หน้าที่ 8 จาก 12

§ 7. การเคลื่อนไหวภายใต้ความเร่งสม่ำเสมอ
การเคลื่อนไหวตรง

1. เมื่อใช้กราฟความเร็วเทียบกับเวลา คุณจะได้สูตรสำหรับการกระจัดของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ

รูปที่ 30 แสดงกราฟของการฉายภาพความเร็ว การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอต่อแกน เอ็กซ์จากเวลา หากเราคืนค่าตั้งฉากกับแกนเวลา ณ จุดใดจุดหนึ่ง คแล้วเราจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉาก โอเอบีซี- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้เท่ากับผลคูณของด้านข้าง โอเอและ โอ.ซี.- แต่ความยาวด้านข้าง โอเอเท่ากับ วีเอ็กซ์และความยาวด้าน โอ.ซี. - ที, จากที่นี่ ส = vxt- ผลคูณของการฉายภาพความเร็วบนแกน เอ็กซ์และเวลาจะเท่ากับเส้นโครงของการกระจัด กล่าวคือ สเอ็กซ์ = vxt.

ดังนั้น, การฉายภาพการกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอจะมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยแกนพิกัด กราฟความเร็ว และตั้งฉากกับแกนเวลา

2. เราได้สูตรการประมาณการเคลื่อนที่ของเส้นตรงในลักษณะเดียวกัน การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ- ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้กราฟของการฉายภาพความเร็วบนแกน เอ็กซ์เป็นครั้งคราว (รูปที่ 31) เรามาเลือกพื้นที่เล็กๆ บนกราฟกัน เกี่ยวกับและวางตั้งฉากออกจากจุด กและ ขบนแกนเวลา ถ้าช่วงเวลา D ทีสอดคล้องกับเว็บไซต์ ซีดีบนแกนเวลามีขนาดเล็ก เราก็สรุปได้ว่าความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลานี้และร่างกายจะเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ ในกรณีนี้คือรูป แท็กซี่แตกต่างจากสี่เหลี่ยมเล็กน้อยและพื้นที่ของมันจะเท่ากับตัวเลขของการฉายการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วน ซีดี.

ร่างทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นแถบดังกล่าวได้ โอเอบีซีและพื้นที่ของมันจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของแถบทั้งหมด ดังนั้นการฉายภาพการเคลื่อนไหวของร่างกายเมื่อเวลาผ่านไป ทีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู โอเอบีซี- จากหลักสูตรเรขาคณิตของคุณ คุณรู้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง: ส= (โอเอ + บี.ซี.)โอ.ซี..

ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 31 โอเอ = โวลต์ 0x , บี.ซี. = วีเอ็กซ์, โอ.ซี. = ที- เป็นไปตามที่การประมาณการการกระจัดแสดงโดยสูตร: สเอ็กซ์= (วีเอ็กซ์ + โวลต์ 0x)ที.

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ความเร็วของร่างกาย ณ เวลาใดก็ตามจะเท่ากับ วีเอ็กซ์ = โวลต์ 0x + เอ็กซ์ที, เพราะฉะนั้น, สเอ็กซ์ = (2โวลต์ 0x + เอ็กซ์ที)ที.

จากที่นี่:

เพื่อให้ได้สมการการเคลื่อนที่ของร่างกาย เราจะแทนที่การแสดงออกของมันในแง่ของความแตกต่างในพิกัดลงในสูตรการฉายภาพการกระจัด สเอ็กซ์ = x – x 0 .

เราได้รับ: x – x 0 = โวลต์ 0x ที+ หรือ

x = x 0 + โวลต์ 0x ที + .

เมื่อใช้สมการการเคลื่อนที่ คุณสามารถกำหนดพิกัดของวัตถุได้ตลอดเวลาหากทราบพิกัดเริ่มต้น ความเร็วเริ่มต้น และความเร่งของร่างกาย

3. ในทางปฏิบัติมักมีปัญหาซึ่งจำเป็นต้องค้นหาการกระจัดของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอ แต่ไม่ทราบเวลาของการเคลื่อนที่ ในกรณีเหล่านี้ จะใช้สูตรการฉายแทนที่ที่แตกต่างกัน มารับมันกันเถอะ

จากสูตรการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอ วีเอ็กซ์ = โวลต์ 0x + เอ็กซ์ทีมาแสดงเวลากันเถอะ:

ที = .

เมื่อแทนนิพจน์นี้เป็นสูตรการฉายแทนที่เราจะได้:

สเอ็กซ์ = โวลต์ 0x + .

จากที่นี่:

สเอ็กซ์ = , หรือ
–= 2ก x ส x.

หากความเร็วเริ่มต้นของร่างกายเป็นศูนย์ ดังนั้น:

2ก x ส x.

4. ตัวอย่างการแก้ปัญหา

นักเล่นสกีไถลลงมาจากเนินภูเขาจากสภาวะหยุดนิ่งด้วยความเร่ง 0.5 เมตร/วินาที 2 ใน 20 วินาที แล้วเคลื่อนที่ไปตามส่วนแนวนอน โดยเคลื่อนที่ไป 40 เมตรเพื่อหยุดด้วยความเร็วเท่าใด พื้นผิว? ความลาดชันของภูเขายาวเท่าไร?

ที่ให้ไว้:	สารละลาย
โวลต์ 01 = 0 ก 1 = 0.5 เมตร/วินาที 2 ที 1 = 20 วินาที ส 2 = 40 ม โวลต์ 2 = 0	การเคลื่อนไหวของนักเล่นสกีประกอบด้วยสองขั้นตอน: ในระยะแรก ลงมาจากทางลาดภูเขา นักเล่นสกีจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ในระยะที่สอง เมื่อเคลื่อนที่บนพื้นผิวแนวนอน ความเร็วจะลดลง เราเขียนค่าที่เกี่ยวข้องกับระยะแรกของการเคลื่อนไหวด้วยดัชนี 1 และค่าที่เกี่ยวข้องกับระยะที่สองด้วยดัชนี 2
ก 2? ส 1?

เราเชื่อมต่อระบบอ้างอิงกับโลกซึ่งเป็นแกน เอ็กซ์ให้เรานำทางนักเล่นสกีไปในทิศทางของความเร็วในแต่ละขั้นตอนของการเคลื่อนไหวของเขา (รูปที่ 32)

ลองเขียนสมการความเร็วของนักเล่นสกีเมื่อสิ้นสุดการลงจากภูเขา:

โวลต์ 1 = โวลต์ 01 + ก 1 ที 1 .

ในการฉายภาพลงบนแกน เอ็กซ์เราได้รับ: โวลต์ 1x = ก 1x ที- เนื่องจากการคาดการณ์ความเร็วและความเร่งลงบนแกน เอ็กซ์เป็นบวก โมดูลัสความเร็วของนักเล่นสกีเท่ากับ: โวลต์ 1 = ก 1 ที 1 .

ให้เราเขียนสมการที่เชื่อมโยงการฉายภาพความเร็ว ความเร่ง และการกระจัดของนักเล่นสกีในระยะที่สองของการเคลื่อนไหว:

–= 2ก 2x ส 2x .

เมื่อพิจารณาว่าความเร็วเริ่มต้นของนักเล่นสกีในระยะการเคลื่อนไหวนี้เท่ากับความเร็วสุดท้ายของเขาในระยะแรก

โวลต์ 02 = โวลต์ 1 , โวลต์ 2x= 0 เราได้

– = –2ก 2 ส 2 ; (ก 1 ที 1) 2 = 2ก 2 ส 2 .

จากที่นี่ ก 2 = ;

ก 2 == 0.125 เมตร/วินาที 2 .

โมดูลการเคลื่อนไหวของนักเล่นสกีในระยะแรกของการเคลื่อนไหวจะเท่ากับความยาวของความลาดชันของภูเขา ลองเขียนสมการสำหรับการกระจัด:

ส 1x = โวลต์ 01x ที + .

ดังนั้น ความยาวของความลาดชันของภูเขาคือ ส 1 = ;

ส 1 == 100 ม.

คำตอบ: ก 2 = 0.125 เมตร/วินาที 2 ; ส 1 = 100 ม.

คำถามทดสอบตัวเอง

1. เช่นเดียวกับกราฟของการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอบนแกน เอ็กซ์

2. เช่นเดียวกับกราฟของการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอบนแกน เอ็กซ์กำหนดเส้นโครงการเคลื่อนไหวของร่างกายเป็นครั้งคราวหรือไม่?

3. สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณการฉายภาพการกระจัดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอ

4. สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณการฉายภาพการกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงหากความเร็วเริ่มต้นของร่างกายเป็นศูนย์

ภารกิจที่ 7

1. โมดูลการเคลื่อนที่ของรถใน 2 นาทีเป็นอย่างไร หากในช่วงเวลานี้ความเร็วเปลี่ยนจาก 0 เป็น 72 กม./ชม. พิกัดของรถในขณะนั้นคืออะไร ที= 2 นาที? พิกัดเริ่มต้นถือว่าเท่ากับศูนย์

2. รถไฟเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น 36 กม./ชม. และความเร่ง 0.5 ม./วินาที 2 การกระจัดของรถไฟใน 20 วินาทีและพิกัดของมันในขณะเวลาคืออะไร? ที= 20 วินาที ถ้าพิกัดเริ่มต้นของรถไฟคือ 20 เมตร?

3. ข้อใดคือการเคลื่อนที่ของนักปั่นจักรยานใน 5 วินาทีหลังจากเริ่มเบรก ถ้าความเร็วเริ่มต้นระหว่างเบรกคือ 10 เมตร/วินาที และความเร่งคือ 1.2 เมตร/วินาที พิกัดของนักปั่นจักรยานในขณะนั้นคืออะไร? ที= 5 วินาที ถ้า ณ เวลาแรกเริ่มอยู่ที่จุดกำเนิด?

4. รถยนต์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 54 กม./ชม. หยุดรถเมื่อเบรกเป็นเวลา 15 วินาที โมดูลัสการเคลื่อนที่ของรถขณะเบรกเป็นเท่าใด?

5. รถสองคันกำลังเคลื่อนเข้าหากันจากการตั้งถิ่นฐานสองแห่งซึ่งอยู่ห่างจากกัน 2 กม. ความเร็วเริ่มต้นของรถคันหนึ่งคือ 10 m/s และความเร่งคือ 0.2 m/s 2 ความเร็วเริ่มต้นของรถคันหนึ่งคือ 15 m/s และความเร่งคือ 0.2 m/s 2 กำหนดเวลาและพิกัดสถานที่นัดพบของรถ

งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 1

การศึกษาความเร่งสม่ำเสมอ
การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรง

เป้าหมายของงาน:

เรียนรู้การวัดความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นด้วยความเร่งสม่ำเสมอ เพื่อทดลองสร้างอัตราส่วนของเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอในช่วงเวลาเท่ากันต่อเนื่องกัน

อุปกรณ์และวัสดุ:

ร่องลึก, ขาตั้ง, ลูกบอลโลหะ, นาฬิกาจับเวลา, เทปวัด, กระบอกโลหะ

สั่งงาน

1. ยึดปลายด้านหนึ่งของรางเข้ากับขาขาตั้งกล้องให้ทำมุมเล็กน้อยกับพื้นผิวโต๊ะ วางกระบอกโลหะไว้ที่ปลายอีกด้านของราง

2. วัดเส้นทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ในระยะเวลา 3 ช่วงติดต่อกันเท่ากับช่วงละ 1 วินาที ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี คุณสามารถใส่เครื่องหมายชอล์กบนรางน้ำที่บันทึกตำแหน่งของลูกบอลในเวลาเท่ากับ 1 วินาที, 2 วินาที, 3 วินาที และวัดระยะทาง ส_ระหว่างเครื่องหมายเหล่านี้ คุณสามารถวัดเส้นทางได้โดยการปล่อยลูกบอลจากความสูงเท่ากันในแต่ละครั้ง สเคลื่อนที่โดยลูกบอลก่อนใน 1 วินาที จากนั้นใน 2 วินาที และใน 3 วินาที แล้วคำนวณเส้นทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ในวินาทีที่สองและสาม บันทึกผลการวัดในตารางที่ 1

3. จงหาอัตราส่วนของเส้นทางที่เดินทางในวินาทีที่สองกับเส้นทางที่เดินทางในวินาทีแรก และเส้นทางที่เดินทางในวินาทีที่สามกับเส้นทางที่เดินทางในวินาทีแรก วาดข้อสรุป

4. วัดเวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ไปตามรางและระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ คำนวณความเร่งของการเคลื่อนที่โดยใช้สูตร ส = .

5. ใช้ค่าความเร่งที่ได้รับจากการทดลอง คำนวณระยะทางที่ลูกบอลต้องเคลื่อนที่ในวินาทีแรก วินาที และสามของการเคลื่อนที่ วาดข้อสรุป

ตารางที่ 1

ประสบการณ์ #	ข้อมูลการทดลอง					ผลลัพธ์ทางทฤษฎี
	เวลา ที , กับ	ทางส , ซม	เวลา ต , กับ	เส้นทาง ส, ซม	ความเร่ง a, cm/s2	เวลาที, กับ	ทางส , ซม
1	1		1

ความเร็ว (v) คือปริมาณทางกายภาพ ซึ่งเท่ากับตัวเลขของเส้นทางที่ร่างกายเดินทางต่อหน่วยเวลา (t)

เส้นทาง

เส้นทาง (S) - ความยาวของวิถีที่ร่างกายเคลื่อนที่นั้นมีค่าเท่ากับผลคูณของความเร็ว (v) ของร่างกายและเวลา (t) ของการเคลื่อนไหว

เวลาขับรถ

เวลาในการเคลื่อนที่ (t) เท่ากับอัตราส่วนของระยะทาง (S) ที่ร่างกายเคลื่อนที่ต่อความเร็ว (v) ของการเคลื่อนไหว

ความเร็วเฉลี่ย

ความเร็วเฉลี่ย (vср) เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของส่วนเส้นทาง (s 1 s 2, s 3, ... ) ที่ร่างกายเดินทางต่อช่วงเวลา (t 1 + t 2 + t 3 + . ..) ในระหว่างที่เส้นทางนี้ได้เดินทาง

ความเร็วเฉลี่ย- นี่คืออัตราส่วนของความยาวของเส้นทางที่ร่างกายเดินทางต่อเวลาที่เส้นทางนี้ถูกปกคลุม

ความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง: นี่คืออัตราส่วนของเส้นทางทั้งหมดต่อเวลาทั้งหมด

สองขั้นตอนติดต่อกันด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน: โดยที่

เมื่อแก้ไขปัญหา - จะมีองค์ประกอบมากมายในการเคลื่อนไหวกี่ขั้นตอน:

เส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดบนแกนพิกัด

การฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดบนแกน OX:

การฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดบนแกน OY:

เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นศูนย์หากเวกเตอร์ตั้งฉากกับแกน

สัญญาณของการฉายภาพการกระจัด: การฉายภาพจะถือเป็นค่าบวกหากการเคลื่อนที่จากการฉายภาพของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปจนถึงการฉายภาพจุดสิ้นสุดเกิดขึ้นในทิศทางของแกน และเป็นค่าลบหากเคลื่อนไปทางแกน ในตัวอย่างนี้

โมดูลการเคลื่อนไหวคือความยาวของเวกเตอร์การกระจัด:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

การฉายภาพการเคลื่อนไหวและมุมเอียง

ในตัวอย่างนี้:

สมการพิกัด (ในรูปแบบทั่วไป):

เวกเตอร์รัศมี- เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นตรงกับที่มาของพิกัด และจุดสิ้นสุดด้วยตำแหน่งของร่างกาย ณ เวลาที่กำหนด เส้นโครงของเวกเตอร์รัศมีบนแกนพิกัดจะกำหนดพิกัดของร่างกายในเวลาที่กำหนด

เวกเตอร์รัศมีช่วยให้คุณระบุตำแหน่งของจุดวัสดุในตำแหน่งที่กำหนดได้ ระบบอ้างอิง:

การเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ - คำจำกัดความ

การเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ- การเคลื่อนไหวที่ร่างกายมีการเคลื่อนไหวเท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน

ความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ- ความเร็วคือปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่แสดงการเคลื่อนไหวของร่างกายต่อหน่วยเวลา

ในรูปแบบเวกเตอร์:

ในการฉายภาพบนแกน OX:

หน่วยความเร็วเพิ่มเติม:

1 กม./ชม. = 1,000 ม./3600 วิ

1 กม./วินาที = 1,000 เมตร/วินาที

1 ซม./วินาที = 0.01 เมตร/วินาที

1 ม./นาที = 1 ม./60 วินาที

อุปกรณ์ตรวจวัด - มาตรวัดความเร็ว - แสดงโมดูลความเร็ว

เครื่องหมายของการฉายภาพความเร็วขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วและแกนพิกัด:

กราฟฉายความเร็วแสดงถึงการพึ่งพาของการฉายความเร็วตรงเวลา:

กราฟความเร็วสำหรับการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ- เส้นตรงขนานกับแกนเวลา (1, 2, 3)

หากกราฟอยู่เหนือแกนเวลา (.1) วัตถุจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแกน OX หากกราฟอยู่ใต้แกนเวลา ร่างกายจะเคลื่อนที่สวนทางกับแกน OX (2, 3)

ความหมายทางเรขาคณิตของการเคลื่อนไหว

ด้วยการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ การกระจัดจะถูกกำหนดโดยสูตร เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากเราคำนวณพื้นที่ของรูปใต้กราฟความเร็วในแกน ซึ่งหมายความว่าในการกำหนดเส้นทางและโมดูลัสของการกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปใต้กราฟความเร็วในแกน:

กราฟการฉายการกระจัด- การพึ่งพาการฉายการกระจัดตรงเวลา

กราฟแสดงการกระจัดที่ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ- เส้นตรงที่มาจากจุดกำเนิดของพิกัด (1, 2, 3)

หากเส้นตรง (1) อยู่เหนือแกนเวลา วัตถุจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแกน OX และหากอยู่ใต้แกน (2, 3) วัตถุก็จะเคลื่อนที่ไปตามแนวแกน OX

ยิ่งค่าแทนเจนต์ของความชัน (1) ของกราฟมากเท่าใด โมดูลความเร็วก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

พิกัดกราฟ- การพึ่งพาพิกัดของร่างกายตรงเวลา:

กราฟพิกัดสำหรับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ - เส้นตรง (1, 2, 3)

หากพิกัดเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป (1, 2) ร่างกายจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแกน OX หากพิกัดลดลง (3) ร่างกายจะเคลื่อนที่ทวนทิศทางของแกน OX

ยิ่งค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง (1) มากเท่าใด โมดูลความเร็วก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

หากกราฟพิกัดของวัตถุทั้งสองตัดกัน ควรลดระดับตั้งฉากจากจุดตัดกันลงบนแกนเวลาและแกนพิกัด

ทฤษฎีสัมพัทธภาพของการเคลื่อนที่ทางกล

โดยทฤษฎีสัมพัทธภาพ เราเข้าใจถึงการพึ่งพาบางสิ่งบางอย่างในการเลือกกรอบอ้างอิง ตัวอย่างเช่น สันติภาพเป็นสิ่งที่สัมพันธ์กัน การเคลื่อนไหวสัมพันธ์กันและตำแหน่งของร่างกายสัมพันธ์กัน

กฎสำหรับการเพิ่มการกระจัดผลรวมเวกเตอร์ของการกระจัด

การเคลื่อนไหวของร่างกายสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงการเคลื่อนที่ (MSF) อยู่ที่ไหน - การเคลื่อนไหวของ PSO ที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงคงที่ (FRS) - การเคลื่อนไหวของร่างกายสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงคงที่ (FFR)

การเพิ่มเวกเตอร์:

การบวกเวกเตอร์กำกับตามเส้นตรงเส้นเดียว:

การบวกเวกเตอร์ตั้งฉากกัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ขอให้เราได้สูตรที่คุณสามารถคำนวณการฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอในช่วงเวลาใดก็ได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เราหันไปที่รูปที่ 14 ทั้งในรูปที่ 14, a และในรูปที่ 14, b ส่วน AC คือกราฟของการฉายเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ a (ที่ความเร็วเริ่มต้น โวลต์ 0)

ข้าว. 14. เส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอจะมีค่าเท่ากับพื้นที่ S ใต้กราฟ

ให้เราระลึกว่าในกรณีของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของวัตถุเป็นเส้นตรง การฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดที่สร้างขึ้นโดยวัตถุนี้จะถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบใต้กราฟของการฉายภาพเวกเตอร์ความเร็ว (ดูรูปที่ 6) ดังนั้นการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดจึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้

ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเป็นเส้นตรง การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด s x สามารถกำหนดได้ด้วยสูตรเดียวกันกับพื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างกราฟ AC, แกน Ot และส่วน OA และ BC เช่นในกรณีนี้ เส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดจะเท่ากับตัวเลขของพื้นที่ของรูปใต้กราฟความเร็ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ บนแกน Ot (ดูรูปที่ 14, a) เราเลือกช่วงเวลาขนาดเล็ก db จากจุด d และ b เราวาดตั้งฉากกับแกน Ot จนกระทั่งพวกมันตัดกับกราฟของการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วที่จุด a และ c

ดังนั้น ในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับเซ็กเมนต์ db ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนจาก v ax เป็น v cx

ในช่วงเวลาสั้นๆ เส้นโครงของเวกเตอร์ความเร็วจะเปลี่ยนไปเล็กน้อยมาก ดังนั้นการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลานี้จึงแตกต่างจากการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอเล็กน้อยนั่นคือจากการเคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่

พื้นที่ทั้งหมดของรูป OASV ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถแบ่งออกเป็นแถบดังกล่าวได้ ดังนั้น การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด sx สำหรับช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วน OB จะเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมู OASV และถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกันกับพื้นที่นี้

ตามกฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้ใน หลักสูตรของโรงเรียนรูปทรงเรขาคณิต พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง จากรูปที่ 14 b ชัดเจนว่าฐานของ OASV สี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วน OA = v 0x และ BC = v x และความสูงคือส่วน OB = t เพราะฉะนั้น,

เนื่องจาก v x = v 0x + a x t, a S = s x เราสามารถเขียนได้ว่า:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับคำนวณการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ

เมื่อใช้สูตรเดียวกัน เส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดจะถูกคำนวณเมื่อร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วลดลง เฉพาะในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร็วและความเร่งจะถูกนำไปในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นเส้นโครงจึงมีสัญญาณที่แตกต่างกัน

คำถาม

1. ใช้รูปที่ 14, a พิสูจน์ว่าการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูป OASV
2. เขียนสมการเพื่อหาเส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเป็นเส้นตรง

แบบฝึกหัดที่ 7

หน้าที่ 8 จาก 12

§ 7. การเคลื่อนไหวภายใต้ความเร่งสม่ำเสมอ
การเคลื่อนไหวตรง

1. เมื่อใช้กราฟความเร็วเทียบกับเวลา คุณจะได้สูตรสำหรับการกระจัดของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ

รูปที่ 30 แสดงกราฟการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอบนแกน เอ็กซ์จากเวลา หากเราคืนค่าตั้งฉากกับแกนเวลา ณ จุดใดจุดหนึ่ง คแล้วเราจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉาก โอเอบีซี- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้เท่ากับผลคูณของด้านข้าง โอเอและ โอ.ซี.- แต่ความยาวด้านข้าง โอเอเท่ากับ วีเอ็กซ์และความยาวด้าน โอ.ซี. - ที, จากที่นี่ ส = vxt- ผลคูณของการฉายภาพความเร็วบนแกน เอ็กซ์และเวลาจะเท่ากับเส้นโครงของการกระจัด กล่าวคือ สเอ็กซ์ = vxt.

ดังนั้น, การฉายภาพการกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอจะมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยแกนพิกัด กราฟความเร็ว และตั้งฉากกับแกนเวลา

2. เราได้สูตรสำหรับการฉายภาพการกระจัดในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงในลักษณะเดียวกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้กราฟของการฉายภาพความเร็วบนแกน เอ็กซ์เป็นครั้งคราว (รูปที่ 31) เรามาเลือกพื้นที่เล็กๆ บนกราฟกัน เกี่ยวกับและวางตั้งฉากออกจากจุด กและ ขบนแกนเวลา ถ้าช่วงเวลา D ทีสอดคล้องกับเว็บไซต์ ซีดีบนแกนเวลามีขนาดเล็ก เราก็สรุปได้ว่าความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลานี้และร่างกายจะเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ ในกรณีนี้คือรูป แท็กซี่แตกต่างจากสี่เหลี่ยมเล็กน้อยและพื้นที่ของมันจะเท่ากับตัวเลขของการฉายการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วน ซีดี.

ร่างทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นแถบดังกล่าวได้ โอเอบีซีและพื้นที่ของมันจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของแถบทั้งหมด ดังนั้นการฉายภาพการเคลื่อนไหวของร่างกายเมื่อเวลาผ่านไป ทีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู โอเอบีซี- จากหลักสูตรเรขาคณิตของคุณ คุณรู้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง: ส= (โอเอ + บี.ซี.)โอ.ซี..

ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 31 โอเอ = โวลต์ 0x , บี.ซี. = วีเอ็กซ์, โอ.ซี. = ที- เป็นไปตามที่การประมาณการการกระจัดแสดงโดยสูตร: สเอ็กซ์= (วีเอ็กซ์ + โวลต์ 0x)ที.

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ความเร็วของร่างกาย ณ เวลาใดก็ตามจะเท่ากับ วีเอ็กซ์ = โวลต์ 0x + เอ็กซ์ที, เพราะฉะนั้น, สเอ็กซ์ = (2โวลต์ 0x + เอ็กซ์ที)ที.

เพื่อให้ได้สมการการเคลื่อนที่ของร่างกาย เราจะแทนที่การแสดงออกของมันในแง่ของความแตกต่างในพิกัดลงในสูตรการฉายภาพการกระจัด สเอ็กซ์ = x – x 0 .

เราได้รับ: x – x 0 = โวลต์ 0x ที+ หรือ

x = x 0 + โวลต์ 0x ที + .

เมื่อใช้สมการการเคลื่อนที่ คุณสามารถกำหนดพิกัดของวัตถุได้ตลอดเวลาหากทราบพิกัดเริ่มต้น ความเร็วเริ่มต้น และความเร่งของร่างกาย

3. ในทางปฏิบัติมักมีปัญหาซึ่งจำเป็นต้องค้นหาการกระจัดของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอ แต่ไม่ทราบเวลาของการเคลื่อนที่ ในกรณีเหล่านี้ จะใช้สูตรการฉายแทนที่ที่แตกต่างกัน มารับมันกันเถอะ

จากสูตรการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอ วีเอ็กซ์ = โวลต์ 0x + เอ็กซ์ทีมาแสดงเวลากัน:

เมื่อแทนนิพจน์นี้เป็นสูตรการฉายแทนที่เราจะได้:

สเอ็กซ์ = โวลต์ 0x + .

สเอ็กซ์ = , หรือ
–= 2ก x ส x.

หากความเร็วเริ่มต้นของร่างกายเป็นศูนย์ ดังนั้น:

2ก x ส x.

4. ตัวอย่างการแก้ปัญหา

นักเล่นสกีไถลลงมาจากเนินภูเขาจากสภาวะหยุดนิ่งด้วยความเร่ง 0.5 เมตร/วินาที 2 ใน 20 วินาที แล้วเคลื่อนที่ไปตามส่วนแนวนอน โดยเคลื่อนที่ไป 40 เมตรเพื่อหยุดด้วยความเร็วเท่าใด พื้นผิว? ความลาดชันของภูเขายาวเท่าไร?

ที่ให้ไว้:
โวลต์ 01 = 0 ก 1 = 0.5 เมตร/วินาที 2 ที 1 = 20 วินาที ส 2 = 40 ม โวลต์ 2 = 0	การเคลื่อนไหวของนักเล่นสกีประกอบด้วยสองขั้นตอน: ในระยะแรก ลงมาจากทางลาดภูเขา นักเล่นสกีจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ในระยะที่สอง เมื่อเคลื่อนที่บนพื้นผิวแนวนอน ความเร็วจะลดลง เราเขียนค่าที่เกี่ยวข้องกับระยะแรกของการเคลื่อนไหวด้วยดัชนี 1 และค่าที่เกี่ยวข้องกับระยะที่สองด้วยดัชนี 2
ก 2? ส 1?

เราเชื่อมต่อระบบอ้างอิงกับโลกซึ่งเป็นแกน เอ็กซ์ให้เรานำทางนักเล่นสกีไปในทิศทางของความเร็วในแต่ละขั้นตอนของการเคลื่อนไหวของเขา (รูปที่ 32)

ลองเขียนสมการความเร็วของนักเล่นสกีเมื่อสิ้นสุดการลงจากภูเขา:

โวลต์ 1 = โวลต์ 01 + ก 1 ที 1 .

ในการฉายภาพลงบนแกน เอ็กซ์เราได้รับ: โวลต์ 1x = ก 1x ที- เนื่องจากการคาดการณ์ความเร็วและความเร่งลงบนแกน เอ็กซ์เป็นบวก โมดูลัสความเร็วของนักเล่นสกีเท่ากับ: โวลต์ 1 = ก 1 ที 1 .

ให้เราเขียนสมการที่เชื่อมโยงการฉายภาพความเร็ว ความเร่ง และการกระจัดของนักเล่นสกีในระยะที่สองของการเคลื่อนไหว:

–= 2ก 2x ส 2x .

เมื่อพิจารณาว่าความเร็วเริ่มต้นของนักเล่นสกีในระยะการเคลื่อนไหวนี้เท่ากับความเร็วสุดท้ายของเขาในระยะแรก

โวลต์ 02 = โวลต์ 1 , โวลต์ 2x= 0 เราได้

– = –2ก 2 ส 2 ; (ก 1 ที 1) 2 = 2ก 2 ส 2 .

จากที่นี่ ก 2 = ;

ก 2 == 0.125 เมตร/วินาที 2 .

โมดูลการเคลื่อนไหวของนักเล่นสกีในระยะแรกของการเคลื่อนไหวจะเท่ากับความยาวของความลาดชันของภูเขา ลองเขียนสมการสำหรับการกระจัด:

ส 1x = โวลต์ 01x ที + .

ดังนั้น ความยาวของความลาดชันของภูเขาคือ ส 1 = ;

ส 1 == 100 ม.

คำตอบ: ก 2 = 0.125 เมตร/วินาที 2 ; ส 1 = 100 ม.

คำถามทดสอบตัวเอง

1. เช่นเดียวกับกราฟของการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอบนแกน เอ็กซ์

2. เช่นเดียวกับกราฟของการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอบนแกน เอ็กซ์กำหนดเส้นโครงการเคลื่อนไหวของร่างกายเป็นครั้งคราวหรือไม่?

3. สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณการฉายภาพการกระจัดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอ

4. สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณการฉายภาพการกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงหากความเร็วเริ่มต้นของร่างกายเป็นศูนย์

ภารกิจที่ 7

1. โมดูลการเคลื่อนที่ของรถใน 2 นาทีเป็นอย่างไร หากในช่วงเวลานี้ความเร็วเปลี่ยนจาก 0 เป็น 72 กม./ชม. พิกัดของรถในขณะนั้นคืออะไร ที= 2 นาที? พิกัดเริ่มต้นถือว่าเท่ากับศูนย์

2. รถไฟเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น 36 กม./ชม. และความเร่ง 0.5 ม./วินาที 2 การกระจัดของรถไฟใน 20 วินาทีและพิกัดของมันในขณะเวลาคืออะไร? ที= 20 วินาที ถ้าพิกัดเริ่มต้นของรถไฟคือ 20 เมตร?

3. ข้อใดคือการเคลื่อนที่ของนักปั่นจักรยานใน 5 วินาทีหลังจากเริ่มเบรก ถ้าความเร็วเริ่มต้นระหว่างเบรกคือ 10 เมตร/วินาที และความเร่งคือ 1.2 เมตร/วินาที พิกัดของนักปั่นจักรยานในขณะนั้นคืออะไร? ที= 5 วินาที ถ้า ณ เวลาแรกเริ่มอยู่ที่จุดกำเนิด?

4. รถยนต์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 54 กม./ชม. หยุดรถเมื่อเบรกเป็นเวลา 15 วินาที โมดูลัสการเคลื่อนที่ของรถขณะเบรกเป็นเท่าใด?

5. รถสองคันกำลังเคลื่อนเข้าหากันจากการตั้งถิ่นฐานสองแห่งซึ่งอยู่ห่างจากกัน 2 กม. ความเร็วเริ่มต้นของรถคันหนึ่งคือ 10 m/s และความเร่งคือ 0.2 m/s 2 ความเร็วเริ่มต้นของรถคันหนึ่งคือ 15 m/s และความเร่งคือ 0.2 m/s 2 กำหนดเวลาและพิกัดสถานที่นัดพบของรถ

งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 1

การศึกษาความเร่งสม่ำเสมอ
การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรง

เป้าหมายของงาน:

เรียนรู้การวัดความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นด้วยความเร่งสม่ำเสมอ เพื่อทดลองสร้างอัตราส่วนของเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอในช่วงเวลาเท่ากันต่อเนื่องกัน

อุปกรณ์และวัสดุ:

ร่องลึก, ขาตั้ง, ลูกบอลโลหะ, นาฬิกาจับเวลา, เทปวัด, กระบอกโลหะ

สั่งงาน

1. ยึดปลายด้านหนึ่งของรางเข้ากับขาขาตั้งกล้องให้ทำมุมเล็กน้อยกับพื้นผิวโต๊ะ วางกระบอกโลหะไว้ที่ปลายอีกด้านของราง

2. วัดเส้นทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ในระยะเวลา 3 ช่วงติดต่อกันเท่ากับช่วงละ 1 วินาที ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี คุณสามารถใส่เครื่องหมายชอล์กบนรางน้ำที่บันทึกตำแหน่งของลูกบอลในเวลาเท่ากับ 1 วินาที, 2 วินาที, 3 วินาที และวัดระยะทาง ส_ระหว่างเครื่องหมายเหล่านี้ คุณสามารถวัดเส้นทางได้โดยการปล่อยลูกบอลจากความสูงเท่ากันในแต่ละครั้ง สเคลื่อนที่โดยลูกบอลก่อนใน 1 วินาที จากนั้นใน 2 วินาที และใน 3 วินาที แล้วคำนวณเส้นทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ในวินาทีที่สองและสาม บันทึกผลการวัดในตารางที่ 1

3. จงหาอัตราส่วนของเส้นทางที่เดินทางในวินาทีที่สองกับเส้นทางที่เดินทางในวินาทีแรก และเส้นทางที่เดินทางในวินาทีที่สามกับเส้นทางที่เดินทางในวินาทีแรก วาดข้อสรุป

4. วัดเวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ไปตามรางและระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ คำนวณความเร่งของการเคลื่อนที่โดยใช้สูตร ส = .

5. ใช้ค่าความเร่งที่ได้รับจากการทดลอง คำนวณระยะทางที่ลูกบอลต้องเคลื่อนที่ในวินาทีแรก วินาที และสามของการเคลื่อนที่ วาดข้อสรุป

ตารางที่ 1

ประสบการณ์ #	ข้อมูลการทดลอง					ผลลัพธ์ทางทฤษฎี
	เวลา ที , กับ	ทางส , ซม	เวลา ต , กับ	เส้นทาง ส, ซม	ความเร่ง a, cm/s2	เวลาที, กับ	ทางส , ซม
1	1		1

การรู้ระยะเบรกจะกำหนดความเร็วเริ่มต้นของรถได้อย่างไร และการรู้ลักษณะการเคลื่อนที่ เช่น ความเร็วเริ่มต้น ความเร่ง เวลา จะกำหนดการเคลื่อนที่ของรถได้อย่างไร เราจะได้คำตอบหลังจากทำความคุ้นเคยกับหัวข้อบทเรียนวันนี้: “การเคลื่อนไหวระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ การพึ่งพาพิกัดตรงเวลาระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ”

ด้วยการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ กราฟจะดูเหมือนเป็นเส้นตรงที่กำลังขึ้นไป เนื่องจากการฉายภาพความเร่งมากกว่าศูนย์

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ พื้นที่ดังกล่าวจะเท่ากับตัวเลขของโมดูลการฉายภาพการเคลื่อนไหวของร่างกาย ปรากฎว่าข้อเท็จจริงนี้สามารถสรุปได้ทั่วไปสำหรับกรณีไม่เพียงแต่การเคลื่อนที่สม่ำเสมอเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงการเคลื่อนไหวใดๆ ด้วย กล่าวคือ สามารถแสดงให้เห็นว่าพื้นที่ใต้กราฟเป็นตัวเลขเท่ากับโมดูลัสของการกระจัดที่ยื่นออกมา สิ่งนี้ทำได้ในเชิงคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด แต่เราจะใช้วิธีแบบกราฟิก

ข้าว. 2. กราฟความเร็วเทียบกับเวลาสำหรับการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งสม่ำเสมอ ()

ขอให้เราแบ่งกราฟของการฉายภาพความเร็วเทียบกับเวลาสำหรับการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอออกเป็นช่วงเวลาเล็กๆ Δt สมมติว่าพวกมันมีขนาดเล็กมากจนความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงตามความยาวของพวกมันนั่นคือเราจะเปลี่ยนกราฟของการพึ่งพาเชิงเส้นในรูปให้เป็นบันไดตามเงื่อนไข ในแต่ละขั้นตอน เราเชื่อว่าความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงเลย ลองจินตนาการว่าเราสร้างช่วงเวลา Δt ให้มีน้อยมาก ในทางคณิตศาสตร์พวกเขากล่าวว่า: เราทำการเปลี่ยนแปลงไปสู่ขีดจำกัด ในกรณีนี้พื้นที่ของบันไดดังกล่าวจะตรงกันอย่างใกล้ชิดกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งถูกจำกัดด้วยกราฟ V x (t) ซึ่งหมายความว่าสำหรับกรณีของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ เราสามารถพูดได้ว่าโมดูลของการฉายการกระจัดนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยกราฟ V x (t): แกนแอบซิสซาและแกนพิกัด และแกนตั้งฉากลดลงถึงแกนแอบซิสซา คือพื้นที่ของ OABC สี่เหลี่ยมคางหมูที่เราเห็นในรูปที่ 2

ปัญหาเปลี่ยนจากปัญหาทางกายภาพเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ - การค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู นี่เป็นสถานการณ์มาตรฐานเมื่อ นักฟิสิกส์พวกเขาสร้างแบบจำลองที่อธิบายปรากฏการณ์นี้หรือปรากฏการณ์นั้น จากนั้นคณิตศาสตร์ก็เข้ามามีบทบาท ซึ่งทำให้แบบจำลองนี้สมบูรณ์ด้วยสมการ กฎ - สิ่งที่เปลี่ยนแบบจำลองให้เป็นทฤษฎี

เราค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู: สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเนื่องจากมุมระหว่างแกนคือ 90 0 เราจึงแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองร่าง - สี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม เห็นได้ชัดว่า พื้นที่ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้ (รูปที่ 3) ลองหาพื้นที่ของพวกเขากัน: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของด้านข้างนั่นคือ V 0x t พื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา - 1/2AD·BD แทนที่ค่าของเส้นโครงที่เราได้รับ: 1/2t·(V x - V 0x) และจดจำกฎของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว เมื่อเวลาผ่านไประหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ: V x (t) = V 0x + a x t ค่อนข้างชัดเจนว่าความแตกต่างในการฉายภาพความเร็วเท่ากับผลคูณของการฉายภาพความเร่ง a x คูณเวลา t นั่นคือ V x - V 0x = ก x เสื้อ

ข้าว. 3. การกำหนดพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ( แหล่งที่มา)

เมื่อคำนึงถึงความจริงที่ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเท่ากับตัวเลขของโมดูลของการฉายแทนที่เราได้รับ:

S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2

เราได้รับกฎการพึ่งพาของการกระจัดตรงเวลาระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในรูปแบบสเกลาร์ ในรูปแบบเวกเตอร์จะมีลักษณะดังนี้:

(t) = เสื้อ + เสื้อ 2/2

ขอให้เราได้สูตรอื่นสำหรับการฉายภาพการกระจัด ซึ่งจะไม่รวมเวลาเป็นตัวแปร มาแก้ระบบสมการโดยกำจัดเวลา:

S x (t) = V 0 x + axt 2/2

V x (t) = V 0 x + a xt

ลองจินตนาการว่าเราไม่ทราบเวลา จากนั้นเราจะแสดงเวลาจากสมการที่สอง:

เสื้อ = Vx - V 0x / ax

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแรก:

มาดูนิพจน์ที่ยุ่งยากนี้ ยกกำลังสองแล้วให้คำที่คล้ายกัน:

เราได้สำนวนที่สะดวกมากสำหรับการฉายภาพการเคลื่อนไหวในกรณีที่เราไม่ทราบเวลาของการเคลื่อนไหว

ให้ความเร็วเริ่มต้นของรถเมื่อเริ่มเบรกเป็น V 0 = 72 กม./ชม. ความเร็วสุดท้าย V = 0 ความเร่ง a = 4 เมตร/วินาที 2 หาความยาวของระยะเบรก เมื่อแปลงกิโลเมตรเป็นเมตรและแทนค่าในสูตรเราจะพบว่าระยะเบรกจะเป็น:

S x = 0 - 400(เมตร/วินาที) 2 / -2 · 4 เมตร/วินาที 2 = 50 ม.

ลองวิเคราะห์สูตรต่อไปนี้:

ส x = (V 0 x + V x) / 2 ตัน

เส้นโครงการกระจัดคือผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นโครงของความเร็วเริ่มต้นและความเร็วสุดท้าย คูณด้วยเวลาที่เคลื่อนที่ ให้เรานึกถึงสูตรการกระจัดของความเร็วเฉลี่ย

S x = V โดย · เสื้อ

ในกรณีที่มีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ความเร็วเฉลี่ยจะเป็นดังนี้:

วี av = (วี 0 + วี k) / 2

เราเข้าใกล้การแก้ปัญหาหลักของกลไกของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอนั่นคือการได้รับกฎตามที่พิกัดเปลี่ยนแปลงตามเวลา:

x(t) = x 0 + V 0 xt + a xt 2 /2

เพื่อเรียนรู้วิธีใช้กฎหมายนี้ เรามาวิเคราะห์ปัญหาทั่วไปกันดีกว่า

รถยนต์ที่เคลื่อนที่จากการหยุดนิ่ง มีความเร่ง 2 m/s 2 ค้นหาระยะทางที่รถเคลื่อนที่ได้ใน 3 วินาทีและในวินาทีที่สาม

ให้ไว้: V 0 x = 0

ให้เราเขียนกฎตามที่การกระจัดเปลี่ยนแปลงตามเวลา

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ: S x = V 0 xt + a xt 2/2 2 วิ

เราสามารถตอบคำถามแรกของปัญหาได้ด้วยการเสียบข้อมูล:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - นี่คือเส้นทางที่เดินทาง

รถ c ใน 3 วินาที

มาดูกันว่าเขาเดินทางได้ไกลแค่ไหนใน 2 วินาที:

S x (2 วินาที) = axt 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

คุณและฉันรู้ว่าภายในสองวินาที รถเดินทางได้ 4 เมตร

เมื่อรู้ระยะทางทั้งสองนี้แล้ว เราก็จะพบเส้นทางที่เขาเดินทางในวินาทีที่สาม:

ส 2x = ส 1x + ส x (2 วิ) = 9 - 4 = 5 (ม.)

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเรียกว่าการเคลื่อนที่โดยเวกเตอร์ความเร่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลงทั้งขนาดและทิศทาง ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวดังกล่าวคือการเคลื่อนที่ของก้อนหินที่ถูกขว้างไปที่มุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า (โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ) ณ จุดใดก็ตามในวิถี ความเร่งของหินจะเท่ากับความเร่งของแรงโน้มถ่วง ดังนั้น การศึกษาการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งสม่ำเสมอจึงลดลงมาเป็นการศึกษาการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งสม่ำเสมอเป็นเส้นตรง ในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เวกเตอร์ความเร็วและความเร่งจะพุ่งไปตามแนวเส้นตรงของการเคลื่อนที่ ดังนั้น ความเร็วและความเร่งในการฉายภาพไปยังทิศทางการเคลื่อนที่จึงถือได้ว่าเป็นปริมาณเชิงพีชคณิต ในการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ความเร็วของร่างกายถูกกำหนดโดยสูตร (1)

ในสูตรนี้คือความเร็วของร่างกายที่ ที = 0 (ความเร็วเริ่มต้น ), = const – ความเร่ง ในการฉายภาพลงบนแกน x ที่เลือก สมการ (1) จะถูกเขียนเป็น: (2) บนกราฟการฉายภาพความเร็ว υ x ( ที) การพึ่งพานี้ดูเหมือนเป็นเส้นตรง

ความเร่งสามารถกำหนดได้จากความชันของกราฟความเร็ว กร่างกาย โครงสร้างที่สอดคล้องกันแสดงไว้ในรูปที่ 1 สำหรับกราฟ I ความเร่งจะเป็นตัวเลขเท่ากับอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี: .

ยิ่งมุม β ที่กราฟความเร็วก่อตัวขึ้นพร้อมกับแกนเวลายิ่งมากขึ้น กล่าวคือ ความชันของกราฟก็จะยิ่งมากขึ้น ( ความชัน) ยิ่งความเร่งของร่างกายมากขึ้น

สำหรับกราฟ I: υ 0 = –2 เมตร/วินาที ก= 1/2 เมตรต่อวินาที 2. สำหรับกำหนดการ II: υ 0 = 3 เมตร/วินาที ก= –1/3 เมตร/วินาที 2 .

กราฟความเร็วยังช่วยให้คุณกำหนดเส้นโครงของการกระจัดของร่างกายในช่วงเวลาหนึ่งได้ t ให้เราเน้นช่วงเวลาเล็กๆ Δt บนแกนเวลา หากช่วงเวลานี้สั้นพอการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่วงเวลานี้มีน้อย กล่าวคือ การเคลื่อนไหวในช่วงเวลานี้ถือว่าสม่ำเสมอกับบางส่วน ความเร็วเฉลี่ยซึ่งเท่ากับความเร็วขณะนั้น υ ของร่างกายที่อยู่ตรงกลางของช่วง Δt ดังนั้น การกระจัด Δs ในช่วงเวลา Δt จะเท่ากับ Δs = υΔt การเคลื่อนไหวนี้จะเท่ากับพื้นที่แรเงาในรูป ลายทาง ด้วยการหารช่วงเวลาจาก 0 ถึงช่วงเวลาหนึ่ง t เป็นระยะเล็ก ๆ Δt เราจะได้ว่าการกระจัด s สำหรับเวลาที่กำหนด t โดยมีการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอนั้นเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ODEF โครงสร้างที่สอดคล้องกันแสดงไว้ในรูปที่ 1 สำหรับกำหนดการ II เวลา t ถือเป็น 5.5 วินาที

(3) – สูตรผลลัพธ์ทำให้คุณสามารถระบุการกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ หากไม่ทราบความเร่ง

ถ้าเราแทนที่นิพจน์ด้วยความเร็ว (2) ลงในสมการ (3) เราจะได้ (4) - สูตรนี้ใช้สำหรับเขียนสมการการเคลื่อนที่ของร่างกาย: (5)

หากเราแสดงเวลาของการเคลื่อนไหว (6) จากสมการ (2) และแทนที่มันให้เป็นความเท่าเทียมกัน (3) แล้ว

สูตรนี้ช่วยให้คุณกำหนดการเคลื่อนไหวโดยไม่ทราบเวลาการเคลื่อนไหว

ลองพิจารณาว่าการฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอนั้นคำนวณอย่างไรหากความเร็วเริ่มต้น v 0 เป็นศูนย์ ในกรณีนี้คือสมการ

จะมีลักษณะเช่นนี้:

ลองเขียนสมการนี้ใหม่โดยแทนที่มันแทนการฉายภาพ s x และ a x โมดูลของ s และเวกเตอร์

การเคลื่อนไหวและการเร่งความเร็ว เนื่องจากในกรณีนี้เวกเตอร์ sua มีทิศทางไปในทิศทางเดียวกัน เส้นโครงจึงมีสัญญาณเหมือนกัน ดังนั้นจึงสามารถเขียนสมการของโมดูลัสของเวกเตอร์ได้:

จากสูตรนี้เป็นไปตามว่าในกรณีของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ขนาดของเวกเตอร์การกระจัดจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสองของช่วงเวลาที่เกิดการกระจัดนี้ ซึ่งหมายความว่าเมื่อเวลาของการเคลื่อนไหว (นับจากช่วงเวลาที่การเคลื่อนไหวเริ่มต้น) เพิ่มขึ้น n เท่า การกระจัดจะเพิ่มขึ้น n 2 เท่า

ตัวอย่างเช่นหากในช่วงเวลาที่กำหนด t 1 จากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวร่างกายได้เคลื่อนไหว

จากนั้นในช่วงเวลา t 2 = 2t 1 (นับจากช่วงเวลาเดียวกันกับ t 1) มันจะเคลื่อนที่

ในช่วงเวลาหนึ่ง t n = nt l - การเคลื่อนไหว s n = n 2 s l (โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ)

การพึ่งพาโมดูลัสเวกเตอร์การกระจัดตรงเวลาสำหรับการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้นนี้สะท้อนให้เห็นอย่างชัดเจนในรูปที่ 15 โดยที่ส่วน OA, OB, OS, OD และ OE เป็นตัวแทนของโมดูลัสเวกเตอร์การกระจัด (s 1, s 2, s 3, s 4 และ s 5) ดำเนินการโดยร่างกายตามลำดับในช่วงเวลา t 1, t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 และ t 5 = 5t 1

ข้าว. 15. ความสม่ำเสมอของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ: OA:OV:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; โอเอ:AB:BC:ซีดี:DE = 1:3:5:7:9

จากรูปนี้เห็นได้ชัดเจนว่า

โอเอ:OV:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

กล่าวคือ ด้วยการเพิ่มช่วงเวลานับจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวด้วยจำนวนเต็มครั้งเมื่อเปรียบเทียบกับ t 1 โมดูลของเวกเตอร์การกระจัดที่สอดคล้องกันจะเพิ่มขึ้นเป็นชุดของกำลังสองของจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องกัน

จากรูปที่ 15 มีรูปแบบอื่นที่มองเห็นได้:

โอเอ:AB:BC:ซีดี:DE = 1:3:5:7:9, (2)

กล่าวคือ โมดูลของเวกเตอร์ของการกระจัดที่ทำโดยวัตถุในช่วงเวลาเท่ากันต่อเนื่องกัน (แต่ละโมดูลมีค่าเท่ากับ t 1) สัมพันธ์กันเป็นชุดของเลขคี่ที่ต่อเนื่องกัน

ความสม่ำเสมอ (1) และ (2) มีอยู่ในการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งสม่ำเสมอเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถนำมาใช้ได้หากจำเป็นเพื่อพิจารณาว่าการเคลื่อนไหวมีความเร่งสม่ำเสมอหรือไม่

ตัวอย่างเช่น ให้เราพิจารณาว่าการเคลื่อนที่ของหอยทากมีความเร่งสม่ำเสมอหรือไม่ ในช่วง 20 วินาทีแรกของการเคลื่อนไหว หอยทากจะเคลื่อนที่ไป 0.5 ซม. ในช่วง 20 วินาทีที่สอง 1.5 ซม. และในช่วง 20 วินาทีที่สาม 2.5 ซม.

ในการทำเช่นนี้ เรามาดูกันว่าการเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่สองและสามนั้นมากกว่าในช่วงแรกกี่ครั้ง:

ซึ่งหมายความว่า 0.5 ซม.: 1.5 ซม.: 2.5 ซม. = 1: 3: 5 เนื่องจากอัตราส่วนเหล่านี้แสดงถึงชุดของเลขคี่ที่ต่อเนื่องกัน การเคลื่อนไหวของร่างกายจึงมีความเร่งสม่ำเสมอ

ในกรณีนี้ ธรรมชาติของการเคลื่อนไหวที่มีความเร่งสม่ำเสมอจะถูกระบุบนพื้นฐานของความสม่ำเสมอ (2)

คำถาม

1. สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณเส้นโครงและขนาดของเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสภาวะนิ่ง
2. โมดูลของเวกเตอร์การกระจัดของร่างกายจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งเมื่อเวลาของการเคลื่อนที่จากส่วนที่เหลือเพิ่มขึ้น n เท่า
3. เขียนว่าโมดูลของเวกเตอร์การกระจัดของร่างกายที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสถานะพักมีความสัมพันธ์กันอย่างไรเมื่อเวลาของการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนจำนวนเต็มเมื่อเทียบกับ เสื้อ 1 .
4. เขียนว่าโมดูลของเวกเตอร์ของการกระจัดที่สร้างขึ้นโดยวัตถุในช่วงเวลาเท่ากันติดต่อกันมีความสัมพันธ์กันอย่างไรหากร่างกายนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสภาวะพัก
5. เราสามารถใช้รูปแบบ (1) และ (2) เพื่อจุดประสงค์อะไร?

แบบฝึกหัดที่ 8

1. ในช่วง 20 วินาทีแรก รถไฟที่ออกจากสถานีจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ เป็นที่ทราบกันดีว่าในวินาทีที่สามจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ รถไฟเดินทางได้ 2 เมตร จงหาขนาดของเวกเตอร์การกระจัดที่รถไฟสร้างขึ้นในวินาทีแรก และขนาดของเวกเตอร์ความเร่งที่รถไฟเคลื่อนที่
2. รถยนต์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสภาวะหยุดนิ่ง จะเคลื่อนที่ได้ 6.3 เมตรในช่วงวินาทีที่ห้าของการเร่งความเร็ว เมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ห้านับจากเริ่มเคลื่อนที่
3. วัตถุบางอย่างเคลื่อนที่ 2 มม. ใน 0.03 วินาทีแรกของการเคลื่อนไหวโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น, 8 มม. ใน 0.06 วินาทีแรก และ 18 มม. ใน 0.09 วินาทีแรก จากความสม่ำเสมอ (1) ให้พิสูจน์ว่าตลอด 0.09 วินาที ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ

คำถาม.

1. สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณเส้นโครงและขนาดของเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสภาวะนิ่ง

2. โมดูลของเวกเตอร์การกระจัดของร่างกายจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งเมื่อเวลาการเคลื่อนที่จากการพักผ่อนเพิ่มขึ้น n เท่า

3. เขียนว่าโมดูลของเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสภาวะพักนั้นสัมพันธ์กันอย่างไรเมื่อเวลาของการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนจำนวนเต็มเมื่อเทียบกับ t 1

4. เขียนว่าโมดูลของเวกเตอร์ของการกระจัดที่สร้างขึ้นโดยร่างกายในช่วงเวลาเท่ากันต่อเนื่องกันมีความสัมพันธ์กันอย่างไรหากร่างกายนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากสภาวะพัก

5. สามารถใช้กฎหมาย (3) และ (4) เพื่อจุดประสงค์อะไรได้บ้าง?

ความสม่ำเสมอ (3) และ (4) ใช้เพื่อกำหนดว่าการเคลื่อนที่มีความเร่งสม่ำเสมอหรือไม่ (ดูหน้า 33)

การออกกำลังกาย.

1. รถไฟที่ออกจากสถานีจะเคลื่อนที่ในแนวตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอในช่วง 20 วินาทีแรก เป็นที่ทราบกันดีว่าในวินาทีที่สามจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ รถไฟเดินทางได้ 2 เมตร กำหนดขนาดของเวกเตอร์การกระจัดที่ทำโดยรถไฟในวินาทีแรกและขนาดของเวกเตอร์ความเร่งที่รถไฟเคลื่อนที่