Як ви можете пам'ятати з шкільної програмипо геометрії, трикутник - це фігура, утворена з трьох відрізків, що з'єднуються трьома точками, що не лежать на одній прямій. Трикутник утворює три кути, звідси і назва фігури. Визначення може бути іншим. Трикутник можна також назвати багатокутником з трьома кутами, відповідь буде так само вірною. Трикутники діляться за кількістю рівних сторін та за величиною кутів у фігурах. Так виділяють такі трикутники, як рівнобедрений, рівносторонній і різнобічний, а також прямокутний, гострокутний і тупокутний, відповідно.
Формул обчислення площі трикутника дуже багато. Вибирати, як знайти площу трикутника, тобто. якою формулою скористатися, лише вам. Але варто відзначити лише деякі позначення, які використовуються в багатьох формулах обчислення площі трикутника. Отже, запам'ятовуйте:
S – це площа трикутника,
a, b, c – це сторони трикутника,
h – це висота трикутника,
R – це радіус описаного кола,
p – це напівпериметр.
Ось основні позначення, які можуть стати вам у нагоді, якщо ви абсолютно забули курс геометрії. Нижче будуть наведені найбільш зрозумілі та нескладні варіанти обчислення невідомої та загадкової площі трикутника. Це не складно і знадобиться як вам у домашніх потребах, так і для допомоги своїм дітям. Згадаймо, як обчислити площу трикутника простіше простого:
У нашому випадку площа трикутника дорівнює: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. Пам'ятайте, що площа вимірюється квадратних сантиметрах (кв.см.).
Прямокутний трикутник та його площа.
Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут дорівнює 90 градусів (тому називається прямим). Прямий кут утворюють дві перпендикулярні лінії (у випадку з трикутником – два перпендикулярні відрізки). У прямокутному трикутнику прямий кут може лише один, т.к. сума всіх кутів одного будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів. Виходить, що 2 інших кута повинні ділити між собою 90 градусів, що залишилися, наприклад 70 і 20, 45 і 45 і т.д. Отже, основне ви згадали, залишилося дізнатися, як знайти площу прямокутного трикутника. Уявимо, що перед нами такий прямокутний трикутник, і нам необхідно знайти його площу S.
1. Найпростіший спосіб визначення площі прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:
У нашому випадку площа прямокутного трикутника дорівнює: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.
У принципі, більше не потрібно вивіряння площі трикутника іншими методами, т.к. у побуті знадобиться і допоможе лише цей. Але існують і варіанти виміру площі трикутника через гострі кути.
2. Для інших способів обчислення необхідно мати таблицю косінусів, синусів та тангенсів. Поміркуйте самі, ось які варіанти обчислення площ прямокутного трикутника ще можна використовувати:
Ми вирішили скористатися першою формулою і з невеликими помарками (креслили в блокноті та використовували стару лінійку та транспортир), але у нас вийшов правильний розрахунок:
S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). У нас вийшли такі результати 3,6 = 3,7, але з урахуванням зсуву клітин цей нюанс нам можна пробачити.
Рівностегновий трикутник та його площа.
Якщо перед вами стоїть завдання обчислити формулу рівнобедреного трикутника, то найпростіше скористатися головною і як вважається класичною формулою площі трикутника.
Але для початку перед тим, як знайти площу рівнобедреного трикутника, дізнаємося, що це за фігура така. Рівностегновим трикутником називається трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. Ці дві сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. Не плутайте рівнобедрений трикутник із рівностороннім, тобто. правильним трикутником, у якого всі три сторони рівні. У такому трикутнику немає особливих тенденцій до кутів, точніше до їхньої величини. Однак кути в основі в рівнобедреному трикутнику рівні, але відрізняються від кута між рівними сторонами. Отже, першу і головну формулу ви вже знаєте, залишилося дізнатися, які формули визначення площі рівнобедреного трикутника відомі.
Ціль:
- Сформувати концепцію площі трикутника.
- Вивести формулу S трикутника.
- Повторити основні математичні поняття (катети, гіпотенуза, висота…)
- Тренувати навички швидкого рахунку
- Розвиток розумових операцій: (аналіз, синтез, порівняння, узагальнення)
Хід уроку
Iетап: Самовизначення до діяльності.
У нас сьогодні велика кількість гостей, привітаємось із ними. (Діти вітаються та сідають).
Як думаєте, яка кількість гостей є на нашому уроці? (Діти крім відповідають і дають зразковий результат).
1/6 частина всього кіл-ва, це вчителі нашої школи. Скільки їх?
Що ми зараз робили? (вважали гостей).
Чи завжди ваші відповіді були точними? (Ні).
Чи використовуємо цей прийом на уроках? (Так).
У яких ситуаціях? (Брак часу, немає іншого способу дії).
Але математика наука точна, ще давній філософ Платон говорив: "Математика наближає розум до істини". А отже відповіді все ж таки мають бути вірними.
А от сучасний вислівкаже: «Математику вивчити не можна…».
Ви погоджуєтесь з цим твердженням? (Ні, тоді що ми на уроках робимо?)
Справа в тому, що у цієї фрази є продовження, яке вносить інший зміст, але який і яке ж у фрази продовження ми дізнаємося в кінці уроку.
IIетап: Актуалізація знань та фіксація утруднення в діяльності.
- Швидкий рахунок. (Кінцеву відповідь ланцюжка прикладів діти фіксують на планшеті).
- Увага на екрані. Яке із слів може бути зайвим і чому?
(Погода, тому що не має до математики відношення).
Але й не всі слова, що залишилися, матимуть відношення до сьогоднішнього уроку математики. Визначити коло ключових слівуроку нам допоможе арифметичний диктант.
Арифметичний диктант:(1 за дошкою, інші працюють у зошиті)
Третя частина 18 6, 15, 7, 70, 24
1% числа 700
1/6 частина числа це 4, знайди все число
(Перевірка числового ряду, на екрані зникають зайві слова та числа).
Що об'єднує числа, що залишилися? (цілі, натуральні).
Які дві групи можна розбити? (Діти пропонують варіанти).
А ось слова, що залишилися, об'єднані темою сьогоднішнього уроку. Щоб нам її сформулювати якомога точніше, давайте згадаємо основні математичні поняття та пограємо у математичне лото.
(Дітям пропонуються картки двох кольорів, запитання та відповіді).
Підставою трикутника називається |
Сторона, на яку опущено перпендикуляр |
Сторона трикутника, що лежить проти прямого кута, називається... |
гіпотенузою |
Площа… |
Це місце, яке фігура займає на площині |
Це рівність, що встановлює взаємозв'язок між величинами |
|
Тупокутним називається трикутник, у якого |
Один з кутів тупий |
Сторони трикутника, що утворюють прямий кут, називаються |
катетами |
Перпендикулярні лінії це |
Лінії, які при перетині утворюють прямий кут |
Висота трикутника |
Перпендикуляр, опущений із будь-якої вершини на протилежний бік |
Гострокутним називають трикутник |
У якого всі кути гострі |
Залежно від довжини сторін трикутники бувають |
Рівносторонні, різнобічні, рівнобедрені |
Прямокутним називають трикутник, у якого |
Один з кутів прямий |
Щоб знайти площу прямокутника, треба |
Довжину помножити на ширину |
Пропоную пограти ще в одну гру, яку придумали китайці, які завжди славилися хорошими математиками. Вона називається "Танграм".
Суть її полягає у збиранні фігур із дрібніших геометричних фігур. Працюватимемо в парах. Відкрийте конверт №1 та викладіть усі фігури перед собою. Перерахуйте все, що перед вами. (4 маленькі і 2 великі прямокутні трикутники різного кольору).
Зберіть із усіх фігур:
1 ряд – квадрат
2 ряд – прямокутник
3 ряд – трикутник
(Практична робота у парах, перевірка побудов за допомогою комп'ютера).
Що об'єднує всі фігури, що вийшли? (багатокутники, складаються з рівної кількості фігур).
Порівняйте їх за площею. (Рівні, тому що складаються з однакових частин).
Як називаються такі постаті? (Рівновеликі).
Чи можете ви стверджувати, що ці фігури також рівновеликі? (Ні, інша ситуація, інший означає спосіб дії).
Використовуєте свої знання і порівняйте фігури по площі).
(Діти легко за формулою знаходять S квадрата і прямокутника, але виникає проблема під час роботи з трикутником).
IIIЕтап: Постановка проблеми, формулювання теми уроку.
Чому виникла скрута? (Не знаємо, як знайти S трикутника, можемо тільки знайти неточний результат).
Отже, яка мета сьогоднішнього уроку? (Навчитися знаходити S трикутника).
На основі поставленої мети та ключових слів уроку, спробуйте якнайточніше сформулювати тему сьогоднішнього уроку.
(S прямокутного трикутника).
IVетап: Проектування та фіксація нового знання.
Розкажіть все про трикутник, який перед вами. (Прямокутний, різнобічний).
У групах спробуйте знайти спосіб знаходження прямокутного трикутника S, створити формулу і прокоментувати свої дії.
(Результати вивішуються на дошку, у голосній промові промовляється спосіб дії).
Що таке сторони а і в ? (Катети).
Сформулюйте свої висновки у знаковій та словесній формі.
S = (а в) : 2 , Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів).
Звіримо своє формулювання із запропонованим у підручнику (стор. 95).
Площу якого трикутника ми знаходили? (Прямокутного).
А для інших трикутників ця формула буде правильною? (Ні, тому що немає катетів).
Тоді давайте складемо алгоритм наших дій.
Алгоритм.
- Виділили прямий кут
- Виміряй довжину катетів
- Знайди S за формулою.
VЕтап: Первинне закріплення у зовнішній промові.
Виконується в парах завдання підручника (стор. 95 № 5).
VIетап: Самостійна роботаіз самоперевіркою.
Порівняйте постаті за площею.
(З'являються в зошитах запису:
S = (4 * 3): 2 = 6 кв.см
S = (2 * 6): 2 = 6 кв.см
S = S
VIIЕтап: Включення в систему знань та повторення.
Повернемося до завдання, що спричинило скруту. Виконайте розрахунки в зошиті та порівняйте площі даних фігур.
S = 2 * 2 = 4 кв.см
S = 1 * 3 = 3 кв.см
S = (3 * 2): 2 = 3 кв.см
Що можете сказати про S прямокутника та трикутника? (Вона однакова, отже фігури рівновеликі).
Що ви можете сказати про цей трикутник?
(Різносторонній, тупокутний).
Чи можемо ми скористатися нашим алгоритмом для знаходження його площі?
(Ні, тому що має бути трикутник прямокутним).
А чи не можна за допомогою побудов зробити з цього трикутника два прямокутні?
(Можна, треба провести висоту).
Чому дорівнюватиме площа всього трикутника?
(Сумі S двох прямокутних трикутників, їх S ми вміємо знаходити).
S = (а *h): 2
S = (а *h): 2
S = ((а + а) *h): 2
(а + а)-підстава, значить
S= (а * в): 2,де а
- катет основа; в
- Катет висота
- Давайте доповнимо алгоритм.
Алгоритм.
VIIЕтап: Рефлексія діяльності.
Якою була мета уроку?
Чи вдалося нам її виконати?
А тепер дізнаємося про закінчення фрази «Математику не можна вивчити, спостерігаючи як це робить сусід».
Ви погоджуєтесь з цим твердженням. (так, на уроці ми робили все самі, а не лише спостерігали)
Що на уроці було головним, а що цікавим?
Д/З:(На вибір). - Знайди S фігур і порівняй фігури по S.
(Завдання в конвертах, на основі демонстрації діти обирають необхідне для себе, визначивши рівень розуміння теми даному етапіі беруть завдання з конверту)
Площі трикутників.
Для того щоб допомогти своїй дитині з уроками, батьки повинні самі знати безліч речей. Як знайти площу рівнобедреного трикутника, чим причетний оборот відрізняється від дієприслівника, що таке прискорення вільного падіння?
Математика Урок 8 Площа трикутника
З будь-яким з цих питань у ваших сина або дочки можуть виникнути проблеми, і вони безпосередньо до вас звернуться за роз'ясненнями. Щоб не впасти обличчям у бруду і підтримати свій вагу в дитячих очах, варто освіжити в пам'яті деякі елементи шкільної програми.
Візьмемо для прикладу питання про рівнобедрений трикутник. Геометрія в школі багатьом важко дається, а після школи швидше за всіх забувається.
Але коли ваші малюки підуть у 8 класдоведеться згадати формули, що стосуються геометричних фігур. Рівностегновий трикутник — одна з звичайнісіньких фігур у плані знаходження її характеристик.
Почнемо з роз'яснення ухвал.
Якщо все, що ви колись вчили про трикутники, забуто, давайте згадувати. Рівностегновим називається такий трикутник, у якого дві сторони мають схожу довжину. Ці рівні між собою ребра називаються бічними сторонами рівнобедреного трикутника. 3-я сторона - його підстава.
Існує такий випадок, у якому рівні між собою все 3 стороны. Він називається рівностороннього трикутника. На нього поширюються всі формули, що використовуються до рівнобедреного, і в разі потреби будь-яку з його сторін можна назвати основою.
Для знаходження площі нам знадобиться поділити основу навпіл. Рівна, опущена до придбаної точки з верхівки, що з'єднує бічні сторони, перетне основу під прямим кутом.
Така вже властивість подібних трикутників: медіана, тобто рівна від верхівки до середини зворотної сторони, в рівнобедреному трикутнику є його бісектрисою (прямий, що ділить кут навпіл) і його висотою (перпендикуляром до зворотного боку).
Щоб знайти площу рівнобедреного трикутника, необхідно помножити його висоту основу, та був розділити цей твір навпіл.
Для знаходження площі трикутника формула проста: S=ah/2, де а — довжина основи, h — висота.
Наочно це можна пояснити так. Виріжте з паперу аналогічну фігуру, знайдіть середину основи, проведіть до цієї точки висоту і акуратно розріжте по цій висоті. Вийдуть два прямокутні трикутники.
Якщо приставити їх один до одного гіпотенузами (довгими сторонами), то складеться прямокутник, одна сторона якого дорівнюватиме висоті нашої фігури, а інша - половині її заснування. Тобто підтвердиться формула.
Найкращим учнем у класі стає не зазубрюючий, а думаючий і, головне, школяр, що розуміє.
Як знайтиплоща фігури, якщо один кут прямий?
Може виявитися, що кут між бічними сторонами цієї трикутної фігури становить 90°. Тоді цей трикутник називатиметься прямокутним, його бічні сторони — катетами, а основа — гіпотенузою.
ПлощаТакий постаті можна обчислити вищевикладеним способом (знаходимо середину гіпотенузи, проводимо до неї висоту, множимо її на гіпотенузу, ділимо навпіл). Але можна вирішити проблему набагато простіше.
Почнемо з наочності. Прямокутний рівнобедрений трикутник є рівно половиною квадрата, якщо розрізати той на покос. І якщо площа квадрата знаходиться звичайним будівництвом у другий ступінь його боку, то площа фігури, що підходить нам, буде вдвічі меншою.
S = a 2 /2, де а - Довжина катета.
Площа рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює половині квадрата його бічної сторони. Проблема виявилася не такою вже серйозною, якою була на перший погляд.
Геометрія – чітка наука. Якщо вдуматись у її бази, то проблем з нею буде мало, а логічність доказів може дуже захопити вашого малюка. Потрібно просто мало йому допомогти. Який би непоганий вчитель йому не дістався, батьківська допомога зайвою не буде.
А у разі дослідження геометрії дуже корисним стане спосіб, про який говорилося вище, — наочності та простоти роз'яснення.
При цьому не можна забувати про точність формулювань, інакше можна зробити цю науку набагато складніше, ніж вона є насправді.
Тези
Як знайти площу трикутника. Як знайти площу трикутника. 4 способи: За основою та висотою По сторонах По одній з. Як знайти площутрикутник. Як знайти площа трикутникаФормула 4 клас. Відповідь на запитання Як знайти площу трикутникаформула 4 клас? - Площа трикутника. Відповіді@Mail. Ru: як знайти площа прямокутника. як знайти площу прямокутника, Трикутник? 4 клас Ірина Мастакова (Музика) Учень. Формули площі трикутника та приклади. Площа трикутника. Знайти площутрикутник. 3 клас - периметр та площа трикутника. 3 клас, периметр та площа трикутникаприклади з математики на формулу 4 КЛАС. Площа трикутника з трьох сторін - формула, приклад. Знайти площу трикутника можна у різний спосіб. Звичайно, залежно від. (Знайти площу трикутника АВС; АВ = 2СМ. (Знайти площу трикутника. Точне відзначених самими користувачами як. Як знайтипериметр та площа трикутника. Як знайти площу прямокутника? Щоб знайти площапрямокутника, треба його довжину помножити на ширину S=ab. Формули, теорія.
Концепція площі
Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.
Властивість 1:Якщо геометричні постаті рівні, то значення їх площ також дорівнюють.
Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.
Розглянемо приклад.
Приклад 1
Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює
Тоді площа трикутника дорівнює
Відповідь: $15$.
Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.
Як знайти площу трикутника через висоту та основу
Теорема 1
Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.
Математично це виглядає так
$S=\frac(1)(2)αh$
де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.
Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорему доведено.
Приклад 2
Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці
Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Відповідь: $ 40,5 $.
Формула Герону
Теорема 2
Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.
Доведення.
Розглянемо наступний малюнок:
За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо
З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
З цих двох співвідношень отримуємо рівність
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теоремі 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
