Тригонометричні рівняння першого. Методи розв'язання тригонометричних рівнянь. Властивості та графік функції y = sin x

Приклади:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Як вирішувати тригонометричні рівняння:

Будь-яке тригонометричне рівняння потрібно прагнути звести до одного з видів:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

де \(t\) - вираз з іксом, \(a\) - число. Такі тригонометричні рівнянняназиваються найпростішими. Їх легко вирішувати за допомогою () або спеціальних формул:

Інфографіку про вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь дивись тут: , і .

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Рішення:

Відповідь: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k, n∈Z\)

Що означає кожен символ у формулі коренів тригонометричних рівнянь дивись у .

Увага!Рівняння \(\sin⁡x=a\) та \(\cos⁡x=a\) не мають рішень, якщо \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тому що синус і косинус при будь-яких ікс більші або рівні \(-1\) і менше або рівні \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

приклад . Розв'язати рівняння \(\cos⁡x=-1,1).
Рішення: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Відповідь : рішень немає.

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння tg\(⁡x=1\).
Рішення:

Розв'яжемо рівняння за допомогою числового кола. Для цього: 1) Побудуємо коло) 2) Побудуємо осі (x) і (y) і вісь тангенсів (вона проходить через точку ((0; 1)) паралельно осі (y)). 3) На осі тангенсів відзначимо точку (1). 4) З'єднаємо цю точку та початок координат – прямий. 5) Зазначимо точки перетину цього прямого та числового кола. 6)Підпишемо значення цих точок: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Запишемо всі значення цих точок. Оскільки вони знаходяться одна від одної на відстані рівно в \(π\), то всі значення можна записати однією формулою:

Відповідь: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Рішення:

Знову скористаємося числовим колом. 1) Побудуємо коло, осі (x) і (y). 2) На осі косінусів (вісь \(x\)) відзначимо \(0\). 3) Проведемо перпендикуляр до осі косінусів через цю точку. 4) Зазначимо точки перетину перпендикуляра та кола. 5) Підпишемо значення цих точок: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Випишемо все значення цих точок і прирівняємо їх до косинуса (до того що всередині косинуса). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Як завжди в рівняннях виражатимемо (x). Не забувайте ставитися до чисел з (π), так само до (1), (2), (frac(1) (4)) і т.п. Це такі ж числа, як і решта. Жодної числової дискримінації! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Відповідь: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Зводити тригонометричні рівняння до найпростіших – завдання творче, тут потрібно використовувати і , і особливі методи розв'язків рівнянь:
- Метод (найпопулярніший в ЄДІ).
- Метод.
- метод допоміжних аргументів.

Розглянемо приклад розв'язання квадратно-тригонометричного рівняння

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Рішення:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Зробимо заміну \(t=\cos⁡x).
	Наше рівняння перетворилося на типове. Можна його вирішити за допомогою.
\ (D = 25-4 \ cdot 2 \ cdot 2 = 25-16 = 9 \)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Робимо зворотну заміну.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Перше рівняння вирішуємо за допомогою числового кола. Друге рівняння немає рішень т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) і двом бути рівним не може ні за яких іксів.
	Запишемо всі числа, що лежать у цих точках.

Відповідь: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Приклад розв'язання тригонометричного рівняння з дослідженням ОДЗ:

Приклад(ЄДІ) . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Є дріб і є котангенс – отже треба записати. Нагадаю, що котангенс це фактично дріб: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Тому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0).
ОДЗ: ctg (x 0); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k, n∈Z\)	Зазначимо «нерішення» на числовому колі.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Позбавимося рівняння від знаменника, помноживши його на ctg (x). Ми можемо це зробити, оскільки написали вище, що ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Застосуємо формулу подвійного кута для синуса: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Якщо у вас руки потягнулися поділити на косинус - обсмикніть їх! Ділити на вираз зі змінною можна, якщо воно точно не дорівнює нулю (наприклад, такі: \(x^2+1,5^x\)). Натомість винесемо \(\cos⁡x\) за дужки.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	«Розщепимо» рівняння на два.
\(\cos⁡x=0); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Перше рівняння з розв'язком за допомогою числового кола. Друге рівняння поділимо на \(2\) і перенесемо \(\sin⁡x\) у праву частину.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Коріння, яке вийшло не входить до ОДЗ. Тому їх у відповідь записувати не будемо. Друге рівняння типове. Поділимо його на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може бути рішенням рівняння тому що в цьому випадку \(\cos⁡x=1\) або \(\cos⁡ x = -1 \)).
	Знову використовуємо коло.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Це коріння не виключається ОДЗ, тому можна його записувати у відповідь.

Відповідь: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Урок та презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Що таке тригонометричні рівняння?

3. Два основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
4. Однорідні тригонометричні рівняння.
5. Приклади.

Що таке тригонометричні рівняння?

Хлопці, ми з вами вивчили вже арксинуса, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Тепер давайте подивимося на тригонометричні рівняння загалом.

Тригонометричні рівняння – рівняння у якому змінна міститься під знаком тригонометричної функції.

Повторимо вид розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь:

1) Якщо |а|≤ 1, то рівняння cos(x) = a має розв'язок:

X = ± arccos(a) + 2πk

2) Якщо |а|≤ 1, то рівняння sin(x) = a має розв'язок:

3) Якщо |а| > 1, то рівняння sin(x) = a і cos(x) = a немає рішень 4) Рівняння tg(x)=a має розв'язання: x=arctg(a)+ πk

5) Рівняння ctg(x)=a має рішення: x=arcctg(a)+ πk

Для всіх формул k-ціле число

Найпростіші тригонометричні рівняння мають вигляд: Т(kx+m)=a, T-яка чи тригонометрична функція.

приклад.

Розв'язати рівняння: а) sin(3x)= √3/2

Рішення:

А) Позначимо 3x=t, тоді наше рівняння перепишемо як:

Розв'язання цього рівняння буде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

З таблиці значень отримуємо: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Повернімося до нашої змінної: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тоді x=((-1)^n)×π/9+ πn/3

Відповідь: x=((-1)^n)×π/9+ πn/3, де n-ціле число. (-1) ^ n – мінус один у ступені n.

Ще приклади тригонометричних рівнянь.

Розв'язати рівняння: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Рішення:

А) На цей раз перейдемо безпосередньо до обчислення коренів рівняння відразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тоді x/5= πk => x=5πk

Відповідь: x=5πk, де k – ціле число.

Б) Запишемо як: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ми знаємо що: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Відповідь: x=2π/9 + πk/3, де k – ціле число.

Розв'язати рівняння: cos(4x)= √2/2. І знайти все коріння на відрізку.

Рішення:

Розв'яжемо у загальному вигляді наше рівняння: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Тепер давайте подивимося яке коріння потраплять на наш відрізок. При k При k=0, x= π/16 ми потрапили в заданий відрізок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, знову потрапили.
При k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, а тут ось вже не потрапили, а значить при великих k теж свідомо не потраплятимемо.

Відповідь: x= π/16, x= 9π/16

Два основні методи вирішення.

Ми розглянули найпростіші тригонометричні рівняння, але є й складніші. Для їх вирішення застосовують метод введення нової змінної та метод розкладання на множники. Давайте розглянемо приклади.

Розв'яжемо рівняння:

Рішення:
Для вирішення нашого рівняння скористаємося методом уведення нової змінної, позначимо: t=tg(x).

В результаті заміни отримаємо: t 2 + 2t -1 = 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t=-1 та t=1/3

Тоді tg(x)=-1 і tg(x)=1/3, отримали найпростіше тригонометричне рівняння, знайдемо його коріння.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Відповідь: x=-π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Приклад вирішення рівняння

Розв'язати рівнянь: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0

Рішення:

Скористаємося тотожністю: sin 2(x) + cos 2(x)=1

Наше рівняння набуде вигляду:2-2cos 2(x) + 3 cos(x) = 0

2 cos 2(x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введемо заміну t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Рішенням нашого квадратного рівняння є коріння: t=2 та t=-1/2

Тоді cos(x)=2 та cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не може набувати значення більше одиниці, то cos(x)=2 не має коріння.

Для cos(x)=-1/2: x=± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Відповідь: x= ±2π/3 + 2πk

Однорідні тригонометричні рівняння.

Визначення: Рівняння виду a sin(x)+b cos(x) називаються однорідними тригонометричними рівняннями першого ступеня.

Рівняння виду

однорідними тригонометричними рівняннями другого ступеня.

Для вирішення однорідного тригонометричного рівняння першого ступеня розділимо його на cos(x): Ділити на косинус не можна якщо він дорівнює нулю, давайте переконаємося, що це не так:
Нехай cos(x)=0, тоді asin(x)+0=0 => sin(x)=0, але синус і косинус одночасно не дорівнюють нулю, отримали протиріччя, тому можна сміливо ділити на нуль.

Вирішити рівняння:
Приклад: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Рішення:

Винесемо загальний множник: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

Тоді нам треба вирішити два рівняння:

Cos(x)=0 та cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Розглянемо рівняння cos(x)+sin(x)=0 Розділимо наше рівняння cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Відповідь: x= π/2 + πk і x=-π/4+πk

Як розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння другого ступеня?
Діти, дотримуйтесь цих правил завжди!

1. Подивитися чому дорівнює коефіцієнт а, якщо а=0 то тоді наше рівняння набуде вигляду cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), приклад розв'язання якого на попередньому слайді

2. Якщо a≠0, потрібно поділити обидві частини рівняння на косинус у квадраті, отримаємо:

Робимо заміну змінної t=tg(x) отримуємо рівняння:

Вирішити приклад №:3

Вирішити рівняння:
Рішення:

Розділимо обидві частини рівняння на косинус квадрат:

Робимо заміну змінної t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t=-3 та t=1

Тоді: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Відповідь: x=-arctg(3) + πk і x= π/4+ πk

Вирішити приклад №:4

Вирішити рівняння:

Рішення:
Перетворимо наш вираз:

Вирішувати такі рівняння ми вміємо: x= - π/4 + 2πk та x=5π/4 + 2πk

Відповідь: x= - π/4 + 2πk та x=5π/4 + 2πk

Вирішити приклад №:5

Вирішити рівняння:

Рішення:
Перетворимо наш вираз:

Введемо заміну tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Рішенням нашого квадратного рівняння буде коріння: t=-2 і t=1/2

Тоді отримуємо: tg(2x)=-2 та tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Відповідь: x=-arctg(2)/2 + πk/2 і x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Завдання для самостійного вирішення.

1) Розв'язати рівняння

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Розв'язати рівняння: sin(3x)= √3/2. І знайти все коріння на відрізку [π/2; π].

3) Розв'язати рівняння: ctg 2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Розв'язати рівняння: 3 sin 2(x) + √3sin(x) cos(x) = 0

5) Розв'язати рівняння:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Вирішити рівняння:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Концепція рішення тригонометричних рівнянь.

• Для розв'язання тригонометричного рівняння перетворіть його на одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Рішення тригонометричного рівняння зрештою зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

Розв'язання основних тригонометричних рівнянь.

• Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:
• sin x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• Розв'язання основних тригонометричних рівнянь передбачає розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).
• Приклад 1. Sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = π/3. Одиничне коло дає ще одну відповідь: 2π/3. Запам'ятайте, що всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x та cos x дорівнює 2πn, а періодичність tg x та ctg x дорівнює πn. Тому відповідь записується так:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Приклад 2. х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = 2π/3. Поодиноке коло дає ще одну відповідь: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
• Приклад 3. tg (x – π/4) = 0.
• Відповідь: х = π/4 + πn.
• Приклад 4. ctg 2x = 1732.
• Відповідь: х = π/12 + πn.

Перетворення, що використовуються під час вирішення тригонометричних рівнянь.

• Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються алгебраїчні перетворення(розкладання на множники, приведення однорідних членіві т.д.) та тригонометричні тотожності.
• Приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється на рівняння 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити наступні основні тригонометричні рівняння: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Знаходження кутів по відомим значеннямфункцій.

  • Перед вивченням методів розв'язання тригонометричних рівнянь вам необхідно навчитися знаходити кути за відомими значеннями функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення чи калькулятора.
  • Приклад: х = 0,732. Калькулятор дасть відповідь x = 42,95 градусів. Одиничне коло дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.

• Відкладіть рішення на одиничному колі.

  • Ви можете відкласти рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі є вершинами правильного багатокутника.
  • Приклад: Рішення x = π/3 + πn/2 на одиничному колі є вершинами квадрата.
  • Приклад: Рішення x = π/4 + πn/3 на одиничному колі є вершинами правильного шестикутника.

• Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

  • Якщо це тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію, розв'яжіть це рівняння як основне тригонометричне рівняння. Якщо це рівняння включає дві або більше тригонометричні функції, то існують 2 методи розв'язання такого рівняння (залежно від можливості його перетворення).
    • Метод 1.
  • Перетворіть це рівняння на рівняння виду: f(x)*g(x)*h(x) = 0, де f(x), g(x), h(x) - основні тригонометричні рівняння.
  • Приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2*sin х*соs х, замініть sin 2x.
  • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.
  • Приклад 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть це рівняння на рівняння виду: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.
  • Приклад 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння на рівняння виду: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.
    • Метод 2.
  • Перетворіть це тригонометричне рівняння на рівняння, що містить лише одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t і т.д.).
  • Приклад 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Рішення. У цьому рівнянні замініть (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (відповідно до тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin x на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два корені: t1 = -1 та t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Приклад 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Рішення. Замініть tg x на t. Перепишіть вихідне рівняння у такому вигляді: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.

• Особливі тригонометричні рівняння.

  • Існує кілька особливих тригонометричних рівнянь, які потребують конкретних перетворень. Приклади:
  • a * sin x + b * cos x = c; a(sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Періодичність тригонометричних функцій.

  • Як згадувалося раніше, всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються через певний період. Приклади:
    • Період функції f(x) = sin x дорівнює 2π.
    • Період функції f(x) = tg x дорівнює π.
    • Період функції f(x) = sin 2x дорівнює π.
    • Період функції f(x) = cos(x/2) дорівнює 4π.
  • Якщо період вказано у завданні, обчисліть значення «х» у межах цього періоду.
  • Примітка: розв'язання тригонометричних рівнянь – непросте завдання, яке часто призводить до помилок. Тому ретельно перевіряйте відповіді. Для цього можна використовувати графічний калькулятор, щоб побудувати графік рівняння R(х) = 0. У таких випадках рішення будуть представлені у вигляді десяткових дробів(тобто π замінюється на 3,14).

Клас: 10

«Рівняння існуватимуть вічно».

А. Ейнштейн

Цілі уроку:

• Освітні:
  • поглиблення розуміння методів розв'язання тригонометричних рівнянь;
  • сформувати навички розрізняти, правильно відбирати способи розв'язання тригонометричних рівнянь.
• Виховні:
  • виховання пізнавального інтересу до навчального процесу;
  • формування вміння аналізувати поставлене завдання;
  • сприяти поліпшенню психологічного клімату у класі.
• Розвиваючі:
  • сприяти розвитку навички самостійного набуття знань;
  • сприяти вмінню учнів аргументувати свою думку;

Обладнання:плакат з основних тригонометричних формул, комп'ютер, проектор, екран.

1 урок

I. Актуалізація опорних знань

Усно вирішити рівняння:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = -;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx =;
7) tgx =;
8) cos 2 x - sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х = ± + 2к;
4) х = до;
5) х = (-1) + к;
6) х = (-1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; до Z.

ІІ. Вивчення нового матеріалу

– Сьогодні ми з вами розглянемо складніші тригонометричні рівняння. Розглянемо 10 способів їх вирішення. Далі буде два уроки для закріплення, і наступного уроку буде перевірна робота. На стенді «До уроку» вивішено завдання, аналогічні яким будуть на перевірочній роботі, треба їх вирішувати до перевірочної роботи. (Напередодні перед перевірочною роботою вивісити на стенді рішення цих завдань).

Отже, переходимо до розгляду способів розв'язання тригонометричних рівнянь. Одні з цих способів вам, напевно, видадуться важкими, інші – легкими, т.к. деякими прийомами розв'язання рівнянь ви вже володієте.

Чотири учні класу отримали індивідуальне завдання: розібратися і показати вам 4 способи розв'язання тригонометричних рівнянь.

(Виступаючі учні заздалегідь підготували слайди. Інші учні класу записують основні етапи розв'язання рівнянь у зошит.)

1 учень: 1 спосіб. Розв'язання рівнянь розкладанням на множники

sin 4x = 3 cos 2x

Для вирішення рівняння скористаємося формулою синуса подвійного кута sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Добуток цих множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнюватиме нулю.

2x = + до, до Z чи sin 2x = 1,5 – немає рішень, т.к | sin| 1
x = + к; до Z.
Відповідь: x = + к, до Z.

2 учень. 2 спосіб. Розв'язання рівнянь перетворенням суми або різниці тригонометричних функцій на твір

cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.

Для вирішення рівняння скористаємося формулою sin-sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x - 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Отримане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

Безліч рішень другого рівняння повністю входить до множини рішень першого рівняння. Значить

Відповідь:

3 учень. 3 спосіб. Розв'язання рівнянь перетворенням твору тригонометричних функцій на суму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для вирішення рівняння скористаємося формулою

Відповідь:

4 учень. 4 спосіб. Розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Нехай sin x = t де | t |. Отримаємо квадратне рівняння 2t 2 + 3t - 2 = 0,

D=9+16=25.

Таким чином . не задовольняє умову t |.

Отже sin x = . Тому .

Відповідь:

ІІІ. Закріплення вивченого за підручником А. Н. Колмогорова

1. № 164(а), 167(а) (квадратне рівняння)
2. № 168 (а) (розкладання на множники)
3. № 174 (а) (перетворення суми на твір)
4. (перетворення твору на суму)

(В кінці уроку показати рішення цих рівнянь на екрані для перевірки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x - 1 = 0.
Нехай sin x = t, | t | 1. Тоді
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t =. Звідки

Відповідь: – .

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Нехай tg x = 1, тоді отримаємо рівняння 3t2 + 2t - 1 = 0.

Відповідь:

№ 168 (а)

Відповідь:

№ 174 (а)

Вирішити рівняння:

Відповідь:

2 урок (урок-лекція)

IV. Вивчення нового матеріалу(продовження)

– Отже, продовжимо вивчення способів розв'язання тригонометричних рівнянь.

5 спосіб. Розв'язання однорідних тригонометричних рівнянь

Рівняння виду a sin x + b cos x = 0, де a та b – деякі числа, називаються однорідними рівняннями першого ступеня щодо sin x або cos x.

Розглянемо рівняння

sin x - cos x = 0. Розділимо обидві частини рівняння cos x. Так можна зробити, втрати кореня не станеться, т.к. , якщо cos x = 0,то sin x = 0. Але це суперечить основному тригонометричному тотожності sin 2 x + cos 2 x = 1.

Отримаємо tg x - 1 = 0.

tg x = 1,

Рівняння виду a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,де a, b, c –деякі числа називаються однорідними рівняннями другого ступеня щодо sin x або cos x.

Розглянемо рівняння

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Розділимо обидві частини рівняння на cos x, причому втрати кореня не відбудеться, т.к. cos x = 0 не є коренем цього рівняння.

tg 2 x - 3tg x + 2 = 0.

Нехай tg x = t. D = 9 - 8 = 1.

Тоді звідси tg x = 2 чи tg x = 1.

У результаті x = arctg 2 + , x =

Відповідь: arctg 2 + ,

Розглянемо ще одне рівняння: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Перетворимо праву частину рівняння у вигляді 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тоді отримаємо:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Отримали 2 рівняння, яке вже розібрали).

Відповідь: arctg 2+k,

6 спосіб. Розв'язання лінійних тригонометричних рівнянь

Лінійним тригонометричним рівнянням називається рівняння виду a sin x + b cos x = сде a, b, c – деякі числа.

Розглянемо рівняння sin x + cos x= – 1.
Перепишемо рівняння у вигляді:

Враховуючи, що і, отримаємо:

Відповідь:

7 спосіб. Введення додаткового аргументу

Вираз a cos x + b sin xможна перетворити:

(це перетворення ми вже раніше використовували при спрощенні тригонометричних виразів)

Введемо додатковий аргумент – кут такий, що

Тоді

Розглянемо рівняння: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Домашнє завдання:№164 -170 (в, г).

На цьому уроці ми розглянемо основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки, а також перерахуємо основні типи тригонометричних рівнянь та систем. Крім цього, вкажемо загальні рішення найпростіших тригонометричних рівнянь та їх окремі випадки.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання В5 та С1.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 10. Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння та їх системи.

Теорія

Конспект уроку

Ми з вами вже застосовували термін «тригонометрична функція». Ще на першому уроці цієї теми ми визначили їх за допомогою прямокутного трикутникаі одиничного тригонометричного кола. Використовуючи такі методи завдання тригонометричних функцій, ми можемо зробити висновок, що їм одному значенню аргументу (чи кута) відповідає суворо одне значення функції, тобто. ми маємо право називати синус, косинус, тангенс і котангенс саме функціями.

У цьому уроці саме час спробувати абстрагуватися від розглянутих раніше способів обчислення значень тригонометричних функцій. Сьогодні ми перейдемо до звичного підходу алгебри роботи з функціями, ми розглянемо їх властивості і зобразимо графіки.

Що стосується властивостей тригонометричних функцій, то особливу увагу слід звернути на:

Область визначення та область значень, т.к. для синуса та косинуса є обмеження по області значень, а для тангенсу та котангенсу обмеження по області визначення;

Періодичність всіх трігонометричних функцій, т.к. ми вже зазначали наявність найменшого ненульового аргументу, додавання якого змінює значення функції. Такий аргумент називають періодом функції та позначають буквою. Для синуса/косинусу та тангенсу/котангенсу ці періоди різні.

Розглянемо функцію:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція непарна ;

Побудуємо графік функції. При цьому зручно починати побудову із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Крім того, для побудови корисно пам'ятати значення синусів декількох основних табличних кутів, наприклад, що це дозволить побудувати першу повну «хвилю» графіка і потім перемальовувати її вправо та вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням на період, тобто. на .

Тепер розглянемо функцію:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція парна З цього випливає симетричність графіка функції щодо осі ординат;

4) Функція не є монотонною на всій своїй ділянці визначення;

Побудуємо графік функції. Як і при побудові синуса зручно починати із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Також нанесемо на графік координати кількох точок, для чого необхідно пам'ятати значення косінусів кількох основних табличних кутів, наприклад, що за допомогою цих точок ми можемо побудувати першу повну хвилю графіка і потім перемальовувати її вправо і вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням період, тобто. на .

Перейдемо до функції:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення крім , де . Ми вже вказували на попередніх уроках, що не існує. Це твердження можна узагальнити з огляду на період тангенсу;

2) Область значень, тобто. значення тангенсу не обмежені;

3) Функція непарна ;

4) Функція монотонно зростає у межах своїх так званих гілок тангенсу, які ми зараз побачимо на малюнку;

5) Функція періодична з періодом

Побудуємо графік функції. У цьому зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки тангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. При цьому не забуваємо, що кожна гілка монотонно зростає. Усі гілки зображаємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює . Це видно з того, що кожна гілка виходить усуненням сусідньої на вздовж осі абсцис.

І завершуємо розглядом функції:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення крім , де . По таблиці значень тригонометричних функцій ми знаємо, що немає. Це твердження можна узагальнити з огляду на період котангенсу;

2) Область значень, тобто. значення котангенсу не обмежені;

3) Функція непарна ;

4) Функція монотонно зменшується в межах своїх гілок, які схожі на гілки тангенсу;

5) Функція періодична з періодом

Побудуємо графік функції. У цьому, як й у тангенса, зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки котангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. У цьому випадку враховуємо, що кожна гілка монотонно зменшується. Усі гілки і тангенсу зображуємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює .

Окремо слід зазначити той факт, що тригонометричні функції зі складним аргументом можуть мати нестандартний період. Йдеться про функції виду:

У них період дорівнює. І про функції:

У них період дорівнює.

Як бачимо, для обчислення нового періоду стандартний період ділиться на множник при аргументі. Від інших видозмін функції він не залежить.

Докладніше розібратися та зрозуміти, звідки беруться ці формули, ви зможете в уроці про побудову та перетворення графіків функцій.

Ми підійшли до однієї з найголовніших частин теми «Тригонометрія», яку ми присвятимо рішенню тригонометричних рівнянь. Вміння вирішувати такі рівняння важливе, наприклад, при описі коливальних процесів у фізиці. Уявимо, що ви на спортивній машині проїхали кілька кіл на картинзі, визначити скільки часу ви вже берете участь у гонці в залежності від положення машини на трасі допоможе розв'язання тригонометричного рівняння.

Запишемо найпростіше тригонометричне рівняння:

Рішенням такого рівняння є аргументи, синус яких дорівнює. Але ми вже знаємо, що через періодичність синуса таких аргументів існує безліч. Таким чином, розв'язуванням цього рівняння будуть і т.п. Те саме стосується і вирішення будь-якого іншого найпростішого тригонометричного рівняння, їх буде нескінченна кількість.

Тригонометричні рівняння поділяються на кілька основних типів. Окремо слід зупинитись на найпростіших, т.к. решта до них зводяться. Таких рівнянь чотири (за кількістю основних тригонометричних функцій). Їх відомі загальні рішення, їх необхідно запам'ятати.

Найпростіші тригонометричні рівняння та їх загальні рішеннявиглядають наступним чином:

Зверніть увагу, що значення синуса і косинуса необхідно враховувати відомі нам обмеження. Якщо, наприклад, то рівняння не має рішень і застосовувати зазначену формулу не слід.

Крім того, зазначені формули коренів містять параметр як довільного цілого числа . У шкільній програміце єдиний випадок, коли розв'язування рівняння без параметра містить у собі параметр. Це довільне ціле число показує, що можна виписати нескінченну кількість коренів будь-якого із зазначених рівнянь просто підставляючи замість черги всі цілі числа.

Ознайомитись із докладним отриманням зазначених формул ви можете, повторивши розділ «Тригонометричні рівняння» у програмі алгебри 10 класу.

Окремо необхідно звернути увагу на вирішення окремих випадків найпростіших рівнянь з синусом і косинусом. Ці рівняння мають вигляд:

До них не слід застосовувати формули знаходження спільних рішень. Такі рівняння найзручніше вирішуються з використанням тригонометричного кола, що дає більш простий результат, ніж формули загальних рішень.

Наприклад, рішенням рівняння є . Спробуйте самі отримати цю відповідь і вирішити решту вказаних рівнянь.

Крім зазначеного типу тригонометричних рівнянь, що найчастіше зустрічається, існують ще кілька стандартних. Перерахуємо їх з урахуванням тих, які ми вже зазначили:

1) Найпростіші, наприклад, ;

2) Окремі випадки найпростіших рівняньнаприклад, ;

3) Рівняння зі складним аргументомнаприклад, ;

4) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом винесення загального множниканаприклад, ;

5) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом перетворення тригонометричних функційнаприклад, ;

6) Рівняння, що зводяться до найпростіших за допомогою замінинаприклад, ;

7) Однорідні рівняннянаприклад, ;

8) Рівняння, що вирішуються з використанням властивостей функційнаприклад, . Нехай вас не лякає, що в цьому рівнянні дві змінні, воно вирішується при цьому;

А також рівняння, що вирішуються з використанням різних методів.

Крім розв'язання тригонометричних рівнянь необхідно вміти розв'язувати їх системи.

Найчастіше зустрічаються системи наступних типів:

1) У яких одне з рівнянь статечненаприклад, ;

2) Системи із найпростіших тригонометричних рівняньнаприклад, .

На сьогоднішньому уроці ми розглянули основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки. А також познайомилися з загальними формуламивирішення найпростіших тригонометричних рівнянь, вказали основні типи таких рівнянь та їх систем.

У практичній частині уроку ми розберемо методи розв'язання тригонометричних рівнянь та їх систем.

Вставлення 1.Розв'язання окремих випадків найпростіших тригонометричних рівнянь.

Як ми вже говорили в основній частині уроку, окремі випадки тригонометричних рівнянь із синусом і косинусом виду:

мають простіші рішення, ніж дають формули загальних рішень.

Для цього використовується тригонометричне коло. Розберемо метод їх розв'язання на прикладі рівняння.

Зобразимо на тригонометричному колі точку, в якій значення косинуса дорівнює нулю, воно є координатою по осі абсцис. Як бачимо, таких точок дві. Наше завдання вказати чому дорівнює кут, який відповідає цим точкам на колі.

Починаємо відлік від позитивного спрямування осі абсцис (осі косінусів) і при відкладанні кута потрапляємо в першу зображену точку, тобто. одним із рішень буде це значення кута. Але ж нас ще влаштовує кут, який відповідає другій точці. Як потрапити до неї?