Aký vzorec sa používa na výpočet priemetu posunutia telesa pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe? Sčítanie vektorov kolmých na seba

Strana 8 z 12

§ 7. Pohyb s rovnomerne zrýchleným
priamočiary pohyb

1. Pomocou grafu rýchlosti v závislosti od času môžete získať vzorec na pohyb tela rovnomerným priamočiarym pohybom.

Obrázok 30 znázorňuje graf projekcie rýchlosti rovnomerný pohyb na nápravu X z času. Ak v nejakom bode nastavíme kolmicu na časovú os C, potom dostaneme obdĺžnik OABC. Plocha tohto obdĺžnika sa rovná súčinu strán OA A OC. Ale dĺžka strany OA rovná sa v x a dĺžka strany OC - t, teda S = v x t. Súčin priemetu rýchlosti na os X a čas sa rovná projekcii posunutia, t.j. s x = v x t.

teda projekcia posunu pri rovnomernom priamočiarom pohybe sa numericky rovná ploche obdĺžnika ohraničenej súradnicovými osami, grafom rýchlosti a kolmicou zdvihnutou k časovej osi.

2. Podobným spôsobom získame vzorec premietania posunutia pre priamočiary rovnomerne zrýchlený pohyb. Na to nám slúži graf závislosti priemetu rýchlosti na osi X od času (obr. 31). Vyberte malú oblasť na grafe ab a vypustite kolmice z bodov a A b na časovej osi. Ak časový interval D t, zodpovedajúce sekcii cd na časovej osi je malá, potom môžeme predpokladať, že rýchlosť sa počas tohto časového úseku nemení a teleso sa pohybuje rovnomerne. V tomto prípade obrázok cabd sa málo líši od obdĺžnika a jeho plocha sa číselne rovná priemetu pohybu telesa za čas zodpovedajúci segmentu cd.

Do takýchto pásikov môžete rozbiť celú postavu OABC a jeho plocha sa bude rovnať súčtu plôch všetkých pásikov. Preto projekcia pohybu tela v čase tčíselne sa rovná ploche lichobežníka OABC. Z kurzu geometrie viete, že plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základní a výšky: S= (OA + BC)OC.

Ako je možné vidieť na obrázku 31, OA = v 0X , BC = v x, OC = t. Z toho vyplýva, že projekcia posunutia je vyjadrená vzorcom: s x= (v x + v 0X)t.

Pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe sa rýchlosť tela v každom okamihu rovná v x = v 0X + a x t, teda, s x = (2v 0X + a x t)t.

Odtiaľ:

Aby sme dostali pohybovú rovnicu telesa, dosadíme do vzorca premietania posunutia jej vyjadrenie rozdielom súradníc s x = X – X 0 .

Dostaneme: X – X 0 = v 0X t+ , alebo

X = X 0 + v 0X t + .

Podľa pohybovej rovnice je možné kedykoľvek určiť súradnicu telesa, ak sú známe počiatočné súradnice, počiatočná rýchlosť a zrýchlenie telesa.

3. V praxi sa často vyskytujú problémy, pri ktorých je potrebné nájsť posun telesa pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe, ale čas pohybu nie je známy. V týchto prípadoch sa používa iný vzorec projekcie posunutia. Poďme na to.

Zo vzorca na projekciu rýchlosti rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu v x = v 0X + a x t vyjadrime čas:

t = .

Nahradením tohto výrazu do vzorca projekcie posunutia dostaneme:

s x = v 0X + .

Odtiaľ:

s x = , alebo
–= 2a x s x.

Ak je počiatočná rýchlosť telesa nulová, potom:

2a x s x.

4. Príklad riešenia problému

Lyžiar sa pohybuje po svahu hory z pokojového stavu zrýchlením 0,5 m/s 2 za 20 s a potom sa pohybuje po vodorovnom úseku, pričom prejde až na zastavenie 40 m. S akým zrýchlením sa lyžiar pohyboval po vodorovnej ploche? Aká je dĺžka svahu hory?

Dané:

Riešenie

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Pohyb lyžiara pozostáva z dvoch etáp: v prvej fáze, pri zostupe zo svahu hory, sa lyžiar pohybuje s rastúcou rýchlosťou v absolútnej hodnote; v druhej fáze, keď sa pohybuje po vodorovnom povrchu, jeho rýchlosť klesá. Hodnoty súvisiace s prvou fázou pohybu budú zapísané s indexom 1 a hodnoty súvisiace s druhou fázou s indexom 2.

a 2?

s 1?

Spojíme referenčný systém so Zemou, os X smerujme v smere rýchlosti lyžiara v každej fáze jeho pohybu (obr. 32).

Napíšme rovnicu pre rýchlosť lyžiara na konci zjazdu z hory:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

V projekciách na os X dostaneme: v 1X = a 1X t. Keďže projekcie rýchlosti a zrýchlenia na os X sú kladné, modul rýchlosti lyžiara je: v 1 = a 1 t 1 .

Napíšme rovnicu týkajúcu sa projekcií rýchlosti, zrýchlenia a pohybu lyžiara v druhej fáze pohybu:

–= 2a 2X s 2X .

Berúc do úvahy, že počiatočná rýchlosť lyžiara v tejto fáze pohybu sa rovná jeho konečnej rýchlosti v prvej fáze

v 02 = v 1 , v 2X= 0 dostaneme

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Odtiaľ a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2.

Modul pohybu lyžiara v prvej fáze pohybu sa rovná dĺžke horského svahu. Napíšme rovnicu pre posun:

s 1X = v 01X t + .

Preto je dĺžka horského svahu s 1 = ;

s 1 == 100 m.

odpoveď: a 2 \u003d 0,125 m/s2; s 1 = 100 m.

Otázky na samovyšetrenie

1. Ako podľa grafu priemetu rýchlosti rovnomerného priamočiareho pohybu na os X

2. Ako podľa grafu priemetu rýchlosti rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu na os. X z času na určenie priemetu posunu telesa?

3. Aký vzorec sa používa na výpočet priemetu posunutia telesa pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe?

4. Aký vzorec sa používa na výpočet priemetu posunu telesa pohybujúceho sa rovnomerne zrýchlene a priamočiaro, ak je počiatočná rýchlosť telesa nulová?

Úloha 7

1. Aký je modul posunutia auta za 2 minúty, ak sa za tento čas jeho rýchlosť zmenila z 0 na 72 km/h? Aké sú súradnice auta v danom čase t= 2 minúty? Predpokladá sa, že počiatočná súradnica je nula.

2. Vlak sa pohybuje počiatočnou rýchlosťou 36 km/h a zrýchlením 0,5 m/s 2 . Aký je posun vlaku za 20 s a jeho súradnice v čase t= 20 s, ak je počiatočná súradnica vlaku 20 m?

3. Aký je pohyb cyklistu počas 5 s po začatí brzdenia, ak jeho počiatočná rýchlosť pri brzdení je 10 m/s a zrýchlenie je 1,2 m/s 2? Aké sú súradnice cyklistu v čase t= 5 s, ak v počiatočnom časovom okamihu bolo na začiatku?

4. Auto pohybujúce sa rýchlosťou 54 km/h zastaví pri brzdení na 15 sekúnd. Aký je modul posunu auta pri brzdení?

5. Z dvoch osád nachádzajúcich sa vo vzdialenosti 2 km od seba idú dve autá. Počiatočná rýchlosť jedného auta je 10 m/s a zrýchlenie je 0,2 m/s 2, počiatočná rýchlosť druhého je 15 m/s a zrýchlenie je 0,2 m/s 2 . Určite čas a súradnice miesta stretnutia áut.

Laboratórium č. 1

Štúdium rovnomerne zrýchlené
priamočiary pohyb

Cieľ práce:

naučiť sa merať zrýchlenie pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe; experimentálne stanovte pomer dráh, ktoré telo prejde počas rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu v po sebe nasledujúcich rovnakých časových intervaloch.

Zariadenia a materiály:

sklz, statív, kovová guľa, stopky, krajčírsky meter, kovový valec.

Zákazka

1. Jeden koniec žľabu pripevnite k nohe statívu tak, aby zvieral malý uhol s povrchom stola, na druhý koniec žľabu vložte kovový valec.

2. Zmerajte dráhy, ktoré prejde loptička v 3 po sebe nasledujúcich časových intervaloch rovných 1 s. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi. Na žľab môžete kriedou umiestniť značky, upevniť polohu lopty v časových bodoch rovnajúcich sa 1 s, 2 s, 3 s a merať vzdialenosti s_ medzi týmito značkami. Cestu je možné zmerať tak, že loptičku pustíte zakaždým z rovnakej výšky s, prešiel okolo neho najskôr za 1 s, potom za 2 s a za 3 s a potom vypočítajte dráhu, ktorú prejde loptička v druhej a tretej sekunde. Výsledky merania zaznamenajte do tabuľky 1.

3. Nájdite pomer dráhy prejdenej za druhú sekundu k dráhe prejdenej v prvej sekunde a dráhe prejdenej v tretej sekunde k dráhe prejdenej v prvej sekunde. Urobte záver.

4. Zmerajte čas, počas ktorého sa loptička pohybovala pozdĺž žľabu a vzdialenosť, ktorú prešla. Vypočítajte jeho zrýchlenie pomocou vzorca s = .

5. Pomocou experimentálne získanej hodnoty zrýchlenia vypočítajte dráhy, ktoré musí loptička prejsť v prvej, druhej a tretej sekunde svojho pohybu. Urobte záver.

stôl 1

číslo skúsenosti

Experimentálne údaje

Teoretické výsledky

Čas t , s

Cesta s , cm

Čas t , s

Cesta

s, cm

Zrýchlenie a, cm/s2

Čast, s

Cesta s , cm

Rýchlosť (v) je fyzikálna veličina, ktorá sa číselne rovná dráhe (cestám), ktoré telo prejde za jednotku času (t).

Cesta

Dráha (S) - dĺžka trajektórie, po ktorej sa teleso pohybovalo, sa číselne rovná súčinu rýchlosti (v) telesa a času (t) pohybu.

Cestovný čas

Čas pohybu (t) sa rovná pomeru dráhy (S) prejdenej telesom k rýchlosti (v) pohybu.

priemerná rýchlosť

Priemerná rýchlosť (vav) sa rovná pomeru súčtu úsekov dráhy (s 1 s 2, s 3, ...) prejdených telesom k časovému intervalu (t 1 + t 2 + t 3 + ...), za ktorý bola táto dráha prejdená.

priemerná rýchlosť je pomer dĺžky dráhy prejdenej telesom k času, za ktorý túto dráhu prešlo.

priemerná rýchlosť pri nerovnomernom priamom pohybe: ide o pomer celej dráhy k celkovému času.

Dve po sebe nasledujúce etapy s rôznymi rýchlosťami: kde

Pri riešení problémov - koľko fáz pohybu bude mať toľko komponentov:

Projekcie vektora posunutia na súradnicové osi

Projekcia vektora posunutia na os OX:

Projekcia vektora posunutia na os OY:

Priemet vektora na os je nulový, ak je vektor kolmý na os.

Znaky projekcií posunutia: projekcia sa považuje za pozitívnu, ak pohyb od priemetu začiatku vektora k priemetu konca nastáva v smere osi, a negatívny, ak je proti osi. V tomto príklade

Modul pohybu je dĺžka vektora posunutia:

Podľa Pytagorovej vety:

Projekcie pohybu a uhla sklonu

V tomto príklade:

Súradnicová rovnica (všeobecne):

Vektor polomeru- vektor, ktorého začiatok sa zhoduje s pôvodom súradníc a koniec - s polohou tela v danom čase. Priemet vektora polomeru na súradnicové osi určuje súradnice telesa v danom čase.

Vektor polomeru umožňuje nastaviť polohu hmotného bodu v danom referenčný systém:

Rovnomerný priamočiary pohyb - definícia

Rovnomerný priamočiary pohyb- pohyb, pri ktorom teleso v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch vykonáva rovnaké posuny.

Rýchlosť v rovnomernom priamočiarom pohybe. Rýchlosť je vektorová fyzikálna veličina, ktorá ukazuje, koľko pohybu telo vykoná za jednotku času.

Vo vektorovej forme:

V projekciách na os OX:

Ďalšie rýchlostné jednotky:

1 km/h = 1 000 m/3 600 s,

1 km/s = 1 000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Meracie zariadenie - rýchlomer - zobrazuje modul rýchlosti.

Znamienko projekcie rýchlosti závisí od smeru vektora rýchlosti a súradnicovej osi:

Graf projekcie rýchlosti je závislosť projekcie rýchlosti od času:

Graf rýchlosti pre rovnomerný priamočiary pohyb- priamka rovnobežná s časovou osou (1, 2, 3).

Ak graf leží nad časovou osou (.1), potom sa teleso pohybuje v smere osi OX. Ak je graf umiestnený pod časovou osou, potom sa teleso pohybuje proti osi OX (2, 3).

Geometrický význam pohybu.

Pri rovnomernom priamočiarom pohybe je posun určený vzorcom. Rovnaký výsledok dostaneme, ak vypočítame plochu obrázku pod grafom rýchlosti v osiach. Takže na určenie dráhy a modulu posunu počas priamočiareho pohybu je potrebné vypočítať plochu obrázku pod grafom rýchlosti v osiach:

Displacement Projection Plot- závislosť projekcie posunu od času.

Graf projekcie posunutia pre rovnomerný priamočiary pohyb- priamka vychádzajúca z východiska (1, 2, 3).

Ak priamka (1) leží nad časovou osou, potom sa teleso pohybuje v smere osi OX a ak pod osou (2, 3), tak proti osi OX.

Čím väčšia je dotyčnica sklonu (1) grafu, tým väčší je modul rýchlosti.

Súradnice grafu- závislosť súradníc tela od času:

Súradnice grafu pre rovnomerný priamočiary pohyb - priamky (1, 2, 3).

Ak sa časom súradnica zvýši (1, 2), potom sa teleso pohybuje v smere osi OX; ak sa súradnica zníži (3), potom sa teleso pohybuje proti smeru osi OX.

Čím väčšia je dotyčnica sklonu (1), tým väčší je modul rýchlosti.

Ak sa grafy súradníc dvoch telies pretínajú, potom by sa mali z priesečníka znížiť kolmice na časovú os a os súradníc.

Relativita mechanického pohybu

Pod relativitou rozumieme závislosť niečoho od výberu vzťažnej sústavy. Napríklad mier je relatívny; relatívny pohyb a vzájomná poloha tela.

Pravidlo sčítania posunov. Vektorový súčet posunov

kde je posunutie telesa vzhľadom na pohyblivú referenčnú sústavu (RFR); - pohyb PSO vzhľadom na pevný referenčný rámec (FRS); - pohyb tela vzhľadom na pevný referenčný rámec (FRS).

Pridanie vektora:

Sčítanie vektorov nasmerovaných pozdĺž jednej priamky:

Sčítanie vektorov kolmých na seba

Podľa Pytagorovej vety

Odvoďme si vzorec, ktorý sa dá použiť na výpočet projekcie vektora posunutia telesa pohybujúceho sa v priamke a rovnomerne zrýchleného počas ľubovoľného časového obdobia. Aby sme to urobili, obráťme sa na obrázok 14. Ako na obrázku 14, a, tak aj na obrázku 14, b, je segment AC grafom projekcie vektora rýchlosti telesa pohybujúceho sa konštantným zrýchlením a (pri počiatočnej rýchlosti v 0).

Ryža. 14. Priemet vektora posunutia priamočiaro a rovnomerne zrýchleného telesa sa číselne rovná ploche S pod grafom.

Pripomeňme si, že pri priamočiarom rovnomernom pohybe telesa je projekcia vektora posunu vykonaná týmto telesom určená rovnakým vzorcom ako plocha obdĺžnika uzavretého pod grafom projekcie vektora rýchlosti (pozri obr. 6). Preto sa projekcia vektora posunu numericky rovná ploche tohto obdĺžnika.

Dokážme, že v prípade priamočiareho rovnomerne zrýchleného pohybu možno priemet vektora posunutia s x určiť podľa rovnakého vzorca, ako je plocha obrazca uzavretá medzi grafom AC, osou Ot a segmentmi OA a BC, t.j., že v tomto prípade sa priemet vektora posunutia numericky rovná ploche pod grafom. Aby sme to dosiahli, na osi Ot (pozri obr. 14, a) vyberieme malý časový interval db. Z bodov d a b vedieme kolmice na os Ot, kým sa nepretnú s grafom premietania vektora rýchlosti v bodoch a a c.

Po dobu zodpovedajúcu segmentu db sa teda rýchlosť telesa zmení z v ax na v cx.

Počas dostatočne krátkej doby sa projekcia vektora rýchlosti veľmi mierne zmení. Preto sa pohyb tela počas tohto časového obdobia len málo líši od rovnomerného, teda od pohybu konštantnou rýchlosťou.

Na takéto pásy je možné rozdeliť celú oblasť figúry OASV, ktorá je lichobežníkom. Preto sa priemet vektora posunutia sx pre časový interval zodpovedajúci segmentu OB numericky rovná ploche S lichobežníka OASV a je určený rovnakým vzorcom ako táto oblasť.

Podľa pravidla v školské kurzy geometria, plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základní a jeho výšky. Obrázok 14, b ukazuje, že základňami lichobežníka OASV sú segmenty OA = v 0x a BC = v x a výška je segment OB = t. teda

Pretože v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, môžeme písať:

Získali sme teda vzorec na výpočet priemetu vektora posunutia pri rovnomerne zrýchlenom pohybe.

Pomocou rovnakého vzorca sa vypočíta aj projekcia vektora posunutia, keď sa teleso pohybuje s klesajúcim modulom rýchlosti, len v tomto prípade budú vektory rýchlosti a zrýchlenia smerovať opačným smerom, takže ich projekcie budú mať rôzne znamienka.

Otázky

Pomocou obrázku 14, a, dokážte, že projekcia vektora posunu počas rovnomerne zrýchleného pohybu sa číselne rovná ploche obrázku OASV.
Napíšte rovnicu na určenie priemetu vektora posunutia telesa počas jeho priamočiareho rovnomerne zrýchleného pohybu.

Cvičenie 7

Strana 8 z 12

§ 7. Pohyb s rovnomerne zrýchleným
priamočiary pohyb

1. Pomocou grafu rýchlosti v závislosti od času môžete získať vzorec na pohyb tela rovnomerným priamočiarym pohybom.

Obrázok 30 ukazuje graf projekcie rýchlosti rovnomerného pohybu na osi X z času. Ak v nejakom bode nastavíme kolmicu na časovú os C, potom dostaneme obdĺžnik OABC. Plocha tohto obdĺžnika sa rovná súčinu strán OA A OC. Ale dĺžka strany OA rovná sa v x a dĺžka strany OC - t, teda S = v x t. Súčin priemetu rýchlosti na os X a čas sa rovná projekcii posunutia, t.j. s x = v x t.

teda projekcia posunu pri rovnomernom priamočiarom pohybe sa numericky rovná ploche obdĺžnika ohraničenej súradnicovými osami, grafom rýchlosti a kolmicou zdvihnutou k časovej osi.

2. Podobným spôsobom získame vzorec pre priemet posunutia pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe. Na to nám slúži graf závislosti priemetu rýchlosti na osi X od času (obr. 31). Vyberte malú oblasť na grafe ab a vypustite kolmice z bodov a A b na časovej osi. Ak časový interval D t, zodpovedajúce sekcii cd na časovej osi je malá, potom môžeme predpokladať, že rýchlosť sa počas tohto časového úseku nemení a teleso sa pohybuje rovnomerne. V tomto prípade obrázok cabd sa málo líši od obdĺžnika a jeho plocha sa číselne rovná priemetu pohybu telesa za čas zodpovedajúci segmentu cd.

Ako je možné vidieť na obrázku 31, OA = v 0X , BC = v x, OC = t. Z toho vyplýva, že projekcia posunutia je vyjadrená vzorcom: s x= (v x + v 0X)t.

Pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe sa rýchlosť tela v každom okamihu rovná v x = v 0X + a x t, teda, s x = (2v 0X + a x t)t.

Aby sme dostali pohybovú rovnicu telesa, dosadíme do vzorca premietania posunutia jej vyjadrenie rozdielom súradníc s x = X – X 0 .

Dostaneme: X – X 0 = v 0X t+ , alebo

X = X 0 + v 0X t + .

Podľa pohybovej rovnice je možné kedykoľvek určiť súradnicu telesa, ak sú známe počiatočné súradnice, počiatočná rýchlosť a zrýchlenie telesa.

Zo vzorca na projekciu rýchlosti rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu v x = v 0X + a x t vyjadrime čas:

Nahradením tohto výrazu do vzorca projekcie posunutia dostaneme:

s x = v 0X + .

s x = , alebo
–= 2a x s x.

Ak je počiatočná rýchlosť telesa nulová, potom:

2a x s x.

4. Príklad riešenia problému

Dané:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Spojíme referenčný systém so Zemou, os X smerujme v smere rýchlosti lyžiara v každej fáze jeho pohybu (obr. 32).

Napíšme rovnicu pre rýchlosť lyžiara na konci zjazdu z hory:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

V projekciách na os X dostaneme: v 1X = a 1X t. Keďže projekcie rýchlosti a zrýchlenia na os X sú kladné, modul rýchlosti lyžiara je: v 1 = a 1 t 1 .

Napíšme rovnicu týkajúcu sa projekcií rýchlosti, zrýchlenia a pohybu lyžiara v druhej fáze pohybu:

–= 2a 2X s 2X .

Berúc do úvahy, že počiatočná rýchlosť lyžiara v tejto fáze pohybu sa rovná jeho konečnej rýchlosti v prvej fáze

v 02 = v 1 , v 2X= 0 dostaneme

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Odtiaľ a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2.

Modul pohybu lyžiara v prvej fáze pohybu sa rovná dĺžke horského svahu. Napíšme rovnicu pre posun:

s 1X = v 01X t + .

Preto je dĺžka horského svahu s 1 = ;

s 1 == 100 m.

odpoveď: a 2 \u003d 0,125 m/s2; s 1 = 100 m.

Otázky na samovyšetrenie

1. Ako podľa grafu priemetu rýchlosti rovnomerného priamočiareho pohybu na os X

2. Ako podľa grafu priemetu rýchlosti rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu na os. X z času na určenie priemetu posunu telesa?

3. Aký vzorec sa používa na výpočet priemetu posunutia telesa pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe?

4. Aký vzorec sa používa na výpočet priemetu posunu telesa pohybujúceho sa rovnomerne zrýchlene a priamočiaro, ak je počiatočná rýchlosť telesa nulová?

Úloha 7

2. Vlak sa pohybuje počiatočnou rýchlosťou 36 km/h a zrýchlením 0,5 m/s 2 . Aký je posun vlaku za 20 s a jeho súradnice v čase t= 20 s, ak je počiatočná súradnica vlaku 20 m?

4. Auto pohybujúce sa rýchlosťou 54 km/h zastaví pri brzdení na 15 sekúnd. Aký je modul posunu auta pri brzdení?

Laboratórium č. 1

Štúdium rovnomerne zrýchlené
priamočiary pohyb

Cieľ práce:

Zariadenia a materiály:

sklz, statív, kovová guľa, stopky, krajčírsky meter, kovový valec.

Zákazka

1. Jeden koniec žľabu pripevnite k nohe statívu tak, aby zvieral malý uhol s povrchom stola, na druhý koniec žľabu vložte kovový valec.

3. Nájdite pomer dráhy prejdenej za druhú sekundu k dráhe prejdenej v prvej sekunde a dráhe prejdenej v tretej sekunde k dráhe prejdenej v prvej sekunde. Urobte záver.

4. Zmerajte čas, počas ktorého sa loptička pohybovala pozdĺž žľabu a vzdialenosť, ktorú prešla. Vypočítajte jeho zrýchlenie pomocou vzorca s = .

5. Pomocou experimentálne získanej hodnoty zrýchlenia vypočítajte dráhy, ktoré musí loptička prejsť v prvej, druhej a tretej sekunde svojho pohybu. Urobte záver.

stôl 1

číslo skúsenosti

Experimentálne údaje

Teoretické výsledky

Čas t , s

Cesta s , cm

Čas t , s

Cesta

s, cm

Zrýchlenie a, cm/s2

Čast, s

Cesta s , cm

Ako pri znalosti brzdnej dráhy určiť počiatočnú rýchlosť auta a ako pri znalosti charakteristík pohybu, ako je počiatočná rýchlosť, zrýchlenie, čas, určiť pohyb auta? Odpovede dostaneme po oboznámení sa s témou dnešnej hodiny: "Posun pri rovnomerne zrýchlenom pohybe, závislosť súradníc od času pri rovnomerne zrýchlenom pohybe"

Pri rovnomerne zrýchlenom pohybe vyzerá graf ako priamka stúpajúca nahor, pretože jeho projekcia zrýchlenia je väčšia ako nula.

Pri rovnomernom priamočiarom pohybe sa plocha bude číselne rovnať modulu priemetu posunu telesa. Ukazuje sa, že túto skutočnosť možno zovšeobecniť nielen pre prípad rovnomerného pohybu, ale aj pre akýkoľvek pohyb, teda ukázať, že plocha pod grafom sa číselne rovná modulu priemetu posunutia. Robí sa to striktne matematicky, ale použijeme grafickú metódu.

Ryža. 2. Graf závislosti rýchlosti od času pri rovnomerne zrýchlenom pohybe ()

Rozdeľme graf projekcie rýchlosti od času pre rovnomerne zrýchlený pohyb na malé časové intervaly Δt. Predpokladajme, že sú také malé, že počas ich dĺžky sa rýchlosť prakticky nezmenila, to znamená, že podmienečne zmeníme graf lineárnej závislosti na obrázku na rebrík. Pri každom jej kroku veríme, že rýchlosť sa príliš nezmenila. Predstavte si, že časové intervaly Δt sú nekonečne malé. V matematike sa hovorí: prejdeme na limit. V tomto prípade sa plocha takého rebríka bude neurčito tesne zhodovať s plochou lichobežníka, ktorá je obmedzená grafom V x (t). A to znamená, že v prípade rovnomerne zrýchleného pohybu môžeme povedať, že modul premietania posunutia sa numericky rovná ploche ohraničenej grafom V x (t): os úsečky a ordinát a kolmica znížená na os úsečky, to znamená oblasť lichobežníka OABS, ktorú vidíme na obrázku 2.

Problém sa mení z fyzického na matematický - nájdenie oblasti lichobežníka. Toto je štandardná situácia, keď fyzikov vymyslite si model, ktorý popisuje ten či onen jav a potom príde na rad matematika, ktorá tento model obohatí o rovnice, zákony – čím sa model zmení na teóriu.

Nájdeme oblasť lichobežníka: lichobežník je obdĺžnikový, pretože uhol medzi osami je 90 0, rozdeľujeme lichobežník na dva tvary - obdĺžnik a trojuholník. To je zrejmé Celková plocha sa bude rovnať súčtu plôch týchto obrázkov (obr. 3). Nájdite ich oblasti: plocha obdĺžnika sa rovná súčinu strán, to znamená V 0x t, plocha správny trojuholník Bude sa to rovnať polovici práce nôh - 1/2AD · BD, nahradením hodnôt projekcií dostaneme: 1/2T · (V X - V 0x) a odvolávajúc sa na zákon zmeny rýchlosti z času na rovnako zrýchlený pohyb: v x (t) = v 0x + a x T, je celkom zrejmé, že rozdiel v ax, x axelácii rýchlosti je v x, x a - rýchlosť t.

Ryža. 3. Určenie plochy lichobežníka ( Zdroj)

Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že plocha lichobežníka sa číselne rovná modulu premietania posunutia, dostaneme:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

Získali sme zákon závislosti projekcie posunu na čase s rovnomerne zrýchleným pohybom v skalárnom tvare, vo vektorovom tvare to bude vyzerať takto:

(t) = t + t2/2

Odvoďme ešte jeden vzorec pre projekciu posunu, ktorý nebude zahŕňať čas ako premennú. Riešime systém rovníc, z ktorého vylúčime čas:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Predstavte si, že nepoznáme čas, potom čas vyjadríme z druhej rovnice:

t \u003d V x - V 0x / a x

Výslednú hodnotu dosaďte do prvej rovnice:

Dostaneme taký ťažkopádny výraz, umocníme ho a dáme podobné:

Získali sme veľmi pohodlné vyjadrenie premietania posunutia pre prípad, keď nepoznáme čas pohybu.

Nech je počiatočná rýchlosť auta, keď začalo brzdenie, V 0 \u003d 72 km / h, konečná rýchlosť V \u003d 0, zrýchlenie a \u003d 4 m / s 2. Zistite dĺžku brzdnej dráhy. Prevedením kilometrov na metre a dosadením hodnôt do vzorca dostaneme, že brzdná dráha bude:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

Poďme analyzovať nasledujúci vzorec:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Projekcia pohybu je polovicou súčtu projekcií počiatočných a konečných rýchlostí, vynásobených časom pohybu. Pripomeňte si vzorec pre priemernú rýchlosť

S x \u003d V cf t

V prípade rovnomerne zrýchleného pohybu bude priemerná rýchlosť:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Priblížili sme sa k vyriešeniu hlavného problému mechaniky rovnomerne zrýchleného pohybu, to znamená k získaniu zákona, podľa ktorého sa súradnica mení s časom:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2 / 2

Aby sme sa naučili používať tento zákon, analyzujeme typický problém.

Auto, ktoré sa pohybuje z pokojového stavu, nadobudne zrýchlenie 2 m / s 2. Nájdite vzdialenosť prejdenú autom za 3 sekundy a za tretiu sekundu.

Dané: V0 x = 0

Napíšme zákon, podľa ktorého sa posun mení s časom pri

rovnomerne zrýchlený pohyb: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2 c

Na prvú otázku problému môžeme odpovedať vložením údajov:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - toto je cesta, ktorá prešla

c auto za 3 sekundy.

Zistite, ako ďaleko cestoval za 2 sekundy:

S x (2 s) \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 2 2 / 2 \u003d 4 (m)

Takže vy a ja vieme, že za dve sekundy auto prešlo 4 metre.

Teraz, keď poznáme tieto dve vzdialenosti, môžeme nájsť cestu, ktorú prešiel v tretej sekunde:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (m)

Rovnomerne zrýchlený pohyb nazývaný taký pohyb, pri ktorom zostáva vektor zrýchlenia nezmenený čo do veľkosti a smeru. Príkladom takéhoto pohybu je pohyb kameňa hodeného pod určitým uhlom k horizontu (ignorovanie odporu vzduchu). V ktoromkoľvek bode trajektórie sa zrýchlenie kameňa rovná zrýchleniu voľného pádu. Štúdium rovnomerne zrýchleného pohybu sa teda redukuje na štúdium priamočiareho rovnomerne zrýchleného pohybu. V prípade priamočiareho pohybu sú vektory rýchlosti a zrýchlenia smerované pozdĺž priamky pohybu. Preto možno rýchlosť a zrýchlenie v projekciách na smer pohybu považovať za algebraické veličiny. Pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe je rýchlosť telesa určená vzorcom (1)

V tomto vzorci je rýchlosť tela pri t = 0 (štartovacia rýchlosť ), = const – zrýchlenie. V priemete na zvolenú os x sa rovnica (1) zapíše v tvare: (2). Na grafe premietania rýchlosti υ x ( t), táto závislosť má tvar priamky.

Sklon grafu rýchlosti možno použiť na určenie zrýchlenia a telo. Zodpovedajúce konštrukcie sú vytvorené na obr. pre graf I Zrýchlenie sa číselne rovná pomeru strán trojuholníka ABC: .

Čím väčší je uhol β, ktorý tvorí graf rýchlosti s časovou osou, t.j. tým väčší je sklon grafu ( strmosť), tým väčšie je zrýchlenie tela.

Pre graf I: υ 0 \u003d -2 m / s, a\u003d 1/2 m/s 2. Pre graf II: υ 0 \u003d 3 m / s, a\u003d -1/3 m/s 2.

Graf rýchlosti tiež umožňuje určiť priemet posunu s telesa na určitý čas t. Prideľme na časovej osi nejaký malý časový interval Δt. Ak je tento časový interval dostatočne malý, potom je zmena rýchlosti v tomto intervale malá, to znamená, že pohyb počas tohto časového intervalu možno považovať za rovnomerný s niektorými priemerná rýchlosť, ktorá sa rovná okamžitej rýchlosti υ telesa v strede intervalu Δt. Preto sa posun Δs počas času Δt bude rovnať Δs = υΔt. Toto posunutie sa rovná ploche vytieňovanej na obr. pruhy. Rozdelením časového intervalu od 0 do určitého momentu t na malé intervaly Δt môžeme získať, že posun s za daný čas t pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe sa rovná ploche lichobežníka ODEF. Zodpovedajúce konštrukcie sú vytvorené na obr. pre harmonogram II. Čas t sa rovná 5,5 s.

(3) - výsledný vzorec umožňuje určiť posunutie s rovnomerne zrýchleným pohybom, ak zrýchlenie nie je známe.

Ak do rovnice (3) dosadíme výraz pre rýchlosť (2), dostaneme (4) - tento vzorec sa používa na zápis rovnice pohybu telesa: (5).

Ak z rovnice (2) vyjadríme čas pohybu (6) a dosadíme do rovnosti (3), tak

Tento vzorec umožňuje určiť pohyb v neznámom čase pohybu.

Uvažujme, ako sa vypočíta projekcia vektora posunu telesa pohybujúceho sa rovnomerne zrýchlene, ak je jeho počiatočná rýchlosť v 0 rovná nule. V tomto prípade rovnica

bude vyzerať takto:

Prepíšme túto rovnicu tak, že do nej namiesto projekcií s x a a x dosadíme moduly s a a vektorov

posunutie a zrýchlenie. Keďže v tomto prípade sú vektory sua nasmerované rovnakým smerom, ich projekcie majú rovnaké znamienka. Preto možno rovnicu pre moduly vektorov napísať:

Z tohto vzorca vyplýva, že pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe bez počiatočnej rýchlosti je modul vektora posunutia priamo úmerný druhej mocnine časového intervalu, počas ktorého sa tento pohyb uskutočnil. To znamená, že s predĺžením času pohybu o n-krát (počítané od začiatku pohybu) sa pohyb zväčší n-2-krát.

Napríklad, ak počas ľubovoľného časového obdobia t 1 od začiatku pohybu sa telo pohlo

potom sa po dobu t 2 \u003d 2t 1 (počítané od rovnakého okamihu ako t 1) bude pohybovať

na časové obdobie t n \u003d nt l - posunutie s n \u003d n 2 s l (kde n je prirodzené číslo).

Táto závislosť modulu vektora posunutia od času pre priamočiary rovnomerne zrýchlený pohyb bez počiatočnej rýchlosti je jasne znázornená na obrázku 15, kde segmenty OA, OB, OS, OD a OE sú moduly vektorov posunutia (s 1 , s 2 , s 3 , s 4 a s 5), ktoré teleso vykonáva, resp. 3t1, t4 = 4t1 a t5 = 5t1.

Ryža. 15. Vzorce rovnomerne zrýchleného pohybu: OA:OB:OC:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Z tohto čísla je zrejmé, že

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

t.j. so zvýšením časových intervalov počítaných od začiatku pohybu o celé číslo v porovnaní s ti, sa moduly zodpovedajúcich vektorov posunutia zväčšujú ako séria druhých mocnín po sebe idúcich prirodzených čísel.

Obrázok 15 ukazuje ďalší vzor:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

t.j. moduly vektorov posunov vykonávaných telesom v po sebe nasledujúcich rovnakých časových úsekoch (každý z nich sa rovná ti) sú spojené ako séria po sebe idúcich nepárnych čísel.

Pravidelnosti (1) a (2) sú vlastné len rovnomerne zrýchlenému pohybu. Preto sa dajú použiť, ak je potrebné určiť, či je pohyb rovnomerne zrýchlený alebo nie.

Určme napríklad, či sa rovnomerne zrýchlil pohyb slimáka, ktorý sa v prvých 20 sekundách pohybu posunul o 0,5 cm, v druhých 20 sekundách o 1,5 cm a v tretích 20 sekundách o 2,5 cm.

Aby sme to urobili, zistime, koľkokrát sú pohyby vykonané v druhom a treťom časovom intervale väčšie ako v prvom:

To znamená, že 0,5 cm : 1,5 cm : 2,5 cm = 1 : 3 : 5. Keďže tieto pomery sú radom po sebe idúcich nepárnych čísel, pohyb telesa sa rovnomerne zrýchlil.

V tomto prípade bol rovnomerne zrýchlený charakter pohybu odhalený na základe pravidelnosti (2).

Otázky

Aké vzorce sa používajú na výpočet priemetu a modulu vektora posunutia telesa pri jeho rovnomerne zrýchlenom pohybe z pokoja?
Koľkokrát vzrastie modul vektora posunutia telesa so zvýšením času jeho pohybu z pokoja o n-krát?
Napíšte, ako súvisia moduly vektorov posunu telesa, ktoré sa pohybuje rovnomerne zrýchlene z pokoja, s predĺžením času jeho pohybu o celé číslo v porovnaní s t 1.
Napíšte, ako sú vo vzájomnom vzťahu moduly vektorov posunov telesa v po sebe idúcich rovnakých časových intervaloch, ak sa toto teleso pohybuje z pokoja rovnomerne zrýchlene.
Aký je účel používania zákonitostí (1) a (2)?

Cvičenie 8

Vlak odchádzajúci zo stanice počas prvých 20 s sa pohybuje v priamom smere a rovnomerne zrýchľuje. Je známe, že v tretej sekunde od začiatku pohybu vlak prešiel 2 m. Určte modul vektora posunu, ktorý vlak vykonal v prvej sekunde a modul vektora zrýchlenia, s ktorým sa pohyboval.
Auto, ktoré sa z pokoja pohybuje rovnomerne zrýchleným tempom, prejde za piatu sekundu zrýchlenia 6,3 m. Akú rýchlosť vyvinulo auto do konca piatej sekundy od začiatku pohybu?
Niektoré teleso sa v prvých 0,03 s pohybu bez počiatočnej rýchlosti pohlo o 2 mm, v prvých 0,06 s - 8 mm, v prvých 0,09 s - 18 mm. Na základe pravidelnosti (1) dokážte, že počas všetkých 0,09 s sa teleso pohybovalo rovnomerne zrýchlene.

Otázky.

1. Aké vzorce sa používajú na výpočet priemetu a modulu vektora posunutia telesa pri jeho rovnomerne zrýchlenom pohybe z pokoja?

2. Koľkokrát vzrastie modul vektora posunutia telesa s predĺžením času jeho pohybu z pokoja o n-krát?

3. Napíšte, ako spolu súvisia moduly vektorov posunutia telesa pohybujúceho sa rovnomerne zrýchlene zo stavu pokoja s predĺžením času jeho pohybu o celé číslo v porovnaní s t 1.

4. Napíšte, ako sú vo vzájomnom vzťahu moduly vektorov posunov telesa v po sebe idúcich rovnakých časových intervaloch, ak sa toto teleso pohybuje z pokoja rovnomerne zrýchlene.

5. Na aký účel možno použiť zákonitosti (3) a (4)?

Pravidelnosti (3) a (4) sa používajú na určenie, či je pohyb rovnomerne zrýchlený alebo nie (pozri str. 33).

Cvičenia.

1. Vlak odchádzajúci zo stanice počas prvých 20 s sa pohybuje v priamom smere a rovnomerne zrýchlený. Je známe, že v tretej sekunde od začiatku pohybu vlak prešiel 2 m. Určte modul vektora posunu, ktorý vlak vykonal v prvej sekunde a modul vektora zrýchlenia, s ktorým sa pohyboval.