Millise valemiga arvutatakse keha nihke projektsioon ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise ajal? Üksteisega risti olevate vektorite liitmine

Lk 8/12

§ 7. Liikumine ühtlaselt kiirendatud
sirgjooneline liikumine

1. Kasutades kiiruse ja aja graafikut, saate valemi keha liigutamiseks ühtlase sirgjoonelise liikumisega.

Joonisel 30 on kujutatud kiiruse projektsiooni graafik ühtlane liikumine telje kohta X ajast. Kui seame mingis punktis ajateljega risti C, siis saame ristküliku OABC. Selle ristküliku pindala on võrdne külgede korrutisega OA Ja OC. Aga külje pikkus OA on võrdne v x ja külje pikkus OC - t, järelikult S = v x t. Kiiruse projektsiooni korrutis teljel X ja aeg võrdub nihke projektsiooniga, st. s x = v x t.

Seega nihke projektsioon ühtlase sirgjoonelise liikumise ajal on arvuliselt võrdne ristküliku pindalaga, mis on piiratud koordinaattelgede, kiirusgraafiku ja ajateljega tõstetud ristiga.

2. Sarnasel viisil saame sirgjoonelise nihke projektsiooni valemi ühtlaselt kiirendatud liikumine. Selleks kasutame kiiruse projektsiooni sõltuvuse graafikut teljest X ajast (joon. 31). Valige graafikul väike ala ab ja langetage ristid punktidest a Ja b ajateljel. Kui ajavahemik D t, mis vastab jaotisele cd ajateljel on väike, siis võime eeldada, et kiirus selle aja jooksul ei muutu ja keha liigub ühtlaselt. Sel juhul joonis cabd erineb vähe ristkülikust ja selle pindala on arvuliselt võrdne keha liikumise projektsiooniga lõigule vastavas ajas cd.

Saate kogu figuuri sellisteks ribadeks murda OABC, ja selle pindala on võrdne kõigi ribade pindalade summaga. Seetõttu keha liikumise projektsioon ajas t arvuliselt võrdne trapetsi pindalaga OABC. Geomeetria kursusest saate teada, et trapetsi pindala on võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega: S= (OA + eKr)OC.

Nagu on näha jooniselt 31, OA = v 0x , eKr = v x, OC = t. Sellest järeldub, et nihke projektsioon väljendatakse valemiga: s x= (v x + v 0x)t.

Ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise korral on keha kiirus igal ajal võrdne v x = v 0x + a x t, seega, s x = (2v 0x + a x t)t.

Siit:

Keha liikumisvõrrandi saamiseks asendame nihke projektsiooni valemiga selle väljenduse koordinaatide erinevuse kaudu s x = x – x 0 .

Saame: x – x 0 = v 0x t+, või

x = x 0 + v 0x t + .

Liikumisvõrrandi järgi on igal ajal võimalik määrata keha koordinaat, kui on teada keha algkoordinaat, algkiirus ja kiirendus.

3. Praktikas esineb sageli probleeme, mille puhul ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise ajal on vaja leida keha nihe, kuid liikumisaeg pole teada. Nendel juhtudel kasutatakse teistsugust nihke projektsiooni valemit. Saame aru.

Ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise kiiruse projektsiooni valemist v x = v 0x + a x t väljendame aega:

t = .

Asendades selle avaldise nihke projektsiooni valemiga, saame:

s x = v 0x + .

Siit:

s x = , või
–= 2a x s x.

Kui keha algkiirus on null, siis:

2a x s x.

4. Probleemilahenduse näide

Suusataja liigub puhkeseisundist mäenõlvast alla kiirendusega 0,5 m/s 2 20 s jooksul ja seejärel liigub mööda horisontaalset lõiku, olles sõitnud 40 m peatuseni. Millise kiirendusega liikus suusataja mööda horisontaalne pind? Kui pikk on mäe nõlv?

Antud:

Lahendus

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Suusataja liikumine koosneb kahest etapist: esimesel etapil mäe nõlvalt laskudes liigub suusataja absoluutväärtuses kasvava kiirusega; teises etapis, liikudes mööda horisontaalset pinda, selle kiirus väheneb. Liikumise esimese etapiga seotud väärtused kirjutatakse indeksiga 1 ja teise etapiga seotud väärtused indeksiga 2.

a 2?

s 1?

Ühendame võrdlussüsteemi Maa, teljega X suuname igal tema liikumise etapil suusataja kiiruse suunas (joonis 32).

Kirjutame üles suusataja kiiruse võrrandi mäest laskumise lõpus:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Projektsioonides teljel X saame: v 1x = a 1x t. Kuna kiiruse ja kiirenduse projektsioonid teljel X on positiivsed, on suusataja kiiruse moodul: v 1 = a 1 t 1 .

Kirjutame võrrandi, mis seostab suusataja kiiruse, kiirenduse ja liikumise projektsioone teisel liikumisetapil:

–= 2a 2x s 2x .

Arvestades, et suusataja algkiirus selles liikumise etapis on võrdne tema lõppkiirusega esimesel etapil

v 02 = v 1 , v 2x= 0 saame

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Siit a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2.

Suusataja liikumismoodul esimesel liikumisetapil on võrdne mäe nõlva pikkusega. Kirjutame nihke võrrandi:

s 1x = v 01x t + .

Seega on mäe nõlva pikkus s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Vastus: a 2 \u003d 0,125 m/s 2; s 1 = 100 m.

Küsimused enesekontrolliks

1. Nagu ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruse teljel projektsiooni graafiku järgi X

2. Nagu vastavalt graafikule ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise kiiruse projektsioonist teljel X ajast määrata keha nihke projektsioon?

3. Millise valemiga arvutatakse keha nihke projektsioon ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise ajal?

4. Millise valemiga arvutatakse ühtlaselt kiirendatud ja sirgjooneliselt liikuva keha nihke projektsioon, kui keha algkiirus on null?

Ülesanne 7

1. Kui suur on auto nihkemoodul 2 minutiga, kui selle aja jooksul on kiirus muutunud 0-lt 72 km/h-le? Mis on hetkel auto koordinaat t= 2 minutit? Eeldatakse, et esialgne koordinaat on null.

2. Rong liigub algkiirusega 36 km/h ja kiirendusega 0,5 m/s 2 . Mis on rongi veeväljasurve 20 s ja selle koordinaat ajahetkel t= 20 s, kui rongi stardikoordinaat on 20 m?

3. Milline on jalgratturi liikumine 5 s pärast pidurdamise algust, kui tema algkiirus pidurdamisel on 10 m/s ja kiirendus 1,2 m/s 2? Mis on jalgratturi koordinaat ajahetkel t= 5 s, kui algsel ajahetkel oli see lähtepunktis?

4. Kiirusega 54 km/h liikuv auto peatub 15 sekundi jooksul pidurdades. Mis on auto nihkemoodul pidurdamisel?

5. Kahest asulast, mis asuvad üksteisest 2 km kaugusel, liiguvad teineteise poole kaks autot. Ühe auto algkiirus on 10 m/s ja kiirendus 0,2 m/s 2, teise algkiirus 15 m/s ja kiirendus 0,2 m/s 2. Määrake autode kohtumispunkti aeg ja koordinaadid.

Labor nr 1

Uuring ühtlaselt kiirendatud
sirgjooneline liikumine

Töö eesmärk:

õppida mõõtma kiirendust ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelisel liikumisel; katseliselt määrata keha läbitud radade suhe ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise ajal järjestikuste võrdsete ajavahemike järel.

Seadmed ja materjalid:

renn, statiiv, metallkuul, stopper, mõõdulint, metallist silinder.

Töökäsk

1. Kinnitage renni üks ots statiivi jalusse nii, et see moodustaks laua pinnaga väikese nurga, renni teise otsa asetage metallist silinder.

2. Mõõtke palli läbitud teed 3 järjestikuse ajaintervalliga, millest igaüks on 1 s. Seda saab teha erineval viisil. Võite panna rennile kriidiga märke, fikseerides palli asukoha ajapunktides 1 s, 2 s, 3 s ja mõõta vahemaid s_ nende märkide vahel. Võimalik on rada mõõta, vabastades palli iga kord samalt kõrguselt s, möödus temast esmalt 1 sekundiga, seejärel 2 sekundiga ja 3 sekundiga ning arvutab seejärel palli läbitud tee teisel ja kolmandal sekundil. Mõõtmistulemused märgi tabelisse 1.

3. Leidke teise sekundi jooksul läbitud tee ja esimese sekundi jooksul läbitud tee ning kolmandas sekundis läbitud tee ja esimese sekundi jooksul läbitud tee suhe. Tee järeldus.

4. Mõõtke aega, mille jooksul pall läbis mööda renni, ja selle läbitud vahemaa. Arvutage selle kiirendus valemi abil s = .

5. Kasutades katseliselt saadud kiirenduse väärtust, arvuta välja teekonnad, mida pall oma liikumise esimesel, teisel ja kolmandal sekundil läbima peab. Tee järeldus.

Tabel 1

kogemuse number

Eksperimentaalsed andmed

Teoreetilised tulemused

Aeg t , Koos

Tee s , cm

Aeg t , Koos

Tee

s, cm

Kiirendus a, cm/s2

Aegt, Koos

Tee s , cm

Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne keha läbitud teekonnaga (t) ajaühikus (t).

Tee

Tee (S) - trajektoori pikkus, mida mööda keha liikus, on arvuliselt võrdne keha kiiruse (v) ja liikumisaja (t) korrutisega.

Reisi aeg

Liikumisaeg (t) võrdub keha läbitud tee (S) ja liikumiskiiruse (v) suhtega.

keskmine kiirus

Keskmine kiirus (vav) võrdub keha läbitud teelõikude (s 1 s 2, s 3, ...) summa ja ajavahemiku (t 1 + t 2 + t 3) suhtega + ...), mille jaoks see tee läbiti .

keskmine kiirus on keha läbitud tee pikkuse ja selle tee läbimise aja suhe.

keskmine kiirus sirgjoonel ebaühtlaselt liikudes: see on kogu teekonna ja koguaja suhe.

Kaks järjestikust erineva kiirusega etappi: kus

Probleemide lahendamisel - mitu liikumisetappi on nii palju komponente:

Nihkevektori projektsioonid koordinaattelgedele

Nihkevektori projektsioon OX-teljele:

Nihkevektori projektsioon OY-teljele:

Vektori projektsioon teljele on null, kui vektor on teljega risti.

Nihkeprojektsioonide märgid: projektsioon loetakse positiivseks, kui liikumine vektori alguse projektsioonist lõpu projektsioonini toimub telje suunas ja negatiivseks, kui see on vastu telge. Selles näites

Liikumise moodul on nihkevektori pikkus:

Pythagorase teoreemi järgi:

Liikumise ja kaldenurga projektsioonid

Selles näites:

Koordinaatide võrrand (üldiselt):

Raadiuse vektor- vektor, mille algus langeb kokku koordinaatide alguspunktiga ja lõpp - keha asukohaga antud ajahetkel. Raadiusvektori projektsioonid koordinaattelgedele määravad keha koordinaadid antud ajahetkel.

Raadiusvektor võimaldab määrata materiaalse punkti asukoha antud antud võrdlussüsteem:

Ühtlane sirgjooneline liikumine – määratlus

Ühtlane sirgjooneline liikumine- liikumine, mille käigus keha teeb võrdsete ajavahemike jooksul võrdseid nihkeid.

Kiirus ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel. Kiirus on vektorfüüsikaline suurus, mis näitab, kui palju liigub keha ajaühikus.

Vektorkujul:

Projektsioonides OX-teljele:

Täiendavad kiirusühikud:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Mõõteseade - spidomeeter - näitab kiiruse moodulit.

Kiiruse projektsiooni märk sõltub kiirusvektori suunast ja koordinaatide teljest:

Kiiruse projektsiooni graafik on kiiruse projektsiooni sõltuvus ajast:

Kiiruse graafik ühtlase sirgjoonelise liikumise jaoks- ajateljega paralleelne sirgjoon (1, 2, 3).

Kui graafik asub ajateljest (.1) kõrgemal, siis keha liigub OX-telje suunas. Kui graafik asub ajatelje all, siis keha liigub vastu OX-telge (2, 3).

Liikumise geomeetriline tähendus.

Ühtlase sirgjoonelise liikumise korral määratakse nihe valemiga. Sama tulemuse saame, kui arvutame kiirusgraafiku all oleva joonise pindala telgedes. Niisiis, sirgjoonelise liikumise ajal tee ja nihkemooduli määramiseks on vaja arvutada joonise pindala kiiruse graafiku all telgedes:

Nihke projektsioonigraafik- nihkeprojektsiooni sõltuvus ajast.

Nihke projektsioonigraafik for ühtlane sirgjooneline liikumine- lähtepunktist väljuv sirgjoon (1, 2, 3).

Kui sirgjoon (1) asub ajatelje kohal, siis keha liigub OX-telje suunas ja kui telje (2,3) all, siis vastu OX-telge.

Mida suurem on graafiku kalde (1) puutuja, seda suurem on kiirusmoodul.

Krundi koordinaat- keha koordinaatide sõltuvus ajast:

Graafika koordinaadid ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks – sirgjooned (1, 2, 3).

Kui aja jooksul koordinaat suureneb (1, 2), siis keha liigub OX-telje suunas; kui koordinaat väheneb (3), siis keha liigub vastu OX-telje suunda.

Mida suurem on kalde puutuja (1), seda suurem on kiirusmoodul.

Kui kahe keha koordinaatide graafikud lõikuvad, siis ristumispunktist tuleks perpendikulaarid ajateljele ja koordinaatide teljele langetada.

Mehaanilise liikumise suhtelisus

Relatiivsusteooria all peame silmas millegi sõltuvust võrdlusraami valikust. Näiteks rahu on suhteline; suhteline liikumine ja keha suhteline asend.

Nihkete liitmise reegel. Nihkete vektorsumma

kus on keha nihe liikuva tugiraami (RFR) suhtes; - PSO liikumine fikseeritud tugiraamistiku (FRS) suhtes; - keha liikumine fikseeritud tugiraamistiku (FRS) suhtes.

Vektori lisamine:

Ühte sirget pidi suunatud vektorite liitmine:

Üksteisega risti olevate vektorite liitmine

Pythagorase teoreemi järgi

Tuletame valemi, mille abil saab arvutada sirgjooneliselt liikuva ja ühtlaselt kiirendatud keha nihkevektori projektsiooni mis tahes ajaperioodi jooksul. Selleks pöördume joonise 14 poole. Nii joonisel 14, a kui ka joonisel 14, b on segment AC konstantse kiirendusega a (algkiirusel) liikuva keha kiirusvektori projektsiooni graafik. v 0).

Riis. 14. Sirgjooneliselt liikuva ja ühtlaselt kiirendatud keha nihkevektori projektsioon on arvuliselt võrdne graafiku all oleva pindalaga S

Tuletame meelde, et keha sirgjoonelise ühtlase liikumise korral määratakse selle keha tehtud nihkevektori projektsioon sama valemiga kui kiirusvektori projektsioonigraafiku all oleva ristküliku pindala (vt joonis 6). Seetõttu on nihkevektori projektsioon arvuliselt võrdne selle ristküliku pindalaga.

Tõestame, et sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise korral saab nihkevektori s x projektsiooni määrata sama valemiga nagu graafiku AC, telje Ot ja lõikude vahele jääva joonise pindala OA ja BC, st et antud juhul nihkevektori projektsioon on arvuliselt võrdne kiirusgraafiku all oleva joonise pindalaga. Selleks valime O-teljel (vt. joon. 14, a) väikese ajaintervalli db. Punktidest d ja b tõmbame risti Ot-teljega, kuni need ristuvad punktides a ja c kiirusvektori projektsioonigraafikuga.

Seega muutub keha kiirus lõigule db vastava ajavahemiku jooksul v ax-lt v cx-le.

Piisavalt lühikese aja jooksul muutub kiirusvektori projektsioon väga vähe. Seetõttu erineb keha liikumine selle aja jooksul vähe ühtlasest, see tähendab liikumisest konstantsel kiirusel.

Sellisteks ribadeks on võimalik jagada kogu OASV figuuri pindala, mis on trapetsikujuline. Seetõttu on lõigule OB vastava ajaintervalli nihkevektori sx projektsioon arvuliselt võrdne trapetsi OASV pindalaga S ja määratakse sama valemiga kui see ala.

Vastavalt reeglile aastal koolikursused geomeetria, trapetsi pindala on võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega. Joonisel 14, b on näha, et trapetsi OASV alusteks on lõigud OA = v 0x ja BC = v x ning kõrguseks lõigu OB = t. Seega

Kuna v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, siis saame kirjutada:

Nii oleme saanud valemi nihkevektori projektsiooni arvutamiseks ühtlaselt kiirendatud liikumisel.

Sama valemi abil arvutatakse ka nihkevektori projektsioon, kui keha liigub kahaneva kiirusmooduliga, ainult sel juhul suunatakse kiirus- ja kiirendusvektorid vastassuundadesse, mistõttu nende projektsioonid on erineva märgiga.

Küsimused

Kasutades joonist 14 a, tõestage, et nihkevektori projektsioon ühtlaselt kiirendatud liikumisel on arvuliselt võrdne OASV joonise pindalaga.
Kirjutage üles võrrand keha nihkevektori projektsiooni määramiseks selle sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise ajal.

7. harjutus

Lk 8/12

§ 7. Liikumine ühtlaselt kiirendatud
sirgjooneline liikumine

1. Kasutades kiiruse ja aja graafikut, saate valemi keha liigutamiseks ühtlase sirgjoonelise liikumisega.

Joonisel 30 on kujutatud ühtlase liikumise kiiruse projektsiooni graafik teljel X ajast. Kui seame mingis punktis ajateljega risti C, siis saame ristküliku OABC. Selle ristküliku pindala on võrdne külgede korrutisega OA Ja OC. Aga külje pikkus OA on võrdne v x ja külje pikkus OC - t, järelikult S = v x t. Kiiruse projektsiooni korrutis teljel X ja aeg võrdub nihke projektsiooniga, st. s x = v x t.

Seega nihke projektsioon ühtlase sirgjoonelise liikumise ajal on arvuliselt võrdne ristküliku pindalaga, mis on piiratud koordinaattelgede, kiirusgraafiku ja ajateljega tõstetud ristiga.

2. Sarnasel viisil saame sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise nihke projektsiooni valemi. Selleks kasutame kiiruse projektsiooni sõltuvuse graafikut teljest X ajast (joon. 31). Valige graafikul väike ala ab ja langetage ristid punktidest a Ja b ajateljel. Kui ajavahemik D t, mis vastab jaotisele cd ajateljel on väike, siis võime eeldada, et kiirus selle aja jooksul ei muutu ja keha liigub ühtlaselt. Sel juhul joonis cabd erineb vähe ristkülikust ja selle pindala on arvuliselt võrdne keha liikumise projektsiooniga lõigule vastavas ajas cd.

Nagu on näha jooniselt 31, OA = v 0x , eKr = v x, OC = t. Sellest järeldub, et nihke projektsioon väljendatakse valemiga: s x= (v x + v 0x)t.

Ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise korral on keha kiirus igal ajal võrdne v x = v 0x + a x t, seega, s x = (2v 0x + a x t)t.

Keha liikumisvõrrandi saamiseks asendame nihke projektsiooni valemiga selle väljenduse koordinaatide erinevuse kaudu s x = x – x 0 .

Saame: x – x 0 = v 0x t+, või

x = x 0 + v 0x t + .

Liikumisvõrrandi järgi on igal ajal võimalik määrata keha koordinaat, kui on teada keha algkoordinaat, algkiirus ja kiirendus.

Ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise kiiruse projektsiooni valemist v x = v 0x + a x t väljendame aega:

Asendades selle avaldise nihke projektsiooni valemiga, saame:

s x = v 0x + .

s x = , või
–= 2a x s x.

Kui keha algkiirus on null, siis:

2a x s x.

4. Probleemilahenduse näide

Antud:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Ühendame võrdlussüsteemi Maa, teljega X suuname igal tema liikumise etapil suusataja kiiruse suunas (joonis 32).

Kirjutame üles suusataja kiiruse võrrandi mäest laskumise lõpus:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Projektsioonides teljel X saame: v 1x = a 1x t. Kuna kiiruse ja kiirenduse projektsioonid teljel X on positiivsed, on suusataja kiiruse moodul: v 1 = a 1 t 1 .

Kirjutame võrrandi, mis seostab suusataja kiiruse, kiirenduse ja liikumise projektsioone teisel liikumisetapil:

–= 2a 2x s 2x .

Arvestades, et suusataja algkiirus selles liikumise etapis on võrdne tema lõppkiirusega esimesel etapil

v 02 = v 1 , v 2x= 0 saame

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Siit a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2.

Suusataja liikumismoodul esimesel liikumisetapil on võrdne mäe nõlva pikkusega. Kirjutame nihke võrrandi:

s 1x = v 01x t + .

Seega on mäe nõlva pikkus s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Vastus: a 2 \u003d 0,125 m/s 2; s 1 = 100 m.

Küsimused enesekontrolliks

1. Nagu ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruse teljel projektsiooni graafiku järgi X

2. Nagu vastavalt graafikule ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise kiiruse projektsioonist teljel X ajast määrata keha nihke projektsioon?

3. Millise valemiga arvutatakse keha nihke projektsioon ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise ajal?

4. Millise valemiga arvutatakse ühtlaselt kiirendatud ja sirgjooneliselt liikuva keha nihke projektsioon, kui keha algkiirus on null?

Ülesanne 7

1. Kui suur on auto nihkemoodul 2 minutiga, kui selle aja jooksul on kiirus muutunud 0-lt 72 km/h-le? Mis on hetkel auto koordinaat t= 2 minutit? Eeldatakse, et esialgne koordinaat on null.

2. Rong liigub algkiirusega 36 km/h ja kiirendusega 0,5 m/s 2 . Mis on rongi veeväljasurve 20 s ja selle koordinaat ajahetkel t= 20 s, kui rongi stardikoordinaat on 20 m?

4. Kiirusega 54 km/h liikuv auto peatub 15 sekundi jooksul pidurdades. Mis on auto nihkemoodul pidurdamisel?

Labor nr 1

Uuring ühtlaselt kiirendatud
sirgjooneline liikumine

Töö eesmärk:

Seadmed ja materjalid:

renn, statiiv, metallkuul, stopper, mõõdulint, metallist silinder.

Töökäsk

1. Kinnitage renni üks ots statiivi jalusse nii, et see moodustaks laua pinnaga väikese nurga, renni teise otsa asetage metallist silinder.

3. Leidke teise sekundi jooksul läbitud tee ja esimese sekundi jooksul läbitud tee ning kolmandas sekundis läbitud tee ja esimese sekundi jooksul läbitud tee suhe. Tee järeldus.

4. Mõõtke aega, mille jooksul pall läbis mööda renni, ja selle läbitud vahemaa. Arvutage selle kiirendus valemi abil s = .

5. Kasutades katseliselt saadud kiirenduse väärtust, arvuta välja teekonnad, mida pall oma liikumise esimesel, teisel ja kolmandal sekundil läbima peab. Tee järeldus.

Tabel 1

kogemuse number

Eksperimentaalsed andmed

Teoreetilised tulemused

Aeg t , Koos

Tee s , cm

Aeg t , Koos

Tee

s, cm

Kiirendus a, cm/s2

Aegt, Koos

Tee s , cm

Kuidas, teades pidurdusteekonda, määrata auto algkiirust ja kuidas, teades liikumise omadusi, nagu algkiirus, kiirendus, aeg, määrata auto liikumine? Vastused saame peale tänase tunni teemaga tutvumist: "Ühtlaselt kiirendatud liikumisega nihe, ühtlaselt kiirendatud liikumise korral koordinaatide sõltuvus ajast"

Ühtlaselt kiirendatud liikumise korral näeb graafik välja nagu ülespoole suunduv sirgjoon, kuna selle kiirenduse projektsioon on suurem kui null.

Ühtlase sirgjoonelise liikumise korral on pindala arvuliselt võrdne keha nihke projektsiooni mooduliga. Selgub, et seda fakti saab üldistada mitte ainult ühtlase liikumise, vaid ka mis tahes liikumise korral, st näidata, et graafikualune pindala on arvuliselt võrdne nihke projektsioonimooduliga. Seda tehakse rangelt matemaatiliselt, kuid me kasutame graafilist meetodit.

Riis. 2. Kiiruse sõltuvus ajast ühtlaselt kiirendatud liikumise korral ()

Jagame ühtlaselt kiirendatud liikumise ajal kiiruse projektsiooni graafiku väikesteks ajavahemikeks Δt. Oletame, et need on nii väikesed, et nende pikkuse jooksul kiirus praktiliselt ei muutunud, st muudame tinglikult joonisel oleva lineaarse sõltuvuse graafiku redeliks. Usume igal selle sammul, et kiirus pole palju muutunud. Kujutage ette, et muudame ajavahemikud Δt lõpmatult väikeseks. Matemaatikas öeldakse: me teeme läbipääsu piirini. Sel juhul langeb sellise redeli pindala lõputult täpselt kokku trapetsi pindalaga, mis on piiratud graafikuga V x (t). Ja see tähendab, et ühtlaselt kiirendatud liikumise korral võime öelda, et nihke projektsioonimoodul on arvuliselt võrdne alaga, mida piirab graafik V x (t): abstsisstelljed ja ordinaatteljed ning abstsissteljega langetatud risti, see tähendab trapetsikujulise OABS-i pindala, mida näeme joonisel 2.

Probleem muutub füüsilisest matemaatiliseks - trapetsi pindala leidmiseks. See on standardne olukord, kui füüsikud koostage mudel, mis kirjeldab konkreetset nähtust, ja siis tuleb mängu matemaatika, mis rikastab seda mudelit võrrandite, seadustega - see muudab mudeli teooriaks.

Leiame trapetsi pindala: trapets on ristkülikukujuline, kuna telgede vaheline nurk on 90 0, jagame trapetsi kaheks kujundiks - ristkülikuks ja kolmnurgaks. See on ilmne kogupindala on võrdne nende arvude pindalade summaga (joonis 3). Leiame nende pindalad: ristküliku pindala on võrdne külgede korrutisega, see tähendab V 0x t, pindala täisnurkne kolmnurk võrdub poolega jalgade korrutisest - 1/2AD BD, asendades projektsiooniväärtused, saame: 1/2t (V x - V 0x) ja, pidades meeles kiiruse muutumise seadust ajas ühtlaselt kiirendatud liikumisel : V x (t) = V 0x + a x t, on täiesti ilmne, et kiiruste projektsioonide erinevus võrdub kiirenduse a x projektsiooni korrutisega aja t järgi, st V x - V 0x = a x t.

Riis. 3. Trapetsi pindala määramine ( Allikas)

Võttes arvesse asjaolu, et trapetsi pindala on arvuliselt võrdne nihke projektsioonimooduliga, saame:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2/2

Oleme saanud nihke projektsiooni ajast sõltuvuse seaduse ühtlaselt kiirendatud liikumisega skalaarses vormis, vektori kujul näeb see välja järgmine:

(t) = t + t 2/2

Tuletame veel ühe nihke projektsiooni valemi, mis ei sisalda muutujana aega. Lahendame võrrandisüsteemi, jättes sellest välja aja:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2/2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Kujutage ette, et me ei tea aega, siis väljendame aega teisest võrrandist:

t \u003d V x - V 0x / a x

Asendage saadud väärtus esimese võrrandiga:

Saame sellise tülika avaldise, paneme selle ruutudeks ja anname sarnased:

Oleme saanud väga mugava nihke projektsiooni avaldise juhuks, kui me ei tea liikumisaega.

Olgu meil auto algkiirus pidurdamise alguses V 0 \u003d 72 km / h, lõppkiirus V \u003d 0, kiirendus a \u003d 4 m / s 2. Uurige pidurdusteekonna pikkust. Teisendades kilomeetrid meetriteks ja asendades väärtused valemiga, saame, et peatumisteekond on:

S x \u003d 0-400 (m/s) 2/-2 4 m/s 2 \u003d 50 m

Analüüsime järgmist valemit:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Liikumise projektsioon on pool alg- ja lõppkiiruse projektsioonide summast, mis on korrutatud liikumise ajaga. Tuletage meelde keskmise kiiruse nihke valem

S x \u003d V vrd t

Ühtlaselt kiirendatud liikumise korral on keskmine kiirus:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Oleme jõudnud lähedale ühtlaselt kiirendatud liikumise mehaanika põhiprobleemi lahendamisele ehk seaduse saamisele, mille kohaselt koordinaat ajas muutub:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2/2

Selle seaduse kasutamise õppimiseks analüüsime tüüpilist probleemi.

Puhkeseisundist liikuv auto omandab kiirenduse 2 m / s 2. Leia auto läbitud vahemaa 3 sekundiga ja kolmanda sekundiga.

Antud on: V 0 x = 0

Paneme kirja seaduse, mille järgi nihe muutub ajas kell

ühtlaselt kiirendatud liikumine: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2 c

Saame vastata probleemi esimesele küsimusele, ühendades andmed:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - see on tee, mis läks

c auto 3 sekundiga.

Uurige, kui kaugele ta 2 sekundiga läbis:

S x (2 s) \u003d a x t 2/2 \u003d 2 2 2/2 \u003d 4 (m)

Nii et sina ja mina teame, et kahe sekundiga sõitis auto 4 meetrit.

Nüüd, teades neid kahte vahemaad, leiame tee, mille ta läbis kolmanda sekundi jooksul:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 \u003d 5 (m)

Ühtlaselt kiirendatud liikumine nimetatakse sellist liikumist, mille puhul kiirendusvektor jääb suuruselt ja suunalt muutumatuks. Sellise liikumise näiteks on horisondi suhtes teatud nurga all visatud kivi liikumine (õhutakistust eirates). Trajektoori mis tahes punktis on kivi kiirendus võrdne vabalangemise kiirendusega. Seega taandatakse ühtlaselt kiirendatud liikumise uurimine sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise uurimisele. Sirgjoonelise liikumise korral on kiirus- ja kiirendusvektorid suunatud piki liikumissirget. Seetõttu võib liikumissuuna projektsioonides kiirust ja kiirendust pidada algebralisteks suurusteks. Ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise korral määratakse keha kiirus valemiga (1)

Selles valemis on keha kiirus kell t = 0 (alguskiirus ), = const – kiirendus. Projektsioonis valitud x-teljele kirjutatakse võrrand (1) kujul: (2). Kiiruse projektsiooni graafikul υ x ( t), on sellel sõltuvusel sirge kuju.

Kiiruse graafiku kalde järgi saab määrata kiirenduse a keha. Vastavad konstruktsioonid on tehtud joonistel fig. graafikule I Kiirendus on arvuliselt võrdne kolmnurga külgede suhtega ABC: .

Mida suurem on nurk β, mis moodustab kiirusgraafiku ajateljega, st seda suurem on graafiku kalle ( järsus), seda suurem on keha kiirendus.

Graafiku I jaoks: υ 0 \u003d -2 m / s, a\u003d 1/2 m/s 2. II graafiku jaoks: υ 0 \u003d 3 m / s, a\u003d -1/3 m/s 2.

Kiirusgraafik võimaldab määrata ka keha nihke s projektsiooni mõneks ajaks t. Eraldagem ajateljele mingi väike ajavahemik Δt. Kui see ajavahemik on piisavalt väike, on kiiruse muutus sellel intervallil väike, st liikumist selle intervalli jooksul võib lugeda ühtlaseks keskmine kiirus, mis võrdub keha hetkkiirusega υ intervalli Δt keskel. Seetõttu on nihe Δs aja jooksul Δt võrdne Δs = υΔt. See nihe on võrdne joonisel fig. triibud. Jagades ajavahemiku 0 kuni teatud hetkeni t väikesteks intervallideks Δt, saame, et nihe s antud aja t jooksul ühtlaselt kiirendatud sirgjoonelise liikumise ajal on võrdne trapetsi ODEF pindalaga. Vastavad konstruktsioonid on tehtud joonistel fig. graafiku II jaoks. Aeg t võrdub 5,5 s.

(3) - saadud valem võimaldab teil määrata ühtlaselt kiirendatud liikumisega nihke, kui kiirendus pole teada.

Kui asendame kiiruse (2) avaldise võrrandiga (3), saame (4) - seda valemit kasutatakse keha liikumise võrrandi kirjutamiseks: (5).

Kui väljendame võrrandist (2) liikumisaega (6) ja asendame võrrandiga (3), siis

See valem võimaldab teil määrata liikumise teadmata liikumisajal.

Vaatleme, kuidas arvutatakse ühtlaselt kiirendusega liikuva keha nihkevektori projektsioon, kui selle algkiirus v 0 on võrdne nulliga. Sel juhul võrrand

näeb välja selline:

Kirjutame selle võrrandi ümber, asendades sellesse projektsioonide s x ja a x asemel vektorite moodulid s ja a

nihe ja kiirendus. Kuna sel juhul on vektorid sua suunatud samas suunas, on nende projektsioonid samade tunnustega. Seetõttu saab vektorite moodulite võrrandi kirjutada:

Sellest valemist järeldub, et sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise korral ilma algkiiruseta on nihkevektori moodul otseselt võrdeline selle ajaintervalli ruuduga, mille jooksul see liikumine tehti. See tähendab, et liikumisaja pikenemisega n korda (loendatakse liikumise alguse hetkest) suureneb liikumine n 2 korda.

Näiteks kui suvalise ajavahemiku t 1 jooksul alates liikumise algusest keha liikus

siis teatud aja jooksul t 2 \u003d 2t 1 (loendatakse samast hetkest kui t 1) see liigub

ajaperioodiks t n \u003d nt l - nihe s n \u003d n 2 s l (kus n on naturaalarv).

See nihkevektori mooduli sõltuvus ajast sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise korral ilma algkiiruseta kajastub selgelt joonisel 15, kus segmendid OA, OB, OS, OD ja OE on nihkevektorite (s 1, s) moodulid. 2, s 3, s 4 ja s 5), mille keha on toime pannud vastavalt ajavahemike t 1 , t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 ja t 5 = 5 t 1 jaoks.

Riis. 15. Ühtlaselt kiirendatud liikumise mustrid: OA:OB:OC:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Sellelt jooniselt on selge, et

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

st liikumise algusest loetud ajavahemike suurenemisel täisarvu kordade võrra võrreldes t 1-ga kasvavad vastavate nihkevektorite moodulid järjestikuste naturaalarvude ruutude jadana.

Joonis 15 näitab teist mustrit:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

st keha poolt järjestikuste võrdsete ajavahemike jooksul sooritatud nihkevektorite moodulid (millest igaüks on võrdne t 1-ga) on seotud järjestikuste paaritute arvude jaana.

Regulaarsused (1) ja (2) on omased ainult ühtlaselt kiirendatud liikumisele. Seetõttu saab neid kasutada, kui on vaja kindlaks teha, kas liikumine on ühtlaselt kiirenenud või mitte.

Teeme näiteks kindlaks, kas ühtlaselt kiirenes liikumine kohleku, mis liikus esimese 20 sekundi jooksul 0,5 cm, teisel 20 sekundil 1,5 cm ja kolmandal 20 sekundil 2,5 cm.

Selleks leiame, mitu korda on teisel ja kolmandal ajaintervallil tehtud liigutused suuremad kui esimeses:

See tähendab, et 0,5 cm: 1,5 cm: 2,5 cm = 1: 3: 5. Kuna need suhted on järjestikuste paaritute arvude jada, kiirenes keha liikumine ühtlaselt.

Sel juhul selgus liikumise ühtlaselt kiirendatud iseloom regulaarsuse alusel (2).

Küsimused

Milliste valemitega arvutatakse keha nihkevektori projektsioon ja moodul selle ühtlaselt kiirendatud liikumisel puhkeseisundist?
Mitu korda suureneb keha nihkevektori moodul selle puhkeolekust liikumise aja suurenemisel n korda?
Kirjutage üles, kuidas puhkeseisundist ühtlaselt kiirendatud liikumiskiirusega liikuva keha nihkevektorite moodulid suhestuvad üksteisega tema liikumisaja pikenemisega võrreldes t 1 -ga täisarvu kordades.
Kirjutage üles, kuidas keha poolt järjestikuste võrdsete ajavahemike järel sooritatavate nihkevektorite moodulid on omavahel seotud, kui see keha liigub puhkeseisundist ühtlaselt kiirendatult.
Mis on seaduspärasuste (1) ja (2) kasutamise eesmärk?

Harjutus 8

Esimese 20 sekundi jooksul jaamast väljuv rong liigub sirgjooneliselt ja ühtlaselt kiirendades. On teada, et kolmandal sekundil liikumise algusest läbis rong 2 m Määrata rongi poolt esimesel sekundil tehtud nihkevektori moodul ja kiirendusvektori moodul, millega ta liikus.
Puhkeseisundist ühtlaselt kiirendatult liikuv auto läbib kiirenduse viiendal sekundil 6,3 m Millise kiiruse on auto arenenud viienda sekundi lõpuks alates liikumise algusest?
Mõni keha liikus esimese 0,03 sekundi jooksul ilma algkiiruseta 2 mm, esimese 0,06 s - 8 mm, esimese 0,09 s - 18 mm. Tuginedes regulaarsusele (1), tõesta, et kogu 0,09 s jooksul liikus keha ühtlaselt kiirendatult.

Küsimused.

1. Milliste valemitega arvutatakse keha nihkevektori projektsioon ja moodul selle ühtlaselt kiirendatud liikumisel puhkeseisundist?

2. Mitu korda suureneb keha nihkevektori moodul selle puhkeolekust liikumise aja suurenemisel n korda?

3. Kirjutage üles, kuidas puhkeseisundist ühtlaselt kiirendatud liikuva keha nihkevektorite moodulid on omavahel seotud tema liikumisaja pikenemisega täisarvu kordades võrreldes t 1-ga.

4. Kirjutage üles, kuidas keha poolt järjestikuste võrdsete ajavahemike järel sooritatavate nihkevektorite moodulid on omavahel seotud, kui see keha liigub puhkeseisundist ühtlaselt kiirendatult.

5. Mis eesmärgil saab kasutada seaduspärasusi (3) ja (4)?

Regulaarsuste (3) ja (4) abil tehakse kindlaks, kas liikumine on ühtlaselt kiirenenud või mitte (vt lk.33).

Harjutused.

1. Esimese 20 sekundi jooksul jaamast väljuv rong liigub sirgjooneliselt ja ühtlaselt kiirendatult. On teada, et kolmandal sekundil liikumise algusest läbis rong 2 m Määrata rongi poolt esimesel sekundil tehtud nihkevektori moodul ja kiirendusvektori moodul, millega ta liikus.