Ecuación de una superficie cónica de segundo orden. Las principales superficies del espacio y su construcción. Ecuaciones planas comunes

El contenido del artículo

SECCIONES CONICAS, curvas planas, que se obtienen cruzando un cono circular recto con un plano que no pasa por su parte superior (Fig. 1). Desde el punto de vista de la geometría analítica, la sección cónica es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una ecuación de segundo orden. Con la excepción de los casos degenerados discutidos en la última sección, las secciones cónicas son elipses, hipérbolas o parábolas.

Las secciones cónicas se encuentran a menudo en la naturaleza y la tecnología. Por ejemplo, las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol son elipses. Un círculo es un caso especial de una elipse, en el que el eje mayor es igual al menor. Un espejo parabólico tiene la propiedad de que todos los rayos incidentes paralelos a su eje convergen en un punto (foco). Se utiliza en la mayoría de los telescopios reflectores que utilizan espejos parabólicos, así como en antenas de radar y micrófonos especiales con reflectores parabólicos. Un haz de rayos paralelos emana de una fuente de luz colocada en el foco de un reflector parabólico. Por lo tanto, los espejos parabólicos se utilizan en potentes focos y faros de automóviles. Una hipérbola es un gráfico de muchas relaciones físicas importantes, como la ley de Boyle (que relaciona la presión y el volumen de un gas ideal) y la ley de Ohm, que da electricidad en función de la resistencia a tensión constante.

HISTORIA TEMPRANA

El descubridor de las secciones cónicas es supuestamente Menechmo (siglo IV a. C.), alumno de Platón y maestro de Alejandro Magno. Menechmus usó una parábola y una hipérbola isósceles para resolver el problema de doblar un cubo.

Tratados sobre secciones cónicas escritos por Aristeo y Euclides a finales del siglo IV. BC, se perdieron, pero los materiales de ellos se incluyeron en el famoso Secciones cónicas Apolonio de Perge (c. 260-170 a. C.), que han llegado hasta nuestros días. Apolonio abandonó el requisito de que el plano secante de la generatriz del cono sea perpendicular y, variando el ángulo de su inclinación, obtuvo todas las secciones cónicas de un cono circular, recto o inclinado. También le debemos a Apolonio los nombres modernos de las curvas: elipse, parábola e hipérbola.

En sus construcciones, Apolonio usó un cono circular de dos láminas (como en la Fig. 1), por lo que por primera vez quedó claro que una hipérbola es una curva con dos ramas. Desde la época de Apolonio, las secciones cónicas se han dividido en tres tipos, dependiendo de la inclinación del plano de corte a la generatriz del cono. Elipse (Fig. 1, A) se forma cuando el plano de corte corta todas las generatrices del cono en los puntos de una de sus cavidades; parábola (Fig. 1, b) - cuando el plano de corte es paralelo a uno de los planos tangentes del cono; hipérbole (Fig. 1, V) - cuando el plano de corte corta ambas cavidades del cono.

CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES CÓNICAS

Mientras estudiaban las secciones cónicas como intersecciones de planos y conos, los antiguos matemáticos griegos también las consideraban como trayectorias de puntos en un plano. Se encontró que una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos, la suma de las distancias desde las cuales a dos puntos dados es constante; parábola - como un lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto dado y una línea dada; hipérbola - como lugar geométrico de los puntos, la diferencia en las distancias desde las cuales a dos puntos dados es constante.

Estas definiciones de secciones cónicas como curvas planas también sugieren una forma de construirlas utilizando un hilo estirado.

Elipse.

Si los extremos de un hilo de una longitud dada se fijan en puntos F 1 y F 2 (Fig. 2), entonces la curva descrita por la punta de un lápiz que se desliza a lo largo de un hilo muy tenso tiene la forma de una elipse. puntos F 1 y F 2 se llaman los focos de la elipse, y los segmentos V 1 V 2 y v 1 v 2 entre los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas: los ejes mayor y menor. Si los puntos F 1 y F 2 coinciden, entonces la elipse se convierte en un círculo.

Hipérbola.

Al construir una hipérbola, un punto PAG, la punta de un lápiz, se fija en un hilo que se desliza libremente a lo largo de las clavijas instaladas en los puntos F 1 y F 2 como se muestra en la fig. 3, A. Las distancias se eligen de modo que el segmento FP 2 es más largo que el segmento FP 1 por una cantidad fija menor que la distancia F 1 F 2. En este caso, un extremo del hilo pasa por debajo de la clavija. F 1 y ambos extremos del hilo pasan por encima de la clavija F 2. (La punta del lápiz no debe deslizarse a lo largo del hilo, por lo que debe arreglarlo haciendo un pequeño lazo en el hilo e insertando la punta en él). Una rama de la hipérbola ( fotovoltaica 1 q) dibujamos, asegurándonos de que el hilo permanezca tenso todo el tiempo, y tirando de ambos extremos del hilo hacia abajo más allá del punto F 2, y cuando el punto PAG estará debajo de la línea F 1 F 2, sujetando el hilo por ambos extremos y aflojándolo con cuidado (es decir, soltándolo). La segunda rama de la hipérbola ( PAGў V 2 qў) dibujamos, habiendo cambiado previamente los roles de las clavijas F 1 y F 2 .

Las ramas de la hipérbola se acercan a dos rectas que se cortan entre las ramas. Estas rectas, llamadas asíntotas de la hipérbola, se construyen como se muestra en la figura. 3, b. Las pendientes de estas rectas son ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), donde v 1 v 2 - un segmento de la bisectriz del ángulo entre las asíntotas, perpendicular al segmento F 1 F 2; segmento de línea v 1 v 2 se llama el eje conjugado de la hipérbola, y el segmento V 1 V 2 - su eje transversal. Entonces las asíntotas son las diagonales de un rectángulo cuyos lados pasan por cuatro puntos v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralelos a los ejes. Para construir este rectángulo, debe especificar la ubicación de los puntos v 1 y v 2. están a la misma distancia, igual a

desde el punto de intersección de los ejes O. Esta fórmula implica la construcción triángulo rectángulo con piernas Ov 1 y V 2 O e hipotenusa F 2 O.

Si las asíntotas de la hipérbola son mutuamente perpendiculares, entonces la hipérbola se llama isósceles. Dos hipérbolas que tienen asíntotas comunes, pero con ejes transversales y conjugados reorganizados, se llaman mutuamente conjugados.

Parábola.

Los focos de la elipse y la hipérbola eran conocidos por Apolonio, pero el foco de la parábola, aparentemente, fue establecido por primera vez por Pappus (segunda mitad del siglo III), quien definió esta curva como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto dado ( foco) y una línea recta dada, que se llama director. Isidoro de Mileto (siglo VI) propuso la construcción de una parábola utilizando un hilo estirado, basado en la definición de Pappus. Posiciona la regla de modo que su borde coincida con la directriz LLў (Fig. 4), y sujete la pata a este borde C.A. dibujo triangulo A B C. Arreglamos un extremo del hilo con una longitud. AB en la cima B triángulo y el otro en el foco de la parábola F. Tirando del hilo con la punta de un lápiz, presione la punta en un punto variable PAG al patinaje libre AB triangulo de dibujo A medida que el triángulo se mueve a lo largo de la regla, el punto PAG describirá el arco de una parábola con foco F y directora LLў, ya que la longitud total del hilo es igual a AB, el segmento del hilo es adyacente al cateto libre del triángulo y, por lo tanto, el segmento restante del hilo FP debe ser igual al resto de la pierna AB, es decir. Pensilvania. Punto de intersección V parábola con un eje se llama vértice de la parábola, una línea recta que pasa por F Y V, es el eje de la parábola. Si se dibuja una línea recta perpendicular al eje a través del foco, entonces el segmento de esta línea cortada por la parábola se llama parámetro focal. Para una elipse y una hipérbola, el parámetro focal se define de manera similar.

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES CÓNICAS

Definiciones de Pappus.

Establecer el foco de la parábola llevó a Pappus a la idea de dar una definición alternativa de las secciones cónicas en general. Dejar F es un punto dado (foco), y L es una recta dada (directriz) que no pasa por F, Y DF Y DL– distancia desde el punto en movimiento PAG centrarse F y directores L respectivamente. Entonces, como mostró Papp, las secciones cónicas se definen como el lugar geométrico de los puntos PAG, para el cual la relación DF/DL es una constante no negativa. Esta relación se llama excentricidad. mi sección cónica. En mi e > 1 es una hipérbola; en mi= 1 es una parábola. Si F Miente en L, entonces el lugar geométrico tiene la forma de líneas (reales o imaginarias), que son secciones cónicas degeneradas.

La conspicua simetría de la elipse y la hipérbola sugiere que cada una de estas curvas tiene dos directrizes y dos focos, y esta circunstancia llevó a Kepler en 1604 a la idea de que la parábola también tiene un segundo foco y una segunda directriz: un punto en el infinito y derecho. De manera similar, el círculo puede considerarse como una elipse, cuyos focos coinciden con el centro y las directrizes están en el infinito. Excentricidad mi en este caso es cero.

El diseño de Dandelin.

Los focos y directriz de una sección cónica se pueden demostrar claramente usando esferas inscritas en un cono y llamadas esferas (bolas) de Dandelin en honor al matemático e ingeniero belga J. Dandelin (1794–1847), quien propuso la siguiente construcción. Sea la sección cónica formada por la intersección de algún plano pag con un cono circular recto de dos cavidades con vértice en un punto O. Inscribamos dos esferas en este cono. S 1 y S 2 que tocan el avión pag en puntos F 1 y F 2 respectivamente. Si la sección cónica es una elipse (Fig. 5, A), entonces ambas esferas están dentro de la misma cavidad: una esfera está ubicada sobre el plano pag y el otro debajo de él. Cada generatriz del cono toca ambas esferas, y el lugar geométrico de los puntos de contacto tiene la forma de dos círculos. C 1 y C 2 ubicados en planos paralelos pag 1 y pag 2. Dejar PAG es un punto arbitrario en una sección cónica. Dibujemos recto FP 1 , FP 2 y extender la línea correos. Estas rectas son tangentes a las esferas en los puntos F 1 , F 2 y R 1 , R 2. Como todas las tangentes trazadas a la esfera desde un punto son iguales, entonces FP 1 = relaciones públicas 1 y FP 2 = relaciones públicas 2. Por eso, FP 1 + FP 2 = relaciones públicas 1 + relaciones públicas 2 = R 1 R 2. Desde los aviones pag 1 y pag 2 paralelo, segmento R 1 R 2 es de longitud constante. Así, el valor relaciones públicas 1 + relaciones públicas 2 es el mismo para todas las posiciones de los puntos PAG, y punto PAG pertenece al lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias desde PAG antes F 1 y F 2 es constante. Por lo tanto, los puntos F 1 y F 2 - focos de sección elíptica. Además, se puede demostrar que las líneas a lo largo de las cuales el plano pag cruza el avión pag 1 y pag 2 , son directrizes de la elipse construida. Si pag cruza ambas cavidades del cono (Fig. 5, b), entonces dos esferas de Dandelin se encuentran en el mismo lado del plano pag, una esfera en cada cavidad del cono. En este caso, la diferencia entre FP 1 y FP 2 es constante, y el lugar geométrico de los puntos PAG tiene la forma de una hipérbola con focos F 1 y F 2 y rectas - rectas de intersección pag Con pag 1 y pag 2 - como directores. Si la sección cónica es una parábola, como se muestra en la Fig. 5, V, entonces solo se puede inscribir una esfera de Dandelin en el cono.

Otras propiedades.

Las propiedades de las secciones cónicas son verdaderamente inagotables, y cualquiera de ellas puede tomarse como decisiva. lugar importante en reunión matemática Papá (c. 300), geometrías Descartes (1637) y Principios Newton (1687) se ocupa del problema del lugar geométrico de los puntos con respecto a cuatro líneas. Si se dan cuatro rectas en el plano L 1 , L 2 , L 3 y L 4 (dos de los cuales pueden coincidir) y un punto PAG es tal que el producto de las distancias desde PAG antes L 1 y L 2 es proporcional al producto de las distancias desde PAG antes L 3 y L 4 , entonces el lugar geométrico de los puntos PAG es una sección cónica. Creyendo erróneamente que Apolonio y Pappus no lograron resolver el problema del lugar geométrico de los puntos con respecto a cuatro líneas, Descartes, para obtener una solución y generalizarla, creó la geometría analítica.

APROXIMACIÓN ANALÍTICA

Clasificación algebraica.

En términos algebraicos, las secciones cónicas se pueden definir como curvas planas cuyas coordenadas cartesianas satisfacen una ecuación de segundo grado. En otras palabras, la ecuación de todas las secciones cónicas se puede escribir en forma general como

donde no todos los coeficientes A, B Y C son iguales a cero. Con la ayuda de la traslación paralela y la rotación de los ejes, la ecuación (1) se puede reducir a la forma

hacha 2 + por 2 + C = 0

píxeles 2 + qy = 0.

La primera ecuación se obtiene de la ecuación (1) con B 2 № C.A., el segundo - en B 2 = C.A.. Las secciones cónicas cuyas ecuaciones se reducen a la primera forma se llaman centrales. Secciones cónicas dadas por ecuaciones del segundo tipo con q N° 0, se denominan no centrales. Dentro de estas dos categorías, hay nueve varios tipos secciones cónicas en función de los signos de los coeficientes.

2831) yo a, b Y C tienen el mismo signo, entonces no hay puntos reales cuyas coordenadas satisfagan la ecuación. Tal sección cónica se llama elipse imaginaria (o círculo imaginario si a = b).

2) Si a Y b tener un signo, y C- opuesto, entonces la sección cónica es una elipse (Fig. 1, A); en a = b- círculo (Fig. 6, b).

3) Si a Y b tener diferentes signos, entonces la sección cónica es una hipérbola (Fig. 1, V).

4) Si a Y b tienen diferentes signos y C= 0, entonces la sección cónica consta de dos líneas rectas que se cruzan (Fig. 6, A).

5) Si a Y b tener un signo y C= 0, entonces solo hay un punto real en la curva que satisface la ecuación, y la sección cónica son dos líneas de intersección imaginarias. En este caso, también se habla de una elipse contraída en un punto o, si a = b, contraído a un punto de un círculo (Fig. 6, b).

6) Si cualquiera a, o b es igual a cero, y los coeficientes restantes tienen signos diferentes, entonces la sección cónica consta de dos líneas paralelas.

7) Si cualquiera a, o b es igual a cero, y los coeficientes restantes tienen el mismo signo, entonces no hay ningún punto real que satisfaga la ecuación. En este caso, se dice que la sección cónica consta de dos líneas paralelas imaginarias.

8) Si C= 0, y a, o b también es igual a cero, entonces la sección cónica consta de dos rectas reales coincidentes. (La ecuación no define ninguna sección cónica en a = b= 0, ya que en este caso la ecuación original (1) no es de segundo grado.)

9) Las ecuaciones del segundo tipo definen parábolas si pag Y q son diferentes de cero. Si pag nº 0, y q= 0, obtenemos la curva del ítem 8. Si, por el contrario, pag= 0, entonces la ecuación no define ninguna sección cónica, ya que la ecuación original (1) no es de segundo grado.

Derivación de las ecuaciones de las secciones cónicas.

Cualquier sección cónica también se puede definir como una curva a lo largo de la cual un plano se cruza con una superficie cuadrática, es decir con la superficie dada por la ecuación de segundo grado F (X, y, z) = 0. Aparentemente, las secciones cónicas se reconocieron por primera vez en esta forma, y sus nombres ( vea abajo) están relacionados con el hecho de que se obtuvieron cruzando el plano con el cono z 2 = X 2 + y 2. Dejar A B C D- la base de un cono circular recto (Fig. 7) con un ángulo recto en la parte superior V. Deja que el avión CDF intersecta generatriz VB en el punto F, la base está en línea recta CD y la superficie del cono - a lo largo de la curva DFPC, Dónde PAG es cualquier punto de la curva. Dibuja a través del medio del segmento. CD- punto mi- directo FE y diametro AB. a través del punto PAG dibujar un plano paralelo a la base del cono, intersecando el cono en un círculo RPS y directo FE en el punto q. Entonces QF Y QP se puede tomar, respectivamente, para la abscisa X y ordenada y puntos PAG. La curva resultante será una parábola.

La construcción mostrada en la fig. 7, se puede utilizar para dar salida ecuaciones generales secciones cónicas. El cuadrado de la longitud de un segmento de una perpendicular, restaurada desde cualquier punto del diámetro hasta la intersección con la circunferencia, es siempre igual al producto de las longitudes de los segmentos del diámetro. Es por eso

y 2 = RQ H QS.

Para una parábola, un segmento RQ tiene una longitud constante (porque para cualquier posición del punto PAG es igual al segmento AE), y la longitud del segmento QS proporcional X(de la relación QS/EB = QF/FE). De ahí se sigue que

Dónde a es un coeficiente constante. Número a expresa la longitud del parámetro focal de la parábola.

Si el ángulo en el vértice del cono es agudo, entonces el segmento RQ no es igual a cortar AE; pero la proporción y 2 = RQ H QS es equivalente a una ecuación de la forma

Dónde a Y b son constantes, o, después de desplazar los ejes, a la ecuación

que es la ecuación de una elipse. Puntos de intersección de la elipse con el eje X (X = a Y X = –a) y los puntos de intersección de la elipse con el eje y (y = b Y y = –b) definen los ejes mayor y menor, respectivamente. Si el ángulo en el vértice del cono es obtuso, entonces la curva de intersección del cono y el plano tiene la forma de una hipérbola, y la ecuación toma la siguiente forma:

o, después de mover los ejes,

En este caso, los puntos de intersección con el eje X, dada por la relación X 2 = a 2 , defina el eje transversal y los puntos de intersección con el eje y, dada por la relación y 2 = –b 2 defina el eje de acoplamiento. si constante a Y b en la ecuación (4a) son iguales, entonces la hipérbola se llama isósceles. Al rotar los ejes, su ecuación se reduce a la forma

xy = k.

Ahora, a partir de las ecuaciones (3), (2) y (4) podemos entender el significado de los nombres dados por Apolonio a las tres secciones cónicas principales. Los términos "elipse", "parábola" e "hipérbola" provienen de palabras griegas que significan "falta", "igual" y "superior". De las ecuaciones (3), (2) y (4) está claro que para una elipse y 2b 2 / a) X, para la parábola y 2 = (a) X y por hipérbole y 2 > (2b 2 /a) X. En cada caso, el valor entre paréntesis es igual al parámetro focal de la curva.

El mismo Apolonio consideró solo tres tipos generales de secciones cónicas (los tipos 2, 3 y 9 enumerados anteriormente), pero su enfoque admite una generalización que permite considerar todas las curvas reales de segundo orden. Si el plano de corte se elige paralelo a la base circular del cono, entonces la sección será un círculo. Si el plano de corte tiene un solo punto común con el cono, su vértice, entonces se obtendrá una sección de tipo 5; si contiene un vértice y una tangente al cono, entonces obtenemos una sección de tipo 8 (Fig. 6, b); si el plano de corte contiene dos generadores del cono, entonces se obtiene una curva tipo 4 en la sección (Fig. 6, A); cuando el vértice se traslada al infinito, el cono se convierte en un cilindro, y si el plano contiene dos generadores, se obtiene una sección de tipo 6.

Cuando se ve desde un ángulo oblicuo, un círculo parece una elipse. La relación entre el círculo y la elipse, conocida por Arquímedes, se hace evidente si el círculo X 2 + Y 2 = a 2 usando sustitución X = X, Y = (a/b) y convertir a una elipse dada por la ecuación (3a). transformación X = X, Y = (ai/b) y, Dónde i 2 = –1, nos permite escribir la ecuación circular en la forma (4a). Esto muestra que una hipérbola puede verse como una elipse con un eje menor imaginario o, por el contrario, una elipse puede verse como una hipérbola con un eje conjugado imaginario.

Relación entre las ordenadas de un círculo X 2 + y 2 = a 2 y elipse ( X 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 conduce directamente a la fórmula de Arquímedes A = pag ab para el área de la elipse. Kepler conocía la fórmula aproximada pag(a + b) para el perímetro de una elipse cercana a un círculo, pero la expresión exacta se obtuvo recién en el siglo XVIII. después de la introducción de integrales elípticas. Como demostró Arquímedes, el área de un segmento parabólico es cuatro tercios del área de un triángulo inscrito, pero la longitud del arco de una parábola solo se pudo calcular después, en el siglo XVII. se inventó el cálculo diferencial.

ENFOQUE PROYECTIVO

La geometría proyectiva está íntimamente relacionada con la construcción de la perspectiva. Si dibuja un círculo en una hoja de papel transparente y lo coloca bajo una fuente de luz, este círculo se proyectará en el plano de abajo. En este caso, si la fuente de luz está ubicada directamente sobre el centro del círculo, y el plano y la hoja transparente son paralelos, entonces la proyección también será un círculo (Fig. 8). La posición de la fuente de luz se llama punto de fuga. Está marcado con la letra V. Si V no se encuentra por encima del centro del círculo, o si el plano no es paralelo a la hoja de papel, entonces la proyección del círculo toma la forma de una elipse. Con una inclinación aún mayor del plano, el eje mayor de la elipse (la proyección del círculo) se alarga y la elipse se convierte gradualmente en una parábola; en un plano paralelo a una recta vicepresidente, la proyección parece una parábola; con una inclinación aún mayor, la proyección toma la forma de una de las ramas de la hipérbola.

Cada punto del círculo original corresponde a algún punto de la proyección. Si la proyección tiene forma de parábola o hipérbola, entonces se dice que el punto correspondiente al punto PAG, está en el infinito o en el infinito.

Como hemos visto, con una selección adecuada de puntos de fuga, un círculo puede proyectarse en elipses de varios tamaños y con varias excentricidades, y las longitudes de los ejes principales no están directamente relacionadas con el diámetro del círculo proyectado. Por lo tanto, la geometría proyectiva no se ocupa de distancias o longitudes per se, su tarea es estudiar la proporción de longitudes que se conserva bajo proyección. Esta relación se puede encontrar usando la siguiente construcción. a través de cualquier punto PAG plano dibujamos dos tangentes a cualquier círculo y conectamos los puntos de contacto con una línea recta pag. Deja que otra línea pase por el punto PAG, interseca a la circunferencia en los puntos C 1 y C 2, pero la línea recta pag- en el punto q(Figura 9). La planimetría prueba que ordenador personal 1 /ordenador personal 2 = –control de calidad 1 /control de calidad 2. (El signo menos ocurre porque la dirección del segmento control de calidad 1 opuesto a las direcciones de otros segmentos). En otras palabras, los puntos PAG Y q dividir el segmento C 1 C 2 externa e internamente en el mismo sentido; también dicen que la relación armónica de cuatro segmentos es igual a - 1. Si el círculo se proyecta en una sección cónica y se mantienen las mismas designaciones para los puntos correspondientes, entonces la relación armónica ( ordenador personal 1)(control de calidad 2)/(ordenador personal 2)(control de calidad 1) permanecerá igual - 1. Punto PAG llamado el polo de la línea pag con respecto a una sección cónica, y una recta pag- punto polar PAG con respecto a la sección cónica.

cuando punto PAG se acerca a una sección cónica, la polar tiende a tomar la posición de una tangente; si punto PAG se encuentra en la sección cónica, entonces su polar coincide con la tangente a la sección cónica en el punto PAG. si el punto PAG ubicado dentro de la sección cónica, entonces su polar se puede construir de la siguiente manera. Pasemos por el punto PAG cualquier línea recta que corta una sección cónica en dos puntos; dibujar tangentes a la sección cónica en los puntos de intersección; supongamos que estas tangentes se cortan en un punto PAG 1 . Pasemos por el punto PAG otra recta que corta la sección cónica en otros dos puntos; suponga que las tangentes a la sección cónica en estos nuevos puntos se cortan en el punto PAG 2 (figura 10). Línea que pasa por puntos PAG 1 y PAG 2 , y queda el polar deseado pag. si el punto PAG acercándose al centro O sección cónica central, luego la polar pag se aleja de O. cuando punto PAG coincide con O, entonces su polar se vuelve en el infinito, o ideal, recto en el plano.

EDIFICIOS ESPECIALES

De particular interés para los astrónomos es la siguiente construcción simple de los puntos de una elipse utilizando un compás y una regla. Sea una recta arbitraria que pase por un punto O(Figura 11, A), se corta en puntos q Y R dos circunferencias concéntricas centradas en un punto O y radios b Y a, Dónde b a. Pasemos por el punto q línea horizontal, y R- una línea vertical, y denota su punto de intersección PAG PAG al girar recto OQR alrededor del punto O será una elipse. Esquina F entre la línea OQR y el eje mayor se llama ángulo excéntrico, y la elipse construida se especifica convenientemente mediante las ecuaciones paramétricas X = a porque F, y = b pecado F. Excluyendo el parámetro F, obtenemos la ecuación (3a).

Para una hipérbola, la construcción es muy similar. Recta arbitraria que pasa por un punto O, corta a uno de los dos círculos en un punto R(Figura 11, b). Al punto R un círculo y hasta el punto final S diámetro horizontal de otro círculo, dibujamos tangentes que se intersecan sistema operativo en el punto T Y O- en el punto q. Sea la recta vertical que pasa por el punto T, y una recta horizontal que pasa por el punto q, se cortan en un punto PAG. Entonces el lugar geométrico de los puntos PAG al rotar el segmento O alrededor O habrá una hipérbola dada por las ecuaciones paramétricas X = a segundo F, y = b tg F, Dónde F- ángulo excéntrico. Estas ecuaciones fueron obtenidas por el matemático francés A. Legendre (1752–1833). Al excluir el parámetro F, obtenemos la ecuación (4a).

Una elipse, como señaló N. Copernicus (1473-1543), se puede construir utilizando un movimiento epicicloidal. Si el círculo rueda sin deslizarse adentro otro círculo dos veces el diámetro, luego cada punto PAG, que no se encuentra en un círculo más pequeño, sino fijo en relación con él, describirá una elipse. si el punto PAG está en el círculo más pequeño, entonces la trayectoria de este punto es un caso degenerado de una elipse - el diámetro del círculo más grande. Proclo propuso una construcción aún más simple de una elipse en el siglo V. si termina A Y B segmento de línea recta AB de una longitud dada se desliza a lo largo de dos líneas rectas que se cruzan fijas (por ejemplo, a lo largo de los ejes de coordenadas), luego cada punto interno PAG segmento describirá una elipse; el matemático holandés F. van Schoten (1615-1660) demostró que cualquier punto en el plano de las líneas que se cortan, fijo en relación con el segmento deslizante, también describirá una elipse.

B. Pascal (1623–1662) a la edad de 16 años formuló el ahora famoso teorema de Pascal, que dice: tres puntos de intersección de lados opuestos de un hexágono inscrito en cualquier sección cónica se encuentran en una línea recta. Pascal derivó más de 400 corolarios de este teorema.

Una superficie cónica es una superficie formada por líneas rectas, que forman un cono, que pasan por un punto dado, la parte superior del cono, y se cruzan con una línea dada, la guía del cono. Deje que la guía del cono tenga las ecuaciones.

y el vértice del cono tiene coordenadas.Las ecuaciones canónicas de las generadoras del cono como rectas que pasan por el punto ) y por el punto de la guía serán;

Eliminando x, y y z de las cuatro ecuaciones (3) y (4), obtenemos la ecuación deseada para una superficie cónica. Esta ecuación tiene una propiedad muy simple: es homogénea (es decir, todos sus miembros de la misma dimensión) con respecto a las diferencias. De hecho, supongamos primero que el vértice del cono está en el origen. Sean X, Y y Z las coordenadas de cualquier punto del cono; por lo tanto, satisfacen la ecuación del cono. Después de reemplazar el cono X, Y y Z en la ecuación, respectivamente, a través de XX, XY, XZ, donde X es un factor arbitrario, la ecuación debe cumplirse, ya que XX, XY y XZ son las coordenadas del punto de la recta línea que pasa por el origen hasta el punto, es decir, generatriz del cono. Por lo tanto, la ecuación del cono no cambiará si multiplicamos todas las coordenadas actuales por el mismo número X. De ello se deduce que esta ecuación debe ser homogénea con respecto a las coordenadas actuales.

Si el vértice del cono está en un punto, trasladaremos el origen de coordenadas al vértice, y según lo demostrado, la ecuación transformada del cono será homogénea respecto a otras coordenadas, es decir, respecto a

Ejemplo. Escribe una ecuación para un cono con un vértice en el origen y una guía

Las ecuaciones canónicas de los generadores que pasan por el vértice (0, 0, C) del cono y el punto de la guía serán:

Elimina x, y, y de las cuatro ecuaciones dadas. Reemplazando c, determinamos y a partir de las dos últimas ecuaciones.

Superficies de segundo orden son superficies que en un sistema de coordenadas rectangulares están determinadas por ecuaciones algebraicas de segundo grado.

1. Elipsoide.

Un elipsoide es una superficie que, en algún sistema de coordenadas rectangulares, está definida por la ecuación:

La ecuación (1) se llama la ecuación canónica del elipsoide.

Establezca la vista geométrica del elipsoide. Para hacer esto, considere secciones del elipsoide dado por planos paralelos al plano Oxi. Cada uno de estos planos está definido por una ecuación de la forma z = h, Dónde h- cualquier número, y la línea que se obtiene en la sección está determinada por dos ecuaciones

(2)

Estudiemos las ecuaciones (2) para varios valores h .

> C(c>0), entonces las ecuaciones (2) también definen una elipse imaginaria, es decir, puntos de intersección del plano z = h con el elipsoide dado no existe. , Eso y la línea (2) degenera en puntos (0; 0; + C) y (0; 0; - C) (los planos tocan el elipsoide). , entonces las ecuaciones (2) se pueden representar como

de donde se sigue que el plano z = h corta el elipsoide a lo largo de una elipse con semiejes

Y . Al disminuir, los valores de y aumentan y alcanzan su valores más altos en , es decir, en la sección del elipsoide por el plano de coordenadas oxi resulta la elipse más grande con semiejes y .

Se obtiene una imagen similar cuando la superficie dada es intersecada por planos paralelos a los planos de coordenadas Oxz Y Oyz.

Por lo tanto, las secciones consideradas permiten representar el elipsoide como una superficie ovalada cerrada (Fig. 156). Cantidades a B C llamado semiejes elipsoide. Cuando a=b=c elipsoide es esferoel.

2. Hiperboloide de una banda.

Un hiperboloide de una tira es una superficie que, en algún sistema de coordenadas rectangulares, está definida por la ecuación (3)

La ecuación (3) se denomina ecuación canónica de un hiperboloide de una banda.

Configure el tipo de superficie (3). Para hacer esto, considere la sección por sus planos de coordenadas oxi (y=0)YBuey(x=0). Obtenemos, respectivamente, las ecuaciones

Ahora considere secciones del hiperboloide dado por planos z=h paralelos al plano de coordenadas oxi. La línea obtenida en la sección está determinada por las ecuaciones

o (4)

de donde se sigue que el plano z=h corta al hiperboloide a lo largo de una elipse con semiejes

Y ,

alcanzando sus valores más bajos en h=0, es decir en la sección de este hiperboloide, el eje de coordenadas Oxy produce la elipse más pequeña con semiejes a*=ay b*=b. Con un aumento infinito

las cantidades a* y b* aumentan infinitamente.

Por lo tanto, las secciones consideradas permiten representar un hiperboloide de una tira como un tubo infinito, que se expande infinitamente a medida que se aleja (en ambos lados) del plano Oxy.

Las cantidades a, b, c se denominan semiejes de un hiperboloide de una tira.

3. Hiperboloide de dos hojas.

Un hiperboloide de dos hojas es una superficie que, en algún sistema de coordenadas rectangulares, está definida por la ecuación

La ecuación (5) se denomina ecuación canónica de un hiperboloide de dos hojas.

Establezcamos la forma geométrica de la superficie (5). Para ello, considere sus secciones por los planos de coordenadas Oxy y Oyz. Obtenemos, respectivamente, las ecuaciones

de donde se sigue que se obtienen hipérbolas en las secciones.

Ahora considere secciones del hiperboloide dado por planos z=h paralelos al plano de coordenadas Oxy. La línea obtenida en la sección está determinada por las ecuaciones

o (6)

de lo que se deduce que

>c (c>0) el plano z=h corta al hiperboloide a lo largo de una elipse con semiejes y . A medida que aumenta el valor, a* y b* también aumentan. Las ecuaciones (6) se satisfacen con las coordenadas de solo dos puntos: (0; 0; + c) y (0; 0; - c) (los planos tocan la superficie dada). Las ecuaciones (6) definen una elipse imaginaria, es decir no hay puntos de intersección del plano z=h con el hiperboloide dado.

Las cantidades a, b y c se denominan semiejes del hiperboloide de dos hojas.

4. Paraboloide elíptico.

Un paraboloide elíptico es una superficie que, en algún sistema de coordenadas rectangulares, está definida por la ecuación

(7)

donde p>0 y q>0.

La ecuación (7) se denomina ecuación canónica de un paraboloide elíptico.

Considere las secciones de la superficie dada por los planos de coordenadas Oxy y Oyz. Obtenemos, respectivamente, las ecuaciones

de donde se sigue que en las secciones se obtienen parábolas, simétricas respecto al eje de Oz, con vértices en el origen. (8)

de donde se sigue que para . A medida que h aumenta, a y b también aumentan; para h=0 la elipse degenera en un punto (el plano z=0 toca el hiperboloide dado). Para H<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Por lo tanto, las secciones consideradas permiten representar un paraboloide elíptico en forma de un cuenco infinitamente convexo.

El punto (0;0;0) se llama vértice del paraboloide; los números p y q son sus parámetros.

En el caso de p=q, la ecuación (8) define un círculo centrado en el eje Oz, es decir Un paraboloide elíptico puede verse como una superficie formada por la rotación de una parábola alrededor de su eje (paraboloide de revolución).

5. Paraboloide hiperbólico.

Un paraboloide hiperbólico es una superficie que, en algún sistema de coordenadas rectangulares, está definida por la ecuación

(9)

Con superficies de segundo orden, el estudiante se encuentra con mayor frecuencia en el primer año. Al principio, las tareas sobre este tema pueden parecer simples, pero a medida que estudias matemáticas superiores y profundizas en el lado científico, finalmente puedes dejar de orientarte en lo que está sucediendo. Para evitar que esto suceda, es necesario no solo memorizar, sino comprender cómo se obtiene esta o aquella superficie, cómo le afecta el cambio de los coeficientes y su ubicación en relación con el sistema de coordenadas original, y cómo encontrar un nuevo sistema. (aquel en el que su centro coincide con las coordenadas del origen, pero paralelo a uno de los ejes de coordenadas). Empecemos desde el principio.

Definición

Una superficie de segundo orden es un GMT, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación general de la siguiente forma:

Es claro que cada punto perteneciente a la superficie debe tener tres coordenadas en alguna base designada. Aunque en algunos casos el lugar geométrico de los puntos puede degenerar, por ejemplo, en un plano. Solo significa que una de las coordenadas es constante y es igual a cero en todo el rango de valores admisibles.

La forma pintada completa de la igualdad mencionada anteriormente se ve así:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - algunas constantes, x, y, z - variables correspondientes a las coordenadas afines de algún punto. Al mismo tiempo, al menos uno de los factores constantes no debe ser igual a cero, es decir, ningún punto corresponderá a la ecuación.

En la gran mayoría de los ejemplos, muchos factores numéricos siguen siendo idénticamente iguales a cero, y la ecuación se simplifica enormemente. En la práctica, determinar si un punto pertenece a una superficie no es difícil (basta con sustituir sus coordenadas en la ecuación y comprobar si se observa la identidad). El punto clave en tal trabajo es la reducción de este último a la forma canónica.

La ecuación escrita arriba define cualquier superficie (todas enumeradas a continuación) de segundo orden. Consideraremos ejemplos a continuación.

Tipos de superficies de segundo orden

Las ecuaciones de superficies de segundo orden difieren solo en los valores de los coeficientes An nm. Desde el punto de vista general, para determinados valores de las constantes, se pueden obtener diversas superficies, clasificadas de la siguiente manera:

Cilindros.
Tipo elíptico.
tipo hiperbólico.
tipo cónico.
tipo parabólico.
aviones

Cada uno de los tipos enumerados tiene una forma natural e imaginaria: en la forma imaginaria, el lugar geométrico de los puntos reales degenera en una figura más simple o está completamente ausente.

cilindros

Este es el tipo más simple, ya que una curva relativamente compleja se encuentra solo en la base, actuando como guía. Los generadores son líneas rectas perpendiculares al plano en el que se encuentra la base.

El gráfico muestra un cilindro circular, un caso especial de un cilindro elíptico. En el plano XY, su proyección será una elipse (en nuestro caso, un círculo), una guía, y en XZ, un rectángulo, ya que los generadores son paralelos al eje Z. Para obtenerlo de la ecuación general, necesita para dar a los coeficientes los siguientes valores:

En lugar de las designaciones habituales, se usa x, y, z, x con un número de serie; esto no importa.

De hecho, 1/a 2 y las otras constantes indicadas aquí son los mismos coeficientes indicados en la ecuación general, pero se acostumbra escribirlos en esta forma: esta es la representación canónica. En lo que sigue, sólo se utilizará dicha notación.

Así se define un cilindro hiperbólico. El esquema es el mismo: la hipérbole será la guía.

Un cilindro parabólico se define de una manera ligeramente diferente: su forma canónica incluye un coeficiente p, llamado parámetro. De hecho, el coeficiente es igual a q=2p, pero se acostumbra dividirlo en los dos factores presentados.

Hay otro tipo de cilindro: el imaginario. Ningún punto real pertenece a tal cilindro. Se describe mediante la ecuación de un cilindro elíptico, pero en lugar de la unidad es -1.

tipo elíptico

El elipsoide se puede estirar a lo largo de uno de los ejes (a lo largo del cual depende de los valores de las constantes a, b, c, indicadas anteriormente; es obvio que un coeficiente mayor corresponderá al eje mayor).

También hay un elipsoide imaginario, siempre que la suma de las coordenadas multiplicadas por los coeficientes sea -1:

Hiperboloides

Cuando aparece un signo menos en una de las constantes, la ecuación del elipsoide se convierte en la ecuación de un hiperboloide de una hoja. ¡Debe entenderse que este menos no tiene que estar ubicado frente a la coordenada x 3! Solo determina cuál de los ejes será el eje de rotación del hiperboloide (o paralelo a él, ya que cuando aparecen términos adicionales en el cuadrado (por ejemplo, (x-2) 2), el centro de la figura se desplaza, como resultado, la superficie se mueve paralelamente a los ejes de coordenadas). Esto se aplica a todas las superficies de segundo orden.

Además, hay que entender que las ecuaciones se presentan en forma canónica y se pueden cambiar variando las constantes (¡conservando el signo!); mientras que su forma (hiperboloide, cono, etc.) seguirá siendo la misma.

Tal ecuación ya está dada por un hiperboloide de dos hojas.

superficie cónica

No hay unidad en la ecuación del cono - igualdad a cero.

Solo una superficie cónica limitada se llama cono. La siguiente imagen muestra que, de hecho, habrá dos llamados conos en el gráfico.

Nota importante: en todas las ecuaciones canónicas consideradas, se supone que las constantes son positivas por defecto. De lo contrario, el signo puede afectar el gráfico final.

Los planos de coordenadas se convierten en los planos de simetría del cono, el centro de simetría se encuentra en el origen.

En la ecuación del cono imaginario, solo hay ventajas; tiene un solo punto real.

paraboloides

Las superficies de segundo orden en el espacio pueden tomar diferentes formas incluso con ecuaciones similares. Por ejemplo, hay dos tipos de paraboloides.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Un paraboloide elíptico, cuando el eje Z es perpendicular al dibujo, se proyectará en una elipse.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Paraboloide hiperbólico: las secciones con planos paralelos a ZY producirán parábolas, y las secciones con planos paralelos a XY producirán hipérbolas.

Planos de intersección

Hay casos en que las superficies de segundo orden degeneran en un plano. Estos planos se pueden organizar de varias maneras.

Primero considere los planos que se cortan:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Esta modificación de la ecuación canónica da como resultado solo dos planos que se cruzan (¡imaginario!); todos los puntos reales están en el eje de la coordenada que no está en la ecuación (en el canon - el eje Z).

Planos paralelos

En presencia de una sola coordenada, las superficies de segundo orden degeneran en un par de planos paralelos. Recuerde, cualquier otra variable puede tomar el lugar de Y; entonces se obtendrán planos paralelos a otros ejes.

En este caso, se vuelven imaginarios.

Planos Coincidentes

Con una ecuación tan simple, un par de planos degenera en uno: coinciden.

¡No olvide que en el caso de una base tridimensional, la ecuación anterior no define la línea y=0! No tiene otras dos variables, pero eso solo significa que su valor es constante e igual a cero.

Edificio

Una de las tareas más difíciles para un estudiante es la construcción de superficies de segundo orden. Es aún más difícil pasar de un sistema de coordenadas a otro, dados los ángulos de la curva con respecto a los ejes y el desplazamiento del centro. Repitamos cómo determinar secuencialmente la vista futura del dibujo de forma analítica.

Para construir una superficie de segundo orden, necesita:

llevar la ecuación a forma canónica;
determinar el tipo de superficie en estudio;
construir en base a los valores de los coeficientes.

Todos los tipos considerados se enumeran a continuación:

Para consolidar, describimos en detalle un ejemplo de este tipo de tarea.

Ejemplos

Digamos que tenemos una ecuación:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Llevémoslo a la forma canónica. Señalemos los cuadrados completos, es decir, ordenemos los términos disponibles de tal forma que sean la expansión del cuadrado de la suma o diferencia. Por ejemplo: si (a+1) 2 =a 2 +2a+1, entonces a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Realizaremos la segunda operación. En este caso, no es necesario abrir los paréntesis, ya que esto solo complicará los cálculos, pero sí sacar el factor común 6 (entre paréntesis con el cuadrado completo de la Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

La variable z aparece en este caso solo una vez; puede dejarse intacta por el momento.

Analizamos la ecuación en esta etapa: todas las incógnitas están precedidas por un signo más; cuando se divide por seis, queda uno. Por lo tanto, tenemos una ecuación que define un elipsoide.

Tenga en cuenta que 144 se factorizó en 150-6, después de lo cual el -6 se movió a la derecha. ¿Por qué tenía que hacerse de esta manera? Es obvio que el mayor divisor en este ejemplo es -6, por lo tanto, para que una unidad quede a la derecha después de dividirla, es necesario "aplazar" exactamente 6 de 144 (la presencia de un miembro libre, una constante no multiplicada por la incógnita).

Divide todo por seis y obtén la ecuación canónica del elipsoide:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

En la clasificación de superficies de segundo orden utilizada anteriormente, se considera un caso particular cuando el centro de la figura está en el origen. En este ejemplo, está compensado.

Suponemos que cada paréntesis con incógnitas es una nueva variable. Es decir: a=x-1, b=y+5, c=z. En las nuevas coordenadas, el centro del elipsoide coincide con el punto (0,0,0), por tanto, a=b=c=0, de donde: x=1, y=-5, z=0. En las coordenadas iniciales, el centro de la figura se encuentra en el punto (1,-5,0).

El elipsoide estará formado por dos elipses: la primera en el plano XY y la segunda en el plano XZ (o YZ - no importa). Los coeficientes por los que se dividen las variables se elevan al cuadrado en la ecuación canónica. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, sería más correcto dividir por la raíz de dos, uno y la raíz de tres.

El eje menor de la primera elipse, paralelo al eje Y, es dos. El eje mayor paralelo al eje x es dos raíces de dos. El eje menor de la segunda elipse, paralelo al eje Y, sigue siendo el mismo: es igual a dos. Y el eje mayor, paralelo al eje Z, es igual a dos raíces de tres.

Usando los datos obtenidos de la ecuación original al convertirla a la forma canónica, podemos dibujar un elipsoide.

Resumiendo

El tema tratado en este artículo es bastante extenso, pero, de hecho, como ahora puede ver, no es muy complicado. Su desarrollo, de hecho, termina en el momento en que memorizas los nombres y ecuaciones de las superficies (y, por supuesto, cómo se ven). En el ejemplo anterior, consideramos cada paso en detalle, pero llevar la ecuación a la forma canónica requiere un conocimiento mínimo de matemáticas superiores y no debería causar ninguna dificultad al estudiante.

El análisis del calendario futuro según la igualdad existente ya es una tarea más difícil. Pero para su solución exitosa, es suficiente comprender cómo se construyen las curvas de segundo orden correspondientes: elipses, parábolas y otras.

Casos de degeneración es una sección aún más simple. Debido a la ausencia de algunas variables, no solo se simplifican los cálculos, como se mencionó anteriormente, sino también la construcción en sí.

Tan pronto como pueda nombrar con confianza todos los tipos de superficies, varíe las constantes, convierta el gráfico en una u otra figura, dominará el tema.

¡Éxito en el aprendizaje!