför kommer 202 delar att produceras i november.
Uppgift nr 12. Bokbinderiverkstaden band in 216 böcker i januari och varje efterföljande månad band 4 fler böcker än föregående månad. Hur många böcker band verkstaden i december?
Lösning. Alla likadana:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\vänster(n-1 \höger)\cdot 4. \\ \end(align)$
December är den sista, 12:e månaden på året, så vi letar efter $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Detta är svaret – 260 böcker kommer att bindas in i december.
Tja, om du har läst så här långt, skyndar jag mig att gratulera dig: du har framgångsrikt genomfört "kursen för unga kämpar" i aritmetiska progressioner. Du kan säkert gå vidare till nästa lektion, där vi kommer att studera formeln för summan av progression, såväl som viktiga och mycket användbara konsekvenser av den.
