दूसरे क्रम की शंक्वाकार सतह का समीकरण. अंतरिक्ष की बुनियादी सतहें और उनका निर्माण। समतलों के सामान्य समीकरण

लेख की सामग्री

शंकु अनुभाग,समतल वक्र जो एक लम्ब वृत्तीय शंकु को ऐसे तल से प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त होते हैं जो उसके शीर्ष से नहीं गुजरता (चित्र 1)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दृष्टिकोण से, एक शंकु अनुभाग दूसरे क्रम के समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का स्थान है। पिछले अनुभाग में चर्चा किए गए पतित मामलों को छोड़कर, शंक्वाकार अनुभाग दीर्घवृत्त, हाइपरबोलस या परवलय हैं।

शंकुधारी खंड अक्सर प्रकृति और प्रौद्योगिकी में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाने वाले ग्रहों की कक्षाएँ दीर्घवृत्त के आकार की होती हैं। वृत्त दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है जिसमें प्रमुख अक्ष लघु अक्ष के बराबर होता है। परवलयिक दर्पण में यह गुण होता है कि उसकी धुरी के समानांतर सभी आपतित किरणें एक बिंदु (फोकस) पर एकत्रित होती हैं। इसका उपयोग अधिकांश परावर्तक दूरबीनों में किया जाता है जो परवलयिक दर्पणों का उपयोग करते हैं, साथ ही रडार एंटेना और परवलयिक परावर्तकों वाले विशेष माइक्रोफोन में भी उपयोग किया जाता है। परवलयिक परावर्तक के फोकस पर रखे गए प्रकाश स्रोत से समानांतर किरणों की एक किरण निकलती है। इसीलिए उच्च-शक्ति स्पॉटलाइट और कार हेडलाइट्स में परवलयिक दर्पणों का उपयोग किया जाता है। हाइपरबोला कई महत्वपूर्ण भौतिक संबंधों का एक ग्राफ है, जैसे बॉयल का नियम (एक आदर्श गैस के दबाव और आयतन से संबंधित) और ओम का नियम, जो परिभाषित करता है बिजलीस्थिर वोल्टेज पर प्रतिरोध के एक कार्य के रूप में।

आरंभिक इतिहास

माना जाता है कि शंकु खंडों का खोजकर्ता प्लेटो के छात्र और सिकंदर महान के शिक्षक मेनेचमस (चौथी शताब्दी ईसा पूर्व) को माना जाता है। मेनाएकमस ने एक घन को दोगुना करने की समस्या को हल करने के लिए एक परवलय और एक समबाहु अतिपरवलय का उपयोग किया।

चौथी शताब्दी के अंत में अरिस्टियस और यूक्लिड द्वारा शंकु खंडों पर लिखे गए ग्रंथ। ईसा पूर्व, खो गए थे, लेकिन उनसे प्राप्त सामग्री को प्रसिद्ध में शामिल किया गया था शंक्वाकार खंडपेर्गा के अपोलोनियस (सी. 260-170 ईसा पूर्व), जो आज तक जीवित हैं। अपोलोनियस ने इस आवश्यकता को त्याग दिया कि शंकु के जनरेटर का छेदक तल लंबवत हो और, इसके झुकाव के कोण को अलग-अलग करके, एक गोलाकार शंकु से सभी शंकु खंड प्राप्त किए, सीधे या झुके हुए। हम वक्रों के आधुनिक नाम भी अपोलोनियस के नाम पर रखते हैं - दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय।

अपने निर्माण में, अपोलोनियस ने दो शीट वाले गोलाकार शंकु का उपयोग किया (जैसा कि चित्र 1 में है), इसलिए पहली बार यह स्पष्ट हो गया कि हाइपरबोला दो शाखाओं वाला एक वक्र है। अपोलोनियस के समय से, शंकु के जेनरेट्रिक्स में काटने वाले विमान के झुकाव के आधार पर शंकु वर्गों को तीन प्रकारों में विभाजित किया गया है। दीर्घवृत्त (चित्र 1, ए) तब बनता है जब काटने वाला तल शंकु के सभी जेनरेटर को उसके किसी एक गुहा के बिंदु पर काटता है; परवलय (चित्र 1, बी) - जब काटने वाला तल शंकु के स्पर्शरेखा तलों में से किसी एक के समानांतर होता है; अतिपरवलय (चित्र 1, वी) - जब काटने वाला तल शंकु की दोनों गुहाओं को काटता है।

शंकु अनुभागों का निर्माण

शंकु खंडों को समतलों और शंकुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में अध्ययन करते हुए, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने उन्हें एक समतल पर बिंदुओं के प्रक्षेप पथ के रूप में भी माना। यह पाया गया कि एक दीर्घवृत्त को बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग स्थिर होता है; परवलय - किसी दिए गए बिंदु और दी गई सीधी रेखा से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के रूप में; हाइपरबोला - बिंदुओं के एक बिंदुपथ के रूप में, दो दिए गए बिंदुओं से दूरी में अंतर स्थिर होता है।

समतल वक्रों के रूप में शंकु वर्गों की ये परिभाषाएँ एक तनी हुई डोरी का उपयोग करके उन्हें बनाने की एक विधि भी सुझाती हैं।

दीर्घवृत्त.

यदि दी गई लंबाई के धागे के सिरे बिंदुओं पर तय किए गए हैं एफ 1 और एफ 2 (चित्र 2), तो कसकर खींचे गए धागे के साथ फिसलने वाली पेंसिल के बिंदु द्वारा वर्णित वक्र में एक दीर्घवृत्त का आकार होता है। अंक एफ 1 और एफ 2 को दीर्घवृत्त का फोकस और खंड कहा जाता है वी 1 वी 2 और वी 1 वीनिर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच 2 - प्रमुख और लघु अक्ष। यदि अंक एफ 1 और एफ 2 संपाती होता है, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।

अतिपरवलय.

हाइपरबोला का निर्माण करते समय, बिंदु पी, एक पेंसिल की नोक, एक धागे पर तय की जाती है जो बिंदुओं पर स्थापित खूंटियों के साथ स्वतंत्र रूप से स्लाइड करती है एफ 1 और एफ 2, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3, ए. दूरियाँ इसलिए चुनी जाती हैं ताकि खंड पीएफ 2 खंड से अधिक लंबा है पीएफदूरी से एक निश्चित राशि कम 1 एफ 1 एफ 2. इस मामले में, धागे का एक सिरा खूंटी के नीचे से गुजरता है एफ 1 और धागे के दोनों सिरे खूंटी के ऊपर से गुजरें एफ 2. (पेंसिल का बिंदु धागे के साथ फिसलना नहीं चाहिए, इसलिए इसे धागे पर एक छोटा सा लूप बनाकर और बिंदु को इसके माध्यम से पिरोकर सुरक्षित किया जाना चाहिए।) हाइपरबोला की एक शाखा ( पीवी 1 क्यू) हम यह सुनिश्चित करते हुए चित्र बनाते हैं कि धागा हर समय तना हुआ रहे, और धागे के दोनों सिरों को बिंदु से नीचे खींचते हैं एफ 2 और जब बिंदु पीखंड के नीचे होगा एफ 1 एफ 2, धागे को दोनों सिरों से पकड़कर सावधानी से उकेरना (अर्थात् छोड़ना)। हाइपरबोला की दूसरी शाखा ( पीў वी 2 क्यूў ) हम पहले खूंटियों की भूमिकाओं की अदला-बदली करके चित्र बनाते हैं एफ 1 और एफ 2 .

हाइपरबोला की शाखाएँ दो सीधी रेखाओं तक पहुँचती हैं जो शाखाओं के बीच प्रतिच्छेद करती हैं। हाइपरबोला की अनंतस्पर्शी कहलाने वाली इन रेखाओं का निर्माण चित्र में दिखाए अनुसार किया गया है। 3, बी. इन रेखाओं के कोणीय गुणांक ± ( वी 1 वी 2)/(वी 1 वी 2), कहाँ वी 1 वी 2 - अनंतस्पर्शियों के बीच के कोण के समद्विभाजक का खंड, खंड के लंबवत एफ 1 एफ 2 ; रेखा खंड वी 1 वी 2 को हाइपरबोला का संयुग्म अक्ष और खंड कहा जाता है वी 1 वी 2 - इसकी अनुप्रस्थ धुरी. इस प्रकार, अनंतस्पर्शी एक आयत के विकर्ण हैं जिनकी भुजाएँ चार बिंदुओं से होकर गुजरती हैं वी 1 , वी 2 , वी 1 , वी 2 अक्षों के समानांतर। इस आयत को बनाने के लिए, आपको बिंदुओं का स्थान निर्दिष्ट करना होगा वी 1 और वी 2. वे समान दूरी पर हैं, समान हैं

अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु से हे. यह सूत्र निर्माण मानता है सही त्रिकोणपैरों के साथ ओव 1 और वी 2 हेऔर कर्ण एफ 2 हे.

यदि किसी अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी परस्पर लंबवत हों, तो अतिपरवलय को समबाहु कहा जाता है। दो अतिपरवलय जिनमें सामान्य अनंतस्पर्शी होते हैं, लेकिन पुनर्व्यवस्थित अनुप्रस्थ और संयुग्म अक्षों के साथ, परस्पर संयुग्म कहलाते हैं।

परवलय.

दीर्घवृत्त और हाइपरबोला का फोकस अपोलोनियस को ज्ञात था, लेकिन परवलय का फोकस स्पष्ट रूप से पहली बार पप्पस (तीसरी शताब्दी का दूसरा भाग) द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने इस वक्र को किसी दिए गए बिंदु (फोकस) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया था। और एक दी गई सीधी रेखा, जिसे निदेशक कहा जाता है। पप्पस की परिभाषा के आधार पर, एक फैले हुए धागे का उपयोग करके एक परवलय का निर्माण, मिलिटस के इसिडोर (छठी शताब्दी) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। रूलर को इस प्रकार रखें कि उसका किनारा नियता से मेल खाए डालूँगाў (चित्र 4), और पैर को इस किनारे पर लगाएं एसी।त्रिकोण बनाना एबीसी. हम धागे के एक सिरे को लंबाई से बांधते हैं अबशीर्ष पर बीत्रिभुज, और दूसरा परवलय के फोकस पर एफ. धागे को फैलाने के लिए पेंसिल की नोक का उपयोग करके, टिप को एक चर बिंदु पर दबाएं पीमुक्त पैर के लिए अबत्रिकोण बनाना. जैसे ही त्रिभुज शासक, बिंदु के अनुदिश गति करता है पीफोकस के साथ परवलय के चाप का वर्णन करेंगे एफऔर प्रधानाध्यापिका डालूँगाў , चूँकि धागे की कुल लम्बाई है अब, धागे का एक टुकड़ा त्रिभुज के मुक्त पैर के निकट है, और इसलिए धागे का शेष टुकड़ा पीएफपैर के शेष भाग के बराबर होना चाहिए अब, अर्थात। देहात. चौराहे की जगह वीएक अक्ष के साथ परवलय को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, जिससे होकर गुजरने वाली रेखा एफऔर वी, - परवलय की धुरी। यदि फोकस के माध्यम से अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो परवलय द्वारा काटे गए इस सीधी रेखा के खंड को फोकल पैरामीटर कहा जाता है। दीर्घवृत्त और हाइपरबोला के लिए, फोकल पैरामीटर समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

शंकु अनुभागों के गुण

पप्पू की परिभाषाएँ.

परवलय का फोकस स्थापित करने से पप्पस को सामान्य रूप से शंकु वर्गों की एक वैकल्पिक परिभाषा देने का विचार आया। होने देना एफएक दिया गया बिंदु (फोकस) है, और एल- एक दी गई सीधी रेखा (डायरेक्ट्रिक्स) जो नहीं गुजर रही है एफ, और डी एफऔर डी एल- गतिमान बिंदु से दूरी पीध्यान केंद्रित करने के लिए एफऔर प्रधानाध्यापिकाएँ एलक्रमश। फिर, जैसा कि पप्पस ने दिखाया, शंकुव खंडों को बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है पी, जिसके लिए संबंध डी एफ/डी एलएक गैर-नकारात्मक स्थिरांक है. इस अनुपात को विलक्षणता कहा जाता है इशंक्वाकार खंड. पर इई > 1 – अतिपरवलय; पर इ= 1 – परवलय. अगर एफपर स्थित है एल, तो ज्यामितीय लोकी में सीधी रेखाओं (वास्तविक या काल्पनिक) का रूप होता है, जो विकृत शंकु खंड होते हैं।

दीर्घवृत्त और हाइपरबोला की हड़ताली समरूपता से पता चलता है कि इनमें से प्रत्येक वक्र में दो डायरेक्ट्रिक्स और दो फोकस होते हैं, और इस परिस्थिति ने 1604 में केपलर को इस विचार के लिए प्रेरित किया कि एक परवलय में एक दूसरा फोकस और एक दूसरा डायरेक्ट्रिक्स भी होता है - अनंत और सीधे पर एक बिंदु . उसी प्रकार, एक वृत्त को एक दीर्घवृत्त माना जा सकता है, जिसकी नाभियाँ केंद्र के साथ संपाती होती हैं और नियताएँ अनंत पर होती हैं। सनक इइस मामले में शून्य के बराबर है.

डैंडेलेन डिज़ाइन.

एक शंकु खंड के फोकस और डायरेक्ट्रिक्स को शंकु में अंकित क्षेत्रों का उपयोग करके स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है और बेल्जियम के गणितज्ञ और इंजीनियर जे. डेंडेलिन (1794-1847) के सम्मान में डेंडेलिन क्षेत्र (गेंद) कहा जाता है, जिन्होंने निम्नलिखित निर्माण का प्रस्ताव रखा था। मान लीजिए कि एक निश्चित तल के प्रतिच्छेदन से एक शंकुधारी खंड बनता है पीएक बिंदु पर शीर्ष के साथ दो-गुहा वाले सीधे गोलाकार शंकु के साथ हे. आइए इस शंकु में दो गोले अंकित करें एस 1 और एस 2 जो विमान को छूते हैं पीबिंदुओं पर एफ 1 और एफक्रमशः 2. यदि शंक्वाकार खंड एक दीर्घवृत्त है (चित्र 5, ए), तो दोनों गोले एक ही गुहा के अंदर हैं: एक गोला विमान के ऊपर स्थित है पी, और दूसरा इसके अंतर्गत है। शंकु का प्रत्येक जेनरेट्रिक्स दोनों क्षेत्रों को छूता है, और संपर्क बिंदुओं का स्थान दो वृत्तों जैसा दिखता है सी 1 और सी 2 समानांतर तलों में स्थित है पी 1 और पी 2. होने देना पी- शंकु खंड पर एक मनमाना बिंदु। आइए सीधी रेखाएँ खींचें पीएफ 1 , पीएफ 2 और सीधी रेखा का विस्तार करें पी.ओ.. ये रेखाएं गोले के बिंदुओं पर स्पर्शरेखा हैं एफ 1 , एफ 2 और आर 1 , आर 2. चूँकि गोले पर एक बिंदु से खींची गई सभी स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं पीएफ 1 = जनसंपर्क 1 और पीएफ 2 = जनसंपर्क 2. इस तरह, पीएफ 1 + पीएफ 2 = जनसंपर्क 1 + जनसंपर्क 2 = आर 1 आर 2. विमान के बाद से पी 1 और पी 2 समानांतर, रेखा खंड आर 1 आर 2 की एक निश्चित लंबाई होती है। इस प्रकार, मूल्य जनसंपर्क 1 + जनसंपर्क 2 सभी बिंदु स्थितियों के लिए समान है पी, और बिंदु पीउन बिंदुओं के ज्यामितीय स्थान से संबंधित है जिनसे दूरियों का योग होता है पीपहले एफ 1 और एफ 2 स्थिर है. इसलिए, अंक एफ 1 और एफ 2 - अण्डाकार खंड का फोकस। इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि विमान किस सीधी रेखा के साथ है पीसमतलों को प्रतिच्छेद करता है पी 1 और पी 2, निर्मित दीर्घवृत्त की नियताएँ हैं। अगर पीशंकु की दोनों गुहाओं को प्रतिच्छेद करता है (चित्र 5, बी), तो दो डेंडेलिन गोले समतल के एक ही तरफ स्थित होते हैं पी, शंकु की प्रत्येक गुहा में एक गोला। इस मामले में, के बीच का अंतर पीएफ 1 और पीएफ 2 स्थिर है, और बिंदुओं का स्थान है पीफोकस के साथ हाइपरबोला का आकार होता है एफ 1 और एफ 2 और सीधी रेखाएँ - प्रतिच्छेदन रेखाएँ पीसाथ पी 1 और पी 2 - प्रधानाध्यापिका के रूप में। यदि शंकु अनुभाग एक परवलय है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5, वी, तो शंकु में केवल एक डेंडेलिन क्षेत्र अंकित किया जा सकता है।

अन्य गुण.

शंकु वर्गों के गुण वास्तव में अक्षय हैं, और उनमें से किसी को भी परिभाषित करने वाला माना जा सकता है। में महत्वपूर्ण स्थान गणितीय बैठकपप्पा (लगभग 300), ज्यामितिडेसकार्टेस (1637) और शुरुआतन्यूटन (1687) चार सीधी रेखाओं के सापेक्ष बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति की समस्या में व्यस्त थे। यदि एक समतल पर चार रेखाएं दी गई हैं एल 1 , एल 2 , एल 3 और एल 4 (जिनमें से दो समान हो सकते हैं) और एक अवधि पीऐसा है कि दूरियों का गुणनफल पीपहले एल 1 और एल 2 दूरियों के गुणनफल के समानुपाती है पीपहले एल 3 और एल 4, फिर बिंदुओं का स्थान पीएक शंकव खंड है. गलती से यह मानते हुए कि अपोलोनियस और पप्पस चार सीधी रेखाओं के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान की समस्या को हल करने में असमर्थ थे, डेसकार्टेस ने समाधान प्राप्त करने और इसे सामान्य बनाने के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति बनाई।

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

बीजगणितीय वर्गीकरण.

बीजगणितीय शब्दों में, शंकुधारी वर्गों को समतल वक्रों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में निर्देशांक दूसरी डिग्री के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दूसरे शब्दों में, सभी शंकु वर्गों के समीकरण को सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहां सभी गुणांक नहीं हैं ए, बीऔर सीशून्य के बराबर हैं. समानांतर अनुवाद और अक्षों के घूर्णन का उपयोग करके, समीकरण (1) को इस रूप में घटाया जा सकता है

कुल्हाड़ी 2 + द्वारा 2 + सी = 0

पिक्सल 2 + क्यू = 0.

पहला समीकरण समीकरण (1) से प्राप्त होता है बी 2 № एसी।, दूसरा - पर बी 2 = एसी।. शंकुधारी खंड जिनके समीकरणों को पहले रूप में घटाया जाता है, केंद्रीय कहलाते हैं। दूसरे प्रकार के समीकरणों द्वारा दिए गए शांकव खंड क्यूक्रमांक 0 को अकेंद्रीय कहा जाता है। इन दो श्रेणियों में नौ हैं विभिन्न प्रकार केगुणांकों के चिह्नों के आधार पर शंकुधारी खंड।

2831) यदि संभावना है ए, बीऔर सीसमान चिह्न है, तो ऐसे कोई वास्तविक बिंदु नहीं हैं जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट कर सकें। ऐसे शंकव खंड को एक काल्पनिक दीर्घवृत्त (या एक काल्पनिक वृत्त, यदि कहा जाता है) कहा जाता है ए = बी).

2) यदि एऔर बीएक ही चिन्ह है, और सी-विपरीत, तो शंक्वाकार खंड एक दीर्घवृत्त है (चित्र 1, ए); पर ए = बी– वृत्त (चित्र 6, बी).

3) यदि एऔर बीपास होना विभिन्न संकेत, तो शंकु अनुभाग एक अतिपरवलय है (चित्र 1, वी).

4) यदि एऔर बीअलग-अलग संकेत हैं और सी= 0, तो शंकु खंड में दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ होती हैं (चित्र 6, ए).

5) यदि एऔर बीएक ही चिन्ह है और सी= 0, तो वक्र पर केवल एक वास्तविक बिंदु है जो समीकरण को संतुष्ट करता है, और शंकु खंड दो काल्पनिक प्रतिच्छेदी रेखाएं हैं। इस मामले में हम एक बिंदु या, यदि पर संकुचित दीर्घवृत्त के बारे में भी बात करते हैं ए = बी, वृत्त पर एक बिंदु पर सिकुड़ा हुआ (चित्र 6, बी).

6) यदि कोई हो ए, या बीशून्य के बराबर है, और शेष गुणांकों के अलग-अलग चिह्न हैं, तो शंकु खंड में दो समानांतर रेखाएं होती हैं।

7) यदि कोई हो ए, या बीशून्य के बराबर है, और शेष गुणांकों का चिह्न समान है, तो एक भी वास्तविक बिंदु नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करता हो। इस मामले में, वे कहते हैं कि एक शंकु खंड में दो काल्पनिक समानांतर रेखाएँ होती हैं।

8) यदि सी= 0, और या तो ए, या बीशून्य के बराबर भी है, तो शंकु खंड में दो वास्तविक संपाती रेखाएँ होती हैं। (समीकरण किसी भी शांकव खंड को परिभाषित नहीं करता है ए = बी= 0, क्योंकि इस मामले में मूल समीकरण (1) दूसरी डिग्री का नहीं है।)

9) दूसरे प्रकार के समीकरण परवलय को परिभाषित करते हैं यदि पीऔर क्यूशून्य से भिन्न हैं. अगर पीन0, ए क्यू= 0, हमें चरण 8 से वक्र प्राप्त होता है। यदि पी= 0, तो समीकरण किसी शांकव खंड को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि मूल समीकरण (1) दूसरी डिग्री का नहीं है।

शंकु वर्गों के समीकरणों की व्युत्पत्ति।

किसी भी शंकुधारी खंड को एक वक्र के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसके साथ एक विमान एक द्विघात सतह को काटता है, अर्थात। दूसरी डिग्री समीकरण द्वारा दी गई सतह के साथ एफ (एक्स, य, जेड) = 0. जाहिर है, शंकु खंडों को सबसे पहले इसी रूप में पहचाना गया था, और उनके नाम ( नीचे देखें) इस तथ्य के कारण हैं कि वे एक समतल को शंकु से प्रतिच्छेद करके प्राप्त किए गए थे जेड 2 = एक्स 2 + य 2. होने देना ए बी सी डी- शीर्ष पर समकोण के साथ एक लंब वृत्तीय शंकु का आधार (चित्र 7)। वी. चलो हवाई जहाज़ एफडीसीजेनरेट्रिक्स को काटता है वी.बीबिंदु पर एफ, आधार - एक सीधी रेखा में सीडीऔर शंकु की सतह - वक्र के अनुदिश डीएफपीसी, कहाँ पी-वक्र पर कोई बिंदु. आइए खंड के मध्य से चित्र बनाएं सीडी- बिंदु इ- सीधा एफईऔर व्यास अब. बिंदु के माध्यम से पीशंकु के आधार के समानांतर एक समतल बनाएं, जो शंकु को एक वृत्त में काटता हो आर.पी.एस.और प्रत्यक्ष एफईबिंदु पर क्यू. तब QFऔर क्यूपीतदनुसार, भुज के रूप में लिया जा सकता है एक्सऔर समन्वय यअंक पी. परिणामी वक्र एक परवलय होगा।

चित्र में दिखाया गया निर्माण। 7, आउटपुट के लिए उपयोग किया जा सकता है सामान्य समीकरणशंकुधारी अनुभाग. व्यास के किसी भी बिंदु से वृत्त के साथ चौराहे तक बहाल किए गए लंबवत खंड की लंबाई का वर्ग हमेशा व्यास खंडों की लंबाई के उत्पाद के बराबर होता है। इसीलिए

य 2 = आरक्यूएच क्यूएस.

एक परवलय के लिए, एक खंड आरक्यूइसकी एक स्थिर लंबाई होती है (चूंकि बिंदु की किसी भी स्थिति में पीयह खंड के बराबर है ए.ई.), और खंड की लंबाई क्यूएसआनुपातिक एक्स(अनुपात से क्यूएस/ई.बी. = QF/एफ.ई.). यह इस प्रकार है कि

कहाँ ए– स्थिर गुणांक. संख्या एपरवलय के फोकल पैरामीटर की लंबाई को व्यक्त करता है।

यदि शंकु के शीर्ष पर कोण न्यूनकोण है, तो खंड आरक्यूखंड के बराबर नहीं ए.ई.; लेकिन अनुपात य 2 = आरक्यूएच क्यूएसप्रपत्र के एक समीकरण के बराबर है

कहाँ एऔर बी- स्थिरांक, या, अक्षों को स्थानांतरित करने के बाद, समीकरण में

जो एक दीर्घवृत्त का समीकरण है. अक्ष के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स (एक्स = एऔर एक्स = –ए) और अक्ष के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु य (य = बीऔर य = –बी) क्रमशः प्रमुख और लघु अक्षों को परिभाषित करें। यदि शंकु के शीर्ष पर कोण अधिक है, तो शंकु और तल के प्रतिच्छेदन वक्र में एक अतिपरवलय का रूप होता है, और समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है:

या, अक्षों को स्थानांतरित करने के बाद,

इस मामले में, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स, संबंध द्वारा दिया गया एक्स 2 = ए 2, अनुप्रस्थ अक्ष और अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें य, संबंध द्वारा दिया गया य 2 = –बी 2, संयुग्म अक्ष निर्धारित करें. यदि स्थिर है एऔर बीसमीकरण (4ए) में बराबर हैं, तो अतिपरवलय को समबाहु कहा जाता है। अक्षों को घुमाने से उसका समीकरण रूप में सिमट जाता है

xy = क.

अब समीकरण (3), (2) और (4) से हम अपोलोनियस द्वारा तीन मुख्य शंकु वर्गों को दिए गए नामों के अर्थ को समझ सकते हैं। शब्द "दीर्घवृत्त", "परवलय" और "हाइपरबोला" ग्रीक शब्दों से आए हैं जिनका अर्थ है "अपूर्ण", "समान" और "श्रेष्ठ"। समीकरण (3), (2) और (4) से यह स्पष्ट है कि दीर्घवृत्त के लिए य 2 बी 2 / ए) एक्स, एक परवलय के लिए य 2 = (ए) एक्सऔर अतिशयोक्ति के लिए य 2 > (2बी 2 /ए) एक्स. प्रत्येक मामले में, कोष्ठक में संलग्न मान वक्र के फोकल पैरामीटर के बराबर है।

अपोलोनियस ने स्वयं केवल तीन सामान्य प्रकार के शंकु वर्गों (ऊपर सूचीबद्ध प्रकार 2, 3 और 9) पर विचार किया, लेकिन उनके दृष्टिकोण को सभी वास्तविक दूसरे क्रम के वक्रों पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि काटने वाले तल को शंकु के वृत्ताकार आधार के समानांतर चुना जाता है, तो क्रॉस-सेक्शन के परिणामस्वरूप एक वृत्त बनेगा। यदि काटने वाले तल में शंकु के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु, उसका शीर्ष है, तो प्रकार 5 का एक खंड प्राप्त होगा; यदि इसमें शंकु का एक शीर्ष और एक स्पर्शरेखा है, तो हमें प्रकार 8 का एक खंड प्राप्त होता है (चित्र 6, बी); यदि काटने वाले तल में शंकु के दो जेनरेटर होते हैं, तो अनुभाग 4 प्रकार का एक वक्र उत्पन्न करता है (चित्र 6, ए); जब शीर्ष को अनंत में स्थानांतरित किया जाता है, तो शंकु एक सिलेंडर में बदल जाता है, और यदि विमान में दो जनरेटर होते हैं, तो प्रकार 6 का एक खंड प्राप्त होता है।

यदि आप किसी वृत्त को तिरछे कोण से देखते हैं, तो यह एक दीर्घवृत्त जैसा दिखता है। आर्किमिडीज़ को ज्ञात वृत्त और दीर्घवृत्त के बीच का संबंध, वृत्त होने पर स्पष्ट हो जाता है एक्स 2 + वाई 2 = ए 2 प्रतिस्थापन का उपयोग करना एक्स = एक्स, वाई = (ए/बी) यसमीकरण (3ए) द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त में परिवर्तित करें। परिवर्तन एक्स = एक्स, वाई = (ऐ/बी) य, कहाँ मैं 2 = -1, हमें एक वृत्त के समीकरण को (4a) के रूप में लिखने की अनुमति देता है। इससे पता चलता है कि एक हाइपरबोला को एक काल्पनिक लघु अक्ष के साथ एक दीर्घवृत्त के रूप में देखा जा सकता है, या, इसके विपरीत, एक दीर्घवृत्त को एक काल्पनिक संयुग्म अक्ष के साथ एक हाइपरबोला के रूप में देखा जा सकता है।

एक वृत्त के निर्देशांकों के बीच संबंध एक्स 2 + य 2 = ए 2 और दीर्घवृत्त ( एक्स 2 /ए 2) + (य 2 /बी 2) = 1 सीधे आर्किमिडीज़ के सूत्र की ओर ले जाता है ए = पी एबीदीर्घवृत्त के क्षेत्र के लिए. केप्लर को अनुमानित सूत्र ज्ञात था पी(ए + बी) एक वृत्त के करीब दीर्घवृत्त की परिधि के लिए, लेकिन सटीक अभिव्यक्ति केवल 18वीं शताब्दी में प्राप्त हुई थी। अण्डाकार इंटीग्रल्स की शुरूआत के बाद। जैसा कि आर्किमिडीज़ ने दिखाया, एक परवलयिक खंड का क्षेत्रफल एक उत्कीर्ण त्रिभुज के क्षेत्रफल का चार-तिहाई है, लेकिन एक परवलय के चाप की लंबाई की गणना 17वीं शताब्दी के बाद ही की जा सकी। डिफरेंशियल कैलकुलस का आविष्कार हुआ।

प्रोजेक्टिव दृष्टिकोण

प्रक्षेप्य ज्यामिति का परिप्रेक्ष्य के निर्माण से गहरा संबंध है। यदि आप कागज की एक पारदर्शी शीट पर एक वृत्त खींचते हैं और इसे एक प्रकाश स्रोत के नीचे रखते हैं, तो यह वृत्त नीचे के तल पर प्रक्षेपित हो जाएगा। इसके अलावा, यदि प्रकाश स्रोत सीधे वृत्त के केंद्र के ऊपर स्थित है, और तल और पारदर्शी शीट समानांतर हैं, तो प्रक्षेपण भी एक वृत्त होगा (चित्र 8)। प्रकाश स्रोत की स्थिति को लुप्त बिंदु कहा जाता है। यह पत्र द्वारा दर्शाया गया है वी. अगर वीवृत्त के केंद्र के ऊपर स्थित नहीं है या यदि विमान कागज की शीट के समानांतर नहीं है, तो वृत्त का प्रक्षेपण दीर्घवृत्त का आकार लेता है। समतल के और भी अधिक झुकाव के साथ, दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष (वृत्त का प्रक्षेपण) लंबा हो जाता है, और दीर्घवृत्त धीरे-धीरे एक परवलय में बदल जाता है; एक सीधी रेखा के समानांतर समतल पर वी.पी., प्रक्षेपण में एक परवलय का रूप है; और भी अधिक झुकाव के साथ, प्रक्षेपण हाइपरबोला की शाखाओं में से एक का रूप ले लेता है।

मूल वृत्त पर प्रत्येक बिंदु प्रक्षेपण पर एक निश्चित बिंदु से मेल खाता है। यदि प्रक्षेपण में परवलय या अतिपरवलय का रूप हो, तो वे कहते हैं कि बिंदु के अनुरूप बिंदु पी, अनंत या अनंत दूरी पर है।

जैसा कि हमने देखा है, लुप्त बिंदुओं के उपयुक्त विकल्प के साथ, एक वृत्त को विभिन्न आकारों के दीर्घवृत्तों और विभिन्न विलक्षणताओं के साथ प्रक्षेपित किया जा सकता है, और प्रमुख अक्षों की लंबाई सीधे प्रक्षेपित वृत्त के व्यास से संबंधित नहीं होती है। इसलिए, प्रक्षेप्य ज्यामिति दूरियों या लंबाई से संबंधित नहीं है; इसका कार्य प्रक्षेपण के दौरान संरक्षित लंबाई के अनुपात का अध्ययन करना है। यह संबंध निम्नलिखित निर्माण का उपयोग करके पाया जा सकता है। किसी भी बिंदु के माध्यम से पीसमतल, किसी भी वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ खींचें और स्पर्शरेखा बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ें पी. मान लीजिए कि बिंदु से होकर एक और रेखा गुजरती है पी, वृत्त को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है सी 1 और सी 2 और सीधा पी- बिंदु पर क्यू(चित्र 9)। प्लैनिमेट्री में यह सिद्ध हो चुका है पीसी 1 /पीसी 2 = –क्यूसी 1 /क्यूसी 2. (ऋण चिह्न इस तथ्य के कारण उत्पन्न होता है कि खंड की दिशा क्यूसी 1 अन्य खंडों की दिशाओं के विपरीत है।) दूसरे शब्दों में, बिंदु पीऔर क्यूखंड को विभाजित करें सी 1 सी 2 बाहरी और आंतरिक रूप से एक ही संबंध में; वे यह भी कहते हैं कि चार खंडों का हार्मोनिक अनुपात - 1 के बराबर है। यदि वृत्त को एक शंकु खंड में प्रक्षेपित किया जाता है और संबंधित बिंदुओं के लिए समान अंकन बनाए रखा जाता है, तो हार्मोनिक अनुपात ( पीसी 1)(क्यूसी 2)/(पीसी 2)(क्यूसी 1) के बराबर रहेगा - 1. प्वाइंट पीलाइन पोल कहा जाता है पीशंक्वाकार खंड और सीधी रेखा के सापेक्ष पी– ध्रुवीय बिंदु पीशंक्वाकार खंड के सापेक्ष.

जब बात पीएक शंकुधारी खंड के पास पहुंचता है, ध्रुवीय स्पर्शरेखा की स्थिति लेने लगता है; यदि बिंदु पीएक शंकु खंड पर स्थित है, तो इसका ध्रुव बिंदु पर शंकु खंड के स्पर्शरेखा के साथ मेल खाता है पी. अगर बात पीशंक्वाकार खंड के अंदर स्थित है, तो इसके ध्रुव का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। आइए बिंदु के माध्यम से जानें पीकिसी शंकुधारी खंड को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली कोई सीधी रेखा; प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर शांकव खंड पर स्पर्श रेखाएं खींच सकेंगे; मान लीजिए कि ये स्पर्शरेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं पी 1 . आइए बिंदु के माध्यम से जानें पीएक और सीधी रेखा जो शंकु खंड को दो अन्य बिंदुओं पर काटती है; आइए मान लें कि इन नए बिंदुओं पर शंकु खंड की स्पर्शरेखाएं बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं पी 2 (चित्र 10)। बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा पी 1 और पी 2, और वांछित ध्रुवीय है पी. अगर बात पीकेंद्र की ओर आ रहा है हेकेंद्रीय शांकव खंड, फिर ध्रुवीय पीसे दूर चला जाता है हे. जब बात पीके साथ मेल खाता है हे, तो इसका ध्रुवीय समतल पर सीधा, असीम रूप से दूर या आदर्श हो जाता है।

विशेष भवन

खगोलविदों के लिए विशेष रुचि कम्पास और रूलर का उपयोग करके दीर्घवृत्त बिंदुओं का निम्नलिखित सरल निर्माण है। मान लीजिए एक मनमाना सीधी रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है हे(चित्र 11, ए), बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है क्यूऔर आरएक बिंदु पर केन्द्रित दो संकेंद्रित वृत्त हेऔर त्रिज्या बीऔर ए, कहाँ बीएक। आइए बिंदु के माध्यम से जानें क्यूक्षैतिज रेखा, और के माध्यम से आर- एक ऊर्ध्वाधर रेखा, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें पी पीएक सीधी रेखा में घूमते समय OQRबिंदु के आसपास हेवहाँ एक दीर्घवृत्त होगा. कोना एफसीधी रेखा के बीच OQRऔर प्रमुख अक्ष को विलक्षण कोण कहा जाता है, और निर्मित दीर्घवृत्त को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा आसानी से निर्दिष्ट किया जाता है एक्स = एओल एफ, य = बीपाप एफ. पैरामीटर को छोड़कर एफ, हम समीकरण (3ए) प्राप्त करते हैं।

हाइपरबोला के लिए, निर्माण काफी हद तक समान है। एक बिंदु से होकर गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा हे, दो वृत्तों में से एक को एक बिंदु पर काटता है आर(चित्र 11, बी). मुद्दे पर आरएक वृत्त और अंतिम बिंदु तक एसदूसरे वृत्त का क्षैतिज व्यास, प्रतिच्छेद करने वाली स्पर्शरेखाएँ खींचिए ओएसबिंदु पर टीऔर या- बिंदु पर क्यू. मान लीजिए एक ऊर्ध्वाधर रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है टी, और बिंदु से होकर गुजरने वाली एक क्षैतिज रेखा क्यू, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें पी. फिर बिंदुओं का स्थान पीएक खंड को घुमाते समय याआस-पास हेपैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया गया एक अतिपरवलय होगा एक्स = एसेकंड एफ, य = बीटीजी एफ, कहाँ एफ– विलक्षण कोण. ये समीकरण फ्रांसीसी गणितज्ञ ए. लीजेंड्रे (1752-1833) द्वारा प्राप्त किये गये थे। पैरामीटर को छोड़कर एफ, हमें समीकरण (4ए) मिलता है।

जैसा कि एन. कॉपरनिकस (1473-1543) ने उल्लेख किया है, एक दीर्घवृत्त का निर्माण एपिकाइक्लिक गति का उपयोग करके किया जा सकता है। यदि कोई वृत्त बिना फिसले घूमता है अंदरदोगुने व्यास वाला एक और वृत्त, फिर प्रत्येक बिंदु पी, जो छोटे वृत्त पर स्थित नहीं है, बल्कि उसके सापेक्ष गतिहीन है, एक दीर्घवृत्त का वर्णन करेगा। अगर बात पीएक छोटे वृत्त पर है, तो इस बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक दीर्घवृत्त का विकृत मामला है - बड़े वृत्त का व्यास। 5वीं शताब्दी में प्रोक्लस द्वारा दीर्घवृत्त का और भी सरल निर्माण प्रस्तावित किया गया था। यदि समाप्त होता है एऔर बीरेखा खंड अबदी गई लंबाई की दो निश्चित प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं (उदाहरण के लिए, समन्वय अक्षों के साथ) के साथ स्लाइड करें, फिर प्रत्येक आंतरिक बिंदु पीखंड एक दीर्घवृत्त का वर्णन करेगा; डच गणितज्ञ एफ. वैन शूटेन (1615-1660) ने दिखाया कि फिसलने वाले खंड के सापेक्ष तय की गई प्रतिच्छेदी रेखाओं के तल में कोई भी बिंदु, एक दीर्घवृत्त का भी वर्णन करेगा।

बी. पास्कल (1623-1662) ने 16 साल की उम्र में अब प्रसिद्ध पास्कल प्रमेय तैयार किया, जिसमें कहा गया है: किसी भी शंकुधारी खंड में अंकित षट्भुज की विपरीत भुजाओं के तीन प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। पास्कल ने इस प्रमेय से 400 से अधिक परिणाम निकाले।

एक शंक्वाकार सतह सीधी रेखाओं द्वारा बनाई गई एक सतह है - शंकु के जनक - एक दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है - शंकु का शीर्ष - और एक दी गई रेखा को काटती है - शंकु का मार्गदर्शक। मान लीजिए कि शंकु के पास समीकरण हैं

और शंकु के शीर्ष में निर्देशांक हैं। शंकु के जनरेटर के विहित समीकरण बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के रूप में) और गाइड के बिंदु के माध्यम से होंगे;

चार समीकरणों (3) और (4) से x, y और z को हटाकर, हम एक शंक्वाकार सतह के लिए वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं। इस समीकरण की एक बहुत ही सरल संपत्ति है: अंतर के संबंध में यह सजातीय है (यानी, इसके सभी सदस्य एक ही आयाम के हैं)। वास्तव में, आइए पहले मान लें कि शंकु का शीर्ष मूल बिंदु पर है। मान लीजिए X, Y और Z शंकु पर किसी बिंदु के निर्देशांक हैं; इसलिए वे शंकु समीकरण को संतुष्ट करते हैं। शंकु के समीकरण में X, Y और Z को प्रतिस्थापित करने के बाद, क्रमशः XX, XY, XZ के माध्यम से, जहां X एक मनमाना कारक है, समीकरण संतुष्ट होना चाहिए, क्योंकि XX, XY और निर्देशांक के मूल से बिंदु तक गुजरने वाली रेखा, यानी एक शंकु बनाती है। परिणामस्वरूप, यदि हम सभी वर्तमान निर्देशांकों को एक ही संख्या

यदि शंकु का शीर्ष एक बिंदु पर स्थित है, तो हम निर्देशांक की उत्पत्ति को शीर्ष पर स्थानांतरित कर देंगे, और जो सिद्ध किया गया है, उसके अनुसार शंकु का परिवर्तित समीकरण नए निर्देशांक के संबंध में सजातीय होगा, यानी, संबंध के साथ को

उदाहरण। मूल बिंदु पर एक शीर्ष और एक गाइड वाले शंकु के लिए एक समीकरण लिखें

शंकु के शीर्ष (0, 0, C) और गाइड के बिंदु से गुजरने वाले जनरेटर के विहित समीकरण होंगे:

दिए गए चार समीकरणों में से x, y और को हटा दें। C के स्थान पर, हम अंतिम दो समीकरणों से y निर्धारित करते हैं।

दूसरे क्रम की सतहें- ये सतहें हैं, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, दूसरी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं।

1. दीर्घवृत्ताकार।

दीर्घवृत्ताभ एक सतह है, जो एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली में, समीकरण द्वारा परिभाषित होती है:

समीकरण (1) कहा जाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण.

दीर्घवृत्त का ज्यामितीय दृश्य सेट करें। ऐसा करने के लिए, समतल के समानांतर समतल द्वारा इस दीर्घवृत्त के खंडों पर विचार करें ऑक्सी.इनमें से प्रत्येक तल को प्रपत्र के समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है z=h, कहाँ एच- कोई भी संख्या, और अनुभाग में प्राप्त रेखा दो समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है

(2)

आइए विभिन्न मानों के लिए समीकरण (2) का अध्ययन करें एच .

> सी(सी>0), फिर समीकरण (2) एक काल्पनिक दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं, यानी, विमान के चौराहे के बिंदु z=hइस दीर्घवृत्त के साथ मौजूद नहीं है. , वह और रेखा (2) बिंदु (0; 0; +) में परिवर्तित हो जाती है सी) और (0; 0; - सी) (विमान दीर्घवृत्त को स्पर्श करते हैं)। , तो समीकरण (2) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

जहां से यह इस प्रकार है कि विमान z=hदीर्घवृत्त को अर्ध-अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है

और । जैसे-जैसे मान घटते हैं, बढ़ते हैं और अपने तक पहुंचते हैं उच्चतम मूल्यपर, यानी निर्देशांक तल द्वारा दीर्घवृत्त के अनुभाग में ऑक्सीअर्ध-अक्षों वाला सबसे बड़ा दीर्घवृत्त प्राप्त होता है।

एक समान चित्र तब प्राप्त होता है जब किसी दी गई सतह को निर्देशांक तलों के समानांतर समतलों द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है ऑक्सज़और ओयज़.

इस प्रकार, विचार किए गए अनुभाग दीर्घवृत्त को एक बंद अंडाकार सतह के रूप में चित्रित करना संभव बनाते हैं (चित्र 156)। मात्रा ए, बी, सीकहा जाता है धुरा शाफ्टदीर्घवृत्ताकार. कब ए=बी=सीदीर्घवृत्ताभ है गोलाकारवां.

2. एक-बैंड हाइपरबोलाइड।

एकल-पट्टी हाइपरबोलाइड एक सतह है, जो कुछ आयताकार समन्वय प्रणाली में, समीकरण द्वारा परिभाषित की जाती है (3)

समीकरण (3) को एकल-पट्टी हाइपरबोलॉइड का विहित समीकरण कहा जाता है।

आइए सतह का प्रकार (3) निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, इसके निर्देशांक तलों के एक भाग पर विचार करें ऑक्सी (y=0)औरOyx (x=0).तदनुसार, हमें समीकरण प्राप्त होते हैं

और

अब निर्देशांक तल के समानांतर समतल z=h द्वारा इस अतिपरवलयज के खंडों पर विचार करें ऑक्सी. अनुभाग में प्राप्त रेखा समीकरणों द्वारा निर्धारित होती है

या (4)

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समतल z=h हाइपरबोलॉइड को अर्ध-अक्षों वाले दीर्घवृत्त के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है

और ,

h=0 पर अपने न्यूनतम मान तक पहुँचना, अर्थात। इस हाइपरबोलॉइड के खंड में, समन्वय अक्ष ऑक्सी अर्ध-अक्ष a*=a और b*=b के साथ सबसे छोटा दीर्घवृत्त बनाता है। अनंत वृद्धि के साथ

मात्राएँ a* और b* असीमित रूप से बढ़ती हैं।

इस प्रकार, विचार किए गए अनुभाग एक एकल-पट्टी हाइपरबोलॉइड को एक अनंत ट्यूब के रूप में चित्रित करना संभव बनाते हैं, जो ऑक्सी विमान से (दोनों तरफ) दूर जाने पर असीम रूप से विस्तारित होता है।

ए, बी, सी की मात्राओं को एक-पट्टी हाइपरबोलॉइड के अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

3. दो शीट वाला हाइपरबोलाइड।

दो-शीट हाइपरबोलाइड एक सतह है, जो कुछ आयताकार समन्वय प्रणाली में, समीकरण द्वारा परिभाषित की जाती है

समीकरण (5) को दो शीट वाले हाइपरबोलॉइड का विहित समीकरण कहा जाता है।

आइए हम सतह का ज्यामितीय रूप स्थापित करें (5)। ऐसा करने के लिए, समन्वय विमानों ऑक्सी और ओयज़ द्वारा इसके अनुभागों पर विचार करें। हम क्रमशः समीकरण प्राप्त करते हैं

और

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुभागों में अतिपरवलय प्राप्त होते हैं।

अब निर्देशांक तल ऑक्सी के समानांतर समतल z=h द्वारा इस हाइपरबोलॉइड के खंडों पर विचार करें। अनुभाग में प्राप्त रेखा समीकरणों द्वारा निर्धारित होती है

या (6)

जिससे यह अनुसरण होता है

>c (c>0) समतल z=h हाइपरबोलॉइड को अर्ध-अक्षों वाले दीर्घवृत्त के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। जैसे-जैसे मूल्य बढ़ता है, a* और b* भी बढ़ते हैं। समीकरण (6) केवल दो बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होते हैं: (0;0;+с) और (0;0;-с) (विमान दी गई सतह को छूते हैं)। समीकरण (6) एक काल्पनिक दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं, अर्थात। दिए गए हाइपरबोलॉइड के साथ z=h समतल का कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

ए, बी और सी की मात्राओं को दो-शीट हाइपरबोलॉइड के अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

4. अण्डाकार परवलयज.

एक अण्डाकार पैराबोलॉइड एक सतह है, जो कुछ आयताकार समन्वय प्रणाली में, समीकरण द्वारा परिभाषित की जाती है

(7)

जहां p>0 और q>0.

समीकरण (7) को अण्डाकार परवलयज का विहित समीकरण कहा जाता है।

आइए समन्वय समतल ऑक्सी और ओयज़ द्वारा इस सतह के खंडों पर विचार करें। तदनुसार, हमें समीकरण प्राप्त होते हैं

और

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुभाग परवलय उत्पन्न करते हैं जो ओज़ अक्ष के बारे में सममित होते हैं, जिनके शीर्ष मूल में होते हैं। (8)

जिससे यह इस प्रकार है कि पर . जैसे-जैसे h बढ़ता है, a और b का मान भी बढ़ता है; h=0 पर दीर्घवृत्त एक बिंदु में बदल जाता है (विमान z=0 दिए गए हाइपरबोलॉइड को छूता है)। एच पर<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

इस प्रकार, विचार किए गए अनुभाग एक अण्डाकार परवलय को एक अनंत उत्तल कटोरे के रूप में चित्रित करना संभव बनाते हैं।

बिंदु (0;0;0) को परवलयज का शीर्ष कहा जाता है; संख्याएँ p और q इसके पैरामीटर हैं।

पी=क्यू के मामले में, समीकरण (8) ओज़ अक्ष पर केंद्र के साथ एक वृत्त को परिभाषित करता है, अर्थात। एक अण्डाकार परवलयज को अपनी धुरी (क्रांति के परवलय) के चारों ओर एक परवलय के घूमने से बनी सतह के रूप में माना जा सकता है।

5. अतिपरवलयिक परवलयज.

हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड एक सतह है, जिसे कुछ आयताकार समन्वय प्रणाली में समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है

(9)

पहले वर्ष में छात्रों को अक्सर दूसरे क्रम की सतहों का सामना करना पड़ता है। सबसे पहले, इस विषय पर समस्याएं सरल लग सकती हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप उच्च गणित का अध्ययन करते हैं और वैज्ञानिक पक्ष में गहराई से उतरते हैं, आप अंततः इस बात से भटक सकते हैं कि क्या हो रहा है। ऐसा न हो, इसके लिए आपको न केवल याद रखने की जरूरत है, बल्कि यह समझने की भी जरूरत है कि यह या वह सतह कैसे प्राप्त की जाती है, गुणांक में परिवर्तन इसे और मूल समन्वय प्रणाली के सापेक्ष इसके स्थान को कैसे प्रभावित करते हैं, और एक नई प्रणाली कैसे खोजें (एक) जिसमें इसका केंद्र मूल निर्देशांक के साथ मेल खाता है, लेकिन निर्देशांक अक्षों में से एक के समानांतर है)। आइए बिल्कुल शुरुआत से शुरू करें।

परिभाषा

दूसरे क्रम की सतह को GMT कहा जाता है, जिसके निर्देशांक निम्नलिखित रूप के सामान्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

यह स्पष्ट है कि सतह से संबंधित प्रत्येक बिंदु पर कुछ निर्दिष्ट आधारों पर तीन निर्देशांक होने चाहिए। हालाँकि कुछ मामलों में बिंदुओं का स्थान ख़राब हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक समतल में। इसका मतलब केवल यह है कि निर्देशांक में से एक स्थिर है और अनुमेय मानों की पूरी श्रृंखला में शून्य के बराबर है।

उपरोक्त समानता का पूर्ण लिखित रूप इस प्रकार दिखता है:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

एक एनएम कुछ स्थिरांक हैं, x, y, z एक बिंदु के एफ़िन निर्देशांक के अनुरूप चर हैं। इस मामले में, स्थिर कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, यानी कोई भी बिंदु समीकरण के अनुरूप नहीं होगा।

अधिकांश उदाहरणों में, कई संख्यात्मक कारक अभी भी शून्य के बराबर हैं, और समीकरण काफी सरल है। व्यवहार में, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि कोई बिंदु सतह से संबंधित है या नहीं (यह समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने और यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि पहचान कायम है या नहीं)। ऐसे कार्य में मुख्य बिंदु उत्तरार्द्ध को विहित रूप में लाना है।

ऊपर लिखा गया समीकरण किसी भी (नीचे सूचीबद्ध सभी) दूसरे क्रम की सतहों को परिभाषित करता है। आइए नीचे दिए गए उदाहरण देखें।

दूसरे क्रम की सतहों के प्रकार

दूसरे क्रम की सतहों के समीकरण केवल गुणांक ए एनएम के मूल्यों में भिन्न होते हैं। सामान्य रूप से, स्थिरांक के निश्चित मूल्यों पर, विभिन्न सतहें प्राप्त की जा सकती हैं, जिन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है:

1. सिलेंडर.
2. अण्डाकार प्रकार.
3. अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार.
4. शंक्वाकार प्रकार.
5. परवलयिक प्रकार.
6. विमान.

सूचीबद्ध प्रकारों में से प्रत्येक का एक प्राकृतिक और काल्पनिक रूप है: काल्पनिक रूप में, वास्तविक बिंदुओं का स्थान या तो एक सरल आकृति में बदल जाता है, या पूरी तरह से अनुपस्थित है।

सिलेंडर

यह सबसे सरल प्रकार है, क्योंकि अपेक्षाकृत जटिल वक्र केवल आधार पर स्थित होता है, जो एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है। जेनरेटर उस तल के लंबवत सीधी रेखाएं हैं जिसमें आधार स्थित है।

ग्राफ़ एक गोलाकार सिलेंडर दिखाता है, जो अण्डाकार सिलेंडर का एक विशेष मामला है। XY विमान में, इसका प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त (हमारे मामले में, एक वृत्त) होगा - एक गाइड, और XZ में - एक आयत - चूंकि जनरेटर Z अक्ष के समानांतर हैं। इसे सामान्य समीकरण से प्राप्त करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है गुणांकों को निम्नलिखित मान देने के लिए:

सामान्य पदनामों के स्थान पर क्रम संख्या के साथ x, y, z, x का उपयोग किया जाता है - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

वास्तव में, 1/ए 2 और यहां दर्शाए गए अन्य स्थिरांक सामान्य समीकरण में दर्शाए गए समान गुणांक हैं, लेकिन उन्हें इस रूप में लिखने की प्रथा है - यह विहित प्रतिनिधित्व है। निम्नलिखित में, इस प्रविष्टि का विशेष रूप से उपयोग किया जाएगा।

यह एक अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर को परिभाषित करता है। योजना वही है - अतिशयोक्ति मार्गदर्शक होगी।

एक परवलयिक सिलेंडर को थोड़े अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है: इसके विहित रूप में एक गुणांक पी शामिल होता है, जिसे पैरामीटर कहा जाता है। वास्तव में, गुणांक q=2p के बराबर है, लेकिन इसे प्रस्तुत दो कारकों में विभाजित करने की प्रथा है।

एक अन्य प्रकार का सिलेंडर है: काल्पनिक। ऐसे सिलेंडर का कोई वास्तविक मतलब नहीं है। इसे एक अण्डाकार सिलेंडर के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन एक के बजाय -1 है।

अण्डाकार प्रकार

दीर्घवृत्त को किसी एक अक्ष के अनुदिश खींचा जा सकता है (जिसके साथ यह ऊपर बताए गए स्थिरांक ए, बी, सी के मूल्यों पर निर्भर करता है; जाहिर है, बड़ी धुरी एक बड़े गुणांक के अनुरूप होगी)।

एक काल्पनिक दीर्घवृत्त भी है - बशर्ते कि गुणांक द्वारा गुणा किए गए निर्देशांक का योग -1 के बराबर हो:

हाइपरबोलॉइड्स

जब किसी स्थिरांक में एक ऋण दिखाई देता है, तो दीर्घवृत्त का समीकरण एक-शीट हाइपरबोलॉइड के समीकरण में बदल जाता है। यह अवश्य समझना चाहिए कि इस ऋण का x 3 निर्देशांक के सामने स्थित होना आवश्यक नहीं है! यह केवल यह निर्धारित करता है कि कौन सी अक्ष हाइपरबोलॉइड के घूर्णन की धुरी होगी (या इसके समानांतर, क्योंकि जब वर्ग में अतिरिक्त पद दिखाई देते हैं (उदाहरण के लिए, (x-2) 2), तो आकृति का केंद्र बदल जाता है, जैसे परिणामस्वरूप, सतह निर्देशांक अक्षों के समानांतर चलती है)। यह दूसरे क्रम की सभी सतहों पर लागू होता है।

इसके अलावा, किसी को यह समझना चाहिए कि समीकरण विहित रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं और उन्हें स्थिरांक को अलग-अलग करके बदला जा सकता है (संकेत संरक्षित होने पर!); साथ ही, उनका स्वरूप (हाइपरबोलॉइड, शंकु, इत्यादि) वही रहेगा।

ऐसा समीकरण दो-शीट हाइपरबोलाइड द्वारा दिया जाता है।

शंक्वाकार सतह

शंकु समीकरण में कोई एकता नहीं है - यह शून्य के बराबर है।

केवल एक सीमित शंक्वाकार सतह को शंकु कहा जाता है। नीचे दी गई तस्वीर से पता चलता है कि, वास्तव में, चार्ट पर दो तथाकथित शंकु होंगे।

महत्वपूर्ण नोट: सभी विहित समीकरणों में, स्थिरांक को डिफ़ॉल्ट रूप से सकारात्मक माना जाता है। अन्यथा, संकेत अंतिम ग्राफ़ को प्रभावित कर सकता है।

निर्देशांक तल शंकु के सममिति तल बन जाते हैं, समरूपता का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है।

एक काल्पनिक शंकु के समीकरण में केवल प्लस होते हैं; यह एक ही वास्तविक बिंदु का स्वामी है।

परवलय

अंतरिक्ष में दूसरे क्रम की सतहें समान समीकरणों के साथ भी अलग-अलग आकार ले सकती हैं। उदाहरण के लिए, पैराबोलॉइड दो प्रकार के होते हैं।

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

एक अण्डाकार पैराबोलॉइड, जब Z अक्ष ड्राइंग के लंबवत होता है, एक दीर्घवृत्त में प्रक्षेपित किया जाएगा।

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

अतिपरवलयिक परवलय: ZY के समानांतर तल वाले खंडों में, परवलय प्राप्त होंगे, और XY के समानांतर समतल वाले खंडों में, अतिपरवलय प्राप्त होंगे।

प्रतिच्छेदी तल

ऐसे मामले होते हैं जब दूसरे क्रम की सतहें समतल में ख़राब हो जाती हैं। इन विमानों को विभिन्न तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

सबसे पहले आइए प्रतिच्छेदी तलों को देखें:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

विहित समीकरण के इस संशोधन के साथ, हमें बस दो प्रतिच्छेदी विमान (काल्पनिक!) मिलते हैं; सभी वास्तविक बिंदु निर्देशांक के अक्ष पर हैं जो समीकरण में अनुपस्थित है (विहित एक में - Z अक्ष)।

समानांतर विमान

यदि केवल एक ही निर्देशांक है, तो दूसरे क्रम की सतहें समानांतर विमानों की एक जोड़ी में बदल जाती हैं। मत भूलो, कोई भी अन्य चर खिलाड़ी की जगह ले सकता है; तब अन्य अक्षों के समांतर तल प्राप्त होंगे।

ऐसे में ये काल्पनिक हो जाते हैं.

संयोग विमान

इस तरह के एक सरल समीकरण के साथ, विमानों की एक जोड़ी एक में बदल जाती है - वे मेल खाते हैं।

यह मत भूलिए कि त्रि-आयामी आधार के मामले में, उपरोक्त समीकरण सीधी रेखा y=0 निर्दिष्ट नहीं करता है! इसमें अन्य दो चर मौजूद नहीं हैं, लेकिन इसका मतलब यह है कि उनका मान स्थिर है और शून्य के बराबर है।

निर्माण

एक छात्र के लिए सबसे कठिन कार्यों में से एक दूसरे क्रम की सतहों का निर्माण करना है। अक्षों के सापेक्ष वक्र के झुकाव के कोण और केंद्र की ऑफसेट को ध्यान में रखते हुए, एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाना और भी कठिन है। आइए दोहराएँ कि विश्लेषणात्मक तरीके से ड्राइंग के भविष्य के दृश्य को क्रमिक रूप से कैसे निर्धारित किया जाए।

दूसरे क्रम की सतह बनाने के लिए, आपको यह करना होगा:

• समीकरण को विहित रूप में लाएँ;
• अध्ययनाधीन सतह का प्रकार निर्धारित करें;
• गुणांकों के मूल्यों के आधार पर निर्माण करें।

नीचे सभी प्रकारों पर विचार किया गया है:

इसे सुदृढ़ करने के लिए, हम इस प्रकार के कार्य के एक उदाहरण का विस्तार से वर्णन करेंगे।

उदाहरण

मान लीजिए कि हमारे पास समीकरण है:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

आइये इसे विहित रूप में लाएँ। आइए हम पूर्ण वर्गों को अलग करें, अर्थात, हम उपलब्ध पदों को इस तरह व्यवस्थित करें कि वे योग या अंतर के वर्ग का विस्तार हों। उदाहरण के लिए: यदि (a+1) 2 =a 2 +2a+1, तो a 2 +2a+1=(a+1) 2. हम दूसरा ऑपरेशन करेंगे. इस मामले में, कोष्ठक खोलना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह केवल गणना को जटिल करेगा, लेकिन सामान्य कारक 6 को निकालना आवश्यक है (कोष्ठक में Y के पूर्ण वर्ग के साथ):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

इस मामले में वेरिएबल zet केवल एक बार दिखाई देता है - आप इसे अभी के लिए अकेला छोड़ सकते हैं।

आइए इस स्तर पर समीकरण का विश्लेषण करें: सभी अज्ञात के सामने प्लस चिह्न है; छह से भाग देने पर एक बचता है। नतीजतन, हमारे सामने एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करने वाला एक समीकरण है।

ध्यान दें कि 144 को 150-6 में शामिल किया गया है, जिसके बाद -6 को दाईं ओर ले जाया गया है। इसे इस तरह क्यों करना पड़ा? जाहिर है, इस उदाहरण में सबसे बड़ा भाजक -6 है, इसलिए, एक इकाई को विभाजित करने के बाद दाईं ओर बने रहने के लिए, 144 में से ठीक 6 को "अलग रखना" आवश्यक है (तथ्य यह है कि इकाई चालू होनी चाहिए) दाईं ओर एक मुक्त पद की उपस्थिति से संकेत मिलता है - एक स्थिरांक जिसे अज्ञात से गुणा नहीं किया जाता है)।

हर चीज़ को छह से विभाजित करें और दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करें:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

दूसरे क्रम की सतहों के पहले इस्तेमाल किए गए वर्गीकरण में, एक विशेष मामले पर विचार किया जाता है जब आकृति का केंद्र निर्देशांक के मूल पर होता है। इस उदाहरण में, यह ऑफसेट है।

हम मानते हैं कि अज्ञात वाला प्रत्येक कोष्ठक एक नया चर है। वह है: a=x-1, b=y+5, c=z. नए निर्देशांक में, दीर्घवृत्त का केंद्र बिंदु (0,0,0) के साथ मेल खाता है, इसलिए, a=b=c=0, जहां से: x=1, y=-5, z=0। प्रारंभिक निर्देशांक में, आकृति का केंद्र बिंदु (1,-5,0) पर स्थित है।

दीर्घवृत्ताभ दो दीर्घवृत्तों से प्राप्त किया जाएगा: पहला XY तल में और दूसरा XZ तल में (या YZ - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)। वे गुणांक जिनके द्वारा चरों को विभाजित किया जाता है, विहित समीकरण में वर्गित किए जाते हैं। अत: उपरोक्त उदाहरण में दो के मूल, एक तथा तीन के मूल से भाग देना अधिक सही होगा।

Y अक्ष के समानांतर पहले दीर्घवृत्त की लघु धुरी दो है। एक्स-अक्ष के समानांतर प्रमुख अक्ष दो की दो जड़ें हैं। दूसरे दीर्घवृत्त की लघु धुरी, Y अक्ष के समानांतर, वही रहती है - यह दो के बराबर है। और प्रमुख अक्ष, Z अक्ष के समानांतर, तीन की दो जड़ों के बराबर है।

मूल समीकरण से प्राप्त डेटा को विहित रूप में परिवर्तित करके, हम एक दीर्घवृत्त खींच सकते हैं।

उपसंहार

इस लेख में शामिल विषय काफी व्यापक है, लेकिन वास्तव में, जैसा कि आप अब देख सकते हैं, यह बहुत जटिल नहीं है। इसका विकास, वास्तव में, उस समय समाप्त होता है जब आप सतहों के नाम और समीकरण (और, निश्चित रूप से, वे कैसे दिखते हैं) याद करते हैं। उपरोक्त उदाहरण में, हमने प्रत्येक चरण की विस्तार से जांच की, लेकिन समीकरण को विहित रूप में लाने के लिए उच्च गणित के न्यूनतम ज्ञान की आवश्यकता होती है और इससे छात्र को कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

मौजूदा समानता के अनुसार भविष्य के कार्यक्रम का विश्लेषण पहले से ही अधिक कठिन कार्य है। लेकिन इसे सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह समझना पर्याप्त है कि संबंधित दूसरे क्रम के वक्रों का निर्माण कैसे किया जाता है - दीर्घवृत्त, परवलय और अन्य।

अध:पतन के मामले और भी सरल खंड हैं। कुछ चरों की अनुपस्थिति के कारण, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, न केवल गणनाएँ सरल हो जाती हैं, बल्कि निर्माण भी सरल हो जाता है।

जैसे ही आप आत्मविश्वास से सभी प्रकार की सतहों को नाम दे सकते हैं, स्थिरांक बदल सकते हैं, ग्राफ़ को एक या दूसरे आकार में बदल सकते हैं, विषय में महारत हासिल हो जाएगी।

आपकी पढ़ाई में शुभकामनाएँ!