Тригонометричні рівняння .
Найпростіші тригонометричні рівняння .
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
Тригонометричні рівняння. Рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним.
Найпростіші тригонометричні рівняння.
Методи вирішення тригонометричних рівнянь. Розв'язання тригонометричного рівняння складається з двох етапів: перетворення рівняннядля отримання його найпростішоговиду (див. вище) і Рішенняотриманого найпростішого тригонометричного рівняння.Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь
1. Алгебраїчний метод. Цей метод нам добре відомий з алгебри
(Метод заміни змінної та підстановки).
2. Розкладання на множники. Цей метод розглянемо з прикладів.
П р і м е р 1. Розв'язати рівняння: sin x+ cos x = 1 .
Розв'язання. Перенесемо всі члени рівняння вліво:
Sin x+ cos x – 1 = 0 ,
Перетворимо і розкладемо на множники вираз у
Лівою частиною рівняння:
П р і м е р 2. Розв'язати рівняння: cos 2 x+ sin x· cos x = 1.
Рішення. cos 2 x+ sin x· cos x– sin 2 x- cos 2 x = 0 ,
Sin x· cos x– sin 2 x = 0 ,
Sin x· (cos x– sin x ) = 0 ,
П р і м е р 3. Розв'язати рівняння: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.
Рішення. cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,
2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,
Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,
Cos 4 x · 2 sin 3 x· sin x = 0 ,
1). cos 4 x= 0, 2). sin 3 x= 0, 3). sin x = 0 ,
| 3. |
Приведення до однорідного рівняння. Рівняння називається однорідним від носійно sinі cos , якщо всі його члени одного і того ж ступеня щодо sinі cosодного і того ж кута. Щоб розв'язати однорідне рівняння, треба: а) перенести всі його члени до лівої частини; б) винести всі загальні множники за дужки; в) прирівняти всі множники та дужки нулю; г) дужки, прирівняні нулю, дають однорідне рівняння меншого ступеня, яке слід розділити на cos(або sin) у старшому ступені; д) вирішити отримане рівняння алгебри щодоtan . П р і м е р. Розв'язати рівняння: 3 sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 5 cos 2 x = 2. Рішення. 3sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , звідси y 2 + 4y +3 = 0 , Коріння цього рівняння:y 1 = - 1, y 2 = - 3, звідси 1) tan x= -1, 2) tan x = –3, |
4. Перехід до половинного кута. Розглянемо цей метод з прикладу:
П р і м е р. Розв'язати рівняння: 3 sin x– 5 cos x = 7.
Рішення. 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) – 5 cos ² ( x/ 2) + 5 sin ² ( x/ 2) =
7 sin ² ( x/ 2) + 7 cos ² ( x/ 2) ,
2 sin ² ( x/ 2) - 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) + 12 cos ² ( x/ 2) = 0 ,
tan ² ( x/ 2) - 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Введення допоміжного кута. Розглянемо рівняння виду:
a sin x + b cos x = c ,
Де a, b, c- Коефіцієнти;x- Невідоме.
Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса , а саме: модуль ( абсолютне значення ) кожного
Завдання №1
Логіка проста: будемо чинити так, як чинили раніше, незважаючи на те, що тепер у тригонометричних функцій став складніший аргумент!
Якби вирішували рівняння виду:
То ми б записали ось таку відповідь:
Або (оскільки)
Але тепер у ролі у нас виступаємо такий вираз:
Тоді можна записати:
Наша з тобою мета - зробити так, щоб ліворуч стояв просто, без жодних «домішок»!
Давай поступово їх позбуватися!
Спочатку приберемо знаменник при: для цього домножимо нашу рівність на:
Тепер позбудемося, розділивши на нього обидві частини:
Тепер позбавимося вісімки:
Отримане вираз можна розписати як дві серії рішень (за аналогією з квадратним рівнянням, де ми або додаємо, або віднімаємо дискримінант)
Нам потрібно знайти найбільший негативний корінь! Зрозуміло, що треба перебирати.
Розглянемо спочатку першу серію:
Ясно, що якщо ми братимемо, то в результаті ми отримуватимемо позитивні числа, а вони нас не цікавлять.
Значить, треба брати негативним. Нехай.
При корінь буде вже:
А нам потрібно знайти найбільший негативний! Значить йти в негативний бік тут уже немає сенсу. І найбільший негативний корінь для цієї серії дорівнюватиме.
Тепер розглядаємо другу серію:
І знову підставляємо: , тоді:
Не цікавить!
Тоді збільшувати більше немає сенсу! Зменшуватимемо! Нехай тоді:
Підходить!
Нехай. Тоді
Тоді – найбільший негативний корінь!
Відповідь:
Завдання №2
Знову вирішуємо, незважаючи на складний аргумент косинуса:
Тепер знову висловлюємо ліворуч:
Примножуємо обидві сторони на
Ділимо обидві сторони на
Все, що залишилося - це перенести праворуч, змінивши її знак з мінуса на плюс.
У нас знову виходить 2 серії коренів, одна з, а інша.
Нам потрібно знайти найбільший негативний корінь. Розглянемо першу серію:
Ясно, що перший негативний корінь ми отримаємо, він буде дорівнює і буде найбільшим негативним коренем в 1 серії.
Для другої серії
Перший негативний корінь буде отриманий також і буде дорівнювати. Так, то - найбільший негативний корінь рівняння.
Відповідь: .
Завдання №3
Вирішуємо, незважаючи на складний аргумент тангенсу.
Ось, начебто нічого складного, чи не так?
Як і раніше, виражаємо у лівій частині:
Ну ось і чудово, тут взагалі лише одна серія коренів! Знову знайдемо найбільший негативний.
Зрозуміло, що він виходить, якщо покласти. І корінь цей дорівнює.
Відповідь:
Тепер спробуй самостійно вирішити такі завдання.
Домашня робота або 3 завдання для самостійного вирішення.
- Розв'яжіть рівняння.
- Розв'яжіть рівняння.
У від-ві-ті на-пи-ши-те най-менший по-ло-жи-тель-ний корінь. - Розв'яжіть рівняння.
У від-ві-ті на-пи-ши-те най-менший по-ло-жи-тель-ний корінь.
Готовий? Перевіряємо. Я не докладно описуватиму весь алгоритм рішення, мені здається, йому і так приділено достатньо уваги вище.
Ну що, все вірно? Ох вже ці гидкі синуси, з ними завжди якісь біди!
Ну що ж, тепер ти вмієш вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння!
Звірься з рішеннями та відповідями:
Завдання №1
Висловимо
Найменший позитивний корінь вийде, якщо покласти, тому що, то
Відповідь:
Завдання №2
Найменший позитивний корінь вийде.
Він дорівнюватиме.
Відповідь: .
Завдання №3
При отримуємо, маємо.
Відповідь: .
Ці знання допоможуть тобі вирішувати багато завдань, з якими ти зіткнешся в іспиті.
Якщо ж ти претендуєш на оцінку «5», то тобі необхідно перейти до читання статті для середнього рівня, яка буде присвячена вирішенню складніших тригонометричних рівнянь (завдання С1).
СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
У цій статті я опишу вирішення тригонометричних рівнянь більше складного типу і як проводити відбір їх коріння. Тут я спиратимуся на наступні теми:
- Тригонометричні рівняння для початкового рівня (див. вище).
Більш складні тригонометричні рівняння – це основа завдань підвищеної складності. Вони потрібно як вирішити саме рівняння у вигляді, і знайти коріння цього рівняння, які належать деякому заданому проміжку.
Розв'язання тригонометричних рівнянь зводиться до двох підзавдань:
- Вирішення рівняння
- Відбір коренів
Слід зазначити, що друге потрібно не завжди, але все ж таки в більшості прикладів потрібно проводити відбір. А якщо ж він не потрібний, то тобі швидше можна поспівчувати - це означає, що рівняння досить складне саме собою.
Мій досвід аналізу завдань С1 показує, що вони зазвичай діляться на такі категорії.
Чотири категорії завдань підвищеної складності (раніше С1)
- Рівняння, що зводяться до розкладання множників.
- Рівняння, що зводяться до вигляду.
- Рівняння, які вирішуються заміною змінної.
- Рівняння, що вимагають додаткового відбору коренів через ірраціональність чи знаменник.
Говорячи по-простому: якщо тобі попалося одне із рівнянь перших трьох типів, то вважай, що тобі пощастило. Для них зазвичай додатково потрібно підібрати коріння, що належить деякому проміжку.
Якщо ж тобі трапилося рівняння 4 типу, то тобі пощастило менше: з ним потрібно повозитися довше і уважніше, зате досить часто в ньому не потрібно додатково відбирати коріння. Проте цей тип рівнянь я розбиратиму в наступній статті, а цю присвячую вирішенню рівнянь перших трьох типів.
Рівняння, що зводяться до розкладання на множники
Найважливіше, що тобі потрібно пам'ятати, щоб вирішувати рівняння цього
Як показує практика, зазвичай цих знань достатньо. Давай звернімося до прикладів:
Приклад 1. Рівняння, що зводяться до розкладання на множники за допомогою формул приведення та синуса подвійного кута
- Ре-ши-те урав-не-ня
- Знай-діть всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку
Тут, як я і обіцяв, працюють формули приведення:
Тоді моє рівняння набуде такого вигляду:
Тоді моє рівняння набуде наступної форми:
Недалекоглядний учень міг би сказати: а тепер я скорочу обидві частини на, отримую найпростіше рівняння і тішуся життя! І буде гірко помилятися!
| ЗАПАМ'ЯТАЙ: НІКОЛИ НЕ МОЖНА СКОРОЧУВАТИ ОБІДВІ ЧАСТИНИ ТРИГОНОМЕТРІЧНОГО РІВНЯННЯ НА ФУНКЦІЮ, ЩО ВМІСТЬ НЕВІДОМУ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТИ ВТРАЧАЄШЬ КОРІННЯ! |
То що робити? Та все просто, переносити все в один бік і виносити спільний множник:
Ну ось, на множники розклали, ура! Тепер вирішуємо:
Перше рівняння має коріння:
А друге:
На цьому першу частину завдання вирішено. Тепер потрібно відібрати коріння:
Проміжок такий:
Або його ще можна записати ось так:
Ну що, давай відбирати коріння:
Спочатку попрацюємо з першою серією (та й простіше вона, що вже казати!)
Так як наш проміжок - цілком негативний, то немає потреби брати невід'ємні, все одно вони дадуть невід'ємне коріння.
Візьмемо, тоді - забагато, не влучає.
Нехай тоді - знову не влучив.
Ще одна спроба - тоді, є, потрапив! Перший корінь знайдено!
Стріляю ще раз: тоді - ще раз потрапив!
Ну і ще разок: - це вже переліт.
Так що з першої серії проміжку належать 2 корені: .
Працюємо з другою серією (зводимо у ступінь за правилом):
Недолє!
Знову недолітає!
Знову недоліт!
Влучив!
Переліт!
Таким чином, моєму проміжку належить таке коріння:
Ось за таким алгоритмом ми і вирішуватимемо всі інші приклади. Давай разом потренуємось ще на одному прикладі.
Приклад 2. Рівняння, що зводяться до розкладання множників за допомогою формул приведення
- Розв'яжіть рівняння
Рішення:
Знову горезвісні формули приведення:
Знов не надумай скорочувати!
Перше рівняння має коріння:
А друге:
Тепер знову пошук коріння.
Почну з другої серії, мені про неї вже все відомо з попереднього прикладу! Подивись і переконайся, що коріння, що належить проміжку, наступне:
Тепер перша серія і вона простіше:
Якщо - підходить
Якщо - теж годиться
Якщо – вже переліт.
Тоді коріння буде наступне:
Самостійна робота. 3 рівняння.
Ну що, техніка тобі зрозуміла? Вирішення тригонометричних рівнянь вже не здається таким складним? Тоді швиденько вирішуй наступні завдання самостійно, а потім ми з тобою вирішуватимемо інші приклади:
- Розв'яжіть рівняння
Знай-діть всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі проміжку. - Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жи-те коріння урав-не-ня, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку - Ре-ши-те урав-не-ня
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі-ті про-мі-жут-ку.
Рівняння 1.
І знову формула приведення:
Перша серія коренів:
Друга серія коренів:
Починаємо відбір для проміжку
Відповідь: , .
Рівняння 2. Перевірка самостійної роботи.
Досить хитре угруповання на множники (застосую формулу синуса подвійного кута):
тоді чи
Це спільне рішення. Тепер треба відбирати коріння. Біда в тому, що ми не можемо сказати точного значення кута, косинус якого дорівнює одній чверті. Тому я не можу просто так позбутися арккосинусу - ось така прикрість!
Що я можу зробити, то це прикинути, що так як, те.
Складемо таблицю: проміжок:
Ну що ж, шляхом болісних пошуків ми дійшли невтішного висновку про те, що наше рівняння має один корінь на вказаному проміжку: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
3. Перевірка самостійної роботи.
Рівняння виду, що лякає. Однак вирішується досить просто шляхом застосування формули синуса подвійного кута:
Скоротимо на 2:
Згрупуємо перший доданок з другим і третій з четвертим і винесемо загальні множники:
Зрозуміло, що перше рівняння коренів немає, тепер розглянемо друге:
Взагалі я збирався трохи пізніше зупинитися на вирішенні таких рівнянь, але якщо вже підвернулося, то робити нічого, треба вирішувати.
Рівняння виду:
Дане рівняння вирішується розподілом обох частин на:
Таким чином, наше рівняння має єдину серію коренів:
Потрібно знайти ті, які належать промежутку: .
Знову збудуємо табличку, як я робив і раніше:
Відповідь: .
Рівняння, що зводяться до вигляду:
Ну ось, тепер саме час переходити до другої порції рівнянь, тим більше, що я вже й так проговорився в чому полягає розв'язання тригонометричних рівнянь нового типу. Але не зайвим буде повторити, що рівняння виду
Вирішується розподілом обох частин на косинус:
- Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жи-те коріння рівняння, при-над-ле-жа-щие від-різ-ку. - Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жи-те коріння рівняння, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.
приклад 1.
Перше – ну зовсім просте. Перенесемо вправо і застосуємо формулу косинуса подвійного кута:
Ага! Рівняння виду: . Поділяю обидві частини на
Робимо відсів коренів:
Проміжок:
Відповідь:
приклад 2.
Все теж досить тривіально: розкриємо дужки праворуч:
Основне тригонометричне тотожність:
Синус подвійного кута:
Остаточно отримаємо:
Відсів коренів: проміжок.
Відповідь: .
Ну як тобі техніка, не надто складна? Я сподіваюсь що ні. Відразу можна зазначити: у чистому вигляді рівняння, які відразу зводяться до рівняння щодо тангенсу, зустрічаються досить рідко. Як правило, цей перехід (розподіл на косинус) є лише частиною складнішого завдання. Ось тобі приклад, щоб ти міг повправлятися:
- Ре-ши-те урав-не-ня
- Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.
Давай звірятися:
Рівняння вирішується відразу, достатньо поділити обидві частини на:
Відсів коренів:
Відповідь: .
Так чи інакше, ми ще маємо зустрітися з рівняннями того виду, які ми щойно розібрали. Проте нам ще зарано закруглюватися: залишився ще один «пласт» рівнянь, які ми не розібрали. Отже:
Розв'язання тригонометричних рівнянь заміною змінної
Тут все прозоро: дивимося уважно на рівняння, максимально його спрощуємо, робимо заміну, вирішуємо, робимо зворотну заміну! На словах все дуже просто. Давай подивимося на ділі:
приклад.
- Вирішити рівняння: .
- Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.
Ну що ж, тут заміна сама напрошується до нас до рук!
Тоді наше рівняння перетвориться на таке:
Перше рівняння має коріння:
А друге ось такі:
Тепер знайдемо коріння, що належить проміжку
Відповідь: .
Давай разом розберемо трохи складніший приклад:
- Ре-ши-те урав-не-ня
- Ука-жи-те коріння дан-но-го урав-не-ния, при-над-ле-жа-щі про-ме-жут-ку.
Тут заміна відразу не видно, більше того, вона не дуже очевидна. Давай спочатку подумаємо: що ми можемо зробити?
Можемо, наприклад, уявити
А заразом і
Тоді моє рівняння набуде вигляду:
А тепер увага, фокус:
Давай розділимо обидві частини рівняння на:
Раптом ми з тобою здобули квадратне рівняння щодо! Зробимо заміну, тоді отримаємо:
Рівняння має наступне коріння:
Неприємна друга серія коренів, але нічого не вдієш! Проводимо відбір коренів на проміжку.
Нам також слід враховувати, що
Так як і, то
Відповідь:
Для закріплення, перш ніж ти сам вирішуватимеш завдання, ось тобі ще вправа :
- Ре-ши-те урав-не-ня
- Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі-ті про-мі-жут-ку.
Тут треба тримати вухо гостро: у нас з'явилися знаменники, які можуть бути нульовими! Тому треба бути особливо уважними до коріння!
Насамперед, мені потрібно перетворити рівняння так, щоб я міг зробити відповідну заміну. Я не можу придумати зараз нічого кращого, ніж переписати тангенс через синус та косинус:
Тепер я перейду від косинуса до синуса за основною тригонометричною тотожністю:
І, нарешті, приведу все до спільного знаменника:
Тепер я можу перейти до рівняння:
Але за (тобто за).
Тепер все готове для заміни:
Тоді чи
Однак зверніть увагу, що якщо, то при цьому!
Хто від цього страждає? Біда з тангенсом, він не визначений, коли косинус дорівнює нулю (відбувається поділ на нуль).
Таким чином, коріння рівняння наступне:
Тепер виробляємо відсівання коренів на проміжку:
| - підходить | |
| - перебір |
Таким чином, наше рівняння має єдиний корінь на проміжку, і він дорівнює.
Бачиш: поява знаменника (також, як і тангенса, призводить до певних труднощів з корінням! Тут потрібно бути уважнішим!).
Ну що ж, ми з тобою майже закінчили розбір тригонометричних рівнянь, залишилося зовсім небагато – самостійно вирішити дві задачі. Ось вони.
- Розв'яжіть рівняння
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку. - Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жіть коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі-от-рез-ку.
Вирішив? Чи не дуже складно? Давай звірятися:
- Працюємо за формулами приведення:
Підставляємо в рівняння:
Перепишемо все через косинуси, щоб зручніше було робити заміну:
Тепер легко зробити заміну:
Зрозуміло, що сторонній корінь, оскільки рівняння рішень немає. Тоді:
Шукаємо потрібне нам коріння на проміжку
Відповідь: .
Тут заміна видно відразу:Тоді чи
- Підходить! - Підходить! - Підходить! - Підходить! - Багато! - теж багато! Відповідь:
Ну ось тепер все! Але рішення тригонометричних рівнянь на цьому не закінчується, за бортом у нас залишилися найскладніші випадки: коли в рівняннях є ірраціональність або різного роду «складні знаменники». Як вирішувати подібні завдання, ми розглянемо у статті для просунутого рівня.
ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ
На додаток до розглянутих у попередніх двох статтях тригонометричних рівнянь, розглянемо ще один клас рівнянь, які потребують ще більш уважного аналізу. Дані тригонометричні приклади містять або ірраціональність, або знаменник, що робить їх аналіз складнішим.. Тим не менш, ти цілком можеш зіткнутися з даними рівняннями в частині С екзаменаційної роботи. Однак немає поганого без добра: для таких рівнянь вже, як правило, не ставиться питання про те, яке з його коренів належить заданому проміжку. Давай не будемо ходити навколо та навколо, а одразу тригонометричні приклади.
приклад 1.
Розв'язати рівняння і знайти те коріння, яке належить відрізку.
Рішення:
У нас з'являється знаменник, який не повинен дорівнювати нулю! Тоді вирішити це рівняння - це все одно, що вирішити систему
Розв'яжемо кожне з рівнянь:
А тепер друге:
Тепер давай подивимося на серію:
Зрозуміло, що нам не підходить варіант, тому що при цьому у нас обнулюється знаменник (див. формулу коренів другого рівняння)
Якщо ж - то все гаразд, і знаменник не дорівнює нулю! Тоді коріння рівняння такі: , .
Тепер робимо відбір коренів, що належать проміжку.
| - не підходить | - підходить | |
| - підходить | - підходить | |
| перебір | перебір |
Тоді коріння наступне:
Бачиш, навіть поява невеликої перешкоди у вигляді знаменника суттєво позначилася на вирішенні рівняння: ми відкинули серію коренів, що нуляли знаменник. Ще складніше може бути справа, якщо тобі трапляться тригонометричні приклади мають ірраціональність.
приклад 2.
Розв'яжіть рівняння:
Рішення:
Ну, хоча б не треба відбирати коріння і то добре! Давай спочатку вирішимо рівняння, незважаючи на ірраціональність:
І що це все? Ні, на жаль, так було б дуже просто! Потрібно пам'ятати, що під коренем можуть стояти лише невід'ємні числа. Тоді:
Вирішення цієї нерівності:
Тепер залишилося з'ясувати, чи не потрапила ненароком частина коріння першого рівняння туди, де не виконується нерівність.
Для цього можна знову скористатися таблицею:
| : , але | Ні! | |
| Так! | ||
| Так! |
Таким чином, у мене «випав» один із коренів! Він виходить, якщо покласти. Тоді відповідь можна записати у такому вигляді:
Відповідь:
Бачиш, корінь вимагає ще більшої уваги! Ускладнюємо: нехай тепер у мене під коренем стоїть тригонометрична функція.
приклад 3.
Як і раніше: спочатку вирішимо кожне окремо, а потім подумаємо, що ми наробили.
Тепер друге рівняння:
Тепер найскладніше – з'ясувати, чи не виходять негативні значення під арифметичним коренем, якщо ми підставимо туди коріння з першого рівняння:
Число треба розуміти як радіани. Так як радіана – це приблизно градусів, то радіани – близько градусів. Це кут другої чверті. Косинус другої чверті має якийсь знак? Мінус. А синус? Плюс. Так що можна сказати про вираз:
Воно менше за нуль!
А отже – не є коренем рівняння.
Тепер черга.
Порівняємо це число з нулем.
Котангенс - функція спадна в 1 чверті (чим менше аргумент, тим більше котангенс). радіани – це приблизно градусів. В той же час
так, то, а значить і
,
Відповідь: .
Чи може бути складніше? Будь ласка! Буде важче, якщо під коренем, як і раніше, тригонометрична функція, а друга частина рівняння - знову тригонометрична функція.
Чим більше тригонометричних прикладів, тим краще дивись далі:
приклад 4.
Корінь не годиться, через обмеженість косинуса
Тепер друге:
Водночас за визначенням кореня:
Треба згадати одиничне коло: саме ті чверті, де синус менше нуля. Які це чверті? Третя та четверта. Тоді нас цікавитимуть ті рішення першого рівняння, які лежать у третій чи четвертій чверті.
Перша серія дає коріння, що лежить на перетині третьої та четвертої чверті. Друга ж серія - їй діаметрально протилежна - і породжує коріння, що лежить на межі першої та другої чверті. Тож ця серія нам не підходить.
Відповідь: ,
І знову тригонометричні приклади з «важкою ірраціональністю». Мало того, що в нас знову під коренем тригонометрична функція, то тепер вона ще й у знаменнику!
Приклад 5.
Ну, нічого не вдієш - робимо як і раніше.
Тепер працюємо із знаменником:
Я не хочу вирішувати тригонометричну нерівність, а тому вчиню хитро: візьму і підставлю в нерівність мої серії коренів:
Якщо – парне, то маємо:
оскільки всі кути виду лежать у четвертій чверті. І знову сакральне питання: який знак синуса у четвертій чверті? Негативний. Тоді нерівність
Якщо ж непарне, то:
У якій чверті лежить кут? Це кут другої чверті. Тоді всі кути – знову кути другої чверті. Синус там позитивний. Саме те, що треба! Значить, серія:
Підходить!
Так само розуміємося з другою серією коренів:
Підставляємо в нашу нерівність:
Якщо – парне, то
Кути першої чверті. Синус там позитивний, отже, серія підходить. Тепер якщо - непарне, то:
теж підходить!
Ну ось тепер записуємо відповідь!
Відповідь:
Ну от, це був, мабуть, найважчий випадок. Тепер я пропоную тобі завдання для самостійного вирішення.
Тренування
- Розв'яжіть і знайдіть усі корені рівняння, що належать відрізку.
Рішення:
Перше рівняння:
або
ОДЗ кореня:Друге рівняння:
Відбір коренів, що належать до проміжку
Відповідь:
Або
або
Але
Розглянемо: . Якщо – парне, то
- не підходить!
Якщо - непарне, - підходить!
Отже, наше рівняння має такі серії коренів:
або
Відбір коренів на проміжку:
| - не підходить | - підходить | |
| - підходить | - багато | |
| - підходить | багато |
Відповідь: , .
Або
Оскільки, то при тангенсі не визначено. Відкидаємо цю серію коренів!
Друга частина:
У той же час по ОДЗ потрібно, щоб
Перевіряємо знайдене у першому рівнянні коріння:
Якщо знак:
Кути першої чверті, де тангенс є позитивним. Не підходить!
Якщо знак:
Кут четвертої чверті. Там тангенс негативний. Підходить. Записуємо відповідь:
Відповідь: , .
Ми разом розібрали у цій статті складні тригонометричні приклади, але тобі варто вирішувати рівняння самому.
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Тригонометричне рівняння - це рівняння, в якому невідома знаходиться строго під знаком тригонометричної функції.
Існує два способи розв'язання тригонометричних рівнянь:
Перший спосіб – з використанням формул.
Другий спосіб - через тригонометричне коло.
Дозволяє вимірювати кути, знаходити їх синуси, косинуси та інше.
Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!
Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.
Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.
1. Рівняння `sin x=a`.
При `|a|>1` немає рішень.
При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.
Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Рівняння `cos x=a`
При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.
При `|a| \leq 1` має безліч рішень.
Формула коренів: x = p arccos a + 2 pi n, n in Z
Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках. 
3. Рівняння `tg x=a`
Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.
Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Рівняння `ctg x=a`
Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.
Формула коренів: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці
Для синусу: 
Для косинуса: 
Для тангенсу та котангенсу: 
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь
Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:
- за допомогою перетворити його до найпростішого;
- вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.
Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.
Алгебраїчний метод.
У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.
приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,
робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,
знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:
1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.
Розкладання на множники.
приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.
Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.
Відповідь: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Приведення до однорідного рівняння
Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:
`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).
Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.
приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.
Рішення. Запишемо праву частину, як `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`
` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.
Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:
`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Перехід до половинного кута
приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Введення допоміжного кута
У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.
Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:
` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.
Докладніше розглянемо на наступному прикладі:
приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.
Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:
`sin (x+\varphi) = 2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробно-раціональні тригонометричні рівняння
Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.
приклад. Вирішити рівняння. frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x `.
Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:
`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.
Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!
Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.
Найпростішими тригонометричними рівняннями називають рівняння
Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a
Рівняння cos(x) = a
Пояснення та обґрунтування
- Коріння рівняння cosx = а. При | a | > 1 рівняння немає коріння, оскільки | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 або при а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Нехай | а |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
у = cos x. На проміжку функція y = cos x зменшується від 1 до -1. Але спадна функція приймає кожне своє значення тільки в одній точці її області визначення, тому рівняння cos x = а має на цьому проміжку тільки один корінь, який за визначенням арккосинусу дорівнює: x 1 = arccos а (і для цього кореня cos x = а).
Косинус - парна функція, тому на проміжку [-п; 0] рівняння cos x = а також має лише один корінь - число, протилежне x 1, тобто
x 2 = -arccos а.
Таким чином, на проміжку [-п; п] (довжиною 2п) рівняння cos x = а при | а |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Функція y = cos x періодична з періодом 2п, тому решта всіх корінь відрізняється від знайдених на 2пп (n € Z). Отримуємо наступну формулу коренів рівняння cos x = а при
x = ± arccos а + 2пп, n £ Z.
- Часткові випадки розв'язання рівняння cosx = а.
Корисно пам'ятати спеціальні записи коренів рівняння cos x = а при
а = 0, а = -1, а = 1, які можна легко отримати, використовуючи як орієнтир одиничне коло.
Оскільки косинус дорівнює абсцисі відповідної точки одиничного кола, отримуємо, що cos x = 0 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка A або точка B.
Аналогічно cos x = 1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка C, отже,
x = 2πп, k € Z.
Також cos х = -1 тоді і лише тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка D, таким чином, х = п + 2пn,
Рівняння sin(x) = a
Пояснення та обґрунтування
- Коріння рівняння sinx = а. При | а | > 1 рівняння немає коріння, оскільки | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 або при а< -1 не пересекает график функции y = sinx).
На цьому уроці ми розглянемо основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки, а також перерахуємо основні типи тригонометричних рівнянь та систем. Крім цього, вкажемо загальні рішення найпростіших тригонометричних рівнянь та їх окремі випадки.
Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання В5 та С1.
Підготовка до ЄДІ з математики
Експеримент
Урок 10. Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння та їх системи.
Теорія
Конспект уроку
Ми з вами вже застосовували термін «тригонометрична функція». Ще на першому уроці цієї теми ми визначили їх за допомогою прямокутного трикутникаі одиничного тригонометричного кола. Використовуючи такі методи завдання тригонометричних функцій, ми можемо зробити висновок, що їм одному значенню аргументу (чи кута) відповідає суворо одне значення функції, тобто. ми маємо право називати синус, косинус, тангенс і котангенс саме функціями.
У цьому уроці саме час спробувати абстрагуватися від розглянутих раніше способів обчислення значень тригонометричних функцій. Сьогодні ми перейдемо до звичного підходу алгебри роботи з функціями, ми розглянемо їх властивості і зобразимо графіки.
Що стосується властивостей тригонометричних функцій, то особливу увагу слід звернути на:
Область визначення та область значень, т.к. для синуса та косинуса є обмеження по області значень, а для тангенсу та котангенсу обмеження по області визначення;
Періодичність всіх трігонометричних функцій, т.к. ми вже зазначали наявність найменшого ненульового аргументу, додавання якого змінює значення функції. Такий аргумент називають періодом функції та позначають буквою. Для синуса/косинусу та тангенсу/котангенсу ці періоди різні.
Розглянемо функцію:
1) Область визначення;
2) Область значень 
;
3) Функція непарна 
;
Побудуємо графік функції. При цьому зручно починати побудову із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Крім того, для побудови корисно пам'ятати значення синусів декількох основних табличних кутів, наприклад, що це дозволить побудувати першу повну «хвилю» графіка і потім перемальовувати її вправо та вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням на період, тобто. на .
Тепер розглянемо функцію:
Основні властивості цієї функції:
1) Область визначення;
2) Область значень ;
3) Функція парна 
З цього випливає симетричність графіка функції щодо осі ординат;
4) Функція не є монотонною на всій своїй ділянці визначення;
Побудуємо графік функції. Як і при побудові синуса зручно починати із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Також нанесемо на графік координати кількох точок, для чого необхідно пам'ятати значення косінусів кількох основних табличних кутів, наприклад, що за допомогою цих точок ми можемо побудувати першу повну хвилю графіка і потім перемальовувати її вправо і вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням період, тобто. на .
Перейдемо до функції:
Основні властивості цієї функції:
1) Область визначення крім , де . Ми вже вказували на попередніх уроках, що не існує. Це твердження можна узагальнити з огляду на період тангенсу;
2) Область значень, тобто. значення тангенсу не обмежені;
3) Функція непарна 
;
4) Функція монотонно зростає у межах своїх так званих гілок тангенсу, які ми зараз побачимо на малюнку;
5) Функція періодична з періодом
Побудуємо графік функції. У цьому зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки тангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. При цьому не забуваємо, що кожна гілка монотонно зростає. Усі гілки зображаємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює . Це видно з того, що кожна гілка виходить усуненням сусідньої на вздовж осі абсцис.
І завершуємо розглядом функції:
Основні властивості цієї функції:
1) Область визначення крім , де . По таблиці значень тригонометричних функцій ми знаємо, що немає. Це твердження можна узагальнити з огляду на період котангенсу;
2) Область значень, тобто. значення котангенсу не обмежені;
3) Функція непарна 
;
4) Функція монотонно зменшується в межах своїх гілок, які схожі на гілки тангенсу;
5) Функція періодична з періодом
Побудуємо графік функції. У цьому, як й у тангенса, зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки котангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. У цьому випадку враховуємо, що кожна гілка монотонно зменшується. Усі гілки і тангенсу зображуємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює .
Окремо слід зазначити той факт, що тригонометричні функції зі складним аргументом можуть мати нестандартний період. Йдеться про функції виду:
У них період дорівнює. І про функції:
У них період дорівнює.
Як бачимо, для обчислення нового періоду стандартний період ділиться на множник при аргументі. Від інших видозмін функції він не залежить.
Докладніше розібратися та зрозуміти, звідки беруться ці формули, ви зможете в уроці про побудову та перетворення графіків функцій.
Ми підійшли до однієї з найголовніших частин теми «Тригонометрія», яку ми присвятимо рішенню тригонометричних рівнянь. Вміння вирішувати такі рівняння важливе, наприклад, при описі коливальних процесів у фізиці. Уявимо, що ви на спортивній машині проїхали кілька кіл на картинзі, визначити скільки часу ви вже берете участь у гонці в залежності від положення машини на трасі допоможе розв'язання тригонометричного рівняння.
Запишемо найпростіше тригонометричне рівняння:
Рішенням такого рівняння є аргументи, синус яких дорівнює. Але ми вже знаємо, що через періодичність синуса таких аргументів існує безліч. Таким чином, розв'язуванням цього рівняння будуть і т.п. Те саме стосується і вирішення будь-якого іншого найпростішого тригонометричного рівняння, їх буде нескінченна кількість.
Тригонометричні рівняння поділяються на кілька основних типів. Окремо слід зупинитись на найпростіших, т.к. решта до них зводяться. Таких рівнянь чотири (за кількістю основних тригонометричних функцій). Їх відомі загальні рішення, їх необхідно запам'ятати.
Найпростіші тригонометричні рівняння та їх загальні рішеннявиглядають наступним чином:
Зверніть увагу, що значення синуса і косинуса необхідно враховувати відомі нам обмеження. Якщо, наприклад, то рівняння не має рішень і застосовувати зазначену формулу не слід.
Крім того, зазначені формули коренів містять параметр як довільного цілого числа . У шкільній програміце єдиний випадок, коли розв'язування рівняння без параметра містить у собі параметр. Це довільне ціле число показує, що можна виписати нескінченну кількість коренів будь-якого із зазначених рівнянь просто підставляючи замість черги всі цілі числа.
Ознайомитись із докладним отриманням зазначених формул ви можете, повторивши розділ «Тригонометричні рівняння» у програмі алгебри 10 класу.
Окремо необхідно звернути увагу на вирішення окремих випадків найпростіших рівнянь з синусом і косинусом. Ці рівняння мають вигляд:
До них не слід застосовувати формули знаходження спільних рішень. Такі рівняння найзручніше вирішуються з використанням тригонометричного кола, що дає більш простий результат, ніж формули загальних рішень.
Наприклад, рішенням рівняння є 
. Спробуйте самі отримати цю відповідь і вирішити решту вказаних рівнянь.
Крім зазначеного типу тригонометричних рівнянь, що найчастіше зустрічається, існують ще кілька стандартних. Перерахуємо їх з урахуванням тих, які ми вже зазначили:
1) Найпростіші, наприклад, ;
2) Окремі випадки найпростіших рівняньнаприклад, ;
3) Рівняння зі складним аргументомнаприклад, 
;
4) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом винесення загального множниканаприклад, ;
5) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом перетворення тригонометричних функційнаприклад, ;
6) Рівняння, що зводяться до найпростіших за допомогою замінинаприклад, ;
7) Однорідні рівняннянаприклад, ;
8) Рівняння, що вирішуються з використанням властивостей функційнаприклад, 
. Нехай вас не лякає, що в цьому рівнянні дві змінні, воно вирішується при цьому;
А також рівняння, що вирішуються з використанням різних методів.
Крім розв'язання тригонометричних рівнянь необхідно вміти розв'язувати їх системи.
Найчастіше зустрічаються системи наступних типів:
1) У яких одне з рівнянь статечненаприклад, 
;
2) Системи із найпростіших тригонометричних рівняньнаприклад, 
.
На сьогоднішньому уроці ми розглянули основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки. А також познайомилися з загальними формуламивирішення найпростіших тригонометричних рівнянь, вказали основні типи таких рівнянь та їх систем.
У практичній частині уроку ми розберемо методи розв'язання тригонометричних рівнянь та їх систем.
Вставлення 1.Розв'язання окремих випадків найпростіших тригонометричних рівнянь.
Як ми вже говорили в основній частині уроку, окремі випадки тригонометричних рівнянь із синусом і косинусом виду:
мають простіші рішення, ніж дають формули загальних рішень.
Для цього використовується тригонометричне коло. Розберемо метод їх розв'язання на прикладі рівняння.
Зобразимо на тригонометричному колі точку, в якій значення косинуса дорівнює нулю, воно є координатою по осі абсцис. Як бачимо, таких точок дві. Наше завдання вказати чому дорівнює кут, який відповідає цим точкам на колі.
 |
Починаємо відлік від позитивного спрямування осі абсцис (осі косінусів) і при відкладанні кута потрапляємо в першу зображену точку, тобто. одним із рішень буде це значення кута. Але ж нас ще влаштовує кут, який відповідає другій точці. Як потрапити до неї?
