Power udda funktion. Potensfunktion, dess egenskaper och graf. Potensfunktion med negativ exponent sid

Lektion och presentation om ämnet: "Powerfunktioner. Negativ heltalsexponent. Graf över en potensfunktion"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål! Allt material har kontrollerats av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i Integrals webbutik för årskurs 9
Interaktiv manual "Regler och övningar i algebra" för årskurs 9
Multimedialärobok för årskurs 9 "Algebra på 10 minuter"

Typ av potensfunktion med negativ exponent

Killar, vi fortsätter att studera numeriska funktioner. Ämnet för dagens lektion kommer också att vara potensfunktioner, men inte med en naturlig exponent, utan med ett negativt heltal.
har följande form: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
En av dessa funktioner vi känner mycket väl är hyperbolen. Kommer ni ihåg hyperbeldiagrammet? Bygg den själv.

Låt oss titta på en av de funktioner som passar oss och definiera egenskaper för den. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Låt oss börja vår studie med paritet. Det är värt att notera att paritetsegenskapen avsevärt förenklar konstruktionen av funktionsgrafer, eftersom vi kan plotta hälften av grafen och sedan helt enkelt reflektera den.
Definitionsdomänen för vår funktion är mängden reella tal, utom noll; vi vet alla mycket väl att vi inte kan dividera med noll. Definitionsdomänen är en symmetrisk mängd; vi fortsätter med att beräkna värdet på funktionen från det negativa argumentet.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Vår funktion är jämn. Det betyder att vi kan konstruera en graf för $x≥0$ och sedan reflektera den i förhållande till y-axeln.
Killar, den här gången föreslår jag att bygga en graf över en funktion tillsammans, som de gör i "vuxen" matematik. Först kommer vi att bestämma egenskaperna för vår funktion, och sedan bygger vi en graf utifrån dem. Vi kommer att ta hänsyn till att $x>0$.
1. Definitionsdomän D(y)=(0;+∞).
2. Funktionen minskar. Låt oss kolla upp det. Låt $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. Eftersom vi dividerar med ett större tal visar det sig att själva funktionen är det Mer kommer att bli mindre, vilket innebär att minska.
3. Funktionen är begränsad underifrån. Uppenbarligen $\frac(1)(x^2)>0$, vilket betyder att den är avgränsad underifrån.
Det finns ingen övre gräns, eftersom om vi tar värdet på argumentet väldigt litet, nära noll, kommer värdet på funktionen att tendera till plus oändlighet.
4. Det finns inget högsta eller lägsta värde. Största värdet nej, eftersom funktionen inte är övre gräns. Vad ska man göra med det minsta värdet, eftersom funktionen är avgränsad underifrån.

Vad betyder det att en funktion har det minsta värdet?

Det finns en punkt x0 så att för alla x från definitionsdomänen $f(x)≥f(x0)$, men vår funktion minskar över hela definitionsdomänen, så finns det ett tal $x1>x0$, men $f(x1)

Grafer över potensfunktioner med negativa exponenter

Låt oss rita upp vår funktion punkt för punkt.




Grafen för vår funktion är mycket lik grafen för en hyperbel.
Låt oss använda egenskapen paritet och visa grafen i förhållande till ordinataaxeln.

Låt oss skriva egenskaperna för vår funktion för alla värden på x.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Jämn funktion.
3) Ökar med (-∞;0], minskar med .
Lösning. Funktionen minskar genom hela definitionsdomänen, sedan når den sina största och minsta värden i slutet av segmentet. Det största värdet kommer att vara i den vänstra änden av segmentet $f(1)=1$, det minsta i den högra änden $f(3)=\frac(1)(27)$.
Svar: Det största värdet är 1, det minsta är 1/27.

Exempel. Konstruera en graf av funktionen $y=(x+2)^(-4)+1$.
Lösning. Grafen för vår funktion erhålls från grafen för funktionen $y=x^(-4)$ genom att flytta den två enheter åt vänster och en enhet upp.
Låt oss bygga en graf:

Problem att lösa självständigt

1. Hitta det minsta och största värdet för funktionen $y=\frac(1)(x^4)$ på segmentet.
2. Konstruera en graf av funktionen $y=(x-3)^(-5)+2$.

Kunskap grundläggande elementära funktioner, deras egenskaper och grafer inte mindre viktigt än att känna till multiplikationstabellerna. De är som grunden, allt bygger på dem, allt är byggt från dem och allt kommer ner till dem.

I den här artikeln kommer vi att lista alla de viktigaste elementära funktionerna, tillhandahålla deras grafer och ge utan slutsatser eller bevis egenskaper hos grundläggande elementära funktioner enligt schemat:

• beteende av en funktion vid gränserna för definitionsdomänen, vertikala asymptoter (om nödvändigt, se artikelklassificeringen av diskontinuitetspunkter för en funktion);
• jämn och udda;
• intervaller för konvexitet (konvexitet uppåt) och konkavitet (konvexitet nedåt), böjningspunkter (om nödvändigt, se artikeln konvexitet för en funktion, konvexitetsriktning, böjningspunkter, konvexitets- och böjningsförhållanden);
• sneda och horisontella asymptoter;
• singulära punkter av funktioner;
• speciella egenskaper för vissa funktioner (till exempel den minsta positiva perioden av trigonometriska funktioner).

Om du är intresserad av eller kan du gå till dessa avsnitt av teorin.

Grundläggande elementära funktionerär: konstant funktion (konstant), n:te rot, potensfunktion, exponential, logaritmisk funktion, trigonometriska och inversa trigonometriska funktioner.

Sidnavigering.

Permanent funktion.

En konstant funktion definieras på mängden av alla reella tal med formeln , där C är ett reellt tal. En konstant funktion associerar varje reellt värde av den oberoende variabeln x med samma värde för den beroende variabeln y - värdet C. En konstantfunktion kallas också en konstant.

Grafen för en konstant funktion är en rät linje parallell med x-axeln och som går genom punkten med koordinater (0,C). Som ett exempel kommer vi att visa grafer över konstantfunktionerna y=5, y=-2 och, som i figuren nedan motsvarar de svarta, röda respektive blå linjerna.

Egenskaper för en konstant funktion.

• Domän: hela uppsättningen av reella tal.
• Den konstanta funktionen är jämn.
• Värdeintervall: en uppsättning som består av singulartalet C.
• En konstant funktion är icke-ökande och icke-minskande (det är därför den är konstant).
• Det är ingen mening att prata om konvexitet och konkavitet hos en konstant.
• Det finns inga asymptoter.
• Funktionen passerar genom punkten (0,C) i koordinatplanet.

Roten av n:e graden.

Låt oss betrakta den grundläggande elementära funktionen, som ges av formeln , där n är ett naturligt tal större än ett.

Roten av n:e graden, n är ett jämnt tal.

Låt oss börja med den n:te rotfunktionen för jämna värden på rotexponenten n.

Som ett exempel, här är en bild med bilder av funktionsgrafer och , de motsvarar svarta, röda och blå linjer.

Graferna för rotfunktioner med jämna grader har ett liknande utseende för andra värden på exponenten.

Egenskaper för den n:te rotfunktionen för jämn n.

Den n:te roten, n är ett udda tal.

Den n:te rotfunktionen med en udda rotexponent n definieras på hela uppsättningen av reella tal. Till exempel, här är funktionsgraferna och , de motsvarar svarta, röda och blå kurvor.

För andra udda värden för rotexponenten kommer funktionsgraferna att ha ett liknande utseende.

Egenskaper för den n:te rotfunktionen för udda n.

Power funktion.

Potensfunktionen ges av en formel av formen .

Låt oss betrakta formen av grafer för en potensfunktion och egenskaperna hos en potensfunktion beroende på exponentens värde.

Låt oss börja med en potensfunktion med en heltalsexponent a. I det här fallet beror utseendet på graferna för maktfunktioner och funktionernas egenskaper på exponentens jämnhet eller uddahet, såväl som på dess tecken. Därför kommer vi först att överväga potensfunktioner för udda positiva värden för exponenten a, sedan för jämna positiva exponenter, sedan för udda negativa exponenter och slutligen för jämn negativ a.

Egenskaperna för potensfunktioner med bråk- och irrationella exponenter (liksom typen av grafer för sådana potensfunktioner) beror på värdet på exponenten a. Vi kommer att betrakta dem, för det första, för en från noll till ett, för det andra, för en större än en, för det tredje, för en från minus ett till noll, för det fjärde, för en mindre än minus ett.

I slutet av detta avsnitt kommer vi för fullständighetens skull att beskriva en potensfunktion med noll exponent.

Power funktion med udda positiv exponent.

Låt oss betrakta en potensfunktion med en udda positiv exponent, det vill säga med a = 1,3,5,....

Figuren nedan visar grafer över effektfunktioner – svart linje, – blå linje, – röd linje, – grön linje. För a=1 har vi linjär funktion y=x.

Egenskaper för en potensfunktion med en udda positiv exponent.

Power funktion med jämn positiv exponent.

Låt oss betrakta en potensfunktion med en jämn positiv exponent, det vill säga för a = 2,4,6,....

Som ett exempel ger vi grafer över potensfunktioner – svart linje, – blå linje, – röd linje. För a=2 har vi en kvadratisk funktion, vars graf är kvadratisk parabel.

Egenskaper för en potensfunktion med en jämn positiv exponent.

Effektfunktion med udda negativ exponent.

Titta på graferna för potensfunktionen för udda negativa värden för exponenten, det vill säga för a = -1, -3, -5, ....

Figuren visar grafer över potensfunktioner som exempel - svart linje, - blå linje, - röd linje, - grön linje. För a=-1 har vi omvänd proportionalitet, vars graf är hyperbel.

Egenskaper för en effektfunktion med udda negativ indikator.

Effektfunktion med jämn negativ exponent.

Låt oss gå vidare till strömfunktionen för a=-2,-4,-6,….

Figuren visar grafer över potensfunktioner – svart linje, – blå linje, – röd linje.

Egenskaper för en potensfunktion med en jämn negativ exponent.

En potensfunktion med en rationell eller irrationell exponent vars värde är större än noll och mindre än ett.

Notera! Om a är ett positivt bråk med en udda nämnare, så anser vissa författare att potensfunktionens definitionsdomän är intervallet. Det föreskrivs att exponenten a är en irreducerbar bråkdel. Författarna till många läroböcker om algebra och analysprinciper DEFINIERAR INTE potensfunktioner med en exponent i form av en bråkdel med en udda nämnare för negativa värden av argumentet. Vi kommer att hålla oss till just denna uppfattning, det vill säga vi kommer att betrakta mängden som definitionsdomänerna för potensfunktioner med bråkdelar positiva exponenter. Vi rekommenderar att eleverna tar reda på din lärares åsikt om denna subtila punkt för att undvika oenighet.

Låt oss betrakta en potensfunktion med en rationell eller irrationell exponent a, och .

Låt oss presentera grafer över potensfunktioner för a=11/12 (svart linje), a=5/7 (röd linje), (blå linje), a=2/5 (grön linje).

En potensfunktion med en rationell eller irrationell exponent som inte är heltal större än ett.

Låt oss betrakta en potensfunktion med en icke-heltalsrationell eller irrationell exponent a, och .

Låt oss presentera grafer över potensfunktioner som ges av formlerna (svarta, röda, blåa respektive gröna linjer).

>

För andra värden på exponenten a kommer graferna för funktionen att ha ett liknande utseende.

Egenskaper för effektfunktionen vid .

En potensfunktion med en reell exponent som är större än minus ett och mindre än noll.

Notera! Om a är ett negativt bråk med en udda nämnare, så anser vissa författare att definitionsdomänen för en potensfunktion är intervallet . Det föreskrivs att exponenten a är en irreducerbar bråkdel. Författarna till många läroböcker om algebra och analysprinciper DEFINIERAR INTE potensfunktioner med en exponent i form av en bråkdel med en udda nämnare för negativa värden av argumentet. Vi kommer att hålla oss till just denna uppfattning, det vill säga vi kommer att betrakta definitionsdomänerna för potensfunktioner med negativa bråkdelsexponenter som en uppsättning. Vi rekommenderar att eleverna tar reda på din lärares åsikt om denna subtila punkt för att undvika oenighet.

Låt oss gå vidare till kraftfunktionen, kgd.

För att ha en god uppfattning om formen av grafer av potensfunktioner för , ger vi exempel på grafer över funktioner (svarta, röda, blåa respektive gröna kurvor).

Egenskaper för en potensfunktion med exponent a, .

En potensfunktion med en icke-heltals reell exponent som är mindre än minus ett.

Låt oss ge exempel på grafer över potensfunktioner för , de är avbildade med svarta, röda, blåa respektive gröna linjer.

Egenskaper för en potensfunktion med en negativ exponent som inte är heltal mindre än minus ett.

När a = 0 har vi en funktion - det här är en rät linje från vilken punkten (0;1) är utesluten (man kom överens om att inte tillmäta uttrycket 0 0 någon betydelse).

Exponentiell funktion.

En av de grundläggande elementära funktionerna är exponentialfunktionen.

Grafen för exponentialfunktionen, var och tar annan sort beroende på basens värde a. Låt oss ta reda på det här.

Tänk först på fallet när basen för exponentialfunktionen tar ett värde från noll till ett, det vill säga .

Som ett exempel presenterar vi grafer för exponentialfunktionen för a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – röd linje. Graferna för exponentialfunktionen har ett liknande utseende för andra värden på basen från intervallet.

Egenskaper för en exponentialfunktion med en bas mindre än en.

Låt oss gå vidare till fallet när basen för exponentialfunktionen är större än ett, det vill säga .

Som en illustration presenterar vi grafer för exponentialfunktioner - blå linje och - röd linje. För andra värden på basen större än ett, kommer graferna för exponentialfunktionen att ha ett liknande utseende.

Egenskaper för en exponentiell funktion med en bas större än ett.

Logaritmisk funktion.

Nästa grundläggande elementära funktion är den logaritmiska funktionen, där , . Den logaritmiska funktionen definieras endast för positiva värden av argumentet, det vill säga för .

Grafen för en logaritmisk funktion har olika former beroende på värdet på basen a.

Låt oss börja med fallet när .

Som ett exempel presenterar vi grafer för den logaritmiska funktionen för a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – röd linje. För andra värden på basen som inte överstiger ett, kommer graferna för den logaritmiska funktionen att ha ett liknande utseende.

Egenskaper för en logaritmisk funktion med en bas mindre än en.

Låt oss gå vidare till fallet när basen för den logaritmiska funktionen är större än en ().

Låt oss visa grafer över logaritmiska funktioner - blå linje, - röd linje. För andra värden på basen större än ett, kommer graferna för den logaritmiska funktionen att ha ett liknande utseende.

Egenskaper för en logaritmisk funktion med en bas större än en.

Trigonometriska funktioner, deras egenskaper och grafer.

Alla trigonometriska funktioner (sinus, cosinus, tangent och cotangens) tillhör de grundläggande elementära funktionerna. Nu ska vi titta på deras grafer och lista deras egenskaper.

Trigonometriska funktioner har konceptet frekvens(återkomst av funktionsvärden för olika argumentvärden som skiljer sig från varandra med perioden , där T är perioden), har därför ett objekt lagts till i listan över egenskaper hos trigonometriska funktioner "minsta positiva period". För varje trigonometrisk funktion kommer vi också att ange värdena för argumentet där motsvarande funktion försvinner.

Låt oss nu ta itu med alla trigonometriska funktioner i ordning.

Sinusfunktion y = sin(x) .

Låt oss rita en graf över sinusfunktionen, den kallas en "sinusvåg".

Egenskaper för sinusfunktionen y = sinx.

Cosinusfunktion y = cos(x) .

Grafen för cosinusfunktionen (kallad "cosinus") ser ut så här:

Egenskaper för cosinusfunktionen y = cosx.

Tangentfunktion y = tan(x) .

Grafen för tangentfunktionen (kallad "tangentoid") ser ut så här:

Egenskaper för tangentfunktionen y = tanx.

Cotangensfunktion y = ctg(x) .

Låt oss rita en graf över cotangentfunktionen (den kallas "cotangentoid"):

Egenskaper för cotangensfunktionen y = ctgx.

Inversa trigonometriska funktioner, deras egenskaper och grafer.

De inversa trigonometriska funktionerna (bågsinus, bågcosinus, bågtangens och bågcotangens) är de grundläggande elementära funktionerna. Ofta, på grund av prefixet "båge", kallas inversa trigonometriska funktioner bågfunktioner. Nu ska vi titta på deras grafer och lista deras egenskaper.

Arcsinusfunktion y = arcsin(x) .

Låt oss plotta arcsine-funktionen:

Egenskaper för arccotangensfunktionen y = arcctg(x) .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: Proc. för 10-11 årskurser. allmänna läroanstalter.
• Vygodsky M.Ya. Handbok i elementär matematik.
• Novoselov S.I. Algebra och elementära funktioner.
• Tumanov S.I. Elementär algebra. En manual för självutbildning.

Är du bekant med funktionerna y=x, y=x 2 y=x 3 y=1/x etc. Alla dessa funktioner är specialfall av effektfunktionen, dvs funktionen y=x sid, där p är ett givet reellt tal. Egenskaperna och grafen för en potensfunktion beror avsevärt på egenskaperna hos en potens med en reell exponent, och i synnerhet på de värden för vilka x Och sid examen är vettigt x sid. Låt oss gå vidare till en liknande övervägande av olika fall beroende på exponenten sid.

Index p=2n-jämnt naturligt tal.

I det här fallet strömfunktionen y=x 2n, Var n- ett naturligt tal, har följande

egenskaper:

definitionsdomän - alla reella tal, dvs mängden R;

uppsättning värden - icke-negativa tal, d.v.s. y är större än eller lika med 0;

fungera y=x 2n till och med, därför att x 2n =(-x) 2n

funktionen minskar med intervallet x<0 och ökar på intervallet x>0.

Graf över en funktion y=x 2n har samma form som till exempel grafen för en funktion y=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- udda naturligt tal I detta fall, potensfunktionen y=x 2n-1, där är ett naturligt tal, har följande egenskaper:

definitionsdomän - uppsättning R;

uppsättning värden - set R;

fungera y=x 2n-1 konstigt eftersom (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funktionen ökar på hela den reella axeln.

Graf över en funktion y=x2n-1 har samma form som till exempel grafen för en funktion y=x3.

3. Indikator p=-2n, Var n- naturligt nummer.

I det här fallet strömfunktionen y=x -2n =1/x 2n har följande egenskaper:

uppsättning värden - positiva tal y>0;

funktion y =1/x 2n till och med, därför att 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funktionen ökar på intervallet x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graf över funktion y =1/x 2n har samma form som till exempel grafen för funktionen y =1/x 2 .

4. Indikator p=-(2n-1), Var n- naturligt nummer. I det här fallet strömfunktionen y=x -(2n-1) har följande egenskaper:

definitionsdomän - mängd R, förutom x=0;

uppsättning värden - set R, förutom y=0;

fungera y=x -(2n-1) konstigt eftersom (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funktionen minskar med intervaller x<0 Och x>0.

Graf över en funktion y=x -(2n-1) har samma form som till exempel grafen för en funktion y=1/x 3 .

1. Inversa trigonometriska funktioner, deras egenskaper och grafer.

Inversa trigonometriska funktioner, deras egenskaper och grafer.Omvända trigonometriska funktioner (cirkulära funktioner, bågfunktioner) - matematiska funktioner som är inversen av trigonometriska funktioner.

1. arcsin funktion

Graf över en funktion .

Arcsine tal m detta vinkelvärde kallas x, för vilka

Funktionen är kontinuerlig och avgränsad längs hela sin tallinje. Fungera ökar strikt.

1. [Redigera]Egenskaper för arcsin-funktionen

1. [Redigera]Hämta arcsin-funktionen

Med tanke på funktionen Genomgående definitionsdomän hon råkar vara det styckvis monoton, och därför den omvända korrespondensen är inte en funktion. Därför kommer vi att överväga segmentet där det strikt ökar och tar på alla värden värdeintervall- . Eftersom för en funktion på ett intervall motsvarar varje värde i argumentet ett enda värde på funktionen, så finns det på detta intervall invers funktion vars graf är symmetrisk med grafen för en funktion på ett segment i förhållande till en rät linje

Power funktionär en funktion av formen y = xp, där p är ett givet reellt tal.

Egenskaper för kraftfunktionen

1. Om indikatorn p = 2n- jämnt naturligt tal:
   • definitionsdomän - alla reella tal, dvs mängden R;
   • uppsättning värden - icke-negativa tal, dvs y ≥ 0;
   • funktionen är jämn;
   • funktionen minskar på intervallet x ≤ 0 och ökar på intervallet x ≥ 0.
   Exempel på en funktion med exponent p = 2n: y = x 4.


2. Om indikatorn p = 2n - 1- udda naturligt tal:
   • definitionsdomän - uppsättning R;
   • uppsättning värden - set R;
   • funktionen är udda;
   • funktionen ökar på hela den reella axeln.
   Exempel på en funktion med exponent p = 2n - 1: y = x 5.


3. Om indikatorn p = -2n, Var n- naturligt nummer:
   • uppsättning värden - positiva tal y > 0;
   • funktionen är jämn;
   • funktionen ökar med intervallet x 0.
   Exempel på en funktion med exponent p = -2n: y = 1/x 2.


4. Om indikatorn p = -(2n - 1), Var n- naturligt nummer:
   • definitionsdomän - mängd R, förutom x = 0;
   • uppsättning värden - ställ in R, förutom y = 0;
   • funktionen är udda;
   • funktionen minskar med intervall x 0.
   Exempel på en funktion med exponent p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. Om indikatorn sid- positivt reellt icke-heltal:
   • definitionsdomän - icke-negativa tal x ≥ 0;
   • uppsättning värden - icke-negativa tal y ≥ 0;
   • funktionen ökar med intervallet x ≥ 0.
   Exempel på en funktion med exponent p, där p är ett positivt reellt icke-heltal: y = x 4/3.


6. Om indikatorn sid- negativt reellt icke-heltal:
   • definitionsdomän - positiva tal x > 0;
   • uppsättning värden - positiva tal y > 0;
   • funktionen minskar med intervallet x > 0.
   Exempel på en funktion med exponent p, där p är ett negativt reellt icke-heltal: y = x -1/3.

Årskurs 10

POWER FUNKTION

Kraft kalladfunktion ges av formelVar, sid – något reellt tal.

jag . Index- ett jämnt naturligt tal. Sedan kraftfunktionen Varn

D ( y )= (−; +).

2) Värdeintervallet för en funktion är en uppsättning icke-negativa tal, om:

uppsättning icke-positiva tal om:

3) ) . Funktionen alltsåOj .

4) Om, så minskar funktionen somX (- ; 0] och ökar medX och minskar klX }