Vilken formel används för att beräkna projektionen av en kropps förskjutning under likformigt accelererad rätlinjig rörelse? Addition av vektorer vinkelräta mot varandra

Sida 8 av 12

§ 7. Rörelse under enhetlig acceleration
rak rörelse

1. Med hjälp av en graf över hastighet mot tid kan du få en formel för förskjutningen av en kropp under enhetlig rätlinjig rörelse.

Figur 30 visar en graf över hastighetsprojektionen enhetlig rörelse per axel X från tid. Om vi återställer vinkelrät mot tidsaxeln någon gång C, då får vi en rektangel OABC. Arean av denna rektangel är lika med produkten av sidorna O.A. Och O.C.. Men sidlängd O.A. lika med v x, och sidolängden O.C. - t, härifrån S = v x t. Produkt av projiceringen av hastighet på en axel X och tiden är lika med projektionen av förskjutning, dvs. s x = v x t.

Således, projektionen av förskjutning under enhetlig rätlinjig rörelse är numeriskt lika med arean av rektangeln som begränsas av koordinataxlarna, hastighetsgrafen och vinkelrät mot tidsaxeln.

2. Vi får på ett liknande sätt formeln för projektionen av förskjutning för en rätlinjig jämnt accelererad rörelse. För att göra detta kommer vi att använda grafen för hastighetsprojektionen på axeln X då och då (bild 31). Låt oss välja ett litet område på grafen ab och släpp vinkelrätterna från punkterna a Och b på tidsaxeln. Om tidsintervall D t, motsvarande webbplatsen CD på tidsaxeln är liten, då kan vi anta att hastigheten inte ändras under denna tidsperiod och kroppen rör sig jämnt. I detta fall figuren cabd skiljer sig lite från en rektangel och dess area är numeriskt lika med projektionen av kroppens rörelse över den tid som motsvarar segmentet CD.

Hela figuren kan delas upp i sådana remsor OABC, och dess area kommer att vara lika med summan av areorna för alla remsor. Därför projektionen av kroppens rörelse över tiden t numeriskt lika med arean av trapetsen OABC. Från din geometrikurs vet du att arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av dess baser och höjd: S= (O.A. + FÖRE KRISTUS.)O.C..

Som framgår av figur 31, O.A. = v 0x , FÖRE KRISTUS. = v x, O.C. = t. Det följer att förskjutningsprojektionen uttrycks med formeln: s x= (v x + v 0x)t.

Med jämnt accelererad rätlinjig rörelse är kroppens hastighet vid varje tidpunkt lika med v x = v 0x + a x t, därav, s x = (2v 0x + a x t)t.

Härifrån:

För att erhålla rörelseekvationen för en kropp, ersätter vi dess uttryck i termer av skillnaden i koordinater i förskjutningsprojektionsformeln s x = x – x 0 .

Vi får: x – x 0 = v 0x t+ , eller

x = x 0 + v 0x t + .

Med hjälp av rörelseekvationen kan du bestämma koordinaten för en kropp när som helst om kroppens initiala koordinat, initialhastighet och acceleration är kända.

3. I praktiken finns det ofta problem där det är nödvändigt att hitta en kropps förskjutning under likformigt accelererad rätlinjig rörelse, men tidpunkten för rörelsen är okänd. I dessa fall används en annan förskjutningsprojektionsformel. Låt oss ta det.

Från formeln för projektionen av hastigheten för likformigt accelererad rätlinjig rörelse v x = v 0x + a x t Låt oss uttrycka tiden:

t = .

Genom att ersätta detta uttryck i förskjutningsprojektionsformeln får vi:

s x = v 0x + .

Härifrån:

s x = , eller
–= 2a x s x.

Om kroppens initiala hastighet är noll, då:

2a x s x.

4. Exempel på problemlösning

En skidåkare glider nerför en bergssluttning från ett viloläge med en acceleration på 0,5 m/s 2 på 20 s och rör sig sedan längs en horisontell sektion, efter att ha färdats 40 m till ett stopp. Med vilken acceleration rörde sig åkaren längs en horisontell yta? Hur lång är bergssluttningen?

Given:

Lösning

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Skidåkarens rörelse består av två etapper: vid det första steget, nedåtgående från bergssluttningen, rör sig åkaren med ökande hastighet; i det andra steget, när man rör sig på en horisontell yta, minskar dess hastighet. Vi skriver värdena relaterade till det första steget av rörelse med index 1, och de som är relaterade till det andra steget med index 2.

a 2?

s 1?

Vi kopplar samman referenssystemet med jorden, axeln X låt oss styra skidåkaren i fartens riktning vid varje steg av hans rörelse (bild 32).

Låt oss skriva ekvationen för skidåkarens hastighet i slutet av nedstigningen från berget:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

I projektioner på axeln X vi får: v 1x = a 1x t. Eftersom projektionerna av hastighet och acceleration på axeln Xär positiva är skidåkarens hastighetsmodul lika med: v 1 = a 1 t 1 .

Låt oss skriva en ekvation som förbinder projektionerna av hastighet, acceleration och förskjutning av skidåkaren i det andra steget av rörelse:

–= 2a 2x s 2x .

Med tanke på att skidåkarens initiala hastighet i detta rörelsestadium är lika med hans sluthastighet i det första steget

v 02 = v 1 , v 2x= 0 får vi

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Härifrån a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s2.

Skidåkarens rörelsemodul i det första rörelsestadiet är lika med längden på bergssluttningen. Låt oss skriva ekvationen för förskjutning:

s 1x = v 01x t + .

Därav längden på bergssluttningen är s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Svar: a 2 = 0,125 m/s2; s 1 = 100 m.

Självtestfrågor

1. Som i grafen för projektionen av hastigheten för enhetlig rätlinjig rörelse på axeln X

2. Som i grafen för projektionen av hastigheten för likformigt accelererad rätlinjig rörelse på axeln X bestämma projektionen av kroppsrörelser från tid till annan?

3. Vilken formel används för att beräkna projektionen av en kropps förskjutning under likformigt accelererad rätlinjig rörelse?

4. Vilken formel används för att beräkna projektionen av förskjutning av en kropp som rör sig likformigt accelererad och rätlinjigt om kroppens initiala hastighet är noll?

Uppgift 7

1. Vad är rörelsemodulen för bilen på 2 minuter, om dess hastighet ändrades från 0 till 72 km/h under denna tid? Vad är koordinaten för bilen vid tidpunkten t= 2 min? Den initiala koordinaten anses vara lika med noll.

2. Tåget rör sig med en starthastighet på 36 km/h och en acceleration på 0,5 m/s 2 . Vad är tågets förskjutning på 20 s och dess koordinater vid tidpunkten? t= 20 s om tågets initiala koordinat är 20 m?

3. Vad är cyklistens förskjutning på 5 s efter inbromsningens början, om hans initiala hastighet under inbromsning är 10 m/s och accelerationen är 1,2 m/s 2? Vad är koordinaten för cyklisten vid tidpunkten? t= 5 s, om det vid det första ögonblicket var vid utgången?

4. En bil som rör sig med en hastighet av 54 km/h stannar vid inbromsning i 15 s. Vad är rörelsemodulen för en bil vid inbromsning?

5. Två bilar rör sig mot varandra från två bosättningar som ligger på ett avstånd av 2 km från varandra. Starthastigheten för en bil är 10 m/s och accelerationen är 0,2 m/s 2 , den andras starthastighet är 15 m/s och accelerationen är 0,2 m/s 2 . Bestäm tid och koordinater för bilarnas mötesplats.

Laboratoriearbete nr 1

Studie av enhetligt accelererad
rätlinjig rörelse

Målet med arbetet:

lära sig att mäta acceleration under likformigt accelererad linjär rörelse; att experimentellt fastställa förhållandet mellan de banor som korsas av en kropp under likformigt accelererad rätlinjig rörelse i successiva lika tidsintervall.

Enheter och material:

dike, stativ, metallkula, stoppur, måttband, metallcylinder.

Arbetsorder

1. Fäst ena änden av rännan i stativbenet så att den bildar en liten vinkel mot bordsytan. I den andra änden av rännan, placera en metallcylinder i den.

2. Mät banorna som bollen färdats under 3 på varandra följande tidsperioder lika med 1 s vardera. Detta kan göras på olika sätt. Du kan sätta kritmärken på rännan som registrerar bollens positioner vid tider lika med 1 s, 2 s, 3 s, och mäta avstånden s_ mellan dessa märken. Du kan, genom att släppa bollen från samma höjd varje gång, mäta banan s, reste av den först på 1 s, sedan på 2 s och i 3 s, och beräkna sedan den väg som bollen färdades under den andra och tredje sekunden. Anteckna mätresultaten i tabell 1.

3. Hitta förhållandet mellan den färdväg som färdades under den andra sekunden och den bana som färdades under den första sekunden, och den bana som färdades under den tredje sekunden och den färdväg som färdades under den första sekunden. Rita en sammanfattning.

4. Mät tiden som bollen rör sig längs rännan och sträckan den färdas. Beräkna accelerationen av dess rörelse med hjälp av formeln s = .

5. Använd det experimentellt erhållna accelerationsvärdet och beräkna de avstånd som bollen måste färdas under den första, andra och tredje sekunden av sin rörelse. Rita en sammanfattning.

bord 1

Erfarenhet nr.

Experimentella data

Teoretiska resultat

Tid t , Med

sätt s , centimeter

Tid t , Med

Väg

s, cm

Acceleration a, cm/s2

Tidt, Med

sätt s , centimeter

Hastighet (v) är en fysisk storhet, numeriskt lika med vägen (er) som kroppen färdats per tidsenhet (t).

Väg

Bana (S) - längden på den bana längs vilken kroppen rörde sig, är numeriskt lika med produkten av kroppens hastighet (v) och rörelsetiden (t).

Körtid

Rörelsetiden (t) är lika med förhållandet mellan avståndet (S) som kroppen tillryggalagt och rörelsens hastighet (v).

medelhastighet

Medelhastigheten (vср) är lika med förhållandet mellan summan av bansektionerna (s 1 s 2, s 3, ...) som kroppen rest till tidsperioden (t 1 + t 2 + t 3 + . ..) under vilken denna väg restes .

medelhastighet- detta är förhållandet mellan längden på den väg som kroppen färdats och den tid under vilken denna väg tillryggalades.

medelhastighet för ojämn rörelse i en rak linje: detta är förhållandet mellan hela banan och hela tiden.

Två på varandra följande steg i olika hastigheter: var

När du löser problem - hur många stadier av rörelse kommer det att finnas så många komponenter:

Projektioner av förskjutningsvektorn på koordinataxlarna

Projektion av förskjutningsvektorn på OX-axeln:

Projektion av förskjutningsvektorn på OY-axeln:

Projektionen av en vektor på en axel är noll om vektorn är vinkelrät mot axeln.

Tecken på förskjutningsprojektioner: en projektion anses vara positiv om rörelsen från projektionen av början av vektorn till projektionen av slutet sker i axelns riktning, och negativ om mot axeln. I detta exempel

Rörelsemodulär längden på förskjutningsvektorn:

Enligt Pythagoras sats:

Rörelseprojektioner och lutningsvinkel

I det här exemplet:

Koordinatekvation (i allmän form):

Radie vektor- en vektor vars början sammanfaller med koordinaternas ursprung och slutet med kroppens position vid ett givet ögonblick. Projektioner av radievektorn på koordinataxlarna bestämmer kroppens koordinater vid en given tidpunkt.

Radievektorn låter dig specificera positionen för en materialpunkt i en given referenssystem:

Enhetlig linjär rörelse - definition

Enhetlig linjär rörelse- en rörelse där en kropp gör lika rörelser under lika långa tidsperioder.

Hastighet under enhetlig linjär rörelse. Hastighet är en vektorfysisk kvantitet som visar hur mycket rörelse en kropp gör per tidsenhet.

I vektorform:

I projektioner på OX-axeln:

Ytterligare hastighetsenheter:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Mätanordningen - hastighetsmätaren - visar hastighetsmodulen.

Tecknet för hastighetsprojektionen beror på hastighetsvektorns riktning och koordinataxeln:

Hastighetsprojektionsgrafen representerar hastighetsprojektionens beroende av tid:

Hastighetsgraf för enhetlig linjär rörelse- rät linje parallell med tidsaxeln (1, 2, 3).

Om grafen ligger ovanför tidsaxeln (.1), så rör sig kroppen i OX-axelns riktning. Om grafen är placerad under tidsaxeln, så rör sig kroppen mot OX-axeln (2, 3).

Geometrisk betydelse av rörelse.

Med enhetlig linjär rörelse bestäms förskjutningen av formeln. Vi får samma resultat om vi beräknar arean av figuren under hastighetsgrafen i axlarna. Detta betyder att för att bestämma vägen och förskjutningsmodulen under linjär rörelse är det nödvändigt att beräkna arean av figuren under hastighetsgrafen i axlarna:

Förskjutningsprojektionsgraf- förskjutningsprojektionens beroende av tid.

Förskjutningsprojektionsgraf vid enhetlig rätlinjig rörelse- en rät linje som kommer från utgångspunkten för koordinater (1, 2, 3).

Om den räta linjen (1) ligger ovanför tidsaxeln, rör sig kroppen i OX-axelns riktning, och om under axeln (2, 3), då mot OX-axeln.

Ju större tangens för lutningen (1) i grafen, desto större hastighetsmodul.

Grafiska koordinater- beroende av kroppens koordinater i tid:

Graf över koordinater för enhetlig rätlinjig rörelse - raka linjer (1, 2, 3).

Om koordinaten ökar med tiden (1, 2), så rör sig kroppen i riktningen för OX-axeln; om koordinaten minskar (3) så rör sig kroppen mot OX-axelns riktning.

Ju större tangenten för lutningsvinkeln (1) är, desto större hastighetsmodul.

Om koordinatgraferna för två kroppar skär varandra, bör perpendikulära från skärningspunkten sänkas ner på tidsaxeln och koordinataxeln.

Relativitet för mekanisk rörelse

Med relativitet förstår vi någots beroende av valet av referensram. Till exempel är fred relativ; rörelse är relativ och kroppens position är relativ.

Regeln för att lägga till förskjutningar. Vektor summan av förskjutningar

var är kroppens rörelse i förhållande till den rörliga referensramen (MSF); - Rörelse av PSO i förhållande till det fasta referenssystemet (FRS). - rörelse av kroppen i förhållande till en fast referensram (FFR).

Vektortillägg:

Addering av vektorer riktade längs en rät linje:

Addition av vektorer vinkelräta mot varandra

Enligt Pythagoras sats

Låt oss härleda en formel med vilken du kan beräkna projektionen av förskjutningsvektorn för en kropp som rör sig rätlinjigt och likformigt accelererad under vilken tidsperiod som helst. För att göra detta, låt oss gå till figur 14. Både i figur 14, a, och i figur 14, b, är segmentet AC en graf över projektionen av hastighetsvektorn för en kropp som rör sig med konstant acceleration a (vid en initial hastighet v 0).

Ris. 14. Projektionen av förskjutningsvektorn för en kropp som rör sig rätlinjigt och likformigt accelererad är numeriskt lika med arean S under grafen

Låt oss komma ihåg att i fallet med en rätlinjig enhetlig rörelse av en kropp, bestäms projektionen av förskjutningsvektorn som görs av denna kropp av samma formel som arean av rektangeln omsluten under grafen för projektionen av hastighetsvektorn (se fig. 6). Därför är projektionen av förskjutningsvektorn numeriskt lika med arean av denna rektangel.

Låt oss bevisa att i fallet med rätlinjig likformigt accelererad rörelse kan projektionen av förskjutningsvektorn s x bestämmas med samma formel som arean av figuren som är innesluten mellan grafen AC, Ot-axeln och segmenten OA och BC , det vill säga, som i det här fallet, är projektionen av förskjutningsvektorn numeriskt lika med arean av figuren under hastighetsgrafen. För att göra detta väljer vi på Ot-axeln (se fig. 14, a) en liten tidsperiod db. Från punkterna d och b ritar vi vinkelräta mot Ot-axeln tills de skär grafen för projektionen av hastighetsvektorn i punkterna a och c.

Under en tidsperiod som motsvarar segmentet db ändras således kroppens hastighet från v ax till v cx.

Under en ganska kort tidsperiod ändras projektionen av hastighetsvektorn väldigt lite. Därför skiljer sig kroppens rörelse under denna tidsperiod lite från enhetlig rörelse, det vill säga från rörelse med konstant hastighet.

Hela området av OASV-figuren, som är en trapets, kan delas upp i sådana remsor. Följaktligen är projektionen av förskjutningsvektorn sx för den tidsperiod som motsvarar segmentet OB numeriskt lika med arean S för trapetsformen OASV och bestäms av samma formel som denna area.

Enligt den regel som ges i skolkurser geometri, arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av dess baser och dess höjd. Från figur 14, b är det tydligt att baserna för trapetsformen OASV är segmenten OA = v 0x och BC = v x, och höjden är segmentet OB = t. Därav,

Eftersom v x = v 0x + a x t, a S = s x, kan vi skriva:

Således har vi erhållit en formel för att beräkna projektionen av förskjutningsvektorn under likformigt accelererad rörelse.

Med samma formel beräknas även projektionen av förskjutningsvektorn när kroppen rör sig med en minskande hastighet, bara i detta fall kommer hastighets- och accelerationsvektorerna att riktas i motsatta riktningar, så deras projektioner kommer att ha olika tecken.

Frågor

Med hjälp av figur 14, a, bevisa att projektionen av förskjutningsvektorn under likformigt accelererad rörelse är numeriskt lika med arean av figuren OASV.
Skriv ner en ekvation för att bestämma projektionen av en kropps förskjutningsvektor under dess rätlinjiga likformigt accelererade rörelse.

Övning 7

Sida 8 av 12

§ 7. Rörelse under enhetlig acceleration
rak rörelse

1. Med hjälp av en graf över hastighet mot tid kan du få en formel för förskjutningen av en kropp under enhetlig rätlinjig rörelse.

Figur 30 visar en graf över projektionen av hastigheten för likformig rörelse på axeln X från tid. Om vi återställer vinkelrät mot tidsaxeln någon gång C, då får vi en rektangel OABC. Arean av denna rektangel är lika med produkten av sidorna O.A. Och O.C.. Men sidlängd O.A. lika med v x, och sidolängden O.C. - t, härifrån S = v x t. Produkt av projiceringen av hastighet på en axel X och tiden är lika med projektionen av förskjutning, dvs. s x = v x t.

2. Vi erhåller på ett liknande sätt formeln för projektionen av förskjutning i rätlinjig likformigt accelererad rörelse. För att göra detta kommer vi att använda grafen för hastighetsprojektionen på axeln X då och då (bild 31). Låt oss välja ett litet område på grafen ab och släpp vinkelrätterna från punkterna a Och b på tidsaxeln. Om tidsintervall D t, motsvarande webbplatsen CD på tidsaxeln är liten, då kan vi anta att hastigheten inte ändras under denna tidsperiod och kroppen rör sig jämnt. I detta fall figuren cabd skiljer sig lite från en rektangel och dess area är numeriskt lika med projektionen av kroppens rörelse över den tid som motsvarar segmentet CD.

Som framgår av figur 31, O.A. = v 0x , FÖRE KRISTUS. = v x, O.C. = t. Det följer att förskjutningsprojektionen uttrycks med formeln: s x= (v x + v 0x)t.

Med jämnt accelererad rätlinjig rörelse är kroppens hastighet vid varje tidpunkt lika med v x = v 0x + a x t, därav, s x = (2v 0x + a x t)t.

För att erhålla rörelseekvationen för en kropp, ersätter vi dess uttryck i termer av skillnaden i koordinater i förskjutningsprojektionsformeln s x = x – x 0 .

Vi får: x – x 0 = v 0x t+ , eller

x = x 0 + v 0x t + .

Med hjälp av rörelseekvationen kan du bestämma koordinaten för en kropp när som helst om kroppens initiala koordinat, initialhastighet och acceleration är kända.

Från formeln för projektionen av hastigheten för likformigt accelererad rätlinjig rörelse v x = v 0x + a x t Låt oss uttrycka tiden:

Genom att ersätta detta uttryck i förskjutningsprojektionsformeln får vi:

s x = v 0x + .

s x = , eller
–= 2a x s x.

Om kroppens initiala hastighet är noll, då:

2a x s x.

4. Exempel på problemlösning

Given:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Vi kopplar samman referenssystemet med jorden, axeln X låt oss styra skidåkaren i fartens riktning vid varje steg av hans rörelse (bild 32).

Låt oss skriva ekvationen för skidåkarens hastighet i slutet av nedstigningen från berget:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

I projektioner på axeln X vi får: v 1x = a 1x t. Eftersom projektionerna av hastighet och acceleration på axeln Xär positiva är skidåkarens hastighetsmodul lika med: v 1 = a 1 t 1 .

Låt oss skriva en ekvation som förbinder projektionerna av hastighet, acceleration och förskjutning av skidåkaren i det andra steget av rörelse:

–= 2a 2x s 2x .

Med tanke på att skidåkarens initiala hastighet i detta rörelsestadium är lika med hans sluthastighet i det första steget

v 02 = v 1 , v 2x= 0 får vi

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Härifrån a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s2.

Skidåkarens rörelsemodul i det första rörelsestadiet är lika med längden på bergssluttningen. Låt oss skriva ekvationen för förskjutning:

s 1x = v 01x t + .

Därav längden på bergssluttningen är s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Svar: a 2 = 0,125 m/s2; s 1 = 100 m.

Självtestfrågor

1. Som i grafen för projektionen av hastigheten för enhetlig rätlinjig rörelse på axeln X

2. Som i grafen för projektionen av hastigheten för likformigt accelererad rätlinjig rörelse på axeln X bestämma projektionen av kroppsrörelser från tid till annan?

3. Vilken formel används för att beräkna projektionen av en kropps förskjutning under likformigt accelererad rätlinjig rörelse?

4. Vilken formel används för att beräkna projektionen av förskjutning av en kropp som rör sig likformigt accelererad och rätlinjigt om kroppens initiala hastighet är noll?

Uppgift 7

4. En bil som rör sig med en hastighet av 54 km/h stannar vid inbromsning i 15 s. Vad är rörelsemodulen för en bil vid inbromsning?

Laboratoriearbete nr 1

Studie av enhetligt accelererad
rätlinjig rörelse

Målet med arbetet:

Enheter och material:

dike, stativ, metallkula, stoppur, måttband, metallcylinder.

Arbetsorder

1. Fäst ena änden av rännan i stativbenet så att den bildar en liten vinkel mot bordsytan. I den andra änden av rännan, placera en metallcylinder i den.

4. Mät tiden som bollen rör sig längs rännan och sträckan den färdas. Beräkna accelerationen av dess rörelse med hjälp av formeln s = .

5. Använd det experimentellt erhållna accelerationsvärdet och beräkna de avstånd som bollen måste färdas under den första, andra och tredje sekunden av sin rörelse. Rita en sammanfattning.

bord 1

Erfarenhet nr.

Experimentella data

Teoretiska resultat

Tid t , Med

sätt s , centimeter

Tid t , Med

Väg

s, cm

Acceleration a, cm/s2

Tidt, Med

sätt s , centimeter

Hur, genom att känna till bromssträckan, bestämmer bilens initiala hastighet och hur, genom att känna till rörelsens egenskaper, såsom initial hastighet, acceleration, tid, bestämmer bilens rörelse? Vi kommer att få svaren efter att vi har bekantat oss med ämnet för dagens lektion: "Rörelse under likformigt accelererad rörelse, koordinaters beroende av tid under likformigt accelererad rörelse"

Med jämnt accelererad rörelse ser grafen ut som en rät linje som går uppåt, eftersom dess projicering av accelerationen är större än noll.

Med enhetlig rätlinjig rörelse kommer området att vara numeriskt lika med modulen för projektionen av kroppens rörelse. Det visar sig att detta faktum kan generaliseras för fallet med inte bara enhetlig rörelse, utan också för vilken rörelse som helst, det vill säga det kan visas att arean under grafen är numeriskt lika med modulen för förskjutningsprojektionen. Detta görs strikt matematiskt, men vi kommer att använda en grafisk metod.

Ris. 2. Graf över hastighet kontra tid för jämnt accelererad rörelse ()

Låt oss dela upp grafen för projektionen av hastighet mot tid för likformigt accelererad rörelse i små tidsintervall Δt. Låt oss anta att de är så små att hastigheten praktiskt taget inte förändrades över deras längd, det vill säga vi kommer villkorligt att förvandla grafen för det linjära beroendet i figuren till en stege. Vid varje steg tror vi att hastigheten praktiskt taget inte har förändrats. Låt oss föreställa oss att vi gör tidsintervallen Δt oändligt små. I matematik säger man: vi gör övergången till gränsen. I det här fallet kommer området för en sådan stege att sammanfalla på obestämd tid nära trapetsområdet, vilket begränsas av grafen V x (t). Detta innebär att för fallet med likformigt accelererad rörelse kan vi säga att modulen för förskjutningsprojektionen är numeriskt lika med den yta som begränsas av grafen V x (t): abskissan och ordinatan och vinkelrät sänkt mot abskissan, att är området för trapetsformen OABC som vi ser i figur 2.

Problemet förvandlas från ett fysiskt till ett matematiskt problem - att hitta arean för en trapets. Detta är en standardsituation när fysiker de skapar en modell som beskriver det ena eller andra fenomenet, och då spelar matematiken in, vilket berikar denna modell med ekvationer, lagar – det som gör modellen till en teori.

Vi hittar arean av trapetsen: trapetsen är rektangulär, eftersom vinkeln mellan axlarna är 90 0, delar vi trapetsen i två figurer - en rektangel och en triangel. Det är uppenbart totalarea kommer att vara lika med summan av areorna för dessa figurer (fig. 3). Låt oss hitta deras områden: arean av rektangeln är lika med produkten av sidorna, det vill säga V 0x t, area rät triangel kommer att vara lika med halva produkten av benen - 1/2AD·BD, som ersätter värdena på projektionerna, får vi: 1/2t·(V x - V 0x), och kommer ihåg lagen om hastighetsförändringar över tid under likformigt accelererad rörelse: V x (t) = V 0x + a x t, det är ganska uppenbart att skillnaden i hastighetsprojektioner är lika med produkten av accelerationsprojektionen a x vid tiden t, det vill säga V x - V 0x = a x t.

Ris. 3. Bestämning av arean av trapets ( Källa)

Med hänsyn till det faktum att arean på trapetsen är numeriskt lika med modulen för förskjutningsprojektionen, får vi:

S x(t) = Vo x t + a x t2/2

Vi har erhållit lagen om beroendet av projektionen av förskjutning på tid under likformigt accelererad rörelse i skalär form; i vektorform kommer det att se ut så här:

(t) = t + t 2/2

Låt oss härleda en annan formel för förskjutningsprojektionen, som inte kommer att inkludera tid som en variabel. Låt oss lösa ekvationssystemet och eliminera tid från det:

Sx(t) = Vox + axt2/2

V x (t) = V 0 x + a x t

Låt oss föreställa oss att tiden är okänd för oss, då kommer vi att uttrycka tid från den andra ekvationen:

t = V x - V 0x / a x

Låt oss ersätta det resulterande värdet i den första ekvationen:

Låt oss ta det här besvärliga uttrycket, kvadrera det och ge liknande:

Vi har fått ett mycket bekvämt uttryck för projektionen av rörelse för fallet när vi inte känner till rörelsetiden.

Låt vår initiala hastighet på bilen, när inbromsningen började, vara V 0 = 72 km/h, sluthastighet V = 0, acceleration a = 4 m/s 2 . Ta reda på längden på bromssträckan. Om vi konverterar kilometer till meter och ersätter värdena i formeln finner vi att bromssträckan blir:

S x = 0 - 400(m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m

Låt oss analysera följande formel:

S x = (Vo x + V x) / 2 t

Förskjutningsprojektionen är halvsumman av projektionerna av de initiala och slutliga hastigheterna, multiplicerat med rörelsetiden. Låt oss komma ihåg förskjutningsformeln för medelhastighet

S x = V av · t

I fallet med jämnt accelererad rörelse kommer medelhastigheten att vara:

V av = (V 0 + V k) / 2

Vi har kommit nära att lösa huvudproblemet med mekaniken för likformigt accelererad rörelse, det vill säga att erhålla lagen enligt vilken koordinaten ändras med tiden:

x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2/2

För att lära oss hur man använder denna lag, låt oss analysera ett typiskt problem.

En bil som rör sig från vila får en acceleration på 2 m/s 2 . Ta reda på avståndet som bilen tillryggalagt på 3 sekunder och på en tredje sekund.

Givet: V 0 x = 0

Låt oss skriva ner lagen enligt vilken förskjutningen ändras med tiden kl

jämnt accelererad rörelse: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s

Vi kan svara på den första frågan om problemet genom att koppla in data:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - detta är vägen som färdats

c bil på 3 sekunder.

Låt oss ta reda på hur långt han reste på 2 sekunder:

S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

Så du och jag vet att bilen på två sekunder färdades 4 meter.

Nu, när vi känner till dessa två avstånd, kan vi hitta vägen han reste i den tredje sekunden:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Jämnt accelererad rörelse kallas en sådan rörelse där accelerationsvektorn förblir oförändrad i storlek och riktning. Ett exempel på en sådan rörelse är rörelsen av en sten som kastas i en viss vinkel mot horisonten (utan att ta hänsyn till luftmotståndet). När som helst i banan är stenens acceleration lika med gravitationsaccelerationen. Således reduceras studiet av likformigt accelererad rörelse till studiet av rätlinjig likformigt accelererad rörelse. I fallet med rätlinjig rörelse riktas hastighets- och accelerationsvektorerna längs den raka rörelselinjen. Därför kan hastighet och acceleration i projektioner på rörelseriktningen betraktas som algebraiska storheter. I likformigt accelererad rätlinjig rörelse bestäms kroppens hastighet av formel (1)

I denna formel är kroppens hastighet på t = 0 (starthastighet ), = const – acceleration. I projektionen på den valda x-axeln kommer ekvation (1) att skrivas som: (2). På hastighetsprojektionsgrafen υ x ( t) detta beroende ser ut som en rak linje.

Accelerationen kan bestämmas från lutningen på hastighetsgrafen a kroppar. Motsvarande konstruktioner visas i fig. för graf I Accelerationen är numeriskt lika med förhållandet mellan triangelns sidor ABC: .

Ju större vinkel β som hastighetsgrafen bildar med tidsaxeln, det vill säga, desto större lutning på grafen ( branthet), desto större acceleration av kroppen.

För graf I: υ 0 = –2 m/s, a= 1/2 m/s 2. För schema II: υ 0 = 3 m/s, a= –1/3 m/s 2 .

Hastighetsgrafen låter dig också bestämma projektionen av kroppens förskjutning s över en viss tid t. Låt oss markera ett visst litet tidsintervall Δt på tidsaxeln. Om denna tidsperiod är tillräckligt kort, är hastighetsförändringen under denna period liten, det vill säga rörelsen under denna tidsperiod kan anses vara enhetlig med vissa medelhastighet, vilket är lika med kroppens momentana hastighet υ i mitten av intervallet Δt. Därför kommer förskjutningen Δs under tiden Δt att vara lika med Δs = υΔt. Denna rörelse är lika med det skuggade området i fig. Ränder. Genom att dela upp tidsintervallet från 0 till ett visst moment t i små intervall Δt kan vi erhålla att förskjutningen s för en given tid t med likformigt accelererad rätlinjig rörelse är lika med arean av trapets ODEF. Motsvarande konstruktioner visas i fig. för schema II. Tiden t antas vara 5,5 s.

(3) – den resulterande formeln låter dig bestämma förskjutningen under likformigt accelererad rörelse om accelerationen är okänd.

Om vi ersätter uttrycket för hastighet (2) i ekvation (3), får vi (4) - denna formel används för att skriva kroppens rörelseekvation: (5).

Om vi uttrycker rörelsetiden (6) från ekvation (2) och ersätter den med likhet (3), då

Denna formel låter dig bestämma rörelsen med en okänd rörelsetid.

Låt oss överväga hur projektionen av förskjutningsvektorn för en kropp som rör sig likformigt accelererad beräknas om dess initiala hastighet v 0 är noll. I det här fallet, ekvationen

kommer se ut så här:

Låt oss skriva om denna ekvation genom att ersätta modulerna för s- och a-vektorerna i den istället för projektionerna s x och a x

rörelse och acceleration. Eftersom i detta fall sua-vektorerna är riktade i samma riktning, har deras projektioner samma tecken. Därför kan ekvationen för vektormodulerna skrivas:

Av denna formel följer att i fallet med rätlinjig likformigt accelererad rörelse utan en initial hastighet, är storleken på förskjutningsvektorn direkt proportionell mot kvadraten på det tidsintervall under vilket denna förskjutning gjordes. Det betyder att när rörelsetiden (räknat från det ögonblick då rörelsen börjar) ökar med n gånger så ökar förskjutningen med n 2 gånger.

Till exempel, om kroppen under en godtycklig tidsperiod t 1 från början av rörelsen har rört sig

sedan under tidsperioden t 2 = 2t 1 (räknat från samma ögonblick som t 1) kommer den att röra sig

under en tidsperiod t n = nt l - rörelse s n = n 2 s l (där n är ett naturligt tal).

Detta beroende av förskjutningsvektormodulen i tid för rätlinjig, jämnt accelererad rörelse utan en initial hastighet återspeglas tydligt i figur 15, där segmenten OA, OB, OS, OD och OE representerar förskjutningsvektormodulerna (s 1, s 2, s 3, s 4 och s 5), utförda av kroppen respektive över tidsintervall t 1, t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 och t 5 = 5t 1.

Ris. 15. Regelbundenheter för jämnt accelererad rörelse: OA:OV:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Av denna figur är det tydligt att

OA:OV:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

d.v.s. med en ökning av tidsintervallen räknat från början av rörelsen med ett helt antal gånger jämfört med t 1, ökar modulerna för motsvarande förskjutningsvektorer som en serie kvadrater av på varandra följande naturliga tal.

Från figur 15 är ett annat mönster synligt:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

dvs modulerna för vektorerna av förskjutningar som gjorts av kroppen under på varandra följande lika tidsperioder (som var och en är lika med t 1) är relaterade som en serie på varandra följande udda tal.

Regelbundenhet (1) och (2) är inneboende endast i likformigt accelererad rörelse. Därför kan de användas om det är nödvändigt att avgöra om rörelsen accelereras jämnt eller inte.

Låt oss till exempel avgöra om rörelsen hos en snigel accelererades jämnt; under de första 20 sekunderna av rörelsen rörde den sig med 0,5 cm, i den andra 20 sekunder med 1,5 cm, i den tredje 20 sekunder med 2,5 cm.

För att göra detta, låt oss ta reda på hur många gånger rörelserna som görs under den andra och tredje tidsperioden är större än under den första:

Detta betyder 0,5 cm: 1,5 cm: 2,5 cm = 1: 3: 5. Eftersom dessa förhållanden representerar en serie på varandra följande udda tal, accelererades kroppens rörelse jämnt.

I detta fall identifierades rörelsens enhetligt accelererade karaktär på grundval av regelbundenhet (2).

Frågor

Vilka formler används för att beräkna projektionen och storleken på en kropps förskjutningsvektor under dess likformigt accelererade rörelse från ett vilotillstånd?
Hur många gånger kommer modulen av kroppens förskjutningsvektor att öka när tiden för dess rörelse från vila ökar med n gånger?
Skriv ner hur modulerna för förskjutningsvektorerna för en kropp som rör sig jämnt accelererat från ett vilotillstånd relaterar till varandra när tiden för dess rörelse ökar med ett helt antal gånger jämfört med t 1 .
Skriv ner hur modulerna för vektorerna av förskjutningar som görs av en kropp i på varandra följande lika tidsintervall förhåller sig till varandra om denna kropp rör sig jämnt accelererat från ett vilotillstånd.
I vilket syfte kan vi använda mönster (1) och (2)?

Övning 8

Under de första 20 sekunderna rör sig ett tåg som lämnar stationen rätlinjigt och jämnt accelererat. Det är känt att tåget i den tredje sekunden från rörelsens början reste 2 m. Bestäm storleken på förskjutningsvektorn som tåget gjorde under den första sekunden och storleken på accelerationsvektorn med vilken det rörde sig.
En bil, som rör sig jämnt accelererat från vilotillstånd, färdas 6,3 m under den femte sekunden av accelerationen. Vilken hastighet utvecklade bilen i slutet av den femte sekunden från början av rörelsen?
En viss kropp rörde sig med 2 mm under de första 0,03 sekunderna av rörelsen utan en initial hastighet, med 8 mm under de första 0,06 sekunderna och med 18 mm under de första 0,09 sekunderna. Baserat på regelbundenhet (1), bevisa att kroppen under hela 0,09 s rörde sig jämnt accelererat.

Frågor.

1. Vilka formler används för att beräkna projektionen och storleken på en kropps förskjutningsvektor under dess likformigt accelererade rörelse från ett vilotillstånd?

2. Hur många gånger kommer modulen av kroppens förskjutningsvektor att öka när tiden för dess rörelse från vila ökar med n gånger?

3. Skriv ner hur modulerna för förskjutningsvektorerna för en kropp som rör sig jämnt accelererad från ett vilotillstånd relaterar till varandra när tiden för dess rörelse ökar med ett helt antal gånger jämfört med t 1.

4. Skriv ner hur modulerna för vektorerna av förskjutningar som görs av en kropp i på varandra följande lika tidsintervall förhåller sig till varandra, om denna kropp rör sig jämnt accelererat från ett vilotillstånd.

5. För vilket syfte kan lagarna (3) och (4) användas?

Regelbundenhet (3) och (4) används för att avgöra om rörelsen accelereras jämnt eller inte (se sid. 33).

Övningar.

1. Ett tåg som lämnar stationen rör sig rätlinjigt och jämnt accelererat under de första 20 s. Det är känt att tåget under den tredje sekunden från rörelsens början reste 2 m. Bestäm storleken på förskjutningsvektorn som tåget gjorde i den första sekunden och storleken på accelerationsvektorn med vilken det rörde sig.