Neparna funkcija snage. Funkcija stepena, njezina svojstva i graf. Funkcija potencije s negativnim eksponentom p

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije stepena. Negativan cijeli eksponent. Graf funkcije stepena"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u Internet trgovini Integral za 9. razred
Interaktivni priručnik "Pravila i vježbe iz algebre" za 9. razred
Multimedijski udžbenik za 9. razred "Algebra u 10 minuta"

Vrsta funkcije potencije s negativnim eksponentom

Dečki, nastavljamo proučavati numeričke funkcije. Tema današnje lekcije također će biti potencne funkcije, ali ne s prirodnim eksponentom, već s negativnim cijelim brojem.
ima sljedeći oblik: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Jedna od tih funkcija koju jako dobro poznajemo je hiperbola. Sjećate li se grafikona hiperbole? Izgradite ga sami.

Pogledajmo jednu od funkcija koja nam odgovara i definirajmo joj svojstva. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Počnimo našu studiju s paritetom. Vrijedno je napomenuti da svojstvo pariteta uvelike pojednostavljuje konstrukciju grafova funkcija, jer možemo iscrtati polovicu grafa i onda ga jednostavno reflektirati.
Domena definicije naše funkcije je skup realnih brojeva, osim nule, svi dobro znamo da ne možemo dijeliti s nulom. Domena definicije je simetrični skup, nastavljamo s izračunavanjem vrijednosti funkcije iz negativnog argumenta.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Naša funkcija je ravnomjerna. To znači da možemo konstruirati grafikon za $x≥0$, a zatim ga reflektirati u odnosu na y-os.
Dečki, ovaj put predlažem da zajedno napravimo graf funkcije, kao što to rade u matematici za "odrasle". Prvo ćemo odrediti svojstva naše funkcije, a zatim ćemo na temelju njih izgraditi graf. Uzet ćemo u obzir da je $x>0$.
1. Područje definicije D(y)=(0;+∞).
2. Funkcija je opadajuća. Idemo to provjeriti. Neka $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. Budući da dijelimo s većim brojem, ispada da sama funkcija jest višeće biti manje, što znači smanjenje.
3. Funkcija je ograničena odozdo. Očito, $\frac(1)(x^2)>0$, što znači da je ograničen odozdo.
Ne postoji gornja granica, jer ako vrijednost argumenta uzmemo vrlo malu, blizu nule, tada će vrijednost funkcije težiti plus beskonačnosti.
4. Ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost. Najveća vrijednost ne, budući da funkcija nije gornje ograničena. Što učiniti s najmanjom vrijednošću, jer je funkcija ograničena odozdo.

Što znači da funkcija ima najmanju vrijednost?

Postoji točka x0 takva da za sve x iz domene definicije $f(x)≥f(x0)$, ali je naša funkcija opadajuća kroz cijelu domenu definicije, tada postoji broj $x1>x0$, ali $f(x1)

Grafovi potencijskih funkcija s negativnim eksponentima

Nacrtajmo našu funkciju točku po točku.




Graf naše funkcije vrlo je sličan grafu hiperbole.
Iskoristimo svojstvo parnosti i prikažimo graf u odnosu na ordinatnu os.

Napišimo svojstva naše funkcije za sve vrijednosti x.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Parna funkcija.
3) Povećava se za (-∞;0], smanjuje se za .
Riješenje. Funkcija opada u cijeloj domeni definicije, a zatim najveću i najmanju vrijednost postiže na krajevima segmenta. Najveća vrijednost bit će na lijevom kraju segmenta $f(1)=1$, a najmanja na desnom kraju $f(3)=\frac(1)(27)$.
Odgovor: Najveća vrijednost je 1, najmanja je 1/27.

Primjer. Konstruirajte graf funkcije $y=(x+2)^(-4)+1$.
Riješenje. Graf naše funkcije dobivamo iz grafa funkcije $y=x^(-4)$ pomicanjem dvije jedinice ulijevo i jednu jedinicu gore.
Izgradimo grafikon:

Problemi koje treba samostalno riješiti

1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije $y=\frac(1)(x^4)$ na segmentu.
2. Konstruirajte graf funkcije $y=(x-3)^(-5)+2$.

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, na njima se sve temelji, od njih se sve gradi i na njih se sve svodi.

U ovom ćemo članku navesti sve glavne elementarne funkcije, dati njihove grafove i dati bez zaključaka ili dokaza svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema shemi:

• ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (po potrebi vidjeti članak klasifikacija točaka diskontinuiteta funkcije);
• par i nepar;
• intervali konveksnosti (konveksnost prema gore) i konkavnosti (konveksnost prema dolje), točke infleksije (po potrebi vidi članak konveksnost funkcije, smjer konveksnosti, točke infleksije, uvjeti konveksnosti i infleksije);
• kose i horizontalne asimptote;
• singularne točke funkcija;
• posebna svojstva nekih funkcija (npr. najmanji pozitivni period trigonometrijskih funkcija).

Ako ste zainteresirani za ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), n-ti korijen, potencijska funkcija, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijska i inverzna trigonometrijska funkcija.

Navigacija po stranici.

Stalna funkcija.

Konstantna funkcija definirana je na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realni broj. Konstantna funkcija pridružuje svaku realnu vrijednost nezavisne varijable x istoj vrijednosti zavisne varijable y - vrijednosti C. Konstantna funkcija naziva se i konstanta.

Graf konstantne funkcije je ravna linija paralelna s x-osi koja prolazi točkom s koordinatama (0,C). Kao primjer prikazat ćemo grafove konstantnih funkcija y=5, y=-2 i, koje na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji.

Svojstva konstantne funkcije.

• Domena: cijeli skup realnih brojeva.
• Konstantna funkcija je parna.
• Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od singularnog broja C.
• Konstantna funkcija je nerastuća i neopadajuća (zato je i konstantna).
• O konveksnosti i konkavnosti konstante nema smisla govoriti.
• Nema asimptota.
• Funkcija prolazi kroz točku (0,C) koordinatne ravnine.

Korijen n-tog stupnja.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju, koja je dana formulom, gdje je n prirodni broj veći od jedan.

Korijen n-tog stupnja, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Kao primjer, ovdje je slika sa slikama grafova funkcija i odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafikoni korijenskih funkcija parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Svojstva funkcije n-tog korijena za parni n.

N-ti korijen, n je neparan broj.

Funkcija n-tog korijena s eksponentom neparnog korijena n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, ovdje su grafikoni funkcija i odgovaraju crnim, crvenim i plavim krivuljama.

Za druge neparne vrijednosti eksponenta korijena, grafikoni funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije n-tog korijena za neparan n.

Funkcija snage.

Funkcija snage dana je formulom oblika .

Razmotrimo oblik grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena ovisno o vrijednosti eksponenta.

Počnimo s potencnom funkcijom s cjelobrojnim eksponentom a. U tom slučaju izgled grafova potencijskih funkcija i svojstva funkcija ovise o parnosti ili neparnosti eksponenta, kao io njegovom predznaku. Stoga ćemo najprije razmotriti funkcije potencije za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne eksponente, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju za parne negativne a.

Svojstva potencijskih funkcija s razlomačkim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih potencijskih funkcija) ovise o vrijednosti eksponenta a. Razmotrit ćemo ih, prvo, za a od nula do jedan, drugo, za veće od jedan, treće, za a od minus jedan do nula, četvrto, za manje od minus jedan.

Na kraju ovog odjeljka, radi cjelovitosti, opisat ćemo funkciju potencije s nultim eksponentom.

Funkcija potencije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju snage s neparnim pozitivnim eksponentom, to jest s a = 1,3,5,....

Donja slika prikazuje grafove funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija, – zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Svojstva funkcije potencije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija potencije s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju snage s parnim pozitivnim eksponentom, to jest za a = 2,4,6,....

Kao primjer navodimo grafove funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija. Za a=2 imamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije potencije s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija potencije s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafove potencije za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za a = -1, -3, -5,....

Na slici su kao primjeri prikazani grafovi potencijskih funkcija - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo obrnuta proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Svojstva potencne funkcije s nepar negativan pokazatelj.

Funkcija potencije s parnim negativnim eksponentom.

Prijeđimo na funkciju snage za a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafovi funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija.

Svojstva funkcije potencije s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija potencije s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je područje definicije funkcije snage interval. Propisuje se da je eksponent a nesvodivi razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i načelima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo ovog stajališta, odnosno skupom ćemo smatrati domene definiranja potencijskih funkcija s razlomačkim pozitivnim eksponentima. Preporučamo da učenici saznaju mišljenje svog učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli nesuglasice.

Razmotrimo funkciju potencije s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Prikažimo grafove funkcija snage za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija potencije s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju potencije s necijelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Prikažimo grafove funkcija snage zadane formulama (redom crne, crvene, plave i zelene linije).

>

Za ostale vrijednosti eksponenta a, grafikoni funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage pri .

Funkcija potencije s realnim eksponentom većim od minus jedan i manjim od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je domena definicije funkcije snage interval . Propisuje se da je eksponent a nesvodivi razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i načelima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo ovog stajališta, odnosno domene definiranja potencijskih funkcija s razlomačkim razlomačkim negativnim eksponentima smatrat ćemo skupom, odnosno skupom. Preporučamo da učenici saznaju mišljenje svog učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli nesuglasice.

Prijeđimo na funkciju snage, kgod.

Da bismo imali dobru predodžbu o obliku grafova funkcija snage za , dajemo primjere grafova funkcija (crna, crvena, plava i zelena krivulja).

Svojstva potencije s eksponentom a, .

Funkcija potencije s necijelim realnim eksponentom koji je manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija snage za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva funkcije potencije s necijelim negativnim eksponentom manjim od minus jedan.

Kada je a = 0, imamo funkciju - to je ravna crta iz koje je isključena točka (0;1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 ne pridaje nikakav značaj).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od glavnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Graf eksponencijalne funkcije, gdje i uzima drugačija vrsta ovisno o vrijednosti baze a. Hajdemo shvatiti ovo.

Najprije razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije poprima vrijednost od nula do jedan, tj.

Kao primjer prikazujemo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Grafikoni eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za ostale vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Prijeđimo na slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, tj.

Kao ilustraciju donosimo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za ostale vrijednosti baze veće od jedan, grafikoni eksponencijalne funkcije imat će sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija, gdje je , . Logaritamska funkcija definirana je samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Graf logaritamske funkcije ima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a.

Počnimo sa slučajem kada .

Kao primjer prikazujemo grafove logaritamske funkcije za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Za ostale vrijednosti baze koje ne prelaze jedan, grafikoni logaritamske funkcije imat će sličan izgled.

Svojstva logaritamske funkcije s bazom manjom od jedan.

Prijeđimo na slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan ().

Pokažimo grafove logaritamskih funkcija - plava linija, - crvena linija. Za ostale vrijednosti baze veće od jedan, grafikoni logaritamske funkcije imat će sličan izgled.

Svojstva logaritamske funkcije s bazom većom od jedan.

Trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Sve trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangens i kotangens) spadaju u osnovne elementarne funkcije. Sada ćemo pogledati njihove grafove i navesti njihova svojstva.

Trigonometrijske funkcije imaju pojam frekvencija(ponavljanje vrijednosti funkcije za različite vrijednosti argumenata koje se međusobno razlikuju po razdoblju , gdje je T period), stoga je dodana stavka na popis svojstava trigonometrijskih funkcija "najmanje pozitivno razdoblje". Također, za svaku trigonometrijsku funkciju naznačit ćemo vrijednosti argumenta kod kojih odgovarajuća funkcija nestaje.

Pozabavimo se sada svim trigonometrijskim funkcijama redom.

Sinus funkcije y = sin(x) .

Nacrtajmo graf sinusne funkcije, zove se "sinusni val".

Svojstva funkcije sinus y = sinx.

Kosinus funkcije y = cos(x) .

Grafikon kosinusne funkcije (zvane "kosinus") izgleda ovako:

Svojstva kosinusne funkcije y = cosx.

Tangentna funkcija y = tan(x) .

Graf funkcije tangente (zvane "tangentoid") izgleda ovako:

Svojstva funkcije tangente y = tanx.

Kotangens funkcije y = ctg(x) .

Nacrtajmo graf funkcije kotangens (naziva se "kotangentoid"):

Svojstva kotangens funkcije y = ctgx.

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Inverzne trigonometrijske funkcije (arc sinus, arc kosinus, arc tangens i arc kotangens) su osnovne elementarne funkcije. Često se, zbog prefiksa "luk", inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju lučnim funkcijama. Sada ćemo pogledati njihove grafove i navesti njihova svojstva.

Arkus sinus funkcije y = arcsin(x) .

Nacrtajmo arksinus funkcije:

Svojstva arkotangens funkcije y = arcctg(x) .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovne ustanove.
• Vygodsky M.Ya. Priručnik za elementarnu matematiku.
• Novoselov S.I. Algebra i elementarne funkcije.
• Tumanov S.I. Elementarna algebra. Priručnik za samoobrazovanje.

Jeste li upoznati s funkcijama y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage tj. funkcije y=x str, gdje je p zadani realni broj. Svojstva i graf potencije značajno ovise o svojstvima potencije s realnim eksponentom, a posebno o vrijednostima za koje x I str stupanj ima smisla x str. Prijeđimo na slično razmatranje različitih slučajeva ovisno o eksponentu str.

Indeks p=2n-parni prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x 2n, Gdje n- prirodni broj, ima sljedeće

Svojstva:

domena definicije - svi realni brojevi, tj. skup R;

skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;

funkcija y=x 2nčak, jer x 2n =(-x) 2n

funkcija je opadajuća na intervalu x<0 i raste na intervalu x>0.

Graf funkcije y=x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- neparan prirodan broj U ovom slučaju funkcija potencije y=x 2n-1, gdje je prirodni broj, ima sljedeća svojstva:

domena definiranja - skup R;

skup vrijednosti - skup R;

funkcija y=x 2n-1čudno jer (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Graf funkcije y=x2n-1 ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x3.

3.Pokazatelj p=-2n, Gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x -2n =1/x 2n ima sljedeća svojstva:

skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;

funkcija y =1/x 2nčak, jer 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funkcija raste na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graf funkcije y =1/x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y =1/x 2 .

4. Indikator p=-(2n-1), Gdje n- prirodni broj. U ovom slučaju, funkcija snage y=x -(2n-1) ima sljedeća svojstva:

domena definicije - skup R, osim x=0;

skup vrijednosti - skup R, osim y=0;

funkcija y=x -(2n-1)čudno jer (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funkcija je opadajuća na intervalima x<0 I x>0.

Graf funkcije y=x -(2n-1) ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=1/x 3 .

1. Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

1. arcsin funkcija

Graf funkcije .

Arksinus brojevima m ova vrijednost kuta se zove x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena duž cijele brojevne crte. Funkcija je u strogom porastu.

1. [Uredi]Svojstva funkcije arcsin

1. [Uredi]Dohvaćanje funkcije arcsin

S obzirom na funkciju Throughout its whole domena definicije slučajno je po komadu monoton, i, prema tome, inverzna korespondencija nije funkcija. Stoga ćemo razmotriti segment na kojem ona striktno raste i poprima sve vrijednosti raspon vrijednosti- . Budući da za funkciju na intervalu svaka vrijednost argumenta odgovara jednoj vrijednosti funkcije, tada na tom intervalu postoji inverzna funkcija čiji je graf simetričan grafu funkcije na odsječku u odnosu na ravnu liniju

Funkcija snage je funkcija forme y = x str, gdje je p zadani realni broj.

Svojstva funkcije snage

1. Ako indikator p = 2n- paran prirodan broj:
   • domena definicije - svi realni brojevi, tj. skup R;
   • skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y ≥ 0;
   • funkcija je parna;
   • funkcija je padajuća na intervalu x ≤ 0 i rastuća na intervalu x ≥ 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p = 2n: y = x 4.


2. Ako indikator p = 2n - 1- neparni prirodni broj:
   • domena definiranja - skup R;
   • skup vrijednosti - skup R;
   • funkcija je neparna;
   • funkcija raste na cijeloj realnoj osi.
   Primjer funkcije s eksponentom p = 2n - 1: y = x 5.


3. Ako indikator p = -2n, Gdje n- prirodni broj:
   • skup vrijednosti - pozitivni brojevi y> 0;
   • funkcija je parna;
   • funkcija raste na intervalu x 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p = -2n: y = 1/x 2.


4. Ako indikator p = -(2n - 1), Gdje n- prirodni broj:
   • domena definicije - skup R, osim za x = 0;
   • skup vrijednosti - skup R, osim y = 0;
   • funkcija je neparna;
   • funkcija je opadajuća na intervalima x 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. Ako indikator str- pozitivan realni necijeli broj:
   • domena definiranja - nenegativni brojevi x ≥ 0;
   • skup vrijednosti - nenegativni brojevi y ≥ 0;
   • funkcija je rastuća na intervalu x ≥ 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p, gdje je p pozitivan realni necijeli broj: y = x 4/3.


6. Ako indikator str- negativni realni necijeli broj:
   • domena definiranosti - pozitivni brojevi x > 0;
   • skup vrijednosti - pozitivni brojevi y> 0;
   • funkcija je opadajuća na intervalu x > 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p, gdje je p negativan realni necijeli broj: y = x -1/3.

10. razred

FUNKCIJA SNAGE

Vlast nazvaofunkcija dana formulomGdje, str – neki realni broj.

ja . Indeks- paran prirodan broj. Zatim funkcija snage Gdjen

D ( g )= (−; +).

2) Raspon vrijednosti funkcije je skup nenegativnih brojeva, ako:

skup nepozitivnih brojeva ako:

3) ) . Dakle funkcijaJoj .

4) Ako, tada funkcija opada kaox (- ; 0] i raste sx a smanjuje se nax }